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简单不等式的解法

简单不等式的解法
简单不等式的解法

不 等 式 的 解 法

一.一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解

(1)当a >0时,解为b x a >; (2)当a <0时,解为b

x a

<.

二.一元二次不等式的解

例.解不等式

1.2

320x x -+< 2.220x -+> 3.2

340x x -+>

练习:

1.解不等式

(1).2

230x x --≥ (2).2

690x x -+< (3).2

6100x x -+<

(4).-3x 2-2x +8≥0 (5).2680x x -+< (6).2

2x <

2.设二次不等式ax 2+bx +1>0的解为-1

3

,则ab 的值为( )

A .-6

B .-5

C .6

D .5

3.不等式x 2+ax +4<0有解,则实数a 的取值范围是__________.

三.高次不等式解法

例.解不等式(x-1)(x+2)(x-3)>0

练习:解不等式

(1).x(x-3)(2-x)(x+1)>0 (2).(x-2)2(x-3)3(x+1)<0

(3).(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0

四.分式不等式解法

分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为0)()(>x g x f (或0)()

(<x g x f 的形式,转化为??

?≠0)(,0)()(x g x g x f >,(或

??

?≠0)(,

0)()(x g x g x f <,即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式().

例:解不等式

1.

073<+-x x 2.03

22

322≤--+-x x x x 3.

25

3

>+-x x

练习:

1.解不等式

(1).

307x x +>- (2).2243

023

x x x x -+≥-- (3).3

7

x x +≥-3

2.若不等式

13

642222<++++x x k

kx x 对于x 取任何实数均成立,求k 的取值范围

五.绝对值不等式解法

1.在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

??

?

??<-=>=0000x x x x x x ,如果,如果,如果

2.含有绝对值的不等式有四种基本的类型。

第一种类型:设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式a x <的解a x a -<<,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间(-a ,a ),如图所示。

a - 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型:设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式a x >的解集是a x >或a x -<,它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。如图1-2所示。

–a a 图1-2

同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 第三种类型:c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法。

c b ax c c b ax ≤+≤-?≤+ c b ax c b ax c b ax ≥+-≤+?≥+或

第四种类型:c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法。 3.例题:

例1、解不等式213+<-x x 。

例2、解不等式x x ->-213。 方法1:分类讨论。

方法2:依题意,原不等式等价于x x ->-213或213-<-x x ,然后去解。

例3、解不等式52312≥-++x x 。

例4、解不等式512≥-+-x x 。

提示:本题可以按照例3的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x 到1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所以x 在2的右边,与2的距离大于等于2(=(5-1))2÷;或者x 在1的左边,与1的距离大于等于2。这就是说,4≥x 或.1-≤x

练习:解下列不等式:

1、.1122>-x

2、01314<--x

3、 423+≤-x x .

4、 x x -≥+21.

5、 1422<--x x

6、 212+>-x x .

7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x 9、 21<++x x

一元一次不等式组的解法常考题型讲解

一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念: 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集: 一般地,几个不等式的解集的 公共部分 ,叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表: 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式组的概念 1. (2017春雁塔区校级月考)下列不等式组:①???<->32x x ,②???>+>420 x x ,③???>+<+4 2122x x x , ④???-<>+703x x ,⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

题型2:考察一元一次不等式组的解法 2.(2018春天心区校级期末)不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是( ) 3.解下列不等式组,并在数轴上表示解集: ! (1)?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x (2)?????≥-+->-154245 3312x x x x (3)?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x (4)?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —

(5)?????-<+-<-2322125.05.7x x x x (6)?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ! 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \

高考数学 高次分式不等式解法

课 题:分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等 式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4-0401x x 或? ??>+<-040 1x x ?x ∈φ或-40; 解:①检查各因式中x 的符号均正;②求得相应方程的根为:-2,1,3; ③列表如下: ④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-23}. 小结:此法叫列表法,解题步骤是:

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的符号化“+”),令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……; ②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列); ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”, 则找“线”在x轴下方的区间. 注意:奇过偶不过 例3解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①检查各因式中x的符号均正; ②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根); ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始奇过偶不过),如下图: ④∴原不等式的解集为:{x|-1

不等式知识点详解

考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a b b a (对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a +>+?>(加法单调性) (4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a 0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >><(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +≤(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结: 如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?

一元一次不等式及其解法常考题型讲解

一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1且系数不为0的不等式,称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项: ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数,去分母后分子是多项式时,分子要加括号。 ②系数化为1时,注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式的概念 1. (2017春昭通期末)下列各式:①5≥-x ;②03<-x y ;③05<+πx ;④ 32≠+x x ; ⑤x x 333≤+;⑥02<+x 是一元一次不等式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.(2017春启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是( ) A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.(2017春寿光市期中)若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为( ) A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2:考察一元一次不等式的解法 4. (2016秋太仓市校级期末)解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1))21(3)35(2x x x --≤+ (2)2 2531-->+ x x

5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.(2016秋相城区期末)若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时,求x 的取值范围。 7. (2017春开江县期末)请阅读求绝对值不等式3x 的解集的过程: 因为3x ,从如图2所示的数轴上看:小于3-的数和大于3的数的绝对值是大于3,所以3>x 的解集是3-x 。 解答下列问题: (1)不等式a x <(0>a )的解集为, 不等式a x >(0>a )的解集为; (2)解不等式42<-x ; (3)解不等式75>-x 。

分式不等式的解法

一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值) 利用绝对值的定义:(零点分段法) 利用绝对值的几何意义:||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 分解因式; 3) 标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将此根标在数轴上。注意:能取 的根打实心点,不能去的打空心); 4) 穿线写解集(从右到左,从上到下依次穿线。注意:偶次重根不能穿过); 一元二次不等式解法步骤: 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 首先考虑分解因式;不易分解则判断?,当0?≥时解方程(利用求根公式) 3) 画图写解集(能取的根打实心点,不能去的打空心) 3 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <);()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式, 2)转化为整式不等式(组)()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?; 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -<

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞ ;单调递减区间:(0, ,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=, 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 3 0,3202 x x <<->∴, ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立,故 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知,当(0,1]x ∈时,函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明:任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤,则

分式不等式的解法基础测试题回顾.doc

分式不等式的解法 一.学习目标: 1.会解简单的分式不等式。 二.学习过程 (一)基础自测 1.解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)-x 2+7x >6 (3)()()015<+-x x . (二)尝试学习 2.解下列不等式 (1)121 >+-x x (2)2x +11-x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x +5(x -1)2≥2

(三)巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是( ) .A }2131|{>-x x .D }31|{->x x (四)归纳总结 1.解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不等式或不等式组. 2.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解;若不等式含有等号时,分母不为零.即: (1)f (x )g (x )>0?()()0>?x g x f (f (x )g (x ) <0?()()0

1.不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4.不等式1x x -≥2的解集为( ) .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5.解下列不等式 (1)2x +11-x <0 (2)x +12x -3≤1 四.作业 解不等式:(1) 0324≤+-x x (2)321≥-+x x

各类不等式的解法

一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有: (1) 对称性或反身性: a>b bb , b>c ,则 a>c ; (3)可加性: a>b a+c>b+c , 此法则又称为移项法则; (4) 可乘性: a>b , 当 c>0 时, ac>bc ;当 c<0 时, acb , c>d , 则 a+c>b+d ; (2)正数同向相乘:若 a>b>0, c>d>0,则 ac>bd 。 特例: (3)乘方法则:若 a>b>0,n ∈N +,则 a n b n ; 11 (4)开方法则:若 a>b>0,n∈N +,则 a n b n 11 (5)倒数法则:若 ab>0,a>b ,则 。 ab 例 1: 1)、 8 6 与 7 5 的大小关系为 . 2)、设 n 1,且 n 1, 则 n 3 1与 n 2 n 的大小关系是 1≤ ≤1 3)已知 , 满足 , 试求 3 的取值范围 1≤ 2 ≤ 3 例 2. 比较 a 1 2与 2 aa 1的大小。 例 3.解关于 x 的不等式 m(x 2) x m 二、一元二次不等式的解法 过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集 各类不等式的解法 元二次不等式 ax 2 bx c 0(a 0) 或 ax 2 bx c 0(a. 0) 的求解原理: 利用二次函数的图 象通

4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法:数轴标根法(奇穿偶切) 典型例题 例 1 解下列不等式 x - 3 2 (1) x + 7 <0 (2)3+ x <0 3) x -3 2-x > 3-x -3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式: (1)2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 (1) 2 (2) 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 (-2,3), 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时,不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立?

高中数学 考前归纳总结 常见基本不等式的解法

常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意 奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。(答:{}|12x x x ≥=-或); (2)不等式(0x -的解集是____(答:{}|31x x x ≥=-或); (3)设函数()()f x x ,g 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<, ()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ (答:()[),12,-∞+∞U ; (4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是______. (答:81[7,)8 ) 二、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子 分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式 不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如(1)解不等式25123 x x x -<---(答:()()1,12,3-U ); (2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞,则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________(答:()(),12,-∞-+∞U ). 三、绝对值不等式的解法: (1)零点分段讨论法(最后结果应取各段的并集): 如解不等式312242 x x -++≥(答:x R ∈); (2)利用绝对值的定义;(3)数形结合; 如解不等式13x x +->(答:()(),12,-∞-+∞U ) (4)两边平方:如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围

高中数学不等式的分类、解法(教资材料)

高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式,分式不等式,高次不等式,指数、对数不等式,三角不等式,含参不等式,函数不等式,绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a < 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式(有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)2 3440x x -++>解集为 (2 23x - << ) (一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式 0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式0)2(<-x f 的 解集为 ),2 1()23,(+∞--∞ 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得 32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 解法二:由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得 0)(+n mx 的解集为 (m, n )=(-4,-5),解集为)4 5 ,(--∞ 例2:不等式 22 32 x x x -++≥0的解集是_____. 答案:(-2,-1)∪[2,+∞) 法一:化为不等式组 法二:数轴标根法 法三:化为整式不等式(注意等价性) 变式2:不等式0332 3<+--x x x 的解集为 . 答案:)1,()3,1(--∞ 例3:解关于x 的不等式ax x ax -≥-222 分析:化为02)2(2 ≥--+x a ax ,考虑分类标准:①a 与0的关系② a 2 与-1的关系 变式3:①解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0 解:原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0 当a<0时,原不等式解集为),1()1 ,(+∞-∞ a 当a=0时,x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞) 当0

基本不等式的各种求解方法和技巧

基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 (1)两个正数的和为常数时,它们的积有 ; 若0,0,a b a b M >>+=,M 为常数,则ab ≤ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b a b M >>+= ,M 为常数,max ()ab = . (2)两个正数的积为常数时,它们的和有 ; 若0,0,a b ab P >>=,P 为常数,则a b +≥ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b ab P >>= ,M 为常数,min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈,求最值时应注意以下三个条件:

应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、(1)若0,0,4a b a b >>+=,则下列不等式恒成立的是( ) A .1 1 2ab > B .1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ (2)不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立,则实数x 的取值范围是( ) A .(2,0)? B .(,2)(0,)?∞?+∞ C .(4,2)? D .(,4)(2,)?∞?+∞ (3)设,,1,1x y R a b ∈>>,若3,x y a b a b +,则11 x y +的最大值为 ( ) A .2 B .32 C .1 D .12

方法二:凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于构造条件,通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造) 例2、(1)已知54x <,求函数1 445y x x =+?的最大值; (2)已知,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 方法三:“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、(1)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是( ) A .245 B .285 C .5 D .6 (2)已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞?

不等式的解法典型例题及详细答案

不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③

高中数学不等式的分类、解法讲解学习

高中数学不等式的分 类、解法

精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a < 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解

分式不等式教案

2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现,所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ,甲的速度为v ,自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ,乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意,得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值,因此上式可化为022v v v +<,即02v v >.所以,甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式: 1 232 x x +>-.

解:(化分式不等式为一元一次不等式组) 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>,00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --(0<)?()()0f x g x >(0<) ; (2) ()()0f x g x ≥(0≤)?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??.

常见不等式的解法归纳总结

常见不等式的解法归纳总结 知识点精讲 一.一元一次不等式(ax b >) (1)若0a >,解集为|b x x a ??> ????. (2) 若0a <,解集为|b x x a ??< ??? ? (3)若0a =,当0b ≥时,解集为?;当0b <时,解集为R 二、一元一次不等式组(αβ<) (1)x x αβ>??>?,解集为{}|x x β>.(2)x x αβ?? ??≠,其中24b ac ?=-,12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根,且12x x < (1)当0a >时,二次函数图象开口向上. (2)①若0?>,解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0?=,解集为|2b x x R x a ??∈≠- ???? 且. ③若0?<,解集为R . (2) 当0a <时,二次函数图象开口向下. ①若0?>,解集为{}12|x x x x << ②若0?≤,解集为? 四、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解,其具体步骤如下. 例如,解一元高次不等式()0f x > (1)将()f x 最高次项系数化为正数 (2)将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式(0?<) (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根切而不过,奇次方根既穿又过,简称“奇穿偶切”).

高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法

高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时,不等式的解集为b x x a ? ?>????;当0a <时,不等式的解集为b x x a ??)的解法:最好的方法是图像法,充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀(大于取两边,小于取中间)解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时,可以画图,解不等式,也可以把二次项的系数a 变成正数,再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 (1)不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式,一定邀注意观察分析2x 的系数. (2)对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. (3)如果运用口诀解一元二次不等式,一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. (4)不等式的解集必须用集合或区间,不能用不等式,注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法:如果两边能化为同底的指数或对数,先化为同底,再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式,底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论,并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>? ②当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??

不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2<-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根 3,2 5,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为? ????? ><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x ???>-<-≠????>-+≠+?2 450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--

几种常见不等式的解法

题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m 、n ∈[- 1,1],m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(>0 (1)用定义证明f (x )在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式 f (x + 21)<f (1 1-x ); (3)若f (x )≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时,x + 21∈[-1,1],1 1-x ∈[-1,1]必不可少,这恰好是容易忽略的地方

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