知识点：锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，直角三角形的有关计算，测量问题，方位角问题，仰角、俯角问题
（1）(2008年湖南怀化)已知△中，，3cosB=2，AC=，
则AB= 6 ．
（2）（2008乌鲁木齐）．将点向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点
的坐标是
（3）（2008年徐州市）14.边长为a的正三角形的面积等于___________.
（4）（2008年龙岩市）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tan B=，
则CD∶DB= 1∶2 .
▲
（5）（2008年江苏省迁宿市）已知直角三角形两条直角边的长是和，则其内切圆的半径是___1___．
（6）（08江苏连云港）在中，，，，则
．
（7）(2008年江苏省宿迁市)已知为锐角，且，则等于（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
（8）(2008年山西省)王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60 o, 又知水平距离BD=10m，楼高AB=24 m，则树高CD为（A）
A．m B．m C．m D．9m
（9）（2008四川乐山）如图（3）AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=（A）
A、B、Ｃ、Ｄ、
（10）（2008年龙岩市）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ A ）A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≥1
（11）.(2008年南充市) 二次函数的图像如图所示，则点在（C ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（12）（2008年江苏省迁宿市）已知为锐角，且，则等于（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
（13）(2008年湖南怀化)某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示，
，斜坡长，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，问
至少是多少米？
（14）（2008年江苏省迁宿市）有一底角为的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰
长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
答案23．解：当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是．
（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）
（15）（2008哈尔滨市）如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图a、图b、图c是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图a、图b、图c的方格纸上。
要求：（l）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合。
（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹。
答案
25．3种拼法各2分
（16）（2008乌鲁木齐）．如图7，河流两岸互相平行，是河岸上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸上的处测得，然后沿河岸走了100m到达处，测得，求河流的宽度的值（结果精确到个位）．
．解：过点作，交于
，
四边形是平行四边形
m，m，
又，故，m
在中，m
答：河流的宽度的值为43m
（17）（云南省2008年）．（本小题10分）如图，在某海域内有三个港口、、．港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东的方向驶离港口3小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在处测得港口在处的南偏东方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．
解：连结AC、AD、BC、BD，延长AT，过B作于T，AC与BT交于点E．过B作于点P．
由已知得，，（海里），
在和中，，，
∴．
∵，∴，从而（海里）
∵港口C在B处的南偏东方向上，∴
在等腰中，（海里），∴．
是，∴．
综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时海里
则据题意应有，解不等式，得（海里）．
答：此船应转向沿南偏东的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．
（18）（2008绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北
偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向．
（1）求处到村庄的距离；
（2）求村庄到该公路的距离．（结果精确到0.1km）
（参考数据：，，，
）
答案：
解：过作，交于．
（1），，
，
，
即处到村庄的距离为70km．
（2）在中，
．
即村庄到该公路的距离约为55.2km．
（19）（2008台州）．如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知米，米，中间平台宽度为2米，为平台的两根支柱，垂直于，垂足分
别为，，．求和的水平距离．（精确到0.1米，参考数据：，）
解：设米．
，，
米，
米，
米，
米，米，米，
米，
在中，，，
，
即．
解这个方程得：．
答：支柱距的水平距离约为4.6米．
（20）（2008年辽宁省十二市）如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是 1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点
在同一条直线上）．
请求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数）
解：过点作于，过点作于
则
在中，，
设（不设参数也可）
，
在中，，
答：旗杆高约为12米
（21）（2008年佳木斯市）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点
为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）
，
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）求得
（3）；；；
（22）（哈尔滨市2008）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2。
（1）正确画出图
（2）正确画出图
（23）（哈尔滨市2008）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与x轴、y轴分别交
于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A′B′相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．
（1）求点D的坐标；
（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；
（3）若以动点为E圆心，以为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时。Tan∠EA′B′＝？
并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由。
解：（1）由题意知，，
，，．
，
过点作轴于点（如图1）
，
，，
．
设，则，
，．
，，
（2）设与轴交于点（如图2）四边形是平行四边形，
，．
又，
．
，，
，，．
，．
点是中点，
设线段所在直线解析式为．
把，代入，
得解得．
线段所在直线的解析式为
（3）设直线交轴于点（如图3），过点作轴于点．
，，，
，，
，．
过点作轴于点，
同理，
．
设直线的解析式为，
，解得．
直线的解析式为
，，．
当点在点左侧点位置时，过点作于点．
，设m，则m.
又，m，．
，，，此时
过点作于点．
，
，．
的半径为，而，
与直线相交．
当点在点右侧点位置时
过点作于点
同理此时
过点作于点
同理．
的半径为，
与直线相切
当或时，；
当时直线与相交，当时直线与相切．
（24）（2008镇江市）如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作矩形，使．
（1）求点，点的坐标，并求边的长；
（2）过点作轴，垂足为，求证：
；
（3）求点的坐标．
解：（1），，
在中，
（2）由，，
，又，
（3），
，即，
，．
．
（25）（2008徐州市）20.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）
参考数据： 1.414，
1.732
解：如图所示，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF分别交BC于点E、F，
所以△ABE、△CDF均为Rt△，又因为CD＝14，∠DCF＝30°，所以DF＝7＝AE，且FC
＝712.1
所以BC＝7＋6＋12.1＝25.1m．
．（26）（湖北省十堰市）(7分)海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
解：有触礁危险
理由：过点P作PD⊥AC于D
设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD=90°－45°＝45°．
∴BD＝PD＝x
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
∴
∵∴
∴
∵
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
（27）（08河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h 的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图12所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初
．．侵袭该城要经过多长时间？
解：（1），；
（2）过点作于点，如图2，则．
在中，，，
．．
，，
台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．
（28）（08眉山）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数
据：，）
答案：（本题满分8分）
解：如图，过点作交于点
探测线与地面的夹角为或
，
在中，
在中，，
（米）．
所以，生命所在点的深度约为2.6米．
（29） (2008年南通市)如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险？
解：过点P作PC⊥AB于C点，根据题意，得
AB＝18×＝6，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，
∴PC＝BC
在Rt△PAC中
tan30°＝＝
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
中考数学真题汇编:锐角三角函数 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，， 则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的 直径是( ) A.3 B.
C. D. 【答案】D 4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为 （） （参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后 两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海 里 C. 6.12海 里 D. 6.21海里 【答案】B
6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）
A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航 行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在 北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航 行________小时即可到达 (结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。 【答案】 11.如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到 ，若厘米，则的边的长为________厘米. 【答案】 12.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折， 使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.
23、锐角三角函数 要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 5 B ． 43 C ．4 D ．4 5 【解析】选C. tan α4 3 == 角的邻边角的对边αα. 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝ 1 3 ，则sin B ＝（ ） A B ．23 C ． 3 4 D ． 【解析】选D. 3 1 tan == AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=sin 10 AC B AB = = 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为 32.得AD=3. sin B =.3 2 sin ==AD AC D
4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A = B ．1 tan 2 A = C ．cos B = D ．tan B = 【解析】选D 在直角三角形ABC 中，1BC =，2AB =， 所以AC ；所以1 sin 2 A ＝ ，cos 2A ，tan 3A = ；sin 2B ＝，1cos 2 B ＝ ，tan B =； 5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =， 3AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ． 32 C ． 34 D ． 43 【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，得AB=2CD=4.∴sin B 4 3 == AB AC 6.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若AC = AB =tan BCD ∠的值为（ ） （A （B （C （D 答案：B A C B D