《微分几何》测试题（一）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
⒈ 向量{}(),3,r t t t a =
具有固定方向，则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''= 的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线
⒊ 设曲线在P 点的切向量为α ，主法向量为β ，则过P 由,αβ
确定的平面
是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t = 在点0()r t 的单位切向量是α ，则曲线在0()r
t 点的法平面方
程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t = 在t = 1点处有2γβ= ，则曲线在 t = 1对
应的点处其挠率
(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _
⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的
法线方程是_____________________。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是
___C___。
A 、 直线
B 、平面曲线
C 、球面曲线
D 、圆柱螺
线
12、曲线()r r t = 在P(t)点的曲率为k
, 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。
A 、2r r k r '''?='
B 、3r r k r '''?='
C 、k r =
D 、()()
2r r r r r τ''''''='''? 13、对于曲面的第一基本形式
2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>
B 、0<
C 、0≤
D 、0≥
三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）
21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =
，试求
⑴ 在点0,1,2π?? ???的切线和法平面。 ⑵ 曲率和挠率。
22、对于圆柱面{}:cos ,sin ,r u ρθρθ∑=
，试求
⑴ ∑的第一、第二基本形式；
⑵ ∑在任意点处沿任意方向的法曲率；
⑶ ∑在任意点的高斯曲率和平均曲率；
⑷ 试证∑的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题（二）
一．单项选择题（2×10=20分）
1．若向量函数)(t r r =的终点在通过原点的一条直线上，则
( )
A ． )(t r '是定长的； B. )(t r '是定向的；
C ． 1)(='t r ； D. 2)('=t r .
2．对于向量函数)(t r ，若)(t r ⊥)(t r '，则( )
A ．)(t r 是定长向量； B.)(t r '定长向量；
C ．)(t r 是定向向量； D.)(t r '是定向向量.
3．设b a ,均为非零向量，且0=ab ，则（ ）
Ａ.b a ,线性相关； Ｂ.b a ,线性无关；
Ｃ.a 可以由b 线性表示； D.b 可以a 由线性表
示.
4．挠率,0=τ曲率2=k 的曲线是( )
A ． 半径为4的圆； B.半径为4
1
的圆；
C ．半径为2的圆； D.半径为21的圆.
5．空间曲线的形状由( )决定
A ． 由曲率和挠率； B. 仅由曲率；
C ． 仅由挠率； D. 由参数的选取.
6．曲率是常数的曲线( )
A ． 一定是直线； B. 一定是圆；
C ． 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C 都不
对.
7．设S 是球面， 则( )
A ． S 上每一点是双曲点； B. S 上每一点是抛物点；
C ． S 上的圆的β指向球心； D. S 上的测地线的β指
向球心.
8．若曲面S 在每一点的高斯曲率为4
1，则它可以与半径为( )
的球面贴合
A ． 21； B. 2； C. 41； D. 4.
9．圆柱螺线}{bt asint,acost,=r 在任一点的切线与z 轴的夹角
α( ) A ． 为； 90 B. 0； C. 与t 有关； D. 与b
有关.
10．设非直线的曲线C 是曲面S: )(v u,r r =上的测地线，则有
( )
A. C 在每一点β∥n ;
B. C 在每一点β⊥n ;
C. C 在每一点γ∥n ;
D. C 在每一点n ⊥γ .
一． 判断题（2×10=20分）
1．向量函数r r =()t 满足()()()()0,='?t t dt,t r r r ，则必有一常向量a ，
满足a ⊥r ()t .
2．如果曲线 C: r r =()t 的所有向径共面，则r '()t 必与某一固
定向量垂直.
3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.
( )
4．直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ）
5．若曲面S 与一个半径为R 的球面沿一个半径为()R r 0r ≤<的
圆C 相切，则C 是S 上的测地线.
6．如果两个曲面S 1与S 2之间的一个对应关系， 使得它们在
对应点有相同的高斯曲率，则S 1与S 2 等距等价.
7．设曲面S ：r =r ()v u,, 如果F :M E :L =,则v —线是曲率线.
（ ）
8．设曲面S ：r =r ()v u,，如果G :F :E N :M :L =，则曲面上的
所有曲线都是曲率线.
9． 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.
（ ）
10．球面上的曲率线是大圆.
（ ）
二． 计算题（10×4=40分）
1．求曲线C ：r ={}32ct ,bt at,｝上在0=t 处的密切面方程.
2．已知曲线C ：r =()s r （s 是弧长参数）的曲率和挠率分别是κ
和τ,且τ是不为零的常数，求曲线C ：r =ds )s ()s (?-γβτ1
的曲率和挠率.
3．求曲面 2xy z =上的渐近线.
4．求圆环面 S ：r ={ (b+acos ?)cos θ , (b+acos ?)sin θ , a
sin ? }
()π?π?20,20≤≤≤≤ 上的椭圆点，双曲点和抛物点.
三． 证明题（10×2=20分）
1．证明：如果曲线的所有β都经过一个固定点，则曲线是以
固定点为圆心的圆.
2． 设C 是半径为R 的球面上半径为r ()R r ≤<0的圆，g κ是曲
率.证明：
2
2g R r κ112-=. B
一． 单项选择题（2×10=20分）
1．设}x,62,{},31,0{-=-=b a ， 若a ∥b 则 ( )
A ． 2
1-=x ； B. 2-=x ； C. 0=x ； D. x 为任意
实数.
2．设曲线C: 满足 1)(='t r 则 ( )
A. C 是单位球面上的曲线；
B. t 是C 的弧长参数；
C. 变向量)(t r 具有固定方向；
D. 变向量)(t r 具有固
定长度.
3．若向量函数)(t r r =对于任意t 都有1)(=t r . 则
( )
A. )(t r 是定向的向量；
B. )(t r 是定长的向
量；
C. ()()0r r ='?t t ；
D. ()()0r r =''?'t t .
4．可展曲面上每一点都是 ( )
A. 椭圆点；
B. 抛物点；
C. 圆点；
D. 平点.
5．若曲线C 的曲率0,2==τk 则( )
A. C 是半径为2的圆;
B. C 是半径为21的圆;
C. C 是半径为2的圆;
D. C 是半径为
21的
圆.
6．曲面上与u 线正交的曲线满足 ( )
A. 0=+Mdv Ldu ;
B. 0=+Fdv Edu ;
C. 0=+Ndv Ldu ;
D. 0=+Gdv Edu .
7．设曲面S 上一条非直线的曲线C 是S 上的测地线，则
( )
A ． C 在每一点，γ∥n ； B. C 在每一点,n ⊥γ ；
C ． C 在每一点，β∥n ； D. C 在每一点， β⊥n .
8．在曲面S: )(v u,r r =上，u 线的微分方程是( )
A ． 0=dudv ； B. 0=du ；
C ． 0=dv ； D. dv du =.
9．若两个曲面等距等价，则( )
A.它们有相同的第一基本形式；
B.它们有相同的第二基本形式；
C ．它们有相同的第三基本形式；
D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴
合.
10．若曲面S:)(v u,r r =上任一点，都有0==M F ，则( )
A ．参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线
网；
C ．参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C 都不对.
二． 判断题（2×10=20分）
1.向量函数r r =()t 满足()()()(),0,,='''t t t r r r 则必有一常向
量a ，满足a ⊥r ()t .（ )
2．如果曲线 C: r r =()t 的所有向径共面，则C 就在通过原
点的一个平面上.（ ）
3. 曲线 C ： r =r ()s 与曲线C ：r =α()s 在0s s =处有相同的
曲
率
.
（
）
4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为21的圆. （ ）
5. 设S 是平面， 则S 上每一点，都有1κ=2κ=0.
( )
6.
球面上的圆的β指向球心. ( )
7. 可展曲面上没有双曲点.
( )
8. 高斯曲率K ≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.
( )
9. 若曲面S 与一个半径为R 的球面沿一个半径为
()R r 0r ≤<的圆C 相切，则S 在C 上每一点，沿着C 的方向，都有，n κ =r . ( )
10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ）
三． 计算题（10×4=40分）
1. 求曲线C ：r =｛
,cos 135t t sin 13
8-, t cos 1312｝的曲率和挠率.
2. 设曲线C ： r =(){}?dt t f asint,acost,是平面曲线， 求)(x f .
3. 求圆柱面 r ={}v Rsinu,Rcosu,在()00v u ,处的切平面方程，
并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.
4. 求曲面S ：r =()(){}uv v -u b v u a ,,+()0b 0,a >>的高斯曲率.
四． 证明题（10×2=20分）
1．证明：如果一条曲线C ：r =r (s) (s 是弧长参数)的所
有从切面都经过一个固定点，则C 的挠率和曲率之
比是s 的一次函数.
2．()1证明：可展曲面上的直母线是曲率线. ()2证明：如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平
面.
《微分几何》测试题（三）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
BED Equation.DSMT4 ()r t 具有固定方向的充要条件是
______________________。
____________________的曲线其副法向量是常矢。
EMBED Equation.DSMT4 ()r r t = 在4 0()P t 点的主法向量是4 β ，则曲线
在P 点的从切面方程是
。
线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向
。
曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。
6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为
____________。
7．半径为R 的球面的高斯曲率K= .
8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。
9. 曲面上 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。
10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 4 π。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
1、圆柱螺线4 cos ,sin ,x t y t z t ===在点4 ()1,0,0的切线为______。
A 、 4
1011
x y z -== B 、4 0y z += C 、4 1100x y z -== D 、4 0y z -= 2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。
A 、Ⅲ+2H Ⅱ+K Ⅰ=0
B 、Ⅲ-2H Ⅱ+K Ⅰ=0
C 、Ⅲ-2K Ⅱ+H Ⅰ=0
D 、Ⅲ-2H Ⅱ-K Ⅰ=0
3、在直纹面4 ()()r a u vb u =+ （4 ()b u 为单位向量）中，导线4 ()a u 是
腰曲线
的充要条件是_____。
A 、4 0a b ''?=
B 、4 //a b ''
C 、4 0a b ?=
D 、4 //a b
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。
A 、M = 0
B 、L = N = 0
C 、M = F = 0
D 、F = 0
5、下列曲面中_____不是可展曲面。
A 、柱面
B 、锥面
C 、一条曲线的切线曲面
D 、正螺面
6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。
A 、两曲线的夹角
B 、曲线的弧长
C 、曲面域的面积
D 、在一点沿一方向的法曲率
7、曲面4 (,)r r s t = ，4 n
是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，
是不正确的。
A 、N = 4 tt r n ?
B 、N = 4 t t r n -?
C 、N = 4 t t r n ?
D 、N = 4 tt n r ?
9、球面4 (cos cos ,cos sin ,sin )r R R R θ?θ?θ=
的坐标曲线构不成 。
A 、正交的渐近网
B 、共轭网
C 、曲率线网
D 、半测地坐标网 10、曲线4 ()r r s = 在P 点的基本向量是4 ,,,αβγ 曲率为k(s) ,挠率为4
()s τ，则4 ()s τ= 。
A 、4 αβ
B 、4 βγ
C 、4 βα
D 、4 γβ-
三．计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）
1、求螺线4 cos ,sin ,x t y t z t ===上点4 ()1,0,0的曲率和挠率。
2、确定螺旋面4 cos ,sin ,x u v y u v z cv ===上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。
四．证明题：（每小题8分，共24分）
1．证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。
《微分几何》测试题（四）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、变矢)(t r 满足0'=?r r 的充要条件是______________________。
2、曲线（C ）上P 点处的三个基本向量为、β、γ，则过P 点由和γ确定的平面叫曲线（C ）在P 点的________________________。
3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。
4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。
5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。
6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。
7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。
9、曲面的高斯曲率为K ，测地曲率为可k g ，G 是单连通曲面域，G 的边界G ?是一条光滑闭曲线，则πσ2__________=+??G
Kd 。
二、选择题（每小题3分，共30分）
11、若曲面S 上曲线（C ）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。
A 、法曲率k n
B 、挠率τ
C 、测地曲率k g
D 、曲率k
12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。
A 、平面曲线
B 、曲率线
C 、测地线
D 、渐近线
13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。
A 、大于零
B 、小于零
C 、等于零
D 、不确定
14、设α、β、γ是曲线（C ）在一点的三个基本向量，则γ
=_____（k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。
A 、k
B 、τ
C 、－τ
D 、τ
15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。
A 、F= 0
B 、M = 0
C 、F = M = 0
D 、L = N = 0
16、曲面上的直线不一定是_____。
A 、渐近线
B 、曲率线
C 、测地线
D 、法截线
19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。
A 、锥面
B 、单叶双曲面
C 、双曲抛物面
D 、挠曲线的主法线曲面 三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)
21、求曲线4 r (t) = { t , t 2 , e t } 在t = 0点的密切平面和主法线。
22、求曲线4 r (t) = {a (1－sint) , a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。
23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。
24、求抛物面z = a ( x 2 + y 2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明挠曲线（C ）的主法线曲面不是可展曲面。
《微分几何》试题（五）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
EMBED Equation.DSMT4 ()r t 具有固定方向的充要条件是__________________。
C ）的参数表示是 4 ()r r s = ，s 是弧长，则 4 r r
β= 叫作曲线(C)的___________。
在各点的曲率____________，则曲线是直线。
EMBED Equation.DSMT4 ()r r t = 在P 点有挠率4 τ=3，则曲线4 ()r r t = 在
P 点附近的形状是__________。
的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向__________。 之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第Ⅰ基本形式。
一类基本量是E 、F 、G ，第二类基本量是L 、M 、N 。则曲面上曲率线的微分方程是 。
非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的________重合于曲面的法线。
点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的__________。 连接两点P 、Q 的________是曲面上连接P 、Q 的曲线中弧长最短的曲线。
二．选择填空题：(每小题3分，共30分)
11、若曲面S 上曲线(C)恒有法曲率4 n κ=0，则曲线一定是曲面上的_______。
A 、渐近曲线
B 、平面曲线
C 、曲率线
D 、测地线
12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。
A 、平面曲线
B 、曲率线
C 、测地线
D 、渐近线
13、在曲面上的双曲点，4 2
LN M -_____。
A 、大于零
B 、小于零
C 、等于零
D 、不确定 14、设4 ,,αβγ 是曲线(C)在一点的三个基本向量，则4 γ =_____。（4 ,k τ
分别表示曲线在该点的曲率和挠率）
A 、4 k α
B 、4 τβ
C 、4 τβ-
D 、4 τα
15、正螺面4 {cos ,sin ,}r u v u v bv = 的第二基本形式是_____。
A 、4
- B 、0dudv = C 、4 2222()du u b dv ++ D 、4 22
22()u b du dv ++
16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。
A 、M=0
B 、F=M=0
C 、F=0
D 、L=N=0
17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，4 12
，则这点是曲面的_____。 A 、椭圆点 B 、双曲点 C 、抛物点 D 、脐点 18、曲面在一点的单位法向量是4 n ，则在同一点的方向4 dr 是主方向的充要条件是______。 A 、4 0dn dr ?= B 、存在方向4 r δ 使4 0dn r δ?= C 、存在方向4 r δ 使4 0n dr δ?= D 、4 dr 4 dn ‖4 dr
19、在下列直纹曲面中，_____是可展曲面。
A 、双曲抛物面
B 、挠曲线的副法线曲面
C 、挠曲面的切线曲面
D 、单叶双曲面
20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。
A 、椭圆点
B 、抛物点
C 、双曲点
D 、A 或B 或C
三．解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）
21、求圆柱螺线4 cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。
22、求曲线4 {}()(1sin ),(1cos ),r t a t a t bt =-- 的曲率和挠率。
23、证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
24、求抛物面4 22()z a x y =+在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲 线。
26、求证旋转曲面4 {}()cos ,()sin ,()r u u u ?θ?θψ=
的径线是测地线。（其 中4 ()0u ?>）。
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则 微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ， γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为: 微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。 二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、 曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 济南大学2012～2013学年第二学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 微分几何 授课教师 滕厚山 考试时间 2013.6.26 考试班级 数学10级 班 学 号 姓 名 一、 判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”， 错误的打“╳”。每小题2分，共10分) 1. 空间曲线的切向量α 总是指向曲线的参数增值方向.（ ） 2. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状.（ ） 3. 曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线.（ ） 4. 因为高斯曲率2 2 F E G M LN K --=与第二类基本量有关，所以它不是内蕴量.( ) 5. 等距等价的两个曲面在对应点具有相同的高斯曲率.( ) 二、填空题（将答案填在题中横线上，每小题2分，共10分） 1. 向量函数{ }3 23 13 1 , sin , cos = )(t t t r 关于t 的旋转速度等于_______. 2. 向量函数)(t r 有固定长的充要条件是___________. 3. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是_______________. 4. 曲面)(S 的u --坐标曲线族的正交轨线族的微分方程是_________________. 5. 直纹面(,)()()r u v a u vb u =+的导线()a a u =是腰曲线的充分必要条件是_____________. 三、选择题（将正确答案的代号填入该题后面的括号内， 每小题2分，共10分） 1. 向量函数)(t r r =有固定方向的充分必要条件是（ ） .A 0='?r r .B 0 ='?r r .C 0),,(='''r r r .D 0 =''?'r r 2. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是（ ） .A 平面曲线 .B 直线 .C 圆 .D 圆柱螺线 3. 下列曲面不是可展曲面的是（ ） .A {}(,)cos ,sin ,r u v v u v u au b =+； .B 曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =的切线面； .C 高斯曲率恒为零的无平点曲面； .D 与平面等距等价的曲面。 4. 曲面上曲线的曲率k ，法曲率n k ，测地曲率g k 之间的关系是（ ） .A g n k k k =+ .B g n k k k =+ .C 222 g n k k k =+ .D 222g n k k k =+ 5. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的是（ ） .A 非脐点处，主方向垂直 .B 脐点处，任何方向都是主方向 .C 非脐点处，有且仅有两个主方向 .D 脐点处，无主方向 四、（本题15分）已知圆柱螺线},sin ,cos {:)(bt t a t a r C = ，求 （1）曲线)(C 的自然参数方程； （2）曲线)(C 在任意一点的基本向量γβα ,,； （3）曲线)(C 在任意一点的曲率和挠率. …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… ……………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线……………… § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s == 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b 西北师范大学 数信学院 数学与应用数学专业 《微分几何》 考试题（A） （2008/07） 班级： 学号： 姓名： 成绩： 得 分 评卷教师 一、填空题（每空2分，共20分） 1． 曲线为平面曲线的充分必要条件是__________________. 2． 距离单位球面球心距离为d(0d<1)<的平面与球面的交线的曲率为 ________________，法曲率为_________________. 3． 曲面的第二基本形式为z xy = ______________. 4． 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是____________ 和______________. 5． 法曲率的最大值或最小值正好是曲面的____________曲率，使法曲率达 到最大值或最小值的方向是曲面的____________方向. 6． 如果参数曲面r r(u,v)=的坐标网是半测地坐标网，则曲面的第一基本 形式可以写成 . 7． 在正交坐标网下，v—曲线的测地曲率= v g k _. 得 分 评卷教师 二、单项选择题（每题2分，共16分） 1.曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ( ) ① F=0； ② M=0； ③ F=M=0； ④ L=N=0. 2. 若曲面上一点处的两个主曲率为2，12 ，则这点是曲面的 ( ) ① 椭圆点； ② 双曲点； ③ 抛物点； ④ 脐点. 3. 下列曲面中，不一定是可展曲面的是 ( ) ① 锥面；② 曲线的切线曲面；③ 柱面；④ 曲线的主法线曲面. 4. 曲面上使n g k k 0==的曲线不一定是 ( ) ① 直线； ② 渐近线； ③ 曲率线； ④ 测地线. 5. 曲面在每一点处的主方向 ( ) ① 只有一个； ② 至少有两个； ③ 只有两个；④ 也可能没有. 6. 球面上的大圆不可能是球面上的 ( ) ① 测地线； ② 曲率线； ③ 法截线； ④ 渐近线. 7. 在球面上，测地三角形的三内角之和 ( ) ① 等于π；② 大于或等于π；③ 大于π；④ 小于等于π. 8. 下列不是曲面的内蕴量的是 ( ) ① 曲面的高斯曲率K； ② 曲面沿某方向的法曲率； n k ③ 曲面上曲线的测地曲率； ④ 曲面的克氏记号. g k k ij Γ 得 分 评卷教师 三、计算题（每题10分，共30分） 1. 求曲线{})0(),cos 1(),sin 1()(>??=a bt t a t a t r 的曲率函数、挠率函数. 二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的 曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。 数学科学学院2016--2017学年第二学期期末考试模拟试题 考试科目：微分几何年级:14适用专业: 数学与应用数学 时间: 120分钟考试方式: 闭卷试卷类别: A 卷试题满分: 100分 一、判断题（正确的请划√，错误的请划╳，每题2分，共10分） 1、曲面的高斯曲率曲率在等距变换之下是保持不变的（对）. 2、极小曲面的高斯曲率（对）. 3、Gauss 曲率是曲面的内蕴量，但是曲线的测地曲率则不是内蕴量.(错 ). 4、把曲面在一点的切向量平移到另外一点，平移的结果与曲线的选择无关( 错 ). 5、连接两点的任一测地线总是所有连接该两点的所有光滑曲线中最短的(错 ). 二、填空题（每题4分，共20分） 1、曲面的克里斯托斐耳符号=. 2、曲线的主法线和曲面的法线重合，并且切向量为渐近方向，该曲线一定是测底线. 3、双叶双曲面上的测地三角形的内角之和与的大小关系是. 4、向量沿曲面上单连通区域的光滑边界平移产生的角差等于. 5、设为曲面的切向量场, 则其协变微分为. 三、计算题（每题15分，共30分） 1、求圆环面的第一、第二基本形式并由此推出其高斯曲率，其中. 2、求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率. 0K ≤k ij ΓπD 1212v f r f r =+ {(2cos )cos ,(2cos )sin ,sin }r ?θ?θ?=++ 02,02θπ?π≤<≤<{cos ,sin ,}r u u v = u t v t =??=? 四、证明题（每题10分，共40分） 1、如果曲面的高斯曲率恒小于零，则从同一点出发的两条测地线不会相交. 2、证明如果曲线的切线过定点，则一定为直线. 3、证明不存在曲面使得其第一第二基本形式为. 4、如果曲面的支撑函数.为常数，并且曲面的主曲率均不等于零，求证：曲 面一定为球面. 222223,I du dv II du =+=3,f r e =<> 《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b微分几何练习题库及参考答案(已修改)
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