2016年下学期
浏阳一中、攸县一中高三文科数学学联考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}2430A x x x =-+<，{}
2|,R B y y x x ==∈，则B A ?=( ) A ．? B ．[)()+∞?,31,0 C ．（0,3) D ．(1,3) 2．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则Z 的虚部是( )
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程2
20x x --=的两个根，则5S =
A ．52-
B ．5-
C ．5
D ．52
4．已知命题:0p a b >>，命题:q a b a b +<+，则命题p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．三个数4
3log 、9
.01
.1log 、4
3.0的大小顺序是……（ ）
A 、43log >9.01.1log >4
3.0 B 、43log >4
3.0>9
.01.1log C 、9.01.1log >43log >4
3.0 D 、4
3.0>43log >9.01.1log
6.在ABC ?中，o o B A c 45,75,3===，则ABC ?的外接圆面积为（ ） A ．
4
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 7. 若函数y ＝x
a （a ＞0，且a ≠1）的值域为{y ｜0＜y ≤1}，则函数y ＝log a x 的图像大致是（ ）
8． 已知函数的定义域为)(x f ),2[+∞-，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数
)(x f y '=的图象如图所示. 则平面区域??
?
?
?<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是( )
A ．8
B ．5
C ．4
D ．2
9．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，
当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016
f （ ） A ．-12 B.-16 C.-20 D.0 10．定义运算：,,a a b
a b b a b
≤?*=?
>?．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A
．22?-???
B ．[]1,1- C
．2???? D
．1,2?-??? 11．已知数列{}n a ，若点*(,)()n n a n N ∈在经过点（5，3）的定直线l 上，则数列{}n a 的前9项和9S = ( ) A ．9
B ．10
C ．18
D ．27
12．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已
知函数()3211533212f x x x x =
-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ??
??????
++++= ? ? ? ?????????
（ ）
A ．2013
B ．2014
C ．2015
D ．2016 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数x y 5.0log =
的定义域为___________.
14．设等比数列{}n a 满足,1031=+a a ,542=+a a 则n a a a 21的最大值为 . 15.在矩形ABCD
中，=?=?=∠30CAB 0
， .
16．已知偶函数)(x f 满足()(2)0f x f x -+=，且当]1,0[∈x 时，x
e x x
f ?=)(，若在区间
]3,1[-内，函数k kx x f x g 2)()(--=有且仅有3个零点，则实数k 的取值范
围
是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（10分）已知函数,cos 2)3
22cos()(2x x x f ++
=π
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调减区间； （2）将函数)(x f 图象向右平移3
π
个单位长度后得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间[0,
2
π
]上的最小值。 18．（12分）已知幂函数223
()()m m f x x
m z -++=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是单调增
函数
（1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数3219
()()()42
g x f x ax x b x R =
++-∈，其中,a b R ∈.若函数()g x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围.
19. （12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且8
10
cos =
B ，
4
1
cos -=∠ADC .
（1）求BAD ∠sin 的值； （2）求AC 边的长.
20．（12分）设函数)0(132)(>+=
x x x f ，数列}{n a 满足*
-∈???
? ??==N n a f a a n n ,1,111 ，且2≥n ．
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）对*∈N n ，且,11111433221+++++=n n n a a a a a a a a S 若n
t
S n 43≥恒成立，求实数t 的 取值范围．
21．（12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ?是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA =，4PC =．
（Ⅰ）若点E 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ；
（Ⅱ）若点F 在线段PA 上，且FA PA λ=，当三棱锥B AFD -的体积为4
3
时，求实数λ的值.
22. （本小题满分12分）
第21题图
设函数()()()
2
ln 15f x x a x x =++-+，其中a R ∈．
（1）当[]1,1a ∈-时，()0f x '≥恒成立，求x 的取值范围； （2）讨论函数()f x 的极值点的个数，并说明理由．
参考答案（文数）
一． DBDAB BACAD DD
二． {}10|≤ ? ??3,5e e 17． （本小题满分10分） 17.解：（1）由已知得,1)3 2cos()(++ =π x x f π=∴T 单调减区间Z k k k ∈+ -],3 ,6 [π ππ π……………5分 （2）2 1 ]2,0[)(,1)32cos()(上的最小值在ππ x g x x g +- =…………….10分 18．（本小题满分12分） 解：解：（1）()f x 在区间(0,)+∞上是单调增函数，2 230m m ∴-++> 即2 230m m --<13,m ∴-<<又,0,1,2m z m ∈∴=…………………4分 而0,2m =时，3()f x x =不是偶函数，1m =时，4()f x x =是偶函数， 4()f x x ∴=. …………………………………………6分 （2）2 '()(39),g x x x ax =++显然0x =不是方程2 390x ax ++=的根. 为使()g x 仅在0x =处有极值，必须2 390x ax ++≥恒成立，…………………8分 即有2 9360a ?=-≤，解不等式，得[]2,2a ∈-.…………………11分 这时，(0)g b =-是唯一极值. ∴[]2,2a ∈-. ……………12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）810cos = B ，863sin =∴B ，41cos -=∠AD C ，4 15 sin =∠ADC ， 4 6 )sin(sin = ∠-∠=∠∴B ADC BAD …………………6分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得 BAD BD B AD ∠=sin sin ，即4 6 8633BD =，解得BD=2， 故DC=2，从而在△ADC 中，由余弦定理，得 16)4 1 (23223cos 222222=-???-+=∠?-+=ADC DC AD DC AD AC ， AC=4…………………………12分 20. （本小题满分12分） 解：（1）由,11???? ??=-n n a f a 可得.2,,32 1≥∈=-* -n N n a a n n 易知}{n a 为等差数列． 又'14...........................,3 1 2,1*∈+=∴=N n n a a n （2）* +∈++++=N n a a a a a a a a S n n n ,11111433221 33 2,3121+=+= +n a n a n n '6 (9) ) 32)(12(1++=?+n n a a n n ? ?? ??+-+=++=?∴ +32112129)32)(12(911n n n n a a n n '9........................,3 233213129*∈+= ??? ??+-= ∴N n n n n S n 3 2443323432+≤?≥+?≥∴n n t n t n n n t S n 恒成立，* ∈N n 令*∈+=N n n n n g 3 24)(2 ， 2min 49999()23236, 232323 23,5,9 ()6 g()44 (). 55 n g n n n n n n p n p p N g p p p p g p t * -+==-+=++-+++=+≥∈∴=+-∞∴=?≤显然在［５，＋）递增 所以实数t 的取值范围是?? ? ? ?∞-5 4,……………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如图，连接AC ，设AC BD Q = ，又点E 是PC 的中点， 则在PAC ?中，中位线EQ //PA ， 3分 又EQ ?平面BDE ，PA ?平面BDE 。 所以//PA 平面BDE 5分 （Ⅱ）依据题意可得：2PA AB PB ===，取AB 中点O ，所以PO AB ⊥， 且PO = 又平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ； 6分 作//FM PO 于AB 上一点M ，则FM ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥平面PAB ， 则PBC ?为直角三角形 8分 所以BC = =ABP ? 的面积为1 =2 ABP S AB AD ??= 41=33B AFD F ABD ABD V V S FM FM --?==?=? 10分 由//FM PO 得：2 ===3FM FA PO PA λλλ?? 12分 22．（本小题满分12分） 解：（1）()()()212121,1,11 ax ax a f x a x x x x +-+= +-=∈-+∞++ ， 令()() 2 211h a x x a =+-+，要使()0f x ≥，则使()0h a ≥即可，而()h a 是关于a 的一 次函数， ∴()()2 21020 10220h x x h x x -≥??+≥????≥+-≤??? ，解得1142x -≤≤- 或104x ≤≤， 所以x 的取值范围是111 0424 x x - ≤≤-≤≤或．．．．．．．．．．4分 （2）令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞， 当0a =时，()1g x =，此时()0f x >，函数()f x 在()1,-+∞上递增，无极值点； 当0a >时，()98a a ?=-， ①当8 09 a <≤时，()()0,00g x f x ?≤≥?≥，函数()f x 在()1,-+∞上递增，无极值点； ②当89 a > 时，0?>，设方程2 210ax ax a +-+=的两个根为12,x x （不妨设12x x <）， 因为1212x x +=-，所以1211,44x x <->-，由()110g -=>，∴11 14 x -<<-， 所以当()()()11,,00x x g x f x ∈->?>，函数()f x 递增； 当()()()12,,00x x x g x f x ∈ 当()()()2,,00x x g x f x ∈+∞>?>，函数()f x 递增；因此函数有两个极值点， 当0a <时，0?>，由()110g -=>，可得11x <-， 所以当()()()21,,00x x g x f x ∈->?>，函数()f x 递增； 当()()()2,,00x x g x f x ∈+∞ 09 a ≤≤时，函数无极值点； 当8 9 a >时，函数有两个极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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