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数学总复习1

第1课时实数的有关概念

【知识梳理】

1.实数的分类:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限

环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.

2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴

上的点一一对应.

3.绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作

∣a∣,正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

4.相反数:符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数.a的相

反数是-a,0的相反数是0.

5.有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数

字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.

6.科学记数法:把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种

记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10-5.

7.大小比较:正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.

8.数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.

9.平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x

就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.

10.开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.

11.算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么

这个正数x就叫做a的算术平方根,0的算术平方根是0.

12.立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数

x就叫做a的立方根(也叫做三次方根),正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.

13. 开立方:求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.

【思想方法】 数形结合,分类讨论

【例题精讲】 例1.下列运算正确的是( )

A .33--=

B .3)31

(1-=-

C

3=± D

3=-

) A

. B

. C

.2-

D

.2

例3.2的平方根是( )

A .4 B

C

. D

.例4.《广东省2009年重点建设项目计划(草案)》显示,港珠澳大桥工程估算总投资726亿元,用科学记数法表示正确的是( )

A .107.2610? 元

B .972.610? 元

C .110.72610? 元

D .117.2610?元 例5.实数a b ,在数轴上对应点的位置如图所示, 则必有( )

A .0a b +>

B .0a b -<

C .0ab >

D .

0a

b

< 例6.(改编题)有一个运算程序,可以使:

a ⊕

b = n (n 为常数)时,得

(a +1)⊕b = n +2, a ⊕(b +1)= n -3 现在已知1⊕1 = 4,那么2009⊕2009 = . 【当堂检测】

1.计算3

12??

- ???

的结果是( )

a 0 例5图

A.1

6

B.

1

6

-C.

1

8

D.

1

8

-

2.2-的倒数是()

A.

1

2

-B.

1

2

C.2D.2-

3.下列各式中,正确的是()

A.3

15

2<

15

3<

15

4<

15

14<

<

4.已知实数a

在数轴上的位置如图所示,则化简|1|a

-

()

A.1 B.1-C.12a

-D.21

a-5.2-的相反数是()

A.2B.2-C.1

2

D.

1

2

-

6.-5的相反数是____,-1

2

的绝对值是

=_____.

7.写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于-1的数.

8.如果2

()1

3

?-=,则―‖内应填的实数是()

A.3

2B.2

3

C.2

3

-D.

3

2

-

第2课时实数的运算【知识梳理】

1

异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加,仍得这个数.

2.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

3.有理数乘法法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝

第4题图

对值相乘;

任何数与0相乘,积仍为0.

4.有理数除法法则:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;

0除以任何非0的数都得0;除以一个数等于乘以这个数的倒数.

5.有理数的混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减; 如果有括号,先算括号里面的. 6.有理数的运算律:

加法交换律:a+b=b+a(a b 、为任意有理数)

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数

)

【思想方法】 数形结合,分类讨论

【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖,校园生活丰富多彩.星期二下午4 点至5点,初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动,其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍,参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍,那么参加美术活动的同学其有____________名.

例2.下表是5个城市的国际标准时间(单位:时)那么北京时间2006

年6月17日上午9时应是( )

A .伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.

B .纽约时间2006年6月17日晚上22时.

C .多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .

-4

国际标准时间(时)

-5 例2图

D .汉城时间2006年6月17日上午8时.

例3.如图,由等圆组成的一组图中,第1个图由1个圆组成,第2个图

由7个圆组成,第3个图由19个圆组成,……,按照这样的规律排列下去,则第9个图形由__________个圆组成.

例4.下列运算正确的是( )

A .523=+

B .623=?

C .13)13(2-=-

D .353522-=- 例5.计算:

(1) 9

1

1)1(8302+-+--+-π

(2)0(tan 45π--+o

(3)102)21()13(2-+--;

(4)2008011

(1)()3

π--+-

【当堂检测】

1.下列运算正确的是( )

……

例3图

A .a 4×a 2=a 6

B .22532a b a b -=

C .325()a a -=

D .2336(3)9ab a b =

2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元,用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为( )

A .81041?元

B .9101.4?元

C .9102.4?元

D .8107.41?元

3.估计68的立方根的大小在( )

A.2与3之间

B.3与4之间

C.4与5之间

D.5与6之间 4.如图,数轴上点P 表示的数可能是( ) A

B

C . 3.2- D

.5.计算: (1)02200960cos 16)2

1

()1(-+--- (2

)

1

112-??

- ???

第3课时 整式与分解因式 【知识梳理】

1.

指数相加,即n m n m a a a +=?(m 、n 为正整数);同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷(a≠0,m 、n 为正整数,m>n )即n n n b a ab =)((n 为正整数);④零指数:10=a (a≠0);⑤负整数指数:n

n a a 1

=

-(a≠0,n 为正整数); 2.整式的乘除法:

第4题图

(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.

(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

(5)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方, 即22))((b a b a b a -=-+;

(6)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)

它们的积的2倍,即2222)(b ab a b a +±=±

3.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因式.

4.分解因式的方法:

⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

⑵运用公式法:公式22()()a b a b a b -=+- ;

2222()a ab b a b ±+=±

5.分解因式的步骤:分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然后再考虑是否能用公式法分解. 6.分解因式时常见的思维误区:

⑴ 提公因式时,其公团式应找字母指数最低的,而不是以首项为准. ⑵ 提取公因式时,若有一项被全部提出,括号内的项― 1‖易漏掉. (3) 分解不彻底,如保留中括号形式,还能继续分解等

【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是( ) A. a +2a=3a 2 B. 3a -2a=a C. a 2?a 3=a 6

D.6a 2÷2a 2=3a 2

【例2】(2008年茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后

输出的

结果是( )

结果 A .m B .m 2

C .m +1

D .m -1

【例3】若2320a a --=,则2526a a +-= . 【例4】下列因式分解错误的是(

)

A .22()()x y x y x y -=+-

B .2269(3)x x x ++=+

C .2()x xy x x y +=+

D .222()x y x y +=+

【例5】如图7-①,图7-②,图7-③,图7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行―广‖字,按照这种规律,第5个―广‖字中的棋子个数是________,第n 个―广‖字中的棋子个数是________

【例6】给出三个多项式:21212x x +-,21412x x ++,21

22

x x -.请选

择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.

【当堂检测】

1.分解因式:39a a -= , _____________223=---x x x

2.对于任意两个实数对(a ,b )和(c ,d ),规定:当且仅当a =c 且b

=d时,

(a,b)=(c,d).定义运算―?‖:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,ad +bc).若(1,2)?(p,q)=(5,0),则p=,q=.

3. 已知a=1.6?109,b=4?103,则a2÷2b=( )

A. 2?107

B. 4?1014

C.3.2?105

D.

3.2?1014.

4.先化简,再求值:22

()()(2)3

a b a b a b a

++-+-

,其中

22

a b

=-=.

5.先化简,再求值:22

()()()2

a b a b a b a

+-++-,其中

1

3

3

a b

==-

,.

第4课时分式与分式方程【知识梳理】

1. 分式概念:若A 、B 表示两个整式,且B 中含有字母,则代数式B

A

叫做分式.

2.分式的基本性质:(1)基本性质:(2)约分:(3)通分: 3.分式运算

4.分式方程的意义,会把分式方程转化为一元一次方程.

5.了解分式方程产生增根的原因,会判断所求得的根是否是分式方程的增根. 【思想方法】

1.类比(分式类比分数)、转化(分式化为整式)

2.检验

【例题精讲】

1.化简:22

2211

1x x x x x x

-+-÷-+

2.先化简,再求值: 22224242x x x x x x --??

÷-- ?-+??,其中2x =

3.先化简

1

1112-÷-+x x x )(,然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值.

4.解下列方程(1)013522=--+x

x x x (2)416

22222

-=-+-+-x x x x x

5.一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后,速度提高了26千米/时,现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时,已知甲、乙两站的路程是312千米,若设列车提速前的速度是x 千米,则根据题意所列方程正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【当堂检测】

1.当99a =时,分式211

a a --的值是

2.当x 时,分式1

1

2

--x x 有意义;当x 时,该式的值为0.

3.计算2

2

()ab ab 的结果为

4. .若分式方程

x

x k x --=+-2321有增根,则k 为( ) A. 2 B.1 C. 3 D.-2 5.若分式

3

2

-x 有意义,则x 满足的条件是:( ) A .0≠x B .3≥x C .3≠x D .3≤x

6.已知x =2008,y =2009,求x y

x 4y 5x y x 4xy

5x y 2xy x 22

22-+-+÷-++的值

7.先化简,再求值:4x

x 16

x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+,其中22+=x

8.解分式方程. (1)22011

x

x x -=+- (2) x 2)3(x 22x x -=--;

(3) 11322x

x x -=--- (4)11

-x 1x 1x 22

=+--

第5课时 二次根式 【知识梳理】 1.二次根式:

(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2.二次根式的化简:

3.最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.

(2)根号内不含分母 (3)分母上没有根号

4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 5.二次根式的乘法、除法公式:

(1

a0b0

≥≥

,)(2

a0b0

,)

6..二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式.

【思想方法】非负性的应用

【例题精讲】

【例1

】要使式子

x

x的取值范围是()A.1

x≠B.0

x≠C.10

x x

>-≠

且D.10

x x≠

≥-且

【例2

).

A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10

之间

【例3】若实数x y

2

(0

y=,则xy的值

是.

【例4】如图,A,B,C,D 四张卡片上分别写有

5

7

-,,四个实数,

从中任取两张卡片.

A B C D

(1)请列举出所有可能的结果(用字母A,B,C,D表示);(2)求取到的两个数都是无理数的概率.

【例5】计算:

(1)1

3

1

30

tan

3

)

14

.3(

27-

+

?

-

-

-)

π

(2)

1

1

(1)5

2

-

??

π-+-+-

?

??

【例6】先化简,再求值:)1

(

)

1

1

1

2

(2-

?

+

-

-

a

a

a

,其中3

3-

=

a.

【当堂检测】

1.计算:(10

32tan60(1

--+-

(2)cos45°·(-

2

1)-2 -(2

2-3)0+|-32|+

1

2

1

-

(3)02

3cos304sin60

++-

2.如图,实数a 、b 在数轴上的位置,化简

第6课时 一元一次方程及二元一次方程(组) 【知识梳理】

1.方程、一元一次方程、二元一次方程(组)和方程(组)的解、解方程(组)的概念及解法,利用方程解决生活中的实际问题. 2.等式的基本性质及用等式的性质解方程:

等式的基本性质是解方程的依据,在使用时要注意使性质成立的条件 .

3.灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.

4.用方程解决实际问题:关键是找到―等量关系‖,在寻找等量关系时有时可以借助图表等,在得到方程的解后,

【思想方法】 方程思想和转化思想

【例题精讲】 例1. (1)解方程

.x x

+--=21152156

(2)解二元一次方程组 ???=+=+27271523y x y x

解:

例2.已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解,求m 的值. 方法1 方法2

例3.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )

A. B. C. D. 例4.在 中,用x 的代数式表示y ,则y=______________.

例5.已知a 、b 、c 满足???=+-=-+02052c b a c b a ,则a :b :c= .

例6 .某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度,那么这个月这户只需交 10 元用电费,如果超过 A 度,则这个月除了仍要交 10 元用电费外,超过部分还要按每度 0.5 元交费. ①该厂某户居民 2 月份用电 90

度,超过了规定的 A 度,则超过部分应该交电费多少元(用 A 表示)? .

②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况:根据右表数据,求电厂规定A 度为 .

【当堂检测】

1.方程x -=52的解是___ ___.

2.一种书包经两次降价10%,现在售价a 元,则原售价为_______

?????=+=+65115y x y x ???-=+=+2102y x y x ???==+158xy y x ???=+=31y x x 032=-+y x

3.若关于x 的方程x k =-1

53

的解是x =-3,则k =_________. 4.若???-==11

y x ,???==22y x ,???==c y x 3

都是方程ax+by+2=0的解,则c=____. 5.解下列方程(组):

(1)()x x -=--3252; (2)....x x +=-0713715023;

(3)?

??=+=+832152y x y x ; (4)

x x -+=-2114135

6.当x =-2时,代数式x bx +-22的值是12,求当x =2时,这个代数式的值.

7.应用方程解下列问题:初一(4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板,若每人付9元,则多了5元,后来组长收了每人8元,自己多付了2元,问两副乒乓球板价值多少?

8.甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-??-=?

由于甲看错了方程①中的

m ,得到的解是42

x y =??

=?,乙看错了方程中②的n ,得到的解是25x y =??=?,试求正确,m n 的值.

第7课时 一元二次方程 【知识梳理】

1. 一元二次方程的概念及一般形式:ax 2+bx+c=0 (a ≠0)

2.

解法

3.求根公式:当b 2-4ac≥0时,一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)为

4.根的判别式: 当b 2-4ac >0时,方程有 实数根.当b 2-4ac=0时, 方程有 实数根.当b 2-4ac <0时,方程 实数根.

【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想,从特殊到一般的思想,【例题精讲】 例1.选用合适的方法解下列方程:

(1) (x-15)2-225=0; (2) 3x 2-4x -1=0(用公式法);

(3) 4x 2-8x +1=0(用配方法); (4)x 2+22x=0

例2.已知一元二次方程

0437122=-+++-m m mx x m )(求m 的值.

a

ac b b x 242-±-=

例3.用22cm 长的铁丝,折成一个面积是30㎝2的矩形,求这个矩形的长和宽.又问:能否折成面积是32㎝2的矩形呢?为什么?

例4.已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0

(1) 求证:不论k 取什么实数值,这个方程总有实数根;

(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4,另两边的长b .c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.

【当堂检测】 一、填空

1.下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x

12=-+

②01x 2=+

③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤

02

1x x 243

2=--

⑥0x 22x 32=-+

2.一元二次方程3x 2=2x 的解是 .

3.一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0,则m 的值是 .

4.已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根,那么代数式m 2-m = .

5.一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则b

c a 4+的值为 .6.关于x 的一元二次方程kx 2+2x -1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________.

7.如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4,那么这个一元二次方程可以是.

二、选择题:

8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( )

A.非负数

B.正数

C.整数

D.不能确定的数

9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是()

A.3

B.3或-2

C.2或-3

D. 2

10.下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是()

(A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0(C)x2+x+3=0(D)x2+2x -1=0

11.下面是李刚同学在测验中解答的填空题,其中答对的是()A.若x2=4,则x=2 B.方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1

C.方程x2+2x+2=0实数根为0个D.方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根

12.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是() A.16 B.18 C.16或18

D.21

三、解下方程:

(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0 (4)x2+x-1=0 (6)(2y-1)2 -2(2y-1)-3=0

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