平面向量的综合分析与应用专题
一、课前概述：
①出题方向：向量这个知识点一般单独成题的话会出现在选择和填空里面，有时简单有时比较难，大题中一般跟圆锥曲线结合的比较多。
②思路点拨：很多时候学生都认为向量内容比较烦，找不到思路，缺乏方向感。其实关键内容是没有理清知识点的真实含义以及出题人的意图和出题人打算考察的方向，仅仅凭着感觉来做题，平时缺乏方法的积累，结果导致正式考试时时间不够（其实不仅仅是这个内容，很多内容都是一样的，都有类似的题型做过，但是就缺乏变形应用）。 ③平面向量这个知识又以数量积的考察为重点，难点是对题目所给条件的分析与理解，依据所要求的内容进行合理地灵活转换。
④平时做该知识的试题时要明确做题主线，借助条件再灵活应用（因为一般一道题不止一种解题方法，有时会有两三种，但是要把握好大的做题方向，也就是说这类题的最常用解题方法） 二、知识要点及典例分析： （一）、平面向量的基本概念：
1、已知ABCDEF 为正六边形，若向量)1,3(-=AB ，则=-DE DC ；EC FE +=
（用坐标表示）．
2、在ABC ?中，1,3,AB AC AB AC BC ==+=
若，则其形状为_ _；若R ∈?λ使2≤-AC AB λ成立,
则AB AC ?
的范围是 （①锐角三角形 ②钝角三角形③直角三角形，在横线上填上序号）；
3、已知向量,a b 满足3,23a b == ，①若||33a b += ，则向量,a b 夹角余弦值为 ，②若()a a b ⊥+
，则b
在a
方向上的投影为 .
4．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，能使
b
b a
a =
成立的是（ ）
A ．b a -=
B ．a ∥b
C ．b a 2=
D ．a ∥b 且b a =
5．设两个向量22
(2,cos )a λλα=+- 和,sin 2m b m α??=+ ???
，其中m
λα，，为实数,若2a b = ，则λ的取值范围是 A.3,22??-
???? B.32,2??
-???? C. 32,2??--???? D. 3,22??
????
6．已知点P 为ABC ?所在平面内一点，边AB 的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+
，其中R λ∈，则P 点一定在 A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上 D ．ABC ?的内部 （二）、平面向量基本定理：
1．在直角三角形ABC 中，0
90C ∠=，2AB =，1AC =，若32AD AB = ，则CD CB ?=
．
2．已知0AB BC ?= ，1AB = ，2BC = ，0AD DC ?=
，则BD 的最大值为（ ）
A. 2
55
B. 2
C. 5
D. 25 3、在等腰ABC ?中90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====
，3AC AE = ，则AD BE ? 的值为 （ ）
A ．43
-
B ．13-
C ．13
D ．43
4、如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =?=
，则AB AD ?
的值是
（三）、三点共线：
1、若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab 1，满足22
sin cos OC OA OB a a =+ （O 为原点），则11a b
+=（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）12 （D ）1
3
2．已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ?直线l ，实数x 满足关系式2
20x OA xOB OC ++= ，有下列结论
中正确的个数有（ ）
①20OB OC OA -?≥ ；②20OB OC OA -?<
；③x 的值有且只有一个；④x 的值有两个；⑤点B 是线段AC 的中点．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个[来
3．已知平面向量,()αβαβ≠ 满足2α= ，且α 与βα- 的夹角为120?
，t R ∈，则(1)t t αβ-+ 的最小值是______．
4、已知平面向量,()αβαβ≠满足||3α=
且α与 βα-150?的夹角为
，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 _ . 5、已知两个向量a ，b 的夹角为30°，3=a ，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 则c 的最小值为 ．若
c b ?=0，则t = .
6、设||||2OA OB == ，∠AOB=60°，OP OA OB λμ=+
，且λ+μ＝2，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 .
（四）、平面向量的数量积：
1．已知向量,a b 满足3,23a b == ，且()a a b ⊥+
，则b 在a 方向上的投影为 ．
2、已知平面向量,1),3,1(=-=→
→
→
b a a 则→
b 的取值范围是（ ） A. []1,0 B.[]3,1 C.[]4,2 D.[]4,3
3．已知向量a 、b 满足1a = ，)4,3(=b ，且()0a b R λλ+=∈
，则λ=________。
4、已知平面向量b c b a c b a c b a 与，的夹角为与且满足0
135,0,,=++的夹角为0120，==a c 则,2
5、已知向量,a b 的夹角为45?
，且1a = ，210a b -= ，则b =
（ ）
A.
2 B. 2 C. 22 D. 32 6．已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b a -== ，向量c a - ，c b - 的夹角为23
π
，23c a -= ，则a b - 与c b - 的
夹角正弦值为 ，c =
．
7、已知,a b 为平面向量，若a b + 与a 的夹角为3π，a b + 与b 的夹角为4π
，则a b
=( )
A.
33 B. 63 C. 53 D.
64 8．已知在ABC ?中，()
230BA BC CB -?=
,则角A 的最大值为（ ）
A ．
6π B. 4π C. 3π D. 2
π
变式：在ABC ?中，()
CB AC AB ⊥-3，则角A 的最大值为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 9．在ABC ?中，D 是BC 边上一点，3BD DC =，若P 是AD 边上一动点，且2AD =，则(3)PA PB PC +
的最小值为
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
10．设非零向量a 与b 的夹角是6
5π，且b a a +=,则b tb a +2的最小值是 .
11、平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1?=a e ，2?=b e ，||2-=a b ，则?a b 的最小值为 ．
12．定义(,)||d a b a b =- 为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b 满足：①||1b =
；②a b ≠ ；③对任意的t R ∈，
恒有(,)(,)d a tb d a b ≥
，则（ ）
A ．（A ）a b ⊥
B ．（B ）()a a b ⊥-
C ．()b a b ⊥-
D ．()()a b a b +⊥-
13．已知两个非零平面向量b a ,满足：对任意R ∈λ恒有b a b a 2
1
-
≥-λ，则：①若4=b ，则=?b a ；②若b a ,的夹角为3π
，则b
b t a ?-2的最小值为 .
（五）、平面向量中三角形外心及重心：
1、已知O 是ABC ?外心，若2155
AO AB AC =+
，则cos BAC ∠= ．
2、已知O 是ABC ?的外心,2,3AB AC ==,若AO xAB y AC =+
且21x y +=,则cos BAC ∠=____________
3．已知O 为ABC ?的外心，=16AB uu u v ，=102AC uuu v
，若=AO xAB yAC +u u u v u u u v u u u v ，且32x +2525y =，则=OA uu v （ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
4、设O 是ABC ?外接圆的圆心,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2
2
20b b c -+=,则BC AO ?uu u r uuu r
的范围是______
5．已知ABC ?满足4,3==AC AB ，O 是ABC ?的外心，且()R AC AB AO ∈-+=λλ
λ2
1，则ABC ?的面积
是
6、已知O 为ABC ?的外心， 120,2,4=∠==BAC AC AB 。若AC AB AO 21λλ+=，则=+21λλ___________.
7、（2016届效实中学第一学期期中考）已知O 为三角形ABC 的外心，2
2,,120AB a AC BAC a
==
∠= ，若AO x AB y AC
=+
，则36x y +的最小值为 . 8、 在△ABC 中，
(1)若点P 在△ABC 所在平面上，且满足1233CP CA CB =+uu v uu v uu v ，则||
||PA PB =
_________ (2) 若点G 为△ABC 重心, 且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=
，则B ∠=___
(3)若点O 为△ABC 的外心，22,(0),120AB m AC m BAC m
==>∠=o
,且AO xAB y AC =+ (x ,y 为实数)，则x y +的
最小值是__________
9．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →
，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心
三、：特殊题型解题思路分析：
类型一、有关圆中的向量问题（通常转换到圆心）【原理：控制单一变量及三角函数的有界性】
1、（浙江省名校新高考研究联盟2014届第二次联考）设Q 是半径为1的圆上一个动点，若MN 是该圆的一条动弦，且|MN|=2,则?→???→?MN MQ 的取值范围是
2、（2014届金华“十校”联考）如图，已知：|AC |=|BC |=4，∠ACB =90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动
点，则AM DC ? 的最大值是 _．
3、如图，已知圆M ：4)3()3(2
2
=-+-y x ，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E ，F 分别为边AB ， AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，OF ME ?的取值范围是（ ）
(A) ]26,26[- (B) ]6,6[- (C) ]23,23[- (D) ]4,4[-
变式：已知圆M ：4)3()3(2
2
=-+-y x ，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，点E 为边AB 的中点，点F 为边
y
x
E
F D
B
C
M
O A
A
B
C
M
D
y o
A B
C
M
E
F
x
D
C
M
B
A
O
M
E
A
B
C
D
AD 上的一个动点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，OF ME ?的取值范围是
4、如图，已知圆M ：4)3()3(22=-+-y x ，ABC ?为圆M 的内接正三角形，E 为边AB 的中点，当正ABC ?绕
圆心M 转动，且F 是AC 边上的中点，OF ME ?的最大值是 .
5、如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP ?AP 的取值范围是 .
6、如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点D C ,分别在线段OB OA ,上，且.BD OC =若1=OA ，120AOB ?
∠=，
则MD MC ?的取值范围是 ．
7、如图，等边△ABC 的边长为2，△ADE 也是等边三角形且边长为1，M 为DE 的中点，
在△ABC 所在平面内，将△ADE 绕点A 旋转一周，则BD AM
的最大值．．．
为 A ．
34 B ．3
34
+ C ．334+
D ．3234+ 8、已知点O 为坐标原点，ABC ?为圆1C :22(1)(3)1x y -+-=的内接正三角形，则()
OC OB OA +?的最小值
为 .
9、已知ABC ?是边长为32的正三角形，EF 为ABC ?的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ?的边上的动点，则
FM ME ?的最大值为 .
10、已知点O 为坐标原点，ABC ?为圆1C :22(1)(3)1x y -+-=的内接正三角形，则()
OC OB OA +?的最小值
为 .
类型二、有关直角三角形中的向量问题（通常取边的中点）【原理：边的中点是边的一半，便于向量的运算】 1、如图，等腰Rt △ABC 直角边的两端点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上移动,若|AB |=2,则OB OC ?
的最大值是
_．
2、如图，线段2AB =，点,A B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动．以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，
1BC =．设O 为原点，则OC OD ?
的取值范围是_________．
3．点A 在单位正方形OPQR 的边,PQ QR 上运动，OA 与RP 的交点为B ，则OA OB ?
的最大值为
C A
B
P
4、（浙江省鄞州区余姚市2014届高三高考5月模拟）如图，边长为2的正三角形ABC 的两个顶点,A B 分别在,x y 轴的正半轴上滑动，MB AM 2=,求OC OM ?的最大值是__ ．
5、（理）设ABC ?的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则2MB MC BC ?+ 的最小
值为_____________．
（文）设正ABC ?的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则2
MB MC BC ?+ 的最小
值为_____________．
6、边长为2的正三角形ABC 内(包括三边)有点P ，1=?PC PB ,求AB AP ?的范围 . 四、综合知识练习：
1、设||||2OA OB == ，∠AOB=60°，OP OA OB λμ=+
，且λ+μ＝2，则OA 在OP 上的投影的取值范围是
2、若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +?==
,则1234a a a a +++ 可能值有 ( )
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5个
3．在ABC ?中，D 是BC 边上一点，3BD DC =，若P 是AD 边上一动点，且2AD =，则(3)PA PB PC +
的最小值为
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
4．已知向量,,a b c 满足4,22,a b == a 与b 的夹角为4
π，()()1c a c b -?-=- ，则c a - 的最大值为
（A ）1
22
+
（B ）212+
（C ）
21
2
+ （D ）21+ 5．（2014年浙江高考）设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为6
π
，则x b 的最大值等
于 ．
7．如图，在平面上有一个四边形ABCD ，已知BD BC =，且3=AC ，2=AD ，那么=?CD AB
8、在△OAB 中,C 为OA 上的一点,且2,3
OC OA D =
是BC 的中点,过点A 的直线l ∥OD,P 是直线l 上的任意点,若
12OP OB OC l l =+
则12l l -=___________.
9．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则BD AC ?＝（ ） A ．a 2－b 2 B ．b 2－a 2 C ．a 2＋b 2 D ．ab
10、已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ ,=(1)AQ AC λ- ,R λ∈,若3
=2
BQ CP ?- ,则=λ（ ）
A ．
12 B ．122± C ．1102± D ．
322
2-±
11、平面向量→
→→e b a ,,满足1||=→
e ，1=?→→e a ，2=?→→e b ，2||=-→→b a ，则→
→?b a 的最小值为（ ） A.
1
2
B.45
C. 1
D. 2
变式1：设a ，b ，e 为平面向量，若1=e ，1=?e a ，2=?e b ，2=-b a ，则b a +的最小值为 ，b a ?的最小值为 。
变式2：平面向量e b a ,,满足2,2,1,1=-=?=?=b a e b e a e ，当a = ，b =
时，b a ?的最小值为 ． 12．设,21==b a ，
若向量c 满足b a b a c -=+-)(，则c 的最大值是 13．已知向量a ,b ,c ，满足|a |=|b |=|a ?b |=|a +b ?c |=1，记|c |的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =( ) A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
14、如图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，AD =DC =1， P 是线段BC 上
一动点，Q 是线段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==- ，则AP AQ ?
的
取值范围是 ．
16、已知OA 与OB 的夹角为?60,32,2==OB OA ,OB OA OP μλ+=,若,23=+μλ 则OP 的最小值为
C D
A
B
（第7题图）
A
B
C
D
17．已知ABC ?中，BC=3，AC=4，AB=5点P 是三边上的任意一点，m=PA PB ?
，则m 的最小值是（ ）
A.-25
B. 254-
C. 9
4
- D.0 18、已知非零向量c b a ,,满足2,1=-=+≥b a b a a ，3)()(=-?-b c a c ，则c 的最小值是 ，最大值是 19．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2=?==OB OA OB OA ，则OB OA ,的夹角为 ；点集
},,1,{R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ所表示的区域的面积是 .
20． 已知向量是单位向量,a b ，若a ·b =0，且|||2|5c a c b -+-= ，则|2|c a +
的取值范围是（ ）
A ．[1,3]
B ．[23,3]
C ．[
65
5
,22] D ．[
65
5
,3][] 21、菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=
，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC
m =．若1A E A F ?= ，2
3CE CF ?=- ，则l m += （ ）
A.12
B.23
C.56
D.712
22、在三角形ABC 中，AB=2， 7=AC ,5=BC ,点D 、E 分别在边AC,BC 上，且
DA
CD EC
BE =
，则BD AE ?的
最大值为____________
23、在等腰梯形ABCD 中，已知AB 平行CD ，2,1,60AB BC ABC ==∠=
，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，
且1,9BE BC DF DC λλ
== ，则AE AF ?
的最小值为 。 24．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,
2,1,60,AB BC ABC ==∠=
点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC == 则AE AF ?
的值为 ．
25．设O 在△ABC 内部，且20OA OB OC ++=
，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( )
A ． 3:1
B ． 4:1
C ． 5:1
D ． 6:1
26．在ABC ?中,已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=
,P 为线段AB 上的点,且
|
||
|CB CB y CA CA x CP ?
+?
=，则
y
x x 343+的最小值为__________。 27．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()cos cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++??
，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心．
28．已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2PA PB -= ，25PA PB -= ，PA PC PB PC
PA PB
??=
，
I 为PC 上一点，且()(0)AC AP BI BA AC AP λλ=++> ，则BI BA BA
?
的值为（ ）
A ．5
B ．2
C ．15-
D ． 0
29、设数列{}n x 的各项都为正数且11x =．如图，△ABC 所在平面上的点n P (n ∈N *)均
满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3∶1，若11(21)3n n n n n x P C P A x P B +++=
，则x 5的值为( )
A ．31
B ．33
C ．61
D ．63
30、在等腰梯形ABCD 中，已知AB 平行CD ，2,1,60AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，
且1,9BE BC DF DC λλ
== ,则AE AF ?
的最小值为 。 31．已知a b ⊥ ，2c a b =+ ，若||10c =
，则c 与a b + 夹角的余弦值的最小值等于 ．
32．设不共线的向量,αβ ，||2α= ，||1β= ，则向量α 与αβ-
的夹角的取值范围是______；
33．已知非零向量a ，b 满足||1a = ，且a 与a b - 的夹角为30°，则||b 的取值范围是 ．【答案：1
[,)2
+∞】
34、已知b a ,满足1,5≤=b a 且214≤-b a ,则b a ?的最小值为 . 【答案：
】
35、已知单位向量a ，b 的夹角为
3
π
，设向量x y =+c a b ，x ，y ∈R ，若1--=c a b ，则2x y +的最大值为 ． 36、设点G 是ABC ?的重心，若
120=∠A ， 1-=?AC AB ，则AG
的最小值是 （ ）
A ．
43 B ． 32 C ．32
D ．3
3 37、在ABC ?中，2,6CA CB ==，60ACB ∠=
. 若点O 在ACB ∠的角平分线上，满足OC mOA nOB =+
，,R m n ∈，
且20
1
41-≤≤-n ，则OC 的取值范围是
A B
C
P n