第一部分专题四 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何专题强化精
练提能 理
[A 卷]
1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )
A ．18
B ．12
C ．3 2
D ．2 3 解析：选C.|AB |＝
（1－2）2＋[2－（－2）]2＋（2－1）2
＝18＝3 2.
2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD 和C 1C 的中点，则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )
A.13
B.25
C.35
D.37
解析：选B.以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A (2，0，0)、E (0，1，0)、D 1(0，0，2)、F (0，2，1)．
所以EA →＝(2，－1，0)，D 1F →
＝(0，2，－1)，
cos 〈EA →，D 1F →
〉＝EA →2D 1F →|EA →||D 1F →|
＝－2525＝－25.
则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为2
5
.
3．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )
A.3010
B.33010
C.
310 D.3310 解析：选A. 建立坐标系如图，
则A (1，0，0)，E (0，2，1)，B (1，2，0)，C 1(0，2，2)，BC 1→＝(－1，0，2)，AE →
＝(－1，2，1)，
所以cos 〈BC 1→，AE →
〉＝BC 1→2AE →|BC 1→||AE →|
＝3010.
4．(20152河南省第一次统一检测)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )
A.235
B.43
C.54
D.239
13
解析：选D.取AC 的中点E ，连接BE ，如图，可得AD →2EB →＝(AB →＋BD →)2EB →＝AB →2EB →
＝4323332
＝12＝53233cos θ(θ为AD →与EB →
的夹角)，
所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝39
6，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求
角的正切值为239
13
.
5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )
A.12
B.23
C.33
D.22
解析：选B.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，
则A 1(0，0，1)，E ?
????1，0，12，D (0，1，0)， 所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝? ??
??1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，
则?????y －z ＝0，1－12
z ＝0，所以?????y ＝2，z ＝2.
所以n 1＝(1，2，2)．
因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝2331＝2
3
.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
6. 如图，三棱锥A -BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为(
)
A.36
B.32
C.
336 D.12 解析：选A.设AB ＝1， 则CE →2BD →＝(AE →－AC →)2(AD →－AB →) ＝12AD →2－12AD →2AB →－AC →2AD →＋AC →2AB → ＝12－12cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝14
. 所以cos 〈CE →，BD →
〉＝CE →2BD →|CE →||BD →|
＝1
432
＝36.
7．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →2AP →
的取值范围是________．
解析：依题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0，1]，DC →2AP →＝AB →2(AB →＋BP →)＝AB →2(AB →
＋λ
BD 1→)＝AB →2＋λAB →2BD 1→＝1＋3λ2? ??
??－33＝1－λ∈[0，1]，因此DC →2AP →
的取值范围是[0，
1]．
答案：[0，1]
8. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线
A ′
B 与CD 所成角的大小为________．
解析：过O 作OE ∥CD 交BD 于点E ，由题意知，A ′O ⊥OC ，A ′O ⊥OE ，OE ⊥OC ，故以O
为原点，OC →，OE →，OA ′→
分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ′(0，0，3)，
B (－1，0，0)，
C (3，0，0)，
D (3，2，0)，所以A ′B →＝(－1，0，－3)，CD →
＝(0，2，0)，A ′B →2CD →＝0，所以A ′B →⊥CD →
，故异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为90°.
答案：90°
9．(20152合肥市质量监测)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π
3
，AC ＝4，
点M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为________．
解析：
由题意，以C 为原点、以AC 边所在直线为x 轴、以BC 边所在直线为y 轴、以CC 1边所
在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设棱柱的高为a ，由∠BAC ＝π
3
，AC ＝4，得
BC ＝43，所以A (4，0，0)，B (0，43，0)，C (0，0，0)，A 1(4，0，a )，B 1(0，43，a )，
C 1(0，0，a )，M ?
????4，0，a 2，P ? ????2，23，a 4，
Q ?
????1，0，a 4.所以QP →＝(1，23，0)，CA →＝(4，0，0)．设异面直线QP 与CA 所成的角为θ，所以cos θ＝|QP →2CA →
||QP →||CA →|，由|QP →2CA →|＝134＋2330＋030＝4，|QP →|2|CA →
|＝133
4＝4 13，得cos θ＝44 13
＝13
13.
由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin 2
θ＝1213，所以sin θ＝±23913，因为异面直线所成角的
正弦值为正，所以sin θ＝
239
13
即为所求． 答案：2 3913
10．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．
解析：
以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A 1(0，0，1)，E ?
????1，0，12，
F ? ??
??12
，1，0，D 1(0，1，1)．
所以A 1E →＝?
?
???1，0，－12，A 1D 1→＝(0，1，0)．
设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n 2A 1E →＝0，n 2A 1D 1→＝0，即?????
x －12z ＝0，y ＝0.
令z ＝2，则x ＝1，所以n ＝(1，0，2)． 又A 1F →＝? ??
??12，1，－1，所以点F 到平面A 1D 1E 的距离为
d ＝|A 1F →
2n ||n |＝??????12－25＝3510.
答案：3510
11．(20152临沂模拟)如图所示，在多面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1
和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .
(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；
(2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. 解：
以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，D 1(0，0，a )，F (a ，0，0)，B 1(a ，a ，a )．
(1)因为AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→
＝(0，0，a )，
所以cos 〈AB 1→，DD 1→
〉＝AB 1→2DD 1→|AB 1→|2|DD 1→|
＝33，
所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为
33
. (2)证明：因为BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a ，0，0)，FB 1→
＝(0，a ，a )，
所以?????FB 1→2BB 1→＝0，FB 1→2BC →＝0，
所以FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .
因为BB 1∩BC ＝B ，所以FB 1⊥平面BCC 1B 1.
12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，其边长为2，E 为棱DD 1的中点，F 为对角线DB 的中点．
(1)求证：平面CFB 1⊥平面EFB 1；
(2)求异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为F 为DB 的中点， 则CF ⊥BD ，又CF ⊥D 1D ，BD ∩D 1D ＝D ， 所以CF ⊥平面BB 1D 1D ， 因为CF ?平面CFB 1，
所以平面CFB 1⊥平面EFB 1.
(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，B 1(2，2，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)．
所以EF →＝(1，1，－1)，B 1C →
＝(－2，0，－2)． 所以异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值为
|cos 〈B 1C →，EF →
〉|＝????
??2－233（－2）2＋（－2）2＝0.
(3)由(1)知CF ⊥EF ， 由(2)知EF ⊥B 1C ，
又B 1C ∩CF ＝C ，B 1C ，CF ?平面B 1CA ， 所以EF ⊥平面B 1CA .
所以EF →
是平面B 1CA 的法向量．
因为FC 1→
＝(－1，1，2)，
所以cos 〈FC 1→，EF →
〉＝EF →2FC 1→|EF →||FC 1→|
＝－23，
所以直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值为
23
. 13．(20152淮南市监测考试)如图，已知四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝PA ＝2，E 是BC 的中点．
(1)求异面直线AE 与PC 所成的角；
(2)求二面角D -PC -A 的平面角的余弦值．
解：
(1)如图所示，以A 点为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)．
故E (1，1，0)，AE →＝(1，1，0)，PC →
＝(0，2，－2)，
cos 〈AE →，PC →
〉＝AE →2PC →|AE →|2|PC →|
＝12，
即〈AE →，PC →
〉＝60°，
故异面直线AE 与PC 所成的角为60°.
(2)在四边形ABCD 中，因为AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ， 所以∠ABC ＝∠ACB ＝45°，
因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠ACB ＝45°， 又AD ⊥CD ，所以AD ＝CD ＝2，
所以D (－1，1，0)，又C (0，2，0)，
所以CD →＝(－1，－1，0)，PC →
＝(0，2，－2)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面PCD 的法向量，则CD →⊥n ，PC →⊥n ，即CD →2n ＝0，PC →
2n ＝0，
所以?
????－x －y ＝0，2y －2z ＝0，令x ＝－1，得y ＝1，z ＝1，
即n ＝(－1，1，1)，|n |＝3，
又AB ⊥平面PAC ，所以AB →
＝(2，0，0)是平面PAC 的一个法向量，
所以cos 〈AB →
，n 〉＝AB →2n |AB →|2|n |＝－33，
即二面角D -PC -A 的平面角的余弦值为
33
.
14．(20152福州地区八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，BF ＝CF ＝AE ＝DE ，EF ＝2，EF ∥AB ，AF ⊥CF .
(1)若G 为FC 的中点，证明：AF ∥平面BDG ； (2)求平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值． 解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点， 则O 为AC 的中点，连接OG ，
因为点G 为FC 的中点， 所以OG ∥AF .
因为AF ?平面BDG ，OG ?平面BDG ，所以AF ∥平面BDG .
(2)取AD 的中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则MQ ∥AB ∥EF ， 所以M ，Q ，F ，E 共面．
作FP ⊥MQ 于P ，EN ⊥MQ 于N ，则EN ∥FP 且EN ＝FP . 连接EM ，FQ ，因为AE ＝DE ＝BF ＝CF ，AD ＝BC ，
所以△ADE 和△BCF 全等，所以EM ＝FQ ，所以△ENM 和△FPQ 全等， 所以MN ＝PQ ＝1，
因为BF ＝CF ，Q 为BC 中点，所以BC ⊥FQ ， 又BC ⊥MQ ，FQ ∩MQ ＝Q ，所以BC ⊥平面MQFE ， 所以PF ⊥BC ，
所以PF ⊥平面ABCD . 以P 为原点，PM 为x 轴，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (3，1，0)，B (－
1，1，0)，C (－1，－1，0)，设F (0，0，h )，则AF →＝(－3，－1，h )，CF →
＝(1，1，h )．
因为AF ⊥CF ，所以AF →2CF →
＝0，解得h ＝2. 设平面ABF 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， AF →＝(－3，－1，2)，BF →
＝(1，－1，2)，
由?????n 12AF →＝0，n 12BF →＝0，
得?????－3x 1－y 1＋2z 1＝0，
x 1－y 1＋2z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝2，得一个法向量n 1＝
(0，2，1)．
同理得平面BCF 的一个法向量为n 2＝(－2，0，1)，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 12n 2|n 1|2|n 2|＝1535＝1
5，
所以平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值为1
5
.
[B 卷]
1．(20152南宁市第二次适应性测试)如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段BP 上一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27.
(1)试确定点F 的位置，使得EF ∥平面PDC ；
(2)若BF ＝1
3
BP ，求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值．
解：(1)取线段BP 的中点F ，取PC 的中点O ，连接FO ，DO ，
因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点，所以FO 綊1
2
BC .
因为四边形ABCD 为平行四边形，ED ∥BC ，且DE ＝1
2
BC ，
所以FO ∥ED 且ED ＝FO ，所以四边形EFOD 是平行四边形， 所以EF ∥DO .
因为EF ?平面PDC ，DO ?平面PDC ，所以EF ∥平面PDC . (2)以DC 为x 轴，过D 点作DC 的垂线为y 轴，DA 为z 轴建立空间直角坐标系．在△PDC 中，由PD ＝4，PC ＝27，∠CDP ＝120°，及余弦定理，得CD ＝2，
则D (0，0，0)，C (2，0，0)，B (2，0，3)，P (－2，23，0)，A (0，0，3)，
设F (x ，y ，z )，则BF →
＝(x －2，y ，z －3)＝13BP →＝? ????－43，233，－1，所以F ? ????23，233，2.
AF →＝? ??
??
23，
233，－1.设平面PBC 的法向量n 1＝(a ，b ，c )，
CB →
＝(0，0，3)，PC →
＝(4，－23，0)，
由?????n 12CB →＝0，n 12PC →＝0，得???3c ＝0，4a －23b ＝0，
令b ＝1，可得n 1＝? ????
32，1，0.
cos 〈AF →
，n 1〉＝AF →
2n 1|AF →||n 1|
＝6 2135，
所以直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值为6 21
35
.
2．(20152开封市质量监测)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．
(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；
(2)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．
解：(1)证明：作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME . 因为点F 为PD 的中点，
所以FM ＝1
2CD .
所以AE ＝1
2
AB ＝FM ，
所以AEMF 为平行四边形，
所以AF ∥EM ，因为AF ?平面PEC ，EM ?平面PEC ， 所以直线AF ∥平面PEC .
(2)连接DE ，因为∠DAB ＝60°，所以DE ⊥DC .
如图所示，建立直角坐标系，则P (0，0，1)，C (0，1，0)，
E ? ????32，0，0，A ? ????3
2，－12，0，B ? ????32，12，0，
所以AP →＝? ?
?
??－32，12，1，AB →＝(0，1，0)．
设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
因为n 2AB →＝0，n 2AP →
＝0，
所以?????－32x ＋12y ＋z ＝0，
y ＝0，
取x ＝1，则z ＝
32，所以平面PAB 的一个法向量为n ＝?
?
???1，0，32. 因为PC →＝(0，1，－1)，设向量n 与PC →
所成的角为θ，
所以cos θ＝n 2PC →|n ||PC →|＝－327432
＝－42
14，
所以PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
4214
. 3．(20152九江市第一次统考)如图所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝λAD ＝λAA ′(λ>0)，E ，F 分别是A ′C ′和AD 的中点，且EF ⊥平面A ′BCD ′.
(1)求λ的值；
(2)求二面角C -A ′B -E 的余弦值．
解：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AA ′＝AD ＝2，则AB ＝2λ，
D (0，0，0)，A ′(2，0，2)，D ′(0，0，2)，B (2，2λ，0)，C (0，2λ，0)，
E (1，λ，2)，
F (1，0，0)．
(1)EF →＝(0，－λ，－2)，D ′A ′→＝(2，0，0)，A ′B →
＝(0，2λ，－2)，
因为EF ⊥D ′A ′，EF ⊥A ′B ，所以EF →2D ′A ′→＝0，EF →2A ′B →
＝0，
即－2λ2
＋4＝0，所以λ＝ 2.
(2)设平面EA ′B 的一个法向量为m ＝(1，y ，z )，
则?????m 2A ′B →＝0，
m 2A ′E →＝0，
因为A ′B →＝(0，22，－2)，A ′E →
＝(－1，2，0)，
所以???22y －2z ＝0，－1＋2y ＝0，
所以y ＝22，z ＝1，所以m ＝? ?
???1，22，1.
由已知得EF →
为平面A ′BC 的一个法向量， 又EF →
＝(0，－2，－2)，
所以cos 〈m ，EF →
〉＝m 2EF →|m |2|EF →|
＝－1－2
12＋? ????222＋12302＋（－2）2＋（－2）
2
＝
－310
2
36＝－
155
. 又二面角C -A ′B -E 为锐二面角，所以二面角C -A ′B -E 的余弦值为
155
. 4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．
(1)求证：AE ⊥平面BCD ；
(2)求二面角A -DC -B 的余弦值；
(3)在线段AF 上是否存在点M 使得EM ∥平面ADC ？若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD . 又在△ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ?平面ABD ， 所以AE ⊥平面BCD .
(2)由(1)结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，AE ⊥BD .
如图，以E 为坐标原点，分别以EF ，ED ，EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E -xyz .
不妨设AB ＝BD ＝DC ＝AD ＝2，则BE ＝ED ＝1，
AE ＝3，BC ＝23，EF ＝3
3
，
则E (0，0，0)，D (0，1，0)，B (0，－1，0)，A (0，0，3)，F ? ??
??
33，0，0，C (3，2，0)，
DC →
＝(3，1，0)，AD →
＝(0，1，－3)．
由AE ⊥平面BCD 可知平面CDB 的一个法向量EA →
＝(0，0，3)． 设平面ADC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????n 2DC →＝0，n 2AD →＝0，即???3x ＋y ＝0，
y －3z ＝0，
令z ＝1，则y ＝3，x ＝－1，所以n ＝(－1，3，1)．
所以cos 〈n ，EA →
〉＝EA →2n |EA →|2|n |＝55，
所以二面角A -DC -B 的余弦值为
55
. (3)设AM →＝λAF →
，其中λ∈[0，1]．
由于AF →＝? ??
??3
3，0，－3，
所以AM →＝λAF →
＝λ? ??
??33，0，－3，其中λ∈[0，1]，
所以EM →＝EA →＋AM →＝? ??
??3
3λ，0，（1－λ）3，
令EM →
2n ＝0，得33
λ－(1－λ)3＝0，
解得λ＝3
4
∈[0，1]，
所以在线段AF 上存在点M 使得EM ∥平面ADC ，且AM AF ＝3
4
.
101. C B A '''?是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC (C) C B A '''∠≥∠ABC (D) 不能确定 解析：D 一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等． 102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90?, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30?和45?, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。 解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。 2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。 解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。 ∵CD ⊥α ∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。 ∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30?, ∠DBC = 45? 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30? ∴AC = 3h 在Rt △BCD 中 ∵CD = h , ∠DBC = 45?
∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB 在Rt △ACB 中 AB AC BC h =+=222 S AC BC AB CE =?=1212 · ∴CE AC BC AB h h h h =?==3232· ∴在Rt △DCE 中, DE DC CE h h h =+=+=22223272 () ∴点D 到直线AB 的距离为72 h 。 103. 已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角． 求证：l ⊥α 证法一：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO = BO = CO ．设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中， ∵ PO 公用，AO = BO = CO ，∠POA =∠POB =∠POC ， ∴ △POA ≌△POB ≌△POC ∴ PA = PB = PC ．取AB 中点D ．连结OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB ， ∵ D OD PD =I ∴ AB ⊥平面POD
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________
一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
目录 第七章数列 (2) 第一节等差数列 (2) 题型73、等差数列基本运算 (2) 题型74、等差数列判定与证明 (3) 题型75、等差数列性质及结论的应用 (4) 题型76、等差数列前n项和的最值 (5) 第二节等比数列 (6) 题型77、等比数列基本运算 (6) 题型78、等比数列的判定与证明 (6) 题型79、等比数列的性质和结论 (8) 第三节数列的通项公式和前n项和公式 (9) 题型80、数列求通向公式 (9) 80.1、累加法： (9) 80.2、累乘法： (10) 80.3、待定系数法： (11) 80.4、对数变换法： (16) 80.5、倒数变换法： (17) 80.6、阶差法（逐项相减法）： (17) 题型81、数列求前n项和 (20) 81.1、利用常用求和公式求和 (20) 81.2、错位相减法求和 (21) 81.3、分组法求和 (22) 81.4、裂项法求和 (23) 81.5、反序相加法求和 (25) 81.6、分段求和 (26)
第六章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要： ? 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ? 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ? 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． ? 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ? 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． 2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ? 典型例题精讲精练： 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30
2015艺考生高考数学总复习讲义 第一章、集合基本运算 一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合
高考数学备考心得体会 高考数学备考心得体会篇一 这一学期的拓展课是“高中数学思想学习的方法好研究”。老师最少的题量为我们分析讲解最典型和常见的题型，帮助我们摆脱题海之苦，提高数学成绩。 通过本学期拓展课的学习，我能大概了解、掌握了部分的高中数学的学习方法。多层次、多角度、多交叉、多广度，深度上对知识加以拓展和提高，并且能在平日学习数学的过程中有所拓宽和发展，对课堂内容知识的归纳，总结，梳理等方面有进步，培养了自己对数学学习的兴趣好良好的习惯。 在学习到解决数学问题的方法和思路的同时，对一些在课堂上或是平时不懂、迷惑的地方进行探讨，更好地加强了对知识点的理解和应用。例如数学思想中的“分类讨论”，“函数数学在不等式中的应用”，“参数问题”等有了深一步的研究好拓展，便于让我在今后的数学学习中加以应用和解答。臂如：①对于参数问题的学习，我们通过学习不同的例题，通过研究、分析得到解决这一问题的主要方法与途径------分离参数，变换主元等常用的解题方法。②对分类讨论这一问题的研究：引起分类讨论的原因主要是由于存在不确定的元素及公式，概念的分类……，并研究了基本步骤等等。 总之进入高中以后，数学学习的方法好内容都有了很大 转变，题目的难易程度也比以前有了很大的提高，及时消化吸收新知识，复习巩固旧知识也成了我的困扰。但通过此次学习，我发现数学学习其实是有径可循。对于一些问题要予以归纳总结，并作一些相配套的练习，以达到巩固效果。一学期来，我收获了很多，尤其在学习方法上有了系统的概念，能够更好地高中的数学学习。 高考数学备考心得体会篇二 一直以来，我都在不断反思、探索，寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题：
高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =．
高考数学复习：最后三月总体复习方案 高考越来越近，谁能更好的利用时间，谁能更好安排复习计划，总体把握，谁就更有可能在最后的时刻脱颖而出。那么，我们怎么样才能把握最后的三个月，抓住最后的黄金复习时间，让自己的数学更上一层楼呢？ 一、全力夯实双基，保证驾轻就熟目前高考数学试卷，基础知识和基本方法的考查占80％左右的份量，即使是创新题或能力题也是建立在双基之上，只有脚踏实地、一丝不苟地巩固双基，才能占领高考阵地。 教材是精品，把握了教材，也就切中了要害。不仅要深刻理解教材中的知识，更要关注教材中解决问题的思想方法，还要全面把握知识体系，保证：⑴不掌握不放过。对照《考试说明》，确定考试范围，认真阅读和理解教材中相关内容，包括每个概念、每个例题、每个注释、每个图形，准确理解和记忆知识点，不留空白和隐患。⑵胸无全书不放过，在掌握知识点的基础上，根据知识的内在联系，构建知识网络，把书学得“由厚变薄”。不防从课本的章节目录入手，进行串联，形成体系。⑶有疑难不放过。为巩固复习效果，发展思维能力，适量的练习是必要的，练习中遇到困难也在所难免，必须找到问题的症结在那里，对照教材，彻底扫除障碍。回归教材、吃透课本，千万不能眼高手低哟。 二、重视错题病例，实时忘羊补牢。
错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们方法的不当，毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会。 由于题海战术的影响，许多同学，拼命做题，期望以多取胜，但常常事与愿违，不见提高，走访了一些同学，普遍觉得困惑他们的是有些错误很顽固，订正过了，评讲过了，还是重蹈覆辙。原因是没有重视错误，或没有诊断出错因，没有收到纠错的效果。 建议：建立错题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，警钟长鸣，以绝后患。注意收集错题也有个度的问题，对于那些一时粗心的偶然失误，或一时情绪波动而产生的失误应另作他论。 三、加强毅力训练，做到持之以恒。 毅力比热情更重要。进入高三，同学们都雄心勃勃。但由于各种因素的影响，有的同学能够坚持不懈，平步青云。有的同学松弛下来，形成知识或方法上的梗阻。影响情绪和信心。阻碍前进的步伐。训练毅力刻不容缓！ 计划明确，并坚决执行，不寻找借口，做到“今日事今日毕”，决不拖到明天做今天的事，练习也要限时完成，一个小时完成的，决不拖成一个半小时完成，否则将影响后续的学习和
三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;
文登一中高三数学备考方案 （一）指导思想 以加强双基教学为主线，以提高学生综合能力为目标，结合考点，紧扣教材，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力及应试能力。 （二）复习要求 一、深入研究教材和《考试说明》，务必明确考试方向 高考考试说明是高考法定的命题文件，而教材是命题的主要资源，也是数学复习之本。 对于课本的研究应主要从三个方面人手：准确掌握课本中出现的基本知识(主要概念、公式、法则)；基本知识产生的过程以及其蕴涵的研究方法和所运用的数学思想；用好教材中的例、习题，并注意延伸和拓展。特别注意从课本例题中引导学生学习解题规范。 特别应该重视的是教材中基本概念的深刻化理解。正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一。因此，在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，不断总结规律，回归概念。对知识要进行分类、整理、综合加工，从而形成一个有序的知识体系。 如代数中的“四个二次”（二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时），以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。 研究《考试说明》就要深入了解考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构、题型示例等五部分内容，探知命题走向。另外，还要研究近几年山东高考试题并关注教研中心对高考试题的评价报告等。进一步明确数学科试题的命题范围，知识要求、能力要求和个性品质要求等。 二、整体把握高中数学课程，突出重点知识及其联系 《考试说明》指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。 复习过程中，做到整体把握高中三年的数学课程，整体计划一轮、二轮复习计划，重点内容要注意反复训练，有联系的内容要注意交叉和整合不同的知识板块，切勿按教材顺序照本宣科。如导数与函数、方程、不等式的整合，三角与向量的整合等。阶段性测试也要从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。 三、重视对数学思想方法的理解和掌握，注重通性通法 《考试说明》强调：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的
圆锥曲线 一、填空题 1、(201５年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点,若P 到 直线10x y -+=的距离大于ｃ恒成立,则ｃ的最大值为＿ __ 2 _____＿____。 ２、（2013年江苏高考)双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2０１3年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x , 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ,若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系ｘoy 中,已知抛物线C ：y x 42 =的焦点为F,定 点)0, 22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M,与抛物线Ｃ的准线相交于点N,则ＦM ：ＭN ＝ 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二））已知双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的离心率等于2， 它的焦点到渐近线的距离等于１，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线 22 14x y m -= 的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线2 8y x =的焦点F 与双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线＼F(x ２ ,a 2 )-＼F(ｙ2 ,b 2 )＝１(a ＞0,b >0)的渐近线方程 为y =±＼R(，3）x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线 2 2 15 x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 1０、（南京市、盐城市 高三)若双曲线2 2 2 (0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2 4y x =的焦点重合,则a = ▲ ． Y
第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同
2019年高考备考：如何成功拿下高考数学数学要想在高考考场上考出优异的成绩，不但需要扎实的基础知识、较高的数学解题能力做基础，临场考试的技巧更是无数学子圆梦所必备的。针对数学学科特点，谈高考答题技巧，仅供参考: 1.调整好状态，控制好自我。 (1)保持清醒。数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己:只有静心休息才能确保考试时清醒。 (2)按时到位。今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。建议同学们提前15-20分钟到达考场。 2.通览试卷，树立自信。 刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。面对偏难的题，要耐心，不能急。 3.提高解选择题的速度、填空题的准确度。 数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选
择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。 4.审题要慢，做题要快，下手要准。 题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。 找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。 5.保质保量拿下中下等题目。 中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。 6.要牢记分段得分的原则，规范答题。 会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。 难题要学会: (1)缺步解答:聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已
高考数学二轮专题复习 数学思想方法 【考纲解读】 1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系. 【考点预测】 1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。 2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n 项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。 3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。 【要点梳理】 1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数. 3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比1q =和1q ≠、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a 分为1a >和01a <<两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。 4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。 【考点在线】 考点一 函数与方程思想 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f -1 (x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表 示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示 ． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?= ． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为_______． 【反馈演练】 1．设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______个． )()()U U B A B =?)()() U U B A B =?
2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。
一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷
专题二 万能答题模板——助你解题得高分 数学解答题题型解读 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力． 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化． 万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分． 模板1 三角函数的性质问题 例1 已知函数f (x )＝cos 2????x ＋π12，g (x )＝1＋1 2 sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间． 审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式． 解 (1)f (x )＝12? ???1＋cos ????2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π 6＝k π (k ∈Z )， 即2x 0＝k π－π 6 (k ∈Z )． 所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋1 2sin ????k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ????－π6＝1－14＝34. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝5 4. (2)h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝12[1＋cos ????2x ＋π6]＋1＋1 2 sin 2x
2019届高三数学复习备考计划 一、指导思想 按照新课程标准的要求，根据数学高考试题“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点和本校学生的实际，在高三数学复习中我们以潜心钻研新课标、仔细研究新考纲、有效落实双基、科学组织备考为指导思想，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益，以加强双基教学为主线，以提高学生数学能力为目标，加强学生对知识的有效理解、联系应用，同时，结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。 二、复习依据 根据新课程指导实施意见，以人教社新教材、普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）为复习依据，仔细阅读研究新课程标准，同时参考近几年高考试题及新课程标准和教材。 三、复习计划 1、一轮基础复习（2018年8月初-----2019年3月上旬）【以《创新大课堂》为蓝本】 第一阶段复习，基础知识复习阶段，要体现基础性、全面性、熟练性，有效性。 （1）基础性：根据数学新课程标准，强调复习内容应是数学课程标准要求的数学基础知识，它包括数学基础知识、基本技能和基本方法。 （2）全面性：根据考纲的要求，对高中数学中的每个知识点进行全面的复习，对常用数学方法进行全面的总结。 （3）熟练性：即指通过复习，学生对数学基础知识和基本数学方法要熟练地掌握和运用，要加强运算求解、数据处理的能力，为以后进一步复习打下扎实的基础。 （4）有效性：即指通过复习，学生能够科学有效的解答试题，得到试卷的有效分数。 要到达目的： （1）深化对“双基”的掌握和运用； （2）形成有效的知识模块 （3）归纳总结常用的数学思想方法； （4）帮助学生积累解题经验，提高解题水平； （5）训练学生的数学运算求解、数据处理能力，特别是有条理的书面表达能力。 具体做法：按照资料章节讲练，安排见附表。 2、二轮专题复习（2019年3月中旬-----2019年5月初）【专题和试题】 第二阶段复习注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。同时要重点研究新的考纲，严格落实考纲对知识点的要求，要体现“深刻性、拓展性和发散性”。