第1课时实数的有关概念
【知识梳理】
1.实数的分类:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限
环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.
2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴
上的点一一对应.
3.绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作
∣a∣,正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
4.相反数:符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数.a的相
反数是-a,0的相反数是0.
5.有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数
字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.
6.科学记数法:把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种
记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10-5.
7.大小比较:正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.
8.数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.
9.平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x
就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.
10.开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
11.算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么
这个正数x就叫做a的算术平方根,0的算术平方根是0.
12.立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数
x就叫做a的立方根(也叫做三次方根),正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.
13. 开立方:求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.
【思想方法】 数形结合,分类讨论
【例题精讲】 例1.下列运算正确的是( )
A .33--=
B .3)31
(1-=-
C
3=± D
3=-
例
) A
. B
. C
.2-
D
.2
例3.2的平方根是( )
A .4 B
C
. D
.例4.《广东省2009年重点建设项目计划(草案)》显示,港珠澳大桥工程估算总投资726亿元,用科学记数法表示正确的是( )
A .107.2610? 元
B .972.610? 元
C .110.72610? 元
D .117.2610?元 例5.实数a b ,在数轴上对应点的位置如图所示, 则必有( )
A .0a b +>
B .0a b -<
C .0ab >
D .
0a
b
< 例6.(改编题)有一个运算程序,可以使:
a ⊕
b = n (n 为常数)时,得
(a +1)⊕b = n +2, a ⊕(b +1)= n -3 现在已知1⊕1 = 4,那么2009⊕2009 = . 【当堂检测】
1.计算3
12??
- ???
的结果是( )
a 0 例5图
A.1
6
B.
1
6
-C.
1
8
D.
1
8
-
2.2-的倒数是()
A.
1
2
-B.
1
2
C.2D.2-
3.下列各式中,正确的是()
A.3
15
2<
15
3<
15 4< 15 14< < 4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示,则化简|1|a - () A.1 B.1-C.12a -D.21 a-5.2-的相反数是() A.2B.2-C.1 2 D. 1 2 - 6.-5的相反数是____,-1 2 的绝对值是 =_____. 7.写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于-1的数. 8.如果2 ()1 3 ?-=,则―‖内应填的实数是() A.3 2B.2 3 C.2 3 -D. 3 2 - 第2课时实数的运算【知识梳理】 1 异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加,仍得这个数. 2.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 3.有理数乘法法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝 第4题图 对值相乘; 任何数与0相乘,积仍为0. 4.有理数除法法则:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除; 0除以任何非0的数都得0;除以一个数等于乘以这个数的倒数. 5.有理数的混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减; 如果有括号,先算括号里面的. 6.有理数的运算律: 加法交换律:a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数 ) 【思想方法】 数形结合,分类讨论 【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖,校园生活丰富多彩.星期二下午4 点至5点,初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动,其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍,参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍,那么参加美术活动的同学其有____________名. 例2.下表是5个城市的国际标准时间(单位:时)那么北京时间2006 年6月17日上午9时应是( ) A .伦敦时间2006年6月17日凌晨1时. B .纽约时间2006年6月17日晚上22时. C .多伦多时间2006年6月16日晚上20时 . -4 国际标准时间(时) -5 例2图 D .汉城时间2006年6月17日上午8时. 例3.如图,由等圆组成的一组图中,第1个图由1个圆组成,第2个图 由7个圆组成,第3个图由19个圆组成,……,按照这样的规律排列下去,则第9个图形由__________个圆组成. 例4.下列运算正确的是( ) A .523=+ B .623=? C .13)13(2-=- D .353522-=- 例5.计算: (1) 9 1 1)1(8302+-+--+-π (2)0(tan 45π--+o (3)102)21()13(2-+--; (4)2008011 (1)()3 π--+- 【当堂检测】 1.下列运算正确的是( ) …… 例3图 A .a 4×a 2=a 6 B .22532a b a b -= C .325()a a -= D .2336(3)9ab a b = 2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元,用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为( ) A .81041?元 B .9101.4?元 C .9102.4?元 D .8107.41?元 3.估计68的立方根的大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 4.如图,数轴上点P 表示的数可能是( ) A B . C . 3.2- D .5.计算: (1)02200960cos 16)2 1 ()1(-+--- (2 ) ) 1 112-?? - ??? 第3课时 整式与分解因式 【知识梳理】 1. 指数相加,即n m n m a a a +=?(m 、n 为正整数);同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷(a≠0,m 、n 为正整数,m>n )即n n n b a ab =)((n 为正整数);④零指数:10=a (a≠0);⑤负整数指数:n n a a 1 = -(a≠0,n 为正整数); 2.整式的乘除法: 第4题图 (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方, 即22))((b a b a b a -=-+; (6)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去) 它们的积的2倍,即2222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因式. 4.分解因式的方法: ⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. ⑵运用公式法:公式22()()a b a b a b -=+- ; 2222()a ab b a b ±+=± 5.分解因式的步骤:分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然后再考虑是否能用公式法分解. 6.分解因式时常见的思维误区: ⑴ 提公因式时,其公团式应找字母指数最低的,而不是以首项为准. ⑵ 提取公因式时,若有一项被全部提出,括号内的项― 1‖易漏掉. (3) 分解不彻底,如保留中括号形式,还能继续分解等 【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是( ) A. a +2a=3a 2 B. 3a -2a=a C. a 2?a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】(2008年茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后 输出的 结果是( ) 结果 A .m B .m 2 C .m +1 D .m -1 【例3】若2320a a --=,则2526a a +-= . 【例4】下列因式分解错误的是( ) A .22()()x y x y x y -=+- B .2269(3)x x x ++=+ C .2()x xy x x y +=+ D .222()x y x y +=+ 【例5】如图7-①,图7-②,图7-③,图7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行―广‖字,按照这种规律,第5个―广‖字中的棋子个数是________,第n 个―广‖字中的棋子个数是________ 【例6】给出三个多项式:21212x x +-,21412x x ++,21 22 x x -.请选 择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解. 【当堂检测】 1.分解因式:39a a -= , _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对(a ,b )和(c ,d ),规定:当且仅当a =c 且b =d时, (a,b)=(c,d).定义运算―?‖:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,ad +bc).若(1,2)?(p,q)=(5,0),则p=,q=. 3. 已知a=1.6?109,b=4?103,则a2÷2b=( ) A. 2?107 B. 4?1014 C.3.2?105 D. 3.2?1014. 4.先化简,再求值:22 ()()(2)3 a b a b a b a ++-+- ,其中 22 a b =-=. 5.先化简,再求值:22 ()()()2 a b a b a b a +-++-,其中 1 3 3 a b ==- ,. 第4课时分式与分式方程【知识梳理】 1. 分式概念:若A 、B 表示两个整式,且B 中含有字母,则代数式B A 叫做分式. 2.分式的基本性质:(1)基本性质:(2)约分:(3)通分: 3.分式运算 4.分式方程的意义,会把分式方程转化为一元一次方程. 5.了解分式方程产生增根的原因,会判断所求得的根是否是分式方程的增根. 【思想方法】 1.类比(分式类比分数)、转化(分式化为整式) 2.检验 【例题精讲】 1.化简:22 2211 1x x x x x x -+-÷-+ 2.先化简,再求值: 22224242x x x x x x --?? ÷-- ?-+??,其中2x = 3.先化简 1 1112-÷-+x x x )(,然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值. 4.解下列方程(1)013522=--+x x x x (2)416 22222 -=-+-+-x x x x x 5.一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后,速度提高了26千米/时,现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时,已知甲、乙两站的路程是312千米,若设列车提速前的速度是x 千米,则根据题意所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【当堂检测】 1.当99a =时,分式211 a a --的值是 . 2.当x 时,分式1 1 2 --x x 有意义;当x 时,该式的值为0. 3.计算2 2 ()ab ab 的结果为 . 4. .若分式方程 x x k x --=+-2321有增根,则k 为( ) A. 2 B.1 C. 3 D.-2 5.若分式 3 2 -x 有意义,则x 满足的条件是:( ) A .0≠x B .3≥x C .3≠x D .3≤x 6.已知x =2008,y =2009,求x y x 4y 5x y x 4xy 5x y 2xy x 22 22-+-+÷-++的值 7.先化简,再求值:4x x 16 x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+,其中22+=x 8.解分式方程. (1)22011 x x x -=+- (2) x 2)3(x 22x x -=--; (3) 11322x x x -=--- (4)11 -x 1x 1x 22 =+-- 第5课时 二次根式 【知识梳理】 1.二次根式: (1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2.二次根式的化简: 3.最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式. (2)根号内不含分母 (3)分母上没有根号 4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 5.二次根式的乘法、除法公式: (1 a0b0 ≥≥ ,)(2 a0b0 ≥ ,) 6..二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式. 【思想方法】非负性的应用 【例题精讲】 【例1 】要使式子 x x的取值范围是()A.1 x≠B.0 x≠C.10 x x >-≠ 且D.10 x x≠ ≥-且 【例2 ). A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10 之间 【例3】若实数x y , 2 (0 y=,则xy的值 是. 【例4】如图,A,B,C,D 四张卡片上分别写有 5 2π 7 -,,四个实数, 从中任取两张卡片. A B C D (1)请列举出所有可能的结果(用字母A,B,C,D表示);(2)求取到的两个数都是无理数的概率. 【例5】计算: (1)1 3 1 30 tan 3 ) 14 .3( 27- + ? - - -) ( π (2) 1 1 (1)5 2 - ?? π-+-+- ? ?? 【例6】先化简,再求值:)1 ( ) 1 1 1 2 (2- ? + - - a a a ,其中3 3- = a. 【当堂检测】 1.计算:(10 32tan60(1 --+- . (2)cos45°·(- 2 1)-2 -(2 2-3)0+|-32|+ 1 2 1 - (3)02 3cos304sin60 ++- . 2.如图,实数a 、b 在数轴上的位置,化简 第6课时 一元一次方程及二元一次方程(组) 【知识梳理】 1.方程、一元一次方程、二元一次方程(组)和方程(组)的解、解方程(组)的概念及解法,利用方程解决生活中的实际问题. 2.等式的基本性质及用等式的性质解方程: 等式的基本性质是解方程的依据,在使用时要注意使性质成立的条件 . 3.灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组. 4.用方程解决实际问题:关键是找到―等量关系‖,在寻找等量关系时有时可以借助图表等,在得到方程的解后, 【思想方法】 方程思想和转化思想 【例题精讲】 例1. (1)解方程 .x x +--=21152156 (2)解二元一次方程组 ???=+=+27271523y x y x 解: 例2.已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解,求m 的值. 方法1 方法2 例3.下列方程组中,是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 例4.在 中,用x 的代数式表示y ,则y=______________. 例5.已知a 、b 、c 满足???=+-=-+02052c b a c b a ,则a :b :c= . 例6 .某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度,那么这个月这户只需交 10 元用电费,如果超过 A 度,则这个月除了仍要交 10 元用电费外,超过部分还要按每度 0.5 元交费. ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度,超过了规定的 A 度,则超过部分应该交电费多少元(用 A 表示)? . ②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况:根据右表数据,求电厂规定A 度为 . 【当堂检测】 1.方程x -=52的解是___ ___. 2.一种书包经两次降价10%,现在售价a 元,则原售价为_______ ?????=+=+65115y x y x ???-=+=+2102y x y x ???==+158xy y x ???=+=31y x x 032=-+y x 3.若关于x 的方程x k =-1 53 的解是x =-3,则k =_________. 4.若???-==11 y x ,???==22y x ,???==c y x 3 都是方程ax+by+2=0的解,则c=____. 5.解下列方程(组): (1)()x x -=--3252; (2)....x x +=-0713715023; (3)? ??=+=+832152y x y x ; (4) x x -+=-2114135 ; 6.当x =-2时,代数式x bx +-22的值是12,求当x =2时,这个代数式的值. 7.应用方程解下列问题:初一(4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板,若每人付9元,则多了5元,后来组长收了每人8元,自己多付了2元,问两副乒乓球板价值多少? 8.甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-??-=? 由于甲看错了方程①中的 m ,得到的解是42 x y =?? =?,乙看错了方程中②的n ,得到的解是25x y =??=?,试求正确,m n 的值. 第7课时 一元二次方程 【知识梳理】 1. 一元二次方程的概念及一般形式:ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 2. 解法 3.求根公式:当b 2-4ac≥0时,一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)为 4.根的判别式: 当b 2-4ac >0时,方程有 实数根.当b 2-4ac=0时, 方程有 实数根.当b 2-4ac <0时,方程 实数根. 【思想方法】 1. 常用解题方法——换元法 2. 常用思想方法——转化思想,从特殊到一般的思想,【例题精讲】 例1.选用合适的方法解下列方程: (1) (x-15)2-225=0; (2) 3x 2-4x -1=0(用公式法); (3) 4x 2-8x +1=0(用配方法); (4)x 2+22x=0 例2.已知一元二次方程 0437122=-+++-m m mx x m )(求m 的值. a ac b b x 242-±-= 例3.用22cm 长的铁丝,折成一个面积是30㎝2的矩形,求这个矩形的长和宽.又问:能否折成面积是32㎝2的矩形呢?为什么? 例4.已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0 (1) 求证:不论k 取什么实数值,这个方程总有实数根; (2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4,另两边的长b .c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长. 【当堂检测】 一、填空 1.下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x 12=-+ ②01x 2=+ ③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤ 02 1x x 243 2=-- ⑥0x 22x 32=-+ 2.一元二次方程3x 2=2x 的解是 . 3.一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0,则m 的值是 . 4.已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根,那么代数式m 2-m = . 5.一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则b c a 4+的值为 .6.关于x 的一元二次方程kx 2+2x -1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________. 7.如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4,那么这个一元二次方程可以是. 二、选择题: 8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是() A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2 10.下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是() (A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0(C)x2+x+3=0(D)x2+2x -1=0 11.下面是李刚同学在测验中解答的填空题,其中答对的是()A.若x2=4,则x=2 B.方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C.方程x2+2x+2=0实数根为0个D.方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根 12.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是() A.16 B.18 C.16或18 D.21 三、解下方程: (1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0 (4)x2+x-1=0 (6)(2y-1)2 -2(2y-1)-3=0