2010年中考数学分类（含答案）
解直角三角形应用
一、选择题
1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树
的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题
1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .
【答案】
tan tan m n αα
-?
2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C
处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈ 732.13≈）
(第15题)
【答案】82.0
3．（2010江西）如图，从点C测得树的顶角为33o，BC＝20米，则树高AB＝米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【答案】0.13
4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S 在船的北偏东
30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在
船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中
距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。
5．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】15
6．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）
7．（2010辽宁沈阳）若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰梯形ABCD 的面积为 。 【答案】3或
3
3
8．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB 的坡度1i =
则该坡的坡角α= .
【答案】30°
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．2
）m B ．（32
）m
C ．
m D ．4m
【答案】A
9．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了
A ．5200m
B ．500m
C ．3500m
D ．1000m
图5
10．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1BC与水平宽度
AC之比），则AC的长是（）
A．B．10米C．15米
D．
【答案】A．
三、解答题
1．（2010安徽省中中考）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据：7.1
3 ）
【答案】
2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高CH的长．
解：
【答案】
3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）
45°
39°D C
A
E B
【分析】（1）由于∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，因此△ABC 是等腰直角三角形，所以AC ＝AB ＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE ＝AC ＝610米，在Rt △BDE 中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE 的长，用AB 的长减去BE 的长度即可． 【答案】（1）由题意，AC ＝AB ＝610（米）；
（2）DE ＝AC ＝610（米），在Rt △BDE 中，tan ∠BDE ＝BE DE
，故
BE ＝DE tan39°．
因为CD ＝AE ，所以CD ＝AB －DE ·tan39°＝610－610×
tan39°≈116（米）
答：大楼的高度CD 约为116米． 【涉及知识点】解直角三角形
【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．
4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.
（1）求新传送带AC 的长度；
（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)
【答案】（1）如图，作AD ⊥BC 于点
D ……………………………………1分
Rt △ABD 中，
AD =AB sin45°=4
2222
=?
(2)
分
在Rt △ACD 中，∵∠ACD =30°
∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分 即新传送带AC 的长度约为6
.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪
走． ……………………………………5分
解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=4
2222
=?
……………………6分
在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=
6223
24=?
∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1 ∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜
2 ………………………………7分
∴货物MNQP 应挪
走． …………………………………………………………8分
5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°.求树的高度AB 。
（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 【答案】
6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）
光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．
1.732 ）
【答案】过C 作CD ⊥AB 于D 点，
（第23题）
由题意可知AB=50×20=1000m，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°，∵AD+BD= CD/tan30°+ CD/tan45°=1000，
解得CD
1-）m≈366m．
7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30o，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45o．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m）．
【答案】解：设AB、CD的延长线相交于点E
∵∠CBE=45o CE⊥AE∴CE=BE………………………（2分）∵CE=26.65-1.65=25 ∴BE=25
∴AE=AB+BE=30 ……………………………………………（4分）在Rt△ADE中，∵∠DAE=30o
∴DE=AE×tan30 o =30×
3
3
=10 3 …………………（7分）
A B C D
E
∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10× 1.732=7.68≈
7.7(m) ……………（9分）
答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ……………………（10分） （注：不作答不扣分）
8．（2010山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB
＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户
C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小
明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）
（参考数据：o o o o 33711
sin37tan37sin 48tan485
4
1010
≈≈≈
≈，，，）
【答案】
A
B
C D
E
A
解：设CD = x ． 在Rt △ACD 中，
tan37AD
CD
?=
， 则34AD x =， ∴34AD x =.
在Rt△BCD 中， tan48° =
BD
CD
， 则1110
BD x
=， ∴1110
BD x =
.
(4)
分
∵AD ＋BD = AB ， ∴311804
10
x x +=．
解得：x ≈43．
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． (6)
9．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平地面上。 （1） 改善后滑滑板会加餐长多少米？
（2） 若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板
的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。 1.414= 1.732= 2.449=，以上结果均保留
到小数点后两位）。 【答案】
10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测
教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB ．
A
B
C
D
30
45
第20题图
【答案】
解：在Rt △AFG 中，tan AG AFG FG
∠=
∴tan AG FG AFG =
=
∠……………（2分）
在Rt △ACG 中，
tan AG
ACG CG
∠=
∴tan AG CG ACG
=∠…………（4
分）
又 40CG FG -= 即
40
=
∴AG =…………………………（7分）
∴ 1.5AB =（米）
答：这幢教学楼的高度AB
为 1.5)米．（8分）
11．（2010浙江杭州）(本小题满分10分)
如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位
于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.
(1) 说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间.
【答案】
(1) 作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,
由条件知, PB = 320, BPQ = 30°, 得BH= 320sin30° = 160 < 200,
∴本次台风会影响B市. ---4分
(2) 如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束.
由（1）得BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200,
∴P 1P 2 = 2
22160200-=240,
--- 4分
∴台风影响的时间t =
30
240= 8(小时).
--- 2分12．（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD ，如图（单位：米）．设路基高为h ，两侧的坡角分别为α和β，已知2=h ，?=45α，2
1tan =β，10=CD ．
（1）求路基底部AB 的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？
【答案】1）作AB DE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，则2==CF DE ，
在Rt △ADE 中，∵
?
=45α，∴
2==DE AE ．
在Rt △CFB 中，∵2
1tan =β，∴2
1
=
BF
CF
，∴42==CF BF ． 在梯形ABCD 中，又∵EF ＝CD ＝10， ∴AB ＝AE ＋EF ＋FB ＝16（米）． …6分 （2）在梯形ABCD 中，∵AB ＝16，10=CD ，2=DE ， ∴面积为262)1610(2
1)(2
1=?+=?+DE AB CD （平方米），
α
β
A
B
C
E
D F
（第21题）
α
β
A
B
C
D （第21题）
∴修筑1000米路基，需要土石方：26000100026=?（立方米）． …4分
13．（2010浙江绍兴）如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一
个气球,分
别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球 沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气 球的仰角为45°.
（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；
（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）
.
【答案】
解:(1) 作CD ⊥AB ,C /E ⊥AB ,垂足分别为D ,E.
∵ CD ＝BD ·tan60°,
CD ＝（100＋BD ）·tan30°,
∴（100＋BD ）·tan30°＝BD ·tan60°, ∴ BD ＝50, CD ＝503≈86.6 m ，
∴ 气球的高度约为86.6 m.
第20题图
第20题图
(2) ∵ BD ＝50, AB ＝100, ∴ AD ＝150 ,
又∵ AE ＝C /E ＝503, ∴ DE ＝150－503≈63.40， ∴ 气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.
14．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两
棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．
（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?
【答案】(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC
AB =
25
.44≈0.94，
∴∠D ≈20°．
（2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， 共需台阶28.9×100÷
17=170级．
15．（2010山东聊城）建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶P 处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A 点的俯角为60o，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30o（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号）
（第19题）
第20题图
A P
O B
图②
【答案】由题意知∠PAO ＝60o，∠B ＝30o，在Rt △POA 中，
t a n PO PAO OA
∠=
，30tan 60OA
?=
，
OA ＝30
，在在Rt △POB 中，
tan PO B AB
=
，30tan 30OA
?=，
OA ＝30
3
＝，∴AB
＝OB －OA
＝
－
16．（2010湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60和45．求路况显示牌BC 的高度．
【答案】解：在Rt △ABD,AB ＝3m ，∠ADB ＝45°所以
33
3tan tan 451
AB AD ADB =
===∠．
Rt △ACD 中，AD ＝
3m ，∠ADC ＝
60°所以
tan 3tan 603AC AD ADC ==?==所以路况显示牌BC 的高度为
()3m．
17．（2010浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离.
(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,
tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）全品中考
网
【答案】解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）
的
4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)
数学中考试题分类大全应 用题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
(2008年安徽省)某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。 20．（2008年芜湖市）在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天比原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷 河北周建杰分类 （2008年泰州市）15．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的元，则平均每次降价的百分率是． （2008年泰州市）24．如图某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i （即 tan）为1︰，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1︰，已知堤坝总长度为4000米． （1）求完成该工程需要多少土方（4分） （2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方（5分） （2008年南京市）25．（7分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2 288m 第24题 （第25 题） 蔬菜种植区域 前 侧 空 地
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
解直角三角形 知识要点： 1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边 的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系： 如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、 解直角三角形 3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用 转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长． 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，
例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值． 例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值． 例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积． 例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 二：可解的非直角三角形的类型与解法 解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考． 一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1
中考方程的应用题 解应用题的一般步骤： 解应用题的一般步骤可以归结为：“设、列、解、验、答”. 1、“设”是指设元，也就是未知数.包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数（较难的题目）. 2、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. 3、“解”就是解方程，求出未知数的值. 4、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义. 5、“答”就是写出答案（包括单位名称）. 应用题类型： 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分 比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等. 几种常见类型和等量关系如下： 行程问题： 基本量之间的关系：路程=速度X时间，即：s = vt . 常见等量 关系： （1）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来 甲、乙相距的路程. ⑵追及问题（设甲速度快）： ①同时不同地：甲用的时间二乙用的时间；甲走 的路程一乙走的路程=原来甲、乙相距的路程. ②同地不同时：甲用的时间=乙用的时间一时间差；甲走的路程=乙走的路程. 2、工程问题： 基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工 作量=甲、乙合作的工作总量. 3、增长率问题： 基本量之间的关系：现产量=原产量X （1 +增长率）. 4、百分比浓度问题： 基本量之间的关系：溶质二溶液X浓度. 5、水中航行问题： 基本量之间的关系：顺流速度=船在静水中速度+水流速度; 逆流速度=船在静水中速 度-水流速度. 6市场经济问题: 基本量之间的关系：商品利润=售价一进价； 商品利润率=利润十进价； 利息二本金X利率X期数；本息和二本金+本金X利率X 期数. 中考一元二次方程应用题例析
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
第19章解直角三角形 19、1 测量 教学目标 使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。 教学过程 一、引入新课 测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢? 二、新课 1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图) 课上阐述测量旗杆的方法。 第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长 度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如 图所示) 由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ ACB∽△A1C1 B1，因此，BC AC＝B1C1 A1C1，则BC＝ AC×B1C1 A1C1，即可求得旗杆 BC的高度。 如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l的长度,便可以计算旗杆的实际高度。 由画图可知: ∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ ABC＝∠A1B1C l＝90° ∴△ABC∽△A l B1C l ∴B l C1＝ 1 500 ∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。 2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度) 三、小结 本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。 四、作业 1．课本第99页习题19．1。 2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目，举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角 度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义：
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B=b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 例2（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC ． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
初三数学解直角三角形 1、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据 （1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°． （3）边角之间的关系： 例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC． （1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长． 3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示： 例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间 的距离．（精确到1m．参考数据） 4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置； 2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； 3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路 上是否超速行驶（本问中取1.7） 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（） A．B． C． D．6 2、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为0.8，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5 C．2和4 D．4和10 3、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．
2019年中考数学复习专题分类练习---应用 题 1．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？2.学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元． （1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？ （2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？ 3.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 4.某工程指挥部要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中 ；若由得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2 3甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算 的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 5.某经销商销售台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系： 设当单价从38元/kg下调了x元时，销售量为y kg． (1)写出y与x间的函数关系式． (2)如果凤梨的进价是20元/kg，某天的销售价定为30元/kg，问这天的销售利润是多少？ (3)目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（7天），凤梨最长的保存期为一 个月（30天），若每天售价不低于30元/kg，问一次进货最多只能是多少千克？ 6.有大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨，求每辆大车和每辆小车一次分别可以运货多少吨？ 7.为了提高天然气使用效率,保障居民的本机用气需求,某地积极推进阶梯式气价改革,若一户居民的年用气量不超过300m3,价格为2.5元/m3,若年用气量超过300m3,超出部分的价格为3元/m3，
初中数学解直角三角形八
第十一章解直角三角形 考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：?BC= 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下：?CD=21AB=BD=AD D为AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边 c的平方，即2 2c 2 a= + b 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是 两直角边在斜边上的摄影的比例中 项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22 c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin = ∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记为cosA ，即c b cos =∠=斜边 的邻边A A
中考数学应用题专题训练
中考数学应用题专题训练 类型一：二元一次方程组 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即审(审题)，设(设未知数)，列(列方 程)，解(解方程)，检(检验)，答。 1.;以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个. (1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个？ (2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？
2、小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%”； 小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．
3、用一根绳子环绕一个圆柱形油桶，若环绕油桶3周，则绳子还多4尺；若环绕油桶4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕油桶一周需要多少尺？
4、儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
类型二：一元二次方程 1、某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%.在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元. （1）求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率.（精确到0.1%）
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
中考母题 （1）中考应用题 列方程（组）解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程（组）解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所 给出的全部条件（包括所求的量）都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表 现出来的明显的相等关系，如“多”、“少”、“快”、“慢”等,另 一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此 时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到. 解应用题的一般步! 解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答” 1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系, 审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意. 2、“设”是指设元，也就是未知数.包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数 （较难的题目）. 3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的 一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. 4、“解”就是解方程，求出未知数的值. 5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义. 6、“答”就是写出答案（包括单位名称）. 应用题类型： 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题, 百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等. 几种常见类型和等量关系如下： 1、行程问题： 基本量之间的关系：路程二速度X时间，即：s = w? 常见等量关系： （1）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程二原来甲、乙相距的路程. （2）追及问题（设甲速度快）: ①同时不同地： 甲用的时间=乙用的时间; 甲走的路程一乙走的路程=原来甲、乙相距的路程. ②同地不同时：甲用的时间=乙用的时间一时间差; 甲走的路程=乙走的路程. 2、工程问题： 基本量之间的关系：工作量二工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量. 3、增长率问题: 基本量之间的关系：现产量二原产量X（l+增长率）. 4、百分比浓度问题: 基本量之间的关系：溶质二溶液X浓度. 5、水中航行问题: 基本量之间的关系：顺流速度=船在静水中速度+水流速度;
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）