第四章 随机变量的数字特征(数理统计课件-上海交通大学)

第四章随机变量的数字特征

分布函数能完整地描述r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.

例如：

判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度又要看纤维长度与平均长度的偏离程度平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;

考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.

由上面例子看到，与r.v. 有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征, 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.

?r.v.的平均取值——数学期望?r.v.取值平均偏离均值的情况

——方差

?描述两r.v.间的某种关系的数

——协方差与

相关系数

本章内容

随机变量某一方面的概率特性

都可用数字来描写

§4.1随机变量的数学期望

加权平均初赛复赛决赛总成绩算术

平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75胜者甲甲乙甲甲

3:3:4 2:3:5 2:2:6

73.7 70.0 66.873.2 70.1 67.8甲

乙

乙

引例学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负

.70=为这3 个数字的加权平均

5.0533.0852.0903

1?+?+?=∑=i i

i p x 称

数学期望的概念源于此

设X 为离散r.v. 其分布为

,2,1,

)(===k p x X P k k 若无穷级数

∑∞+=1

k k

k p x 其和为X 的数学期望记作E ( X ), 即

∑∞

+==1

)(k k

k p x X E

数学期望的定义

绝对收敛,则称

设连续r.v. X 的d.f. 为

)

(x f 若广义积分

?∞+∞

-dx x xf )(绝对收敛, 则称此积分为X 的数学期望记作E ( X ), 即

?∞

+∞-=dx

x xf X E )()(数学期望的本质——加权平均它是一个数不再是r.v.

定义

例1X ~ B ( n , p ), 求E( X ).

解∑

=

--

=

n

k

k

n

k

k

n

p

p

kC

X

E

) 1(

) (

∑=

-

-

-

--

-

-

-

=

n

k

k

n

k p

p

k

n

k

n

np

1

)1

(

)1

(

1)

1(

)!

()!

1

(

)!

1

(

∑-=

-

--

-

=

1

)1

(

1

)

1(

n k

k

n

k

k

n

p

p

C

np np

=

特例若Y ~ B ( 1, p ), 则E(Y)p

=

例2

X ~ N ( μ, σ

2 ), 求

E ( X ).

解dx

e

x X E x 2

22)(21

)(σμσ

π--

∞

+∞-??=du e u u

u x 2

2

21

-∞

+∞

-=-??+=π

μσσμ）（令μ

=例3设X ~ 参数为p 的几何分布，求E ( X )

解∑∞+=--=1

1)1()(k k p kp X E p

x k k kx p -=∞

+=-?

?? ??=∑111p

x k k x p -=∞

+=?

?

? ??=∑1'

1p

x p p x 1)1(112

=-=-=

常见r.v. 的数学期望（P159）分布

期望

概率分布

参数为p 的0-1分布p X P p X P -====1)0()1(p

B (n,p )n

k p p C k X P k

n k

k n

,,2,1,0)

1()( =-==-np

P (λ)

,2,1,0!

)(==

=-k k e

k X P k λ

λλ

分布期望

概率密度

区间(a,b )上的均匀分布?????<<-=其它,

0,,1)(b x a a

b x f 2b a +E (λ)

???>=-其它,

0,0,)(x e x f x

λλλ1N (μ,σ

2)

2

22)(21

)(σμσ

π--

=x e

x f μ

注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为

+∞

<<∞-+=x x x f ,)

1(1

)(2

π??∞

+∞-∞

+∞-+=dx x x dx x f x )

1(|

|)(||2

π但发散它的数学期望不存在!

Ch4-14

?设离散r.v. X 的概率分布为

,2,1,)(===i p x X P i i 若无穷级数

∑∞

=1

)(i i i p x g 绝对收敛，则

∑∞

==1

)()(i i

i p x g Y E ?设连续r.v. 的d.f. 为f (x )

?∞

+∞-dx x f x g )()(绝对收敛, 则

?∞

+∞-=dx

x f x g Y E )()()(若广义积分r.v.函数Y = g (X )

的数学期望

设离散r.v. (X ,Y ) 的概率分布为

,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i Z = g (X ,Y ),

∑∞

=1

,),(j i ij

j i p y x g 绝对收敛, 则

∑∞

==

1

,),()(j i ij

j i p y x g Z E 若级数

设连续r.v. (X ,Y )的联合d.f. 为

f (x ,y)，Z = g(X ,Y ),

若广义积分

??∞+∞-∞+∞-dxdy

)

(

(

,

,

x

y

x

f

g)

y

绝对收敛, 则

??∞+∞-∞+∞-

)

,(

,(

)

=dxdy (

E)

Z

f

x

y

x

g

y

例3设(X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求

2

2Y X Z +=的数学期望.

解dxdy

y x f y x Z E ),()(2

2??∞+∞-∞

+∞-+=dxdy

e

y x y x 2

22

2

221

+-

∞+∞-∞

+∞

-??+=π

???

??

? ??=∞+-π

θπ20

02

221d rdr e r r 2

π

=

解(1) 设整机寿命为N ,}

{min 5

,,2,1k k X N ==,

))(1(1)(5

1

∏=--=k k N x F x F ???>-=-其它，

,

0,0,15x e x

λ五个独立元件,寿命分别为,,,,521X X X 都服从参数为λ的指数分布，若将它们

(1) 串联；(2) 并联

成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6）例4

??

?>=-其它，,

0,

0,5)(5x e x f x

N λλ即N ~ E ( 5λ), λ

51)(=N E (2) 设整机寿命为}

{max 5

,,2,1k k X M ==∏==5

1)()(k k M x F x F ??

?>-=-其它，,

0,

0,)1(5

x e x λ?

?

?>-=--其它，,0,

0,)1(5)(4

x e e x f x x M λλλ

?∞

+∞-=dx

x xf M E M )()(?∞

+---=04

)1(5dx

e

xe

x x

λλλλ

60137=

11

)

()

(51

60137>=λ

λ

N E M E 可见, 并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.

随机变量的数字特征试题答案

随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26

7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10

2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy

随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<=--其他,05,)()5(y e y y ?，则 _______________)(=XY E 。 二、选择题

中南大学：统计学原理

中南大学《统计学原理》课程试题（2）及参考答案 一、名词解释 1、 统计量 2、 同度量因素 3、 时间数列 4、 众数 二、选择填空 1、统计研究包括（ ）等几个阶段 A 、统计设计 B 、统计调查 C 、统计整理 D 、统计分析 2、下列标志中属于品质标志的有（ ） A 、身高 B 民族、 C 、年龄 D 、性别 3、统计测量尺度通常包括（ ） A 、定类尺度 B 、定序尺度 C 、定距尺度 D 、定比尺度 4、某公司2002年底职工人数为1000人，此指标属于（ ） A 、时点指标 B 、时期指标 C 、实物指标 D 、劳动指标 5、对于右偏态有下列结论（ ） A 、X M M e <<0 B 、o e M X M << C 、e o M M X << D 、o e M M X << 6、当44=β时，次数分布曲线为（ ） A 、正态峰度 B 、平顶峰度 C 、尖顶峰度 D 、无法判断 7、估计量优劣标准是（ ） A 、无偏性 B 、一致性 C 、有效性 D 、同质性 8、一元线性相关的相关系数取值范围（ ） A 、[-1，1] B 、（-1，1） C 、（0，1） D 、[0，1] 9、在品质相关中一般有（ ） A 、yx xy ττ= B 、yx xy ττ≠ C 、yx xy ττ> D 、yx xy ττ< 10、算术平均数 X ，几何平均数G X 与调和平均数H X 的大小关系是（ ）

A 、H G X X X ≥≥ B 、G H X X X ≥≥ C 、X X X H G ≥≥ D 、G H X X X ≥≥ 三、填空题 1、统计指标由指标名称与（ ）构成。 2、标志分为（ ）和数量标志。 3、根据指标数值的表现形式分为（ ）、相对指标和平均指标。 4、质检部门检查我国国产空调的质量，调查单位是（ ）。 5、调查误差按产生原因分为登记误差和（ ）。 6、某地区经济发展速度为108%，则其增长速度为（ ）。 7、数列6、8、9、1、7、6、5的中位数是（ ）。 8、若X~N(1,4),,)5.0(a =Φ则P(1

08级中南大学数理统计试题及答案

中南大学考试试卷 2009——2010学年第一学期 （2010.1） 时间：100分钟 《数理统计II 》 课程 24学时 1.5 学分 考试形式：闭卷 专业年级：2008级(第三学期) 总分：100分 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________； 2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~ 2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2 01.0=χ,则 }8{16 1 2∑=≥i i X P =有问题_； 3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2 σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为 α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________； 4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2 σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________； 5、设总体),(~2σμN X ，2 σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机变量的数字特征试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D

第四章 随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）

A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-

第三章 随机变量的数字特征答案

第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?

设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX

随机变量的数字特征教案

§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分

100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：

凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

数理统计试卷及答案

数理统计考试试卷 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、设n X X X ,,,21 是取自总体)1,0(~2 N X 的样本,则 n i i X Y 1 2 ~________。 2、设总体),(~2 N X ，X 是样本均值，则)(X D ________。 3、设总体),(~2 N X ，若 未知,2 已知，n 为样本容量，总体均值 的置信水平为 1的置信区间为),( n X n X ，则 的值为________。 4、设总体),(~2 N X ,2 已知，在显著性水平下，检验假设0100:,:u H u H ， 拒绝域是________。 5、设总体0],,0[~ U X 为未知参数，n X X ,,1 是来自X 的样本，则未知参数 的矩估计量是______。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（ ） （A ）Y X 服从正态分布 （B ）2 2 Y X 服从2 布 （C ）2 2 Y X 和都服从2 分布 （D ）2 2 /Y X 都服从F 分布 2、设)9,1(~N X ，921,...,,X X X 为取自总体X 的一个样本，则有（ ）。 （A ）)1,0(~11N X （B ）)1,0(~31 N X （C ） )1,0(~91 N X （D ） )1,0(~3 1N X 3、设X 服从参数为p 的(0-1)分布，0 p 是未知参数，n X X X ,...,,21为取自总体X 的样本， X 为样本均值，21 2 )(1X X n S i n i n ，则下列说法错误的是（ ）。 （A ）X 是p 的矩估计 （B ）2 n S 是)(X D 的矩估计 （C ）2X 是)(2X E 的矩估计 （D ）)1(X X 是)(X D 的矩估计 4、设总体)4,(~ N X ,由它的一个容量为25的样本，测得样本均值10 x ，在显著性水平

随机变量的数字特征归纳

第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ ． ； （连续型） 离散型 － d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E

随机变量分布及数字特征

第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会

变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天

第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案

第四章 随机变量的数字特征 1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2． 解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3． 解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑

中南大学数理统计试卷及答案分析

---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题， 密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷 2011~2012学年 一 学期 数理统计Ⅱ 课程（09级） （时间：12年1月5日，星期四，10:00—11:40，共计：100分钟） 注意：本试卷可能用到的数据如下： 645.105.0=z ，96.1025.0=z ，()9525.067.1=Φ，()86.391,110.0=F ， ()3060.28025.0=t ，()8595.1805. 0=t ，()7531.11505.0=t ，()1315.215025.0=t ， ()180.282975.0=χ，()535.1782025.0=χ，()2515205.0=χ，()6.3015201.0=χ ()951.9202975.0=χ，()17.34202025.0=χ 一、填空题（本题16分，每小题4分） 1、设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，若n X X X ,,,21Λ满足 条件，则称n X X X ,,,21Λ为简单随机样本； 2、设10021,,,X X X Λ为取自总体()400,80~N X 的一个样本，则 {} =>-2μX P ;

3、设921,,,X X X Λ为取自总体()2,~σμN X 的一个样本，测得5.1,100==s x ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为 ； 4、设1,,,21n X X X Λ取自总体()221,~σμN X ，2,,,21n Y Y Y Λ取自总体()2 22,~σμN Y ,其中21,μμ均未知，样本方差分别为2 221,S S ，检验假设2221122 210:,:σσσσ≠=H H 采用的是 检验法；在显著性水平α下，拒绝域为 。 二、选择题（本题16分，每小题4分） 1、设n X X X ,,,21Λ取自总体()1,0~N X ,2,S X 分别表示样本均值和样本方差，则（ ） （A ）()1,0~N X （B ）()1,0~N X n （C ）()∑=n i i n X 122~χ（D ） ()1~-n t S X 2、在假设检验中，显著水平α是指（ ） （A ）{}α=为假接受00|H H P （B ）{}α=为假接受11|H H P （C ）{}α=为真拒绝00|H H P （D ）{}α=为真拒绝11|H H P 3、设()2,~σμN X ，若μ和2σ未知，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为()λλ+-x x ,，则λ的值为（ ） （A ）()n S n t a （B ）() n S n t a 1- （C ）() n S n t a 2 （D ）() n S n t a 12 - 4、设2421,,,X X X Λ为取自总体()4,~μN X 的样本，测得10=x ，以0.05的显著性水平进行假设检验，则以下假设中将被拒绝的0H 是（ ）。 （A ）10:0=μH （B ）9:0=μH （C ）5.9:0=μH （D ）5.10:0=μH

Linux试卷及答案(中南大学)

一.单项选择题（本题30分，每小题1.5分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，错选或未选均无分。 1．下面哪个Linux命令可以一次显示一页内容______ A. pause B. cat C. more D. grep 2．怎样更改一个文件的权限设置______ A. attrib B. chmod C. change D. file 3．如何从当前系统中卸载一个已装载的文件系统______ A. umount B. dismount C. mount –u D. 从/etc/fstab 中删除这个文件系统项 4．在大多数Linux发行版本中，图形方式的运行级定义为______ A.1 B.2 C.3 D.5 5．用命令ls -al显示出文件ff的描述如下所示，由此可知文件所有者所在组的权限是______ -rwxrw-r-- 1 root root 599 Cec 10 17:12 ff A. rwx B. rw- C. r-- D.无法获知 6．内核不包括的子系统是_______ A.进程管理系统 B. 内存管理系统 C. I/O管理系统 D. 硬件管理系统 7．下面哪一个是Linux缺省状态下使用的文件系统类型 A .Ext2 B. NFS C. Msdos D. Vfat 8．Linux文件系统的文件都按其作用分门别类地放在相关的目录中，对于外部设备文件，一般应将其放在______目录中 A. /dev B. /etc C. /bin D. /lib 9．关闭linux系统可使用命令______ A.Ctrl+Alt+Del B.Ctrl+ALT C.shutdown -h now D. reboot 10．用命令ls -al显示出文件ff的描述如下所示，由此可知文件ff的类型为_____ -rwxr-xr 1 root root 599 Cec 10 17:12 ff A. 普通文件 B. 硬链接 C. 目录 D. 符号链接 11．删除文件命令为_____。 A .mkdir B. rmdir C. mv D. rm 12．改变文件所有者的命令为______。 A chmod B. touch C. chown D. cat 13．在下列命令中，不能显示文本文件内容的命令是______。