1993年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页,共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共68分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共18小题;每小题4分,共72分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为:( )
(A) (B) (C)3/2 (D)2
(2)函数y =(1-tg 22x)/(1+tg 22x)的最小正周期是:( )
(A)π/4 (B)π/2 (C)π (D)2π
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是:( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
(4) 当z =
2i 1 时,z 100+z 50+1的值是:( )
(A)1(B)-1(C)i(D)-i
(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是:()
(A)三棱锥(B)四棱锥
(C)五棱锥(D)六棱锥
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB:()
(A)有最大值1/2和最小值0
(B)有最大值1/2,但无最小值
(C)既无最大值也无最小值
(D)有最大值1,但无最小值
(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为:()
(A)12(B)10(C)8(D)2+log35
(8)当F(x)=[1+2/(2x-1)]f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x):()
(A)是奇函数
(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数
(D)不是奇函数也不是偶函数
(9)设直线2x-y-=0与y轴的义点为P,把圆(x+1)2+y2=25的直径分为两段,则其长度之比为:()
(A)7/3或3/7(B)7/4或4/7
(C)7/5或5/7(D)7/6或6/7
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则:()
(A)a2>b2(B)b/a<1
(C)lg(a-b)>0(D)(1/2)a<(1/2)b
(11)已知集合E={θ│cosθ (A)(π/2,π)(B)(π/4,3π/4) (C)(π,3π/2)(D)(3π/4,5π/4) (12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为:() (A)抛物线(B)圆 (C)双曲线的一支(D)椭圆 (13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则:() (A)ab>0,bc>0 (B)ab>0,bc<0 (C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0 (14)如果圆柱轴截面的周长L为定值,那么圆柱体积的最大值是:() (A)(L/6)3π(B)(L/3)3π(C)(L/4)3π(D)[(L/4)3π]/4 (15)展开所得的x多项式中,系数为有理数的共有:() (A)50项(B)17项(C)16项(D)15项 (16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么:() (A)1/c=1/a+1/b(B)2/c=2/a+1/b (C)1/c=2/a+2/b(D)2/c=1/a+2/b (17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分 配方式有:() (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 (18)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点(如图).若θ为直线CM与D1N所成的角,则sinθ 的值为:() (A)1/9(B)2/3(C)(D) 二、填空题:把答案填在题中横线上. (19)抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为,则焦点到AB的距离为________。 (20)在半径为30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为 120°。若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m)。 (21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共______种(用数字作答)。 (22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那 么水池的最低总造价为______元。 (23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=________。 (24)设a>1,则__________。 三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤. (25)解方程lg(x2+4x-26)-lg(x-3)=1。 (26)已知数列(8×2)/(12×32),(8×2)/(32×52),(8×n)/[(2n-1)2×(2n+1)2],……S n为其前n项和。计算 得S1=8/9,S2=24/25,S3=48/49,S4=80/81,观察上述结果,推测出计算S n的公式,并用数学归纳法加以证明。 (27)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l. (Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离. (28)在面积为l的△PMN中tgM=1/2,tgN=-2,建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程. (29)设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),argω<π/2,求θ。 1993年试题(文史类)答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)C(2)B(3)C(4)D(5)D(6)B (7)B(8)A(9)A(10)D(11)A(12)C (13)D(14)A(15)B (16)B(17)B(18)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. (19)2(20)17.3(21)4186 (22)1760(23)1(24)-1 三、解答题. (25)本小题考查对数方程的解法及运算能力. 解:原方程可化为: 解得:x1=3-;x2=3+ 检验x1=3-时,x-3=-<0;负数的对数没有意义,所以x=3-不是原方程的根, x=3+时,原方程的左边=lg10-lg=lg10=1=右边所以原方程的根是:x=3+ (26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法. 解S n=[(2n+1)2-1]/(2n+1)2(n∈N) 证明如下: (Ⅰ)当n=1时,S1=[32-1]/32=8/9,等式成立。 (Ⅱ)设当n=k时等式成立,即 由此可知,当n=k+1时等式也成立. 根据(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立. (27)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力. 解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下: 根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行. 由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1. (Ⅱ)解法一: 过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到l的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC. ∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影. 又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有: AE⊥l. 由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1, ∴ l∥AC. 作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE, 从而AE=BD=(AE×BC)/AC=(4×3)/5=12/5 在Rt△A1AE中, ∵ A1A=1,∠A1AE=90°, ∴ 故点A1到直线l 的距离为13/5。 解法二: 同解法一得l∥AC. 由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE, 从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC, ∴AE=(BC×AB)/AC 以下同解法一。 (28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力. 解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴。设椭圆方程为:x2/a2+y2/b2=1 分别记M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x0,y0). ∵ tgα=tg(π-∠N)=2, ∴由题设知 在△MNP中,MN=2c,MN上的高为4c/3 ∴ ∴a=(│PM│+│PN│)/2= 从而b2=a2-c2=3. 解法二: 同解法一得: ∵点P在椭圆上,且a2=b2+c2. 解得b2=3或b2=-1/3(舍去) a2=b2+c2=15/4. 故所求椭圆的方程为:4x2/15+y2/3=1 (29)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力. 解 因0<θ<π,故有 当tg2θ=-时,得θ=5π/12或θ=11π/12,这时都有: ω=[(cos11π/6)+(isin11π/6)], 得:argω=(11π/6)>π/2不适合题意,舍去,综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知:θ=π/12或θ=7π/12 2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一.选择题(每小题5分,共30分) 1.若M={(x ,y )| |tan πy |+sin 2πx=0},N={(x ,y )|x 2+y 2 ≤2},则M ∩N 的元素个数是( ) (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2.已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ,b 为实数),且f (lglog 310)=5,则f (lglg3)的值是( ) (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ,b 取不同值而取不同值 3.集合A ,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3},当A ≠B 时,(A ,B )与(B ,A )视为不同的对,则这样的(A ,B )对的个数是( ) (A )8 (B )9 (C )26 (D )27 4.若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ,当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,若c -a 等于AC 边上的高h ,则sin C -A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6.设m ,n 为非零实数,i 为虚数单位,z ∈C ,则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( ) 二、填空题(每小题5分,共30分) 1.二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D) 自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手,掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点:试题难度高于高考,有的达到竞赛难 度,试题灵活,毫无规律可寻,但各个学校有自己命题风 格。一般说来,各高校对后续性的知识点:如,函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略:1、注重基础:一般说来,自主招生中,基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面,自主招生中,有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手,并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题: 1.已知函数,且没有实数根.那么是否有实数根?并证明你的结 论.(08交大) 2.设,试证明对任意实数: (1)方程总有相同实根; (2)存在,恒有.(07交大) 3.(06交大)设 (05复旦)在实数范围内求方程:的实数根. 5.(05交大)的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数, 求a,b,c的值. 6. 解方程:.求方程(n重根)的解.(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足 ,则称这个函数时下凸函数,下列函数 (1)(2) (3)() (4) 中是下凸函数的有-------------------。 A.(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. (06复旦)设x1,x2∈(0,),且x1≠x2,下列不等式中成立的是:(1) (tanx1+tanx2)>tan; (2) (tanx1+tanx2) 2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2>4},21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = ( ) A .{x |1<x ≤2} B .{x |-2≤x ≤1} C .{x |-2≤x <1} D .{x |x <2} 2. (2010··重庆四月模拟试卷) 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 ( ) A. ()12, B. []14, C. [)12, D. (]12, 3. (理)(2010·全国卷I )记cos(80)k ? -=,那么tan100?= ( ) A.k B. k - D. (文)(2010··全国卷I )cos300? = ( ) A 12- C 12 D 4(理)(2010·宣武一模)若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且1122π 3 S =,则6tan a 的值为( ) A B .C . D . 4.(文)(2010·茂名二模)在等差数列{}n a 中,已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = ( ) A .19 B .20 C .21 D .22 5. (2010·太原五中5月月考)在等比数列}{n a 中,前n 项和为n S ,若63,763==S S 则公比q 等于( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3 6. (2010·曲靖一中冲刺卷数学)函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x ∈(0,1)时,f(x)= x +1,则函数f(x)在(1,2)上的解析式为 ( ) A .f(x)= 3-x B .f(x)= x -3 C .f(x)= 1-x D .f(x)= x +1 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明:(1)请各位同学注意,本试卷题目有一定的难度,你要根据自己的情况量力而行,争取用最短的时间获得最多的分数,提高自己的考试效率!考试,比的不仅是知识和能力,更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值,争取把会做的题目都做对,祝你取得好成绩! (2)请在背面的答题纸上作答。另外,答完题后注意保护好自己的答案,防止他人的不劳而获,要做到公平竞争! 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)。每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里,不填、多填或错填都得0分。 1.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图.图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ,B 点表示四月的平均最低气温约为5C o .下面叙述不 正确的是 A .各月的平均最低气温都在0C o 以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均气温高于20C o 的月份有5个 2.上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象,由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A .1x <-或5x > B .5x > C .15x -<< D .无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A . 115 B . 815 C .18 D . 130 4.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-,则ABC ?的面积为 A B C D 5.上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积... (表面面积,也叫全面积)为 A .20π B .24π C .28π D .32π 参考公式:圆锥侧面积S rl π=,圆柱侧面积2S rl π=,其中r 为底面圆的半径,l 为母线长. 6.如下图,在ABC ?中,AB AC =,D 为BC 的中点, BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =, 则AE = A B C D 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =,2c =,2cos 3 A =,则b = A B C .2 D .3 8.如下图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短..路径条数为 A .9 B .12 C .18 D .24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 高三数学第一次月考试卷(集合、函数) 班级: 学号: 姓名: . 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I={0} C. R ∩I=φ D. CcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = ( ) A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足{a ,b }UM={a ,b ,c ,d }的所有集合M 的个数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P :x ∈A B ,则 P 是( ) A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明:“若m ∈Z 且m 为奇数,则()1122 m m --± 均为奇数”,其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ,则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件:命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 ( ) A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<,则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<,则a ,b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,1()()3 x f x =,那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =,4log 3b =,2 0.3c -=,则a ,b ,c 的大小关系是( ) 高三数学第一次月考试题(文科) 一、选择题(四个选项中只选一项,每小题5分,共60分) 1. 设集合V={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ?(CuB )= ( ) A. {2} B. {2,3} C. {3} D.{1,3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件,S 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 ( ) A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 ( ) A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ,则此数列前20项和等于 ( ) A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax <6的解集为(-1,2),则实数a 等于 ( ) A. 8 B. 2 C. -4 D.-8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 ( ) A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书,全部分给4名学生,每名学生至少1本不同分法的种数为 ( ) A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P 则||2PF = ( ) A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1,2)、B (3,1)则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ,则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 ( ) A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题(每小题4分,共16分) 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。(用数字作答) 14. 设x 、y 满足约束条件,?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一.选择题(36分,每小题6分) 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞,-1) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3,+∞) 解:由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3,令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3,故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142,则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解:B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解:A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ,B 两点,该圆上点P ,使得⊿PAB 面积等于3,这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解:设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π ),即点P 1在第一象限的椭圆上,如图,考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方,显然在直线AB 的下方有两个点P ,故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50},若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象,且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100),则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解:不妨设b 1【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15
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