必修一值域求法
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
b
ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴???=+=342b ab a ∴?
?????=-===32
12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知
2
21
)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21
≥+x x
2)(2
-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=
x t ，则1≥t ，2
)1(-=t x x x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2
2+=-+=+∴ )0(≥x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则?????=+'-=+'3222y y x
x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上
x x y '+'='∴2
把?
?
?-='--='y y x x 64
代入得：)4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴
67)(2
---=x x x g
例5 设,
)1
(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得
x x f x f 1
)(2)1(=
- ② 解① ②联立的方程组，得
x x x f 32
3)(--
=
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又
,
11)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又
11
)()(-=
+x x g x f ① ，
用x -替换x 得：
11)()(+-
=-+-x x g x f 即11
)()(+-
=-x x g x f ②
解① ②联立的方程组，得
11)(2-=
x x f ， x x x g -=
21
)(
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使
问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有
1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f
解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(， 又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①
分别令①式中的1,2
1x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,
()(1),f f f f f n f n n -=-=--=
将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=
+++=∴n n n n f +
∈+=∴N x x x x f ,21
21)(2 2.
4.求下列函数的解析式:
(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x). (2)已知f(x)+2f(x 1
)=3x,求f(x)的解析式
8.已知f （x ）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则f （x ）=__________.
函数值域求法十一种 1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1y =
的值域。解：∵0x ≠ ∴0
x 1
≠
显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x 3y -=的值域。解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=的值域。 解：将函数配方得：
4)1x (y 2
+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法
例4. 求函数
22
x 1x x 1y +++=
的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈
0)1y )(1y (4)1(2
≥----=?解得：23
y 21≤
≤
（2）当y=1时，0x =，而?????
?∈23,211故函数的值域为???
???23,21 例5. 求函数
)
x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 22
2=++-（1）∵R x ∈
∴
0y 8)1y (42
≥-+=?解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程：
0y x )1y (2x 22
2=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?
??
???23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴2
1y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：
]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
即当22222x 41-+=
时，原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔
除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54
x 3++值域。
解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：
53x ≠故所求函数的值域为：??? ??∞-53, 5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y x
x +-=的值域。解：由原函数式可得：1y 1y e x
-+=
∵0e x
>∴01
y 1
y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-
例8. 求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。
解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：
y 3)x (x sin 1y 2=β++即1
y y 3)x (x sin 2+=
β+∵R x ∈∴
]1,1[)x (x sin -∈β+即
1
1
y y 312≤+≤
-解得：42y 4
2≤≤-故函数的值域为????????-42,42 6. 函数单调性法 例9. 求函数)10x 2(1x log 2
y 35
x ≤≤-+=-的值域。
解：令
1x log y ,2y 325
x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，
8112log 2y 33min =
-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：????
??33,81
例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：
1x 1x 2
y -++=
令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数
所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2
2
2
=显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1x x y -+=的值域。解：令t 1x =-，)0t (≥则1t x 2+=∵
43)21t (1t t y 22
++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知当0t =时，1y min =当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞
例12. 求函数2
)1x (12x y +-++=的值域。
解：因0)1x (12
≥+-即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴
1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= 1)4sin(2+π+β=∵π
≤π+β≤π≤β≤45
40,0 2
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π+β≤-
∴ 故所求函数的值域为]21,0[+
例13. 求函数
1x 2x x x y 24
3++-=的值域。 解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-?+?=可令β=tg x ，则有β=+-β=+2
222cos x 1x 1,2sin x 1x 2
β-=β?β-=∴4sin 412cos 2sin 21y 当82k π-π=β时，41y max =当82k π+π=β时，41
y min -
= 而此时βtan 有意义。故所求函数的值域为???
??
?-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，
?
?????ππ-∈2,12x 的值域。 解：)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+，则)1t (21x cos x sin 2
-= 2
2)1t (211t )1t (21y +=++-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且??????ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤
∴当2t =时，223y max
+=，当
22t =时，2243y +=故所求函数的值域为????????++223,2243。
例15. 求函数2
x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52≥-，可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=4)4sin(10sin 54cos 5y +π
+β=β++β=
∵π≤β≤04544
π
≤
π+β≤π∴当4/π=β时，104y max +=当π=β时，54y min -= 故所求函数的值域为：]104,54[+-
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数2
2)8x ()2x (y ++-=的值域。
解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞
例17. 求函数
5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。 解：原函数可变形为：
2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=
上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，
43)12()23(|AB |y 2
2min =+++==， 故所求函数的值域为],43[+∞
例18. 求函数
5x 4x 13x 6x y 2
2++-+-=的值域。 解：将函数变形为：2
222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。 即：|BP ||AP |y -=
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ?，根据三角形两边之
差小于第三边，有
26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-
即：26y 26<<-
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。 9. 不等式法
利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3
≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求
积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2
2-+++
=的值域。
解：原函数变形为：
5
2x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1x
cos 1
x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+
++=
当且仅当x cot x tan =即当
4k x π
±
π=时)z k (∈，等号成立故原函数的值域为：),5[+∞
例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。
解：x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42
=
27
64]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==
当且仅当x sin 22x sin 2
2-=，即当
32
x sin 2=
时，等号成立。
由
2764y 2
≤可得：938y 938≤≤-故原函数的值域为：????
????-938,938 10. 一一映射法
原理：因为
)0c (d cx b
ax y ≠++=
在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求
另一个变量范围。
例21. 求函数
1x 2x
31y +-=
的值域。
解：∵定义域为??????->-<21x 21x |x 或由1x 2x 31y +-=
得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-= 解得
23y 23y -
>-<或故函数的值域为??? ??+∞-??? ??-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
3x 2
x y ++=
的值域。
解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2
+=+
（1）当0t >时，
2
1
t 1t 11t t y 2≤
+=+=
，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以
21y 0≤
< （2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：?
????
?21,0 注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数424
32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=
的值域。
解：
4
23
4242x x 21x x x x 21x x 21y ++++
+++-=
22
22x 1x x 1x 1++???? ?
?+-=令2tan x β=，则β=????
?
?+-22
2
2cos x 1x 1
β=+sin 21x 1x 21
sin 2
1sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2
+??? ??-β-= ∴当41sin =β时，1617y max =当1sin -=β时，2y min -=此时
2tan β都存在，故函数的值域为??????-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑
直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
高中数学必修一函数的值域求法
最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3，5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域； 2的表达式，f(a)，记∈[0，1]f(a)为其最小值，求－练习已知函数y＝－3x＋2ax1，x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域；例 ，的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法：形如；常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值．在区间例4求函数[2，1x?
2）的取值范围是（在R上单调递增，且f(m )>f(-m)，则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为，最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈，则函数3．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2ax?bx?c；判别式法：形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?，a 212ax?bx?c2221的值域；求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；bax?13x??y 例5求函数的值域；2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数（方法一可用到图象法）例
2xxxy( ) ，3]，的最大值、最小值分别为1．函数∈＝4[0－当堂检测3 0 (D)4，0 (B)2，0 (C)3，(A)4，1( ) ．函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??）〕上的最大值、最小值分别是（ 3、函数在区间〔0，52?x33333,,0,0 B.，无最小值。 D. A. C. 最大值72727）（ff(x)的值域为[a，b]，则(x+a)的值域为．定义域为4R的函数y = ] ba+[-a，a[0，b-a] C．[，b] D．[2A．a，a+b] B．） （-．函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤．y．{y|y≤} C．{|y≥0} D{yB|A．{yy≥} 22252]?[?4,，则m，值域为的定义域为[0,m]的取值范围是（）6．若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27．函数＝4－－1 ∈－．______3)2，的值域为2．______8．函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8．函数11 ．的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。；．函数的值域是12．函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。．若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b22 15．求下列函数的值域：2x?x?y x?2?x?1y）（2）1 （21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根，求．已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211
高中数学必修一函数专题：二次函数值域
高一数学必修一函数专题：二次函数值域 第一部分：计算二次函数的值域 题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2 )(在定义域R x ∈上的值域。 解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴a b x 2- =。 第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2 )(开口向上。 二次函数)(x f 在对称轴a b x 2-=处取得最小值。 最大值为∞+。 第二种情况：当0高中函数值域的经典例题12种求法
一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
高一必修一数学函数的定义域值域专题训练打印版
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函数定义域、值域专题教案与练 习 一、函数的定义域 1．函数定义域的求解方法 求函数的定义域主要是通过解不等式（组）或方程来获得．一般地，我们约定：如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合． （1）若)(x f 是整式，则定义域为全体实数． （2）若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数．?? （3）若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数． （4）若)(x f 为对数式，则定义域为真数大于零的全体实数。 （5）若)(x f 为复合函数，则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定．如：)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数)]([x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出． （5）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定． 2．求函数定义域的常见问题： （1）若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解； （2）由)(x f y =的定义域，求复合函数)]([x g f 的问题，实际上是已知中间变量)(x g u =的值域，求自变量x 的取值范围问题； （3）对含有字母参数的函数，求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论； （4）若是实际问题除应考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 二、求函数的值域常用方法 （1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数值域求解； （2）单调性法：利用函数的单调性求解 （3）换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可以将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。 三、初等函数：指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域 1.指数函数：)1,0()(≠>=a a a x f x ，定义域：R x ∈；值域：),0()(+∞∈x f ； 2.对数函数：)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，定义域：),0(+∞∈x ；值域：R x f ∈)( 3.幂函数：α x x f =)(（)R ∈α，其定义域、值域随α的取值而不同，但在),0(+∞∈x 都有意义。
高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案
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函数的概念 函数的定义： 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域. 对函数概念的理解需注意以下几点： ①函数首先是两个数集之间建立的对应，A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应 ③认真理解()x f y =的含义：()x f y =是一个整体，()x f y =并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格 ④函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . 【例1】判断下列对应能否表示y 是x 的函数： （1）x y =；（2）x y =；（3）2x y =；（4）x y =2；（5）122=+x y ；（6）122=-x y 。 【练1】判断下列图象能表示函数图象的是（ ） (A)
区间的概念和记号 设a,b∈R ,且aa，x≤b，x高中数学求函数值域的类题型和种方法
高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：
必修一函数定义域值域和单调性奇偶性练习题
高一数学函数练习题 一、 求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，， 则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 225941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y =⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式系 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是
人教版必修一求函数值域的几种常见方法
人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x
必修一值域定义域练习题
1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示： 其中能表示为M 到N 的函数关系的有。 2、求下列函数的定义域： )(x f =1+x ＋ x -21 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f( ); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 3、已知函数)(x f =3x 2－5x ＋2，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f 。 4、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？ （1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y = x 1)31()31 -++x f x
5.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出f(x)的解析式. 变式训练1：（1）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （2）已知f （x ）满足2f （x ）+f （ ）=3x ，求f （x ）. 6 求下列函数的值域： （1）y= (2)y=x-; (3)y=. 变式训练2：求下列函数的值域： （1）y= ; (2)y=|x|. 7．若函数f （x ）=x 2 -x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. .8.判断函数f(x)=在定义域上的单调性. 需要答案回复 x x x 1;122+--x x x x x 21-1e 1e +-x x 521+-x x 21x -2112-x
必修一 函数的定义域及值域
个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念，明确确定函数的三个要素，会用区间表示函数的定义域和值域；掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法，并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、 3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a函数值域的十一种求法求法
函数值域求法十一种 1.直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1 y _ 例1.求函数 X 的值域。 解：??? X 0 显然函数的值域是：(,0) (0,) 例2.求函数y 3 x 的值域。 解：.、x 0 ■■■-.'X 0,3 x 3 故函数的值域是：[，3] 2.配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3.求函数y X 2x 5,x [ 1,2]的值域。 2 解：将函数配方得：y (x D 4 x [ 1,2] 由二次函数的性质可知：当 X=1时，y min 4，当x 1时，y max 故函数的值域是：[4 , 8] 3. 判别式法 y 例4.求函数 解：原函数化为关于 X 的一元二次方程 (y 1)x 2 (y 1)x (1)当 y 1 时，x R 2 (1) 4(y 1)(y 1) 0 1 3 y _ 解得：2 2 故函数的值域为 2 2 例5.求函数y % x(2 x)的值域。 1 x x 2 1 X?的值域。 1 (2)当 y=1 时，x 0，而 1 3 2， 2
2 .. 2 242 2 时， 原函数的值域为：【°，1 -2］ 注：由判别式法来判断函数的值域时， 若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的 定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 3x 4 例6.求函数5x 6值域。 4 6y 解：由原函数式可得: x 5y 3 y 4 6y 3 x - 则其反函数为： 5x 3，其定义域为： 5 故所求函数的值域为: 3 5 5 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性， 反客为主来确定函数的值域。 e x 1 y 例7.求函数 e 1 的值域。 解：由原函数式可得： ；1 解：两边平方整理得: ?/ x R 2x 2 2(y 1)x y 2 (i ) 4(y 1)2 8y 解得：1 2 y 1 但此时的函数的定义域由x (2 x) 0 ，得° 由 °，仅保证关于x 的方程：2x 2(y 确保其实根在区间［0, 2］上，即不能确保方程 1 实际范围大，故不能确定此函数的值域为 2 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 --0 x y min X i 解得: 、 2 (1) 3 2 x 2 1)x y2 0在实数集R 有实根，而不能 有实根，由 0求出的范围可能比y 的 ' x(2 x) 0 °，y 1 2 代入方程(i ) 2 、2 24.2 [0,2] 、 、2 X i 即当
数学必修一定义域值域知识点总结
数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.
例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;
高中数学必修一专题讲解 函数值域的几类求法
一.观察法 观察法是指对一些简单的函数可在定义域及函数对应关系的基础上，通过观察确定函数值域的方法. 例1. 求函数 12 x y x +=+ 的值域. 例2. 求函数 2y = 的值域. 二.配方法 配方法是求二次函数值域的基本方法之一，是指当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的函数时，用配方来求函数值域的方法. 例3.求函数 242y x x =-++ 的值域. 例4. 求函数 421y x x =++ 的值域. 三.分离常数法 分离常数法是指对于一些简单的，分子和分母是同次函数的有理函数求值域的方法. 例5. 求函数 12 x y x +=- 的值域. . 例6. 求函数 225623 x x y x x +-=+- 的值域. 四.换元法 换元法是指通过对函数的恒等变形，将函数化成为易求值域的函数形式来求函数值域的方法.换元法一般有两种：一是代数换元法 ， 二是三角换元法.
例7. 求函数 y x =的值域. 五.单调性法 单调性法是指如果所给出的函数是单调函数，那么通过确定函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性来求出函数值域的方法. 例9.求函数 y x =的值域. 六.判别式法 判别式法是指，如果所给的函数是二次函数或把函数式可化为关于x 的二次方程 (),0F x y = 的函数时，用二次方程有实根的判别式 24b ac =- 来求出函数值域的方法. 例12. 求函数 221 x y x x =++ 的值域. 例13. 求函数 y x =的值域. 七.复合函数法 复合函数法是指对函数 ()(),y f u u g x == 来说,先求函数 ()u g x = 的值域相当于函数 ()y f u = 的定义域,从而求出()y f u =的值域的方法. 例21.求函数 ()212 log 253y x x =-++ 的值域.
高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型
高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3） 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
（一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。
必修1函数的值域和求法
必修1复习专题函数之二(值域) 吴川三中文科数学出版 一 相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈= ，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 二 确定函数值域的原则 1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合； 2、数)(x f y =的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； 3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域 1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ； 2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y ； ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、反比例函数)0(≠=k x k y 的值域为 }0/{≠y y ；4、数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ；5、对数函数 )10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。6，函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1- 四 求函数值域的方法 1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(2 32 ，求函数-∈+-=x x x y 的值域； 解：1223)61(32322+-+-=x x x y ＝求函数 画出图像（图略）从图可知, .7212 23 )615(35;12 23 612max min =+-=== =，y x ，y x 时时 所以此函数的值域为]7212 23 [，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域； 解：设;0562≥---=μμ ，则x x ;44)3(5622≤++-=---=x x x μ .400≤≤∴≥μμ，又 ].2,0[],2,0[值域为∴∈μ
函数值域求法十五种
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 基本知识 1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2.函数值域常见的求解思路： ⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。 ⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。 特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 ⑷可以用函数的单调性求值域。 ⑸其他。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 例1. 求函数的值域。 解：∵∴ 显然函数的值域是： 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例2. 求函数的值域。 解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，
故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例3. 求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1） ∵∴ 解得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不 能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能 比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵∴ ∴代入方程（1） 解得：即当时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. 求函数值域。
苏教版高一数学必修一函数的定义域和值域
课 题 函数的概念和图像 授课日期及时段 教学目的 1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处 教学内容 1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别 2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22 -=②1-=x y ③1 1+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有： 4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。 函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。 讲授新课： 一、函数的判断 例1.<1>下列对应是函数的是 注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应） ①x y y x =→: ②12++→x x x
<2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ） 注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数 A.()()()2 ,x x g x x f = = B.()()2,x x g x x f = = C.()()2 4,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f == 练习： 1.设有函数组：①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x x y x y = =,④()() x x y x x y =<>???-=,0011 ⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10 lg ,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。 二：函数的定义域 注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R. (2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合 (3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域： （1）2 322 ---=x x x y （2）x x y -?-=11
