第三章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
强化训练
1.α是第四象限的角,则下列函数值一定是负值的是( ) A.sin 2
α B.cos 2α C.tan 2α
D.cos 2α
答案:C 解析:∵2k π322
k απ+<<π+2πk ,∈Z , 那么k π342
k απ+<<π+πk ,∈Z , ∴2α在第二或第四象限,tan 02
α<一定成立. 2.已知|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则2
θ的终边在( ) A.第二或第四象限
B.第一或第三象限
C.第二或第四象限或x 轴上
D.第一或第四象限或x 轴上
答案:C
解析:|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,
∴cos 0θ≥,tan 0θ≤,即θ的终边在第四象限或x 轴正半轴上.∴2
θ在第二或第四象限或x 轴上.
3.若sin θcos 0θ>,则θ在( )
A.第一象限
B.第一或第三象限
C.第一或第四象限
D.第二或第四象限 答案:B
4.已知角α的终边落在直线y =-3x (x <0)上,则sin cos sin cos αααα
||||+= . 答案:0
解析:∵α角的终边落在直线y =-3x (x <0)上,
∴α为第二象限角,即sin 0α>,cos 0α<. ∴sin cos 110sin cos αααα
||||+=-=.
5.在单位圆中,一条弦AB 则该弦AB 所对的圆心角α是 r a d.
答案:23π
解析:已知r
=1,sin 22AB
r α==
∵0α<<π,∴02απ<<.∴3απ
=,即23απ
=.
6.已知扇形OAB 的圆心角α为120,半径长为6.
(1)求AB 的长;
(2)求弓形OAB 的面积.
解:(1)∵120α=23π= r a d,r =6,
∴AB 的长为2643l π=?=π.
(2)∵1
122OAB S lr ==扇形π, 又2
12OAB S r =
sin 2π=
∴12OAB OAB OAB S S S =-=弓形扇形
π-.
见课后作业B
题组一 任意角、象限角的概念
1.下列各三角函数式中,值为正数的是( ) A.sin ()4π- B.cos250 C.tan(-690) D.tan 113π
答案:C
解析:4π-为第四象限角,sin ()04π-<; 250为第三象限角,cos250<0; -690为第一象限角,tan(-690)>0.
113π为第四象限角,tan 1103π<.
2.若点(a ,9)在函数3x y =的图象上,则tan 6a π的值为( )
A.0
C.1
答案:D
解析:由题意知:93a =,解得a =2,所以tan 6a π=2tan 6πtan 3π==故选D. 3.cos 14()3
π-的值为( ) A.
12 B.12-
D.答案:B
解析:cos 14()3π-=cos(-4π2)3π-=cos 2()3π-=cos 2132
π=-.
( )
A.±
C.-
D.12
答案:B
解析=|sin120|= 5.设α角属于第二象限,且|cos 2α|=-cos 2α,则2
α角属于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:C 解析:2k π22
k απ+
<<π+π(k ∈Z ), k π42k απ+<<π(2k π+∈Z ), 当2(k n n =∈Z )时2
α,在第一象限; 当21(k n n =+∈Z )时2
α,在第三象限; 而|cos 2α|=-cos 2α?cos 02
α≤, ∴2
α在第三象限. 6.用三角函数线比较sin1与cos1的大小,结果是 .
答案:sin1>cos1
7.设θ分别是第二、三、四象限角,则点P (sin θ,cos )θ分别在第 、 、 象限.
答案:四 三 二
解析:当θ是第二象限角时,sin 0θ>,cos 0θ<;
当θ是第三象限角时,sin 0θ<,cos 0θ<;
当θ是第四象限角时,sin 0θ<,cos 0θ>.
8.已知函数sin cos tan sin cos tan y αααααα
||||||=
++,则它的值域是 . 答案:{-1,3}
解析:若α在第一象限,sin 0α>,cos 0α>,tan 0α>, sin cos tan sin cos tan y αααααα
||||||=
++ sin cos tan 3sin cos tan αααααα=++=; 若α在第二象限,sin 0α>,cos 0α<,tan 0α<,
sin cos tan y αααααα
||||||=
++ sin cos tan sin cos tan αααααα--=++ =-1.
同理可得:α在第三或第四象限sin cos tan 1y αααααα||||||,=
++=-. ∴sin cos tan sin cos tan y αααααα
||||||=++的值域是{-1,3}. 题组二 任意角的三角函数
9.已知sin 45αα=-,是第三象限角,则tan 2
α等于( ) A.2± B.12± C.-2 D.12- 答案:C
解析:∵sin 45
αα=-,是第三象限角, ∴cos 352
αα=-,为第二、四象限角. ∴tan sin 4cos 3
ααα==. ∵tan 22tan 2431tan 2
ααα==,-
即4tan 262α+tan 402
α-=, ∴tan 22α=-或1(2
舍去). 10.已知点P (sin 34π,cos 3)4
π落在角θ的终边上,且[02θ∈,π),则θ的值为( ) A.4π B.34π C.54π D.74
π 答案:D
解析:∵P (sin 34π,cos 3)4
π,
∴P ,即
tan 1θ==-. ∵[02θ∈,π),∴74
θπ=. 11.已知角α的终边经过P (4,-3).
(1)求2sin α-cos α的值;
(2)求角α的终边与单位圆的交点P 的坐标.
解:(1)
∵5r =
=, ∴sin 33y α-===-,cos 45x r α==. ∴2sin α-cos 342()255
α=?--=-. (2)角α的终边与单位圆的交点P 的坐标为(cos α,sin )α,即34()55
,-. 12.(2011福建高考,文21)设函数()f θ
=θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点P (x ,y ),且0θ≤≤π.
(1)若点P
的坐标为1(2,求()f θ的值; (2)若点P (x ,y )为平面区域Ω:111x y x y +≥,??≤,??≤?
上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数
()f θ的最小值和最大值.
解:(1)由点P
的坐标和三角函数的定义可得sin 1cos 2
θθ?=???=.?
于是()f θ=θ+cos 122
θ==. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).
于是02
θπ≤≤.
又()f θ=θ+cos θ =2sin ()6
θπ+
, 且23
66θπππ≤+≤, 故当62θππ+=,即3
θπ=时()f θ,取得最大值,且最大值等于2; 当66θππ+=,即0θ=时()f θ,取得最小值,且最小值等于1.