1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m [答案] C [解析] 椭圆方程mx 2 ＋ny 2 ＋mn ＝0可化为x 2－n ＋y 2 －m ＝1， ∵m 2．椭圆x 216＋y 2 7＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 [答案] B [解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16. 3．已知椭圆x 210－m ＋y 2 m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．以上都不对 [答案] C [分析] 方程表示椭圆时，分母都大于0，又未指出焦点在哪个轴上，故应分类讨论，依据焦距为4列方程求解． [解析] 当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0， ∴6 ∵焦距为4，∴c 2＝4，∴(m －2)－(10－m )＝4， ∴m ＝8.同理，当焦点在x 轴上时，m ＝4. 4．设P 是椭圆x 216＋y 2 12＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4， ∴△PF 1F 2为直角三角形． 5．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．射线 D ．直线 [答案] A [解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上． 6．点P 为椭圆x 25＋y 2 4＝1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶 点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为( ) A.? ????±152，1 B.? ???? 152，±1 C.? ?? ??152，1 D.? ?? ??±152，±1 [答案] D [解析] S △PF 1F 2＝1 2×|F 1F 2|·|y P | ＝1 2×2×|y P |＝1， ∴|y P |＝1，y P ＝±1，代入椭圆方程得，x P ＝±15 2. 7．方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范 围是________． [解析] 将方程化为x 22m ＋y 2 1－m ＝1， 由题意得???? ? 2m >01－m >0 2m >1－m ， 解之得1 3 8．椭圆x 29＋y 2 2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______；∠F 1PF 2的大小为________． [答案] 2 120° [解析] 考查椭圆定义及余弦定理． 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°. 9．椭圆x 212＋y 2 3＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的______倍． [答案] 7 [解析] 如图， PF 1的中点M 在y 轴上，O 为F 1F 2的中点， ∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝3 2， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， ∴|PF 1|＝43－32＝7 23＝7|PF 2|. 第2课 2.1.1椭圆及其标准方程（2） 类型四、与椭圆有关的轨迹问题 【课堂主体参与】 例1、（课本P34例2）在圆42 2=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 中点M 的轨迹是什么？为什么？ 练习1、（课本P43 B 组第1）如图，x DP ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且2 3=DP DM ，当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 与上述例题相比，你有什么发现？ 例2、（课本P35例3）设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-. 直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94- ，求点M 的轨迹方程. 练习2、已知ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为()()0,5,0,5-，且BC AC ,所在直线斜率之积等于)0( 练习3、课本P36练习4 例3、（课本P42第1题）如果点),(y x M 在运动过程中，总满足关系式 10)3()3(2222=-++++y x y x ，点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 练习3、（课本P42第7题） 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点. 线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？ 【课堂检测反馈】 1、已知两定点)0,2(),0,2(21F F -，动点M 到两定点的距离之和为M 2、已知 ?ABC 的周长为36，求?ABC 的顶点C 的轨迹方程。 【拓展深化】 1、求过点)0,2(A 且与圆03242 2=-++y x x 内切的圆的圆心C 的轨迹方程. 2、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆81)3(:222=+-y x O 内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程. A P O Q l 椭圆及其标准方程 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 椭圆单元练习卷 一、 选择题： １.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ） A. 22143x y + = B. 22134x y += C. 2214x y += D. 22 14 y x += ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( ) A 185 80145 20125 20120 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x ４．椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 5 D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( ) A. 1 2 B. 2 C. D. 2 ６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ） A. 221169x y + = B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 22 1254 x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。 A 16x 2＋9y 2＝1 B 16x 2＋12y 2＝1 C 4x 2＋3y 2＝1 D 3x 2 ＋4 y 2＝1 §2.1.1 椭圆及其标准方程（第 2 课时） 【学习目标】 1.掌握运用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。 2.利用中间变量求点的轨迹。 【重点】利用中间变量求点的轨迹（椭圆），体会坐标法的基本思想。 【难点】利用中间变量求点的轨迹，感受坐标法的应用。 【复习回顾】 【课堂探究】 题型探究一：利用待定系数法求椭圆的标准方程 （这个内容在第1课时已讲解，对应导学案的例2及变式训练，还有课本第34页的例1.） 题型探究二：利用椭圆定义求轨迹方程 例1：已知圆B ：22(1)16x y ++=及点(1,0)A ，C 为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程。 【变式1】已知 B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程。 题型探究三：利用中间变量求点的轨迹 （课本第34页的例2、例3） 【变式2】（课本第36页的练习4） 题型探究四：椭圆中的焦点三角形问题 例4：椭圆221127 x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF =-，则2PF = ，12F PF ∠的余弦值为 。 【变式3】已知P 为椭圆22 1259 x y +=上一点，1F ，2F 是椭圆的焦点，1290F PF ∠=?，则12F PF ?的面积为 。 【课堂练习】 1. 椭圆22 1916 x y +=上一点P 到两焦点的距离之和为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D.不确定 2.已知焦点坐标为(0,4)-，(0,4)，且6a =的椭圆方程是（ ） A. 2213620x y += B. 2212036x y += C. 2213616x y += D. 22 11636 x y += 3.已知椭圆的方程为：22 12516 x y +=,若C 为椭圆上一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，并且12CF =，则2CF = 。 人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体 幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 高中数学《椭圆及其标准方程(2)》公开课教案 一、教学目标： 知识与技能： ①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程; ②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。 过程与方法： ①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。 ②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观： ①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神. ②通过探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 二、教学重点与难点 重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。 难点：掌握求椭圆方程的基本方法。 三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境： 如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程. （复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案） 回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。 回顾旧知： 1．椭圆的定义： 我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。 2．椭圆的标准方程 焦点在X 轴的椭圆的标准方程为: 焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为: . （二）新知探究: 1.口答练习：（提问学生完成以下问题） ①方程 19 452 2=+y x 表示到焦点F1 和F2 _____的距离和为常数____的椭圆; ②求满足下列条件的椭圆的标准方程 ③如果方程1m y 4x 2 2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ． ④ 已知?ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。 （1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。 2.探究1： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )2 3 ,25(-，求 它的标准方程. 先让学生自己思考，然后引导学生得出：可类比圆的标准方程，先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解。 教师指出：注意椭圆有两种标准方程，要正确选择。 法1.定义法： 12(1)5,(3,0),(3,0)=-a F F (2)5,3 ==a c 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案 一、教学目标： 知识与技能： ①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程; ②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。 过程与方法： ①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。 ②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观： ①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神. ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 二、教学重点与难点 重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。 难点：掌握求椭圆方程的基本方法。 三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境： 如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系 式:10)3()3(222 2=-++ ++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程. （复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案） 回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。 由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10 的椭圆。其标准方程是 116 252 2=+x y 回顾旧知： 1．椭圆的定义： 我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、 F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0） 表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。 2．椭圆的标准方程 焦点在X 轴的椭圆的标准方程为: 焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为: . 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充： （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义， a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距. 有关系式 2 2 2 c b a += 成立。 （二）新知探究: 1.口答练习：（提问学生完成以下问题） ①方程 19 452 2=+y x 表示到焦点F1 和F2 ________的距离和为常数_____的椭圆; ②求满足下列条件的椭圆的标准方程 ③如果方程1m y 4x 2 2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ． ④ 已知?ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。 （1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。 证:(1)根据条件有AB+AC=2BC , 即AB+AC =12， 即动点A 到定点B,C 的距离之和为定值12， 且12>6＝BC ， 所以点A 在以B,C 为焦点的一个椭圆上运动. （2）这个椭圆的焦点坐标分别为（-3,0）,（3,0） 2.探究1： 12(1)5,(3,0),(3,0)=-a F F (2)5,3 ==a c 2．2.1椭圆及其标准方程(一) 学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 知识点一椭圆的定义 思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？ 答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆． 思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？ 答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆． 梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}． (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件结论 2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存 在 知识点二椭圆的标准方程 思考若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？ 答案以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)．设P(x，y)，依题意得|P A|＋|PB|＝10, 所以(x－3)2＋y2＋ (x＋3)2＋y2＝10，即点P的轨迹方程为x2 25＋ y2 16＝1. 梳理(1)标准方程的两种形式 形式一：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程， 其中b2＝a2－c2. 形式二：y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程， 其中b2＝a2－c2. (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位 置 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0) 焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系b2＝a2－c2 类型一椭圆定义的应用 椭圆及其标准方程1 教学目标 1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程； 2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握使用待定系数法求椭圆的标准方程； 3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察水平和探索水平； 4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提升使用坐标法解决几何问题的水平； 5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识． 教学建议 教材分析 1．知识结构 2．重点难点分析 重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这个节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这个章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的． （1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，能够对比圆的定义来理解． 另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性． （2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点： ①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义实行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但能够使方程的推导过程变得简单，而且也能够使最终得出的方程形式整齐和简洁． ②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会． ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项． ④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求． （3）两种标准方程的椭圆异同点 中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同． 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大； 椭圆及其标准方程（1） 一.知识探究 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距． 2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？ 4．如何确定焦点的位置？ 二.典型选讲： 例1.判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦点的坐标。 ①16410022=+y x ②125 92 2=+y x 变式训练1.将方程22525922=+y x 化为标准方程，并求出焦点的坐标。 例2.已知椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，求该点到右焦点的距离。 变式训练2. 椭圆136 642 2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长 三.课后作业 1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 25 ＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216 ＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3.椭圆1100 362 2=+y x 上一点P ，则△PF 1F 2的周长 4．椭圆x 216＋y 29 ＝1的焦距为________，焦点坐标为________． 5．已知椭圆x 29＋y 2m 2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________． 6.求下列条件的椭圆的标准方程 : （1）焦点坐标分别为（0，-4），（0,4），a=5； （2）a+c=10,a -c=4 自助餐 1.已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12 )2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程 2.方程15 102 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A.10 椭圆及其标准方程教案2 教学目标: 知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程 能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力 情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神 教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程 教学难点:椭圆标准方程的推导 教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳 教学过程: 设置情景,引出题 问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片 启发诱导,推陈出新 复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式? 提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式? 引出题:椭圆及其标准方程 小组合作,形成概念 动画演示椭圆形成过程 提问:点运动时,F1、F2移动了吗?点按照什么条运动形成的轨迹是椭圆? 下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题: 在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条?其轨迹如何? 2改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 3当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗? 学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论: 椭圆 线段 不存在 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！ 1 椭圆的标准方程（一） 学习目标：掌握椭圆的定义；体会椭圆的标准方程的推导过程并掌握其标准方程；运用椭圆的 标准方程形式解决有关问题. 教学重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程。 2011年9月29号，我国发射了“天宫一号”空间站，它的运行轨迹是什么？你能在生活中找到椭圆的例子吗？ 学习任务 阅读课本理P 38-P 40 (文P 32-P 34) 的有关内容，并完成下列问题。 问题1：阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征？和同学合作画一个椭圆， 指出椭圆上的点的几何特征.你能用自己的语言给椭圆一个定义吗？ 问题2：对照课本，明确椭圆的定义及相关概念. 思考：在定义椭圆时，对常数加上了一个条件，即常数要大于｜F 1F 2｜，为什么要这样规 定呢?如果常数等于|F 1F 2|点的轨迹还是椭圆吗？如果常数小于 ｜F 1F 2｜，点的轨迹又会是什么图形？ 问题3：用坐标法研究椭圆，首先应求出椭圆的方程，请你想一想应如何根据椭圆的几何 特征，建立适当的坐标系. 问题4：化简方程a y c x y c x 2)()(2 2 2 2 =+-+++ 总结化简这类方程的一般方法. 问题5： 回答理P 39 (文P 33) 思考，想想为什么将12 2 222=-+c a y a x 化成122 22=+b y a x （a>b>0）？ 问题6：回答理P 40(文P 34)思考，其中a 、b 、c 满足什么关系；它与勾股定理有什么区别联系？ 问题7：看例1，回答边框“？” 必做题 A 级： 理P 42(文P 36) 1、2、3 B 级：理P 49(文P 42) 1、2 选做题 1、下列说法正确的是（ ） A 、已知F 1（-4，0），F 2（4，0），到F 1,F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B 、已知F 1（-4，0），F 2（4，0），到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C 、到F 1（-4，0），F 2（4，0）两点的距离之和等于点M （5，3）到F 1，F 2两点的距离之 和的点是轨迹是椭圆 D 、到F 1（-4，0），F 2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 2、椭圆19 162 2=+y x 的焦距为____，焦点坐标为_______。 3、判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出a 、b 、c 的值。 ①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12 -422=y x ④4x 2+9y 2=36 4、若方程 116-252 2=++m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） A.-6＜m ＜25 B. 2 9 ＜m ＜25 C. -16＜m ＜ 2 9 D.m ＞ 2 9 5、若椭圆142 2=+m y x 的焦距为2，则m=____________ 归纳反思： M F 1 F 2 东升高级中学师生共用讲学稿 执笔:刘华山 审核：周志明 课型：新授 时间：07年12月 日 §2.1.1椭圆及其标准方程 学习要求：1.了解椭圆的定义、焦点、焦距的概念,及标准方程的推导； 2．熟悉椭圆标准方程两种形式； 3．熟悉求曲线方程的一般方法. 4. 学会椭圆标准方程的简单应用。 学习重点：椭圆的定义和标准方程的形式 学习难点：椭圆标准方程的推导 一、学前准备 1．填空: （1）圆的定义是什么? （2）写出以点（a,b ）为圆心,r 为半径的圆的标准方程. 2．学具准备：细线一条，图钉两枚,直尺,铅笔，白纸。 二、新知探究 1.独立思考·解决问题 在探究题里面思考下列几个问题： 1) 在作图的过程中,有哪些物体的位置没有变?有哪些量没有变? 2) 根据作图实践回答:椭圆是满足什么条件的点的轨迹? 3）在绳长不变的条件下，改变F 1 ， F 2两点间的距离，画出的椭圆有何变化？ （a ）绳长等于21F F 时是什么图形？ （b ）绳长小于21F F 时是什么图形？ （c ）若21F F =0时，则轨迹是什么图形？ 所以我们可以得到以下结论： 椭圆的定义： 。 2.回顾求曲线方程的一般方法、步骤 ① ② ③ ④ 3．小组合作·最优组合：给椭圆建立直角坐标系，思考建系方案,哪种得到的方程更加简单? 经过建系等系列过程,我们可以得到22222222()()a c x a y a a c -+=-,这个方程比 较繁锁,我们由椭圆的定义知，22a c >，即a c >，∴22a c >， 令222a c b -=，其中0b >，代入上式，得222222b x a y a b +=， 两边除以22 a b ，得：22 221x y a b += (1) 思考: 以上方程中,a b 的大小关系如何？ （0a b >>）． 我们把方程22 221x y a b +=（0a b >>）（1）叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在x 轴上，焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中222 c a b =- 拓展思考:如果焦点在y 轴,椭圆的标准方程又会是怎样的呢? 在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件.那么如何判断椭圆焦点的位置？ 4.现学现用·自我检测: i)19 162 2=+y x 的焦点位置 ： 焦点坐标： ii ）22326x y +=的焦点位置 ： 焦点坐标： iii) 22 31916 x y +=的焦点位置 ： 焦点坐标： 5.再次提升： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； M F 1 F 2 椭圆及其标准方程 一、教学目标： 1．知识与技能目标： （1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标： （1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力. （2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法 3．情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 二、教学重点、难点： 1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。 2．难点：椭圆标准方程的推导。 三、教材与教法分析 （一）、教材、学习者特征分析： 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。（二）、教学方法和教学策略分析： 探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去 分析问题、讨论问题、解决问题。 四、教具：多媒体直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板 第一课时 五、教学过程 新课引入 2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。 在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？ （一）认识椭圆，问题引出: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道；生活实例：平面截圆锥等图片） 2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。 如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？ （二）动手实验，亲身体验 指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征. 请三名同学上台画在黑板上. 注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。 先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。 【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。 （1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？明确: 一条线段 （2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？ 明确:相等，而且都等于这条绳长 2.2.2椭圆及其标准方程（二） 【学习目标】 1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程 3．使学生掌握在求椭圆标准方程的过程中首先确定其焦点在哪个坐标轴上的方法. 【自主学习与检测】 1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式 10=，点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 【典型例题】 例1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是(2,0)-和(2,0)，且过（ 25， 23-） 变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,2)-和(0,2)，且过（23-,25），求其标准方程 例2．已知椭圆经过两点（)5,3()2 5,23与-，求椭圆的标准方程 【目标检测】 1．已知点P 是椭圆22 154 x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角 形的面积等于1，求点P 的坐标. 2.方程11 22 2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是___ ___. 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1). (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为(0,10)P -，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 【总结提升】注意结合例题体会用待定系数法及定义法求椭圆的标准方程，其中的关键点在于确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上.第2课椭圆及其标准方程(2)
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程(第2课时)
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
椭圆及其标准方程教案
高中数学《椭圆及其标准方程(2)》公开课优秀教案
椭圆及其标准方程练习题
2.1.1椭圆及其标准方程(第2课时)教案
第二章 2.2.1(一)《椭圆及其标准方程(一)》
椭圆及其标准方程1
椭圆及其标准方程(1)
椭圆及其标准方程教案2
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆及其标准方程知识点
椭圆及其标准方程 (1)
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程教案
2.2.2椭圆及其标准方程(二)
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