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2013版高考数学一轮复习精品学案:2.10函数模型及其应用

2013版高考数学一轮复习精品学案:2.10函数模型及其应用
2013版高考数学一轮复习精品学案:2.10函数模型及其应用

2013版高考数学一轮复习精品学案:函数、导数及其应用

第十节 函数模型及其应用

【高考新动向】

1、考纲点击

(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

2、热点提示

(1)函数的模型及其应用是考查重点。

(2)建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点,常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题,主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。

(3)选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及,但以解答题为主。

【考纲全景透析】

1、常见的几种函数模型

(1)直线模型:一次函数模型y=kx+b(k ≠0),图象增长特点是直线式上升(x 的系数k >0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k >0).

(2)反比例函数模型:y=

()k k 0x

>,增长特点是y 随x 的增大而减小.

(3)指数函数模型:y=a ·b x +c(b >0,b ≠1,a ≠0)型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b >1,a >0),常形象地称为指数爆炸. (4)对数函数模型:y=mlog a x+n(a >0,a ≠1,m ≠0)型,增长特点

是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a >1,m >0).

(5)幂函数模型:y=a ·x n +b(a ≠0)型,其中最常见的是二次函数模型: y=ax 2+bx+c (a ≠0),其特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a >0). (6)分段函数模型:

()()(),,,∈??

∈?=??

??∈?1122

n

n f x x D f x x D y f x x D

其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.

可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取

值范围,特别是端点.

2、三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数(1)x y a a =>与幂函数(0)n y x n =>

在区间()0,+∞上,无论n 比a 大多少,尽管在x 的一定范围内x a 会小于n x ,但由于x a 的增长快于

n x 的增长,因而总存在一个0x ,当0x x >时,有x a >n

x 。

②对数函数log (1)a y x a =>与幂函数n y x =(0n >)

对数函数log (1)a y x a =>的增长速度,不论a 与n 值的大小如何总会慢于n y x =的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数0x ,使0x x >时有log n a x x <。

由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在()0,+∞上,总会存在一个0x ,使0x x >时有log x n a a x x >>

3、解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

(3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义。 以上过程用图表示如下:

4、解函数应用问题常见的错误:

(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面;

(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。

【热点难点全析】

1、一次函数与分段函数模型

○相关链接○

(1)在现实生活中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0);

(2)很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数。

(3)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起。要注意各段变量的范围,特别是端点值。

○例题解析○

〖例1〗电信局为了配合客户不同需要,设有A,B两种优惠方案.这两种方案应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示,其中MN∥CD.

(1)若通话时间为2小时,按方案A,B各付话费多少元?

(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?

(3)通话时间在什么范围内,方案B比方案A优惠?

思路解析:本题是求在不同的条件下,两种方案所付话费以及话费的比较,但由于题设中以图象的

形式给出两方案的付费函数,所以在解题方法上,可先求出函数的解析式,然后再求其他解.

解答:设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为()A f x 和()B f x ,由图知M (60,98),N (500,230),C (500,168),MN ∥CD ;则

(1)通话2小时的费用分别是116元、168元。 (2)

∴方案B 从500分钟以后,每分钟收费0.3元。 (3)由图知,当0≤x ≤60时,()A f x <()B f x ;

当60

解得

当x >500时,()A f x >()B f x 。

综上,通话时间在内,方案B 比方案A 优惠。

〖例2〗我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.

(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x ≤40),乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x ≤40).试求f(x)和g(x);

(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?

【解析】(1)f(x)=5x(15≤x≤40),

(2)由f(x)=g(x)得,

即x=18或x=10(舍).

当15≤x<18时,f(x)-g(x)=5x-90<0,

∴f(x)

当x=18时,f(x)=g(x),即可以选甲家,也可以选乙家;

当180,

∴f(x)>g(x),即选乙家;

当300,∴f(x)>g(x),即选乙家.

综上所述,当15≤x<18时,选甲家,当x=18时,可以选甲家,也可以选乙家,当18

2、二次函数与分段函数模型

○相关链接○

二次函数的应用主要有以下方面:

(1)利用二次函数关系式或图象求最值.

(2)利用二次函数单调性求参数取值或范围.

(3)二次函数如果是分段表示,则应注意分段区间端点值的应用.

(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围.

〖例1〗某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为R(x)=3000x-20x2 (单位:万元),成本函数

C(x)=500x+4000 (单位:万元)。利润是收入与成本之差,又在经济学中,函数?(x)的边际利润函数M?x)定义为:M?x)=?(x+1)-?(x).

①求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(利润=产值-成本)

②问该公司的利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值?

解:①P(x)= R(x)- C(x)= -20x2+2500x-4000 (x∈N*,且x∈[1,100]);

MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(x ∈N*,且x ∈[1,100]);

②P(x)= -20(x-125

2)2+74125 (x ∈N*,且x ∈[1,100]);则当x=62或63时,P (x)max =74120(元),因

为MP(x) =-40x+2480为↘,则当x=1时,MP(x)max =2440元,故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。

〖例2〗北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x 元。

(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)。

(2)当每纪念章销售价格x 为多少元时,该特许专营店一年内利润y (元)最大,并求出这个最大值。

思路解析:(1)利润=(售价-进价-管理费)×(销售的纪念章数),注意价格取值是分段的; (2)分段函数求最值时,要分段求,然后比较大小。 解答:(1)依题意

[2000400(20)](7)

020,

[2000100(20)](7)2040

400(25)(7)

020,

100(40)(7)2040

(0,40).

x x x y x x x x x x y x x x +--<≤?=?

---<

--<

些函数的定义域为(0,40)。 (2)

22400[(16)81]

020471089

100[()]2040

24

x x y x x ?--+<≤?=?--+<

当0

472

时,y max =27225(元)。

综上可得当x=16 时,该特许专营店获得的利润最大为32400元。

注:分段函数是一类重要的函数,生活中很多实例都是分段函数模型,解决此类问题主要是构造分段函数,然后分步解决,构造分段函数时要力求准确、简捷,做到分段合理,不重不漏。

3、指数函数模型

○相关链接○

(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示;

(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.

(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.

○例题解析○

〖例1〗急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负.控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.

(1)世界人口在过去的40年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?

(2)我国人口在2006年底达到13.14亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在2016年底至多有多少亿?

以下对数值可供计算时使用:

思路解析:(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解;

(2)本题是计算10年后我国人口的数量,由于题设中已知10年前以及每年的增长率,所以在解题方法上,可先找到函数关系,直接计算求解.

解答:(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为a,n年后的人口数为y,则y=a(1+x)n,

依题意得:2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40,

两边取对数得,lg2=40lg(1+x),

则lg(1+x)=lg2

40

=0.007 525,

所以1+x≈1.017,得x≈0.017,

故每年的人口平均增长率约是1.7%.

(2)依题意得y≤13.14(1+1%)10,

两边取对数得,lgy≤lg13.14+10lg(1+1%)≈1.161 6,y≤14.51,故2 016年至多有人口14.51亿.

〖例2〗某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:

(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);

(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)。

(1.01210=1.127,1.01215=1.196,1.01216=1.210)

思路解析:列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系→观察规律,总结出y与x的函数关系→按要求求解(2)、(3)两小题

解答:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%),

2年后该城市人口总数为

y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2

同理,3年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)3

……………………

X年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).

(2)10年后人口总数为100×(1+1.2)10≈112.7(万)

(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.0121.20≈16(年)。

因此,大约16年以后城市人口将达到120万人。

注:高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题,其创意新颖,设问角度独特,解题方法灵活,一般文字叙述长,数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题,确切理解题意,进行科学的抽象概括,将实际问题纳为相应的数学问题,然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。

4、利用函数刻画实际问题

○相关链接○

用函数图象刻画实际问题的解题思路

将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.

○例题解析○

【例】如图所示,向高为H的容器A,B,C,D中同时以等速注水,注满为止:

(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a),则容器的形状是______;

(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b),则容器的形状是______;

(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c),则容器的形状是______;

(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d),则容器的形状是______.

【方法诠释】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系,结合图象使之吻合即可.

解析:(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的,只有C中的容器能做到,所以应填C;

(2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快,在已知的四个容器中,只有A中的容器能做到,所以应填A;

(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系,且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快,在已知的四个容器中,只有D中的容器能做到,所以应填D;

(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系,且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快,在已知的四个容器中,只有B中的容器能做到,所以应填B.

答案:(1)C (2)A (3)D (4)B

注:用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系,从中发现其变化的规律,并与函数的图象、性质联系起来,从而使问题解决.

5、利用已知函数模型解决实际问题

○相关链接○

利用已知函数模型解决实际问题的步骤

若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.

○例题解析○

【例】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0

∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )

(A)100台(B)120台

(C)150台(D)180台

(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中

的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为 (a为常数),如图所示,

根据图中提供的信息,求从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为______.

【方法诠释】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可.

(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.

解析:(1)选C.∵要使生产者不亏本,

则有3 000+20x-0.1x 2≤25x, 解上式得:x ≤-200或x ≥150, 又∵0

(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与 时间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k ≠0),将点(0.1,1)代入可 得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入()

,-=t a

1y 16得.=

1a 10

则所求关系式为,.(),-

?

≤≤??

=????1

t 10110t 0t 10y 11t 1610> 答案:,(),-

?

≤≤??

=????1

t 10110t 0t 10y 11t 16

10> 6、自建模型解决实际问题 ○相关链接○

建立函数模型解决实际问题的步骤

(1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. ○例题解析○

【例3】(2012·北京模拟)某特许专营店销售上海世博会纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时,该店一年可销售2 000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元,则增加销售400枚;而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x 元.

(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x 元之间的函数关系式(并写出这个函数的定义域);

(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出这个最大值. 【方法诠释】(1)首先应根据题意确定出销售价格x 的取值范围;

再分别求出减少,增加一元时的销售利润,从而得到一年所得利润y(元)的函数关系式.

(2)根据函数关系式的结构特征,选择适当的求最值方法求解.

解析:(1)依题意销售价格x ∈(7,40),即定义域为(7,40),而当7<x ≤20,x ∈N +时,则增加销售400(20-x)枚,

故其一年内销售所获得利润为

y=[2 000+400(20-x)](x-7);

当20<x <40,x ∈N +时,则减少销售100(x-20)枚.

故其一年内销售所获得利润为 y=[2 000-100(x-20)]·(x-7),

综上得:

()()()()()() (,) (,) (,)

.() ,y +++

++--≤∈??=?

---∈???--+≤∈?=?--

+∈??22

200040020x x 77x 20x N 2000100x 20x 720x 40x N 400x 16324007x 20x N 47100x 2722520x 40x N 2

[]

<[]

<<<<<

(2)因为() (,)

, (,)y +

+?--+≤∈?

=?--+∈??22

400x 16324007x 20x N 47100x 2722520x 40x N 2

()<<< 若7<x ≤20,则当x=16时,y max =32 400(元). 若20<x <40,则当x=23或24时, y max =27 200(元).

综上可得当x=16时,该特许专营店获得的利润最大,为32 400元.

注:解决这类问题常见的两个误区

(1)不会将实际问题转化为函数模型,从而无法求解. (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.

【高考零距离】

1、(2010·福建高考理科·T10)对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ,若存在函数()h x kx b =+(,k b 为常数),对任给的正数m ,存在相应的0∈x D ,使得当∈x D 且0>x x 时,总有

0()()0()()f h m

h g m

χχχχ<-

<-D x x 的四组函数如下:

①2

(),()==

f x x

g x ②23()10

2,();--=+=

x

x f x g x x

③2

1ln 1(),();ln ++=

=

x x x f x g x x

x

④2

2(),()2(1).1

-=

=--+x

x

f x

g x x e

x

其中,曲线()=y f x 与()=y g x 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④

【命题立意】本题从大学数列极限定义的角度出发,仿造构造了分渐近线函数,目的是考查学生分析问题、解决问题的能力,考生需要抓住本质进行做答,是一道好题,思维灵活。

【思路点拨】读懂新定义、利用新定义,在新背景下进行即时性学习,即可解决问题。

【规范解答】选C ,对于①,存在分渐近线的充要条件是x →∞时,()f x -()g x →0,当x >1时便不符合,所以①不存在;

对于 ②,存在分渐近线2=y ,此时()210

0--=>x

f x ,()320-=

>g x x

,且对于任意的m>0,取

033,??=????

x m ,当0x x >时,必有310,-<

m m x ;

对于③,假设存在()=+h x kx b ,则()()()11-=-+-f x h x k x b x

若1≠k 则当→+∞x 时,()()()11-=-+

-→∞f x h x k x b x

,不满足题意, 若1=k ,(1)当0≠b 则当

1->b m x

成立,不满足题意,

(2)当0=b 即()=h x x ,而事实上()()10ln -=-

,不满足题意,

综上述:③不存在;

对于④,存在分渐近线22=-y x ,此时()()22201

--=>+f x x x ,

()()2220---=>x

g x x e

,且对于任意的m>0,取010********,?

?=????x m ,

当0>x x 时,必有2,21

-<<+x

m e

m x 。

2、(2010湖北理数)17.(本小题满分12分)

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm )满足关系:C (x )=

(010),35

k x x ≤≤+若不建隔热层,每年能源消耗费

用为8万元。设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

(Ⅰ)求k 的值及f(x)的表达式。

(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。

思路解析:本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解答:(I)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为()35

k C x x =

+.再由C(0)=8,得k=40,因此

40()35

C x x =

+,而建造费用为1()60C x =.最后得隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和为

140800()20()()2066(010)35

35

f x C x C x x x x x x =+=?

+=

+≤≤++

(II) 2

2

2400240025()6.()0,6=

.5,().

(35)

(35)

3

05()0,510()0,5()800

(5)6570.

155570.

f x f x x x x x x f x x f x x f x f cm ''=-

===-

++''<<<<<>==?+=+令即解得舍去当时,当时,故是的最小值点,

对应的最小值为当隔热层修建厚时,总费用达到最小值万元

【考点提升训练】

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( ) (A)200副 (B)400副 (C)600副 (D)800副

2.(2012·三明模拟)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若最初生产出的溶液含杂质2%,需要进行过滤,且每过滤一次可使杂质含量减少12

,则要使产品达到市场要求至少应过滤

( ) (A)3次

(B)4次

(C)5次

(D)6次

3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x 的函数关系较为近似的是( ) (A)y=0.2x

(B)y=

()2

1

x 2x 10

+

(C)y=

x

2

10

(D)y=0.2+log 16x

4.(2012·福州模拟)图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a ≥0)是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a 之间的那一部分的面积,则函数S(a)的图象大致为( )

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数Q 的函数,K(Q)=40Q-120

Q 2,则总利润L(Q)的最大值是_________.

6.(2012·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y=ae -bt (cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过____min ,容器中的沙子只有开始时的八分之一.

三、解答题(每小题15分,共30分)

7.(易错题)我国加入WTO 时,根据达成的协议,若干年内某产品市场供应量p 与关税的关系近似满足p(x)=()()

2

1kt x b 2

--(其中t 为关税的税率,

t ∈[0,

12

),x 为市场价格,b,k 为正常数),当t=18

时的市场供应量曲线如图所示.

(1)根据图象,求b,k的值;

(2)记市场需求量为a,它近似满足a(x)=

x

11

2

2

-

,当p=a时的市场价格称为市场平衡价格.

当市场平衡价格控制在不低于9元时,求关税税率的最小值.

8.(2012·衡水模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为

0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

答案解析

1.【解析】选D.利润z=10x-y=10x-(5x+4 000)≥0.解得x≥800.

2.【解析】选C.设过滤x次后,杂质含量为y,则y=2%·(1

2

)x,由y≤0.1%,解得x≥5.即至少要过滤5

次.

3.【解析】选C.由已知数据逐个验证知C较接近.

4.【解析】选C.S(a)=

2

1

3a a 0a1

2

1

2a 1a2

2

5

a 2a3

2

?

-≤≤

?

?

?

+<≤

?

?

?

+<≤

?

?

,故选C.

5.【解析】总利润L(Q)=40Q-

1

20

Q2-10Q-2 000

=-120

(Q-300)2+2 500.

故当Q=300时,总利润最大值为2 500万元. 答案:2 500万元

6.【解析】当t=0时,y=a , 当t=8时,y=ae -8b =

12

a ,∴e -8

b =12

,

容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 即y=ae -bt =18

a,

e -bt

=

18

=(e -8b

)3

=e

-24b

,

则t=24,所以再经过16 min. 答案:16

7.【解析】(1)由图象,知()()

22

k (1)5b 8

k (1)7b 812

,22----?=???=?

, 即()()2

2

k (1)5b 0,

8k (1)7b 1,

8

?

--=????--=??

由k 18

-

≠0,解得b=5,k=6.

(2)p=a 时,有()()

2

x 1116t x 52

22

,-

--=

即(1-6t)(x-5)2=11-x 2

,

2(1-6t)=

()

2

17

1

x 5

x 5-

--.

由x ≥9,得x-5≥4,即0<1x 5

-≤14

.

令m=

1x 5-,则2(1-6t)=17m 2-m(m ∈(0, 14

]).

由二次函数的性质得 当m=

14

时,2(1-6t)max =

1711316

416

-=,

则1-6t ≤1332

,t ≥

19192

.

所以关税税率的最小值为19192

.

8.【解析】(1)由题意:当0≤x ≤20时,v(x)=60; 当20≤x ≤200时,设v(x)=ax+b.

由已知得方程组200a b 0,20a b 60+=??+=?解得1a 3

,200

b 3?=-????=??

故函数v(x)的表达式为

v(x)= 60(0x 20)

.200x (20x 200)3≤≤??

-?≤?

?

(2)依题意并由(1)可得

f(x)= ()60x (0x 20)x 200x (20x 200)3≤≤??

-?≤?

?

当0≤x ≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200; 当20<x ≤200时,f(x)=

13

x(200-x)≤2

1x 200x

10 000(

)3

2

3

+-=

.

当且仅当x=200-x ,即x=100时,等号成立.

所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值f(x)max =

10 0003

≈3 333.

即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.

2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ). A .{0,1,2} B .{-1,0,1,2} C .{-1,0,2,3} D .{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ). A .-1+i B .-1-I C .1+i D .1-i 3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ). A .13 B .13- C .19 D .1 9- 4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l α,l β,则( ). A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ). A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 6.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( ). A .1111+23 10+++ B .1111+2!3! 10!+++ C .1111+23 11+++ D .1111+2!3!11!+++ 7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ). A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b D .a >b >c

2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (安徽卷) 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013安徽,理1)设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数.若·i+2=2z z z ,则z =( ). A .1+i B .1-i C .-1+i D .-1-i 2.(2013安徽,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ). A .16 B .2524 C .34 D .1112 3.(2013安徽,理3)在下列命题中,不. 是. 公理的是( ). A .平行于同一个平面的两个平面相互平行 B .过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C .如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D .如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.(2013安徽,理4)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件 5.(2013安徽,理5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ). A .这种抽样方法是一种分层抽样 B .这种抽样方法是一种系统抽样 C .这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D .该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f (x )<0的 解集为112x x x ?? <->??? ? 或,则f (10x )>0的解集为( ). A .{x|x <-1或x >-lg 2} B .{x|-1<x <-lg 2} C .{x|x >-lg 2} D .{x|x <-lg 2} 7.(2013安徽,理7)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ). A .θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B .θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2 C .θ=π2 (ρ∈R)和ρcos θ=1 D .θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1

2013届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系

第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.

∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C

2014年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间为120分钟。 参考公式: 如果事件A 与B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立,那么 ()()()P AB P A P B = 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1) 设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数,若1z i =+,则 z i z i +?= (A )-2 (B )-2i (C )2 (D )2i (2)“x <0”是ln(1)0x +<的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 (A )34 (B )55 (C )78

(D )89 (4) 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是???-=+=3 , 1t y t x (t 为参数),圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则 直线l 被圆C 截得的弦长为 (A )14 (B )214 (C )2 (D )22 (5)x , y 满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一... ,则实数a 的值为 (A ) 21 或-1 (B )2或2 1 (C )2或1 (D )2或-1 (6)设函数f(x)(x ∈R )满足()()sin f x f x x π+=+,当0≤x ≤π时,()0f x =,则)6 23( π f = (A ) 2 1 (B )23 (C )0 (D )2 1- (7)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 (A )321+ (B )318+ (C )21 (D )18 (8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有 (A )24对 (B )30对 (C )48对 (D )60对 (9)若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3,则实数a 的值为 (A )5或8 (B )-1或5

2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc

9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么交线平行. ●点击双基 1.(2005年春季,3)下列命题中,正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案:C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线,过a、b分别作平面α、β,对于下面四种情况:①b∥α,②b⊥α,③α∥β,④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析:①③④都有可能,②不可能,否则有b⊥a与已知矛盾. 答案:C 3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b

B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线,且a ∥β,b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β 解析:A 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; B 错,若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧,则不能断定α∥β; C 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; D 正确. 答案:D 4.a 、b 、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面,给出六个命题: .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上) 答案:①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β,AB 、CD 是两条异面直线,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且A 、C ∈α,B 、D ∈β,求证:MN ∥平面α. 剖析:因为AB 与CD 是异面直线,故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线,所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻,于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直

高三数学第一轮复习教案(1)

第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集.

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2 ,n ∈A },则A ∩B =( ). A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2} 2.(2013课标全国Ⅰ,文2) 2 12i 1i +(-)=( ). A . 11i 2-- B .11+i 2- C .11+i 2 D .11i 2- 3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( ). A .12 B .13 C .14 D .16 4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0) 的离心率为2,则C 的渐近线方程 为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =1 2x ± D .y =±x 5.(2013课标全国Ⅰ,文5)已知命题p :?x ∈R,2x <3x ;命题q :?x ∈R ,x 3 =1-x 2 ,则下列命题中为真命题的是( ). A .p ∧q B .?p ∧q C .p ∧?q D .?p ∧?q 6.(2013课标全国Ⅰ,文6)设首项为1,公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ). A .Sn =2an -1 B .Sn =3an -2 C .Sn =4-3an D .Sn =3-2an 7.(2013课标全国Ⅰ,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ). A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 8.(2013课标全国Ⅰ,文8)O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2 =的焦点,P 为C 上一点,若|PF | =POF 的面积为( ). A .2 B . ..4 9.(2013课标全国Ⅰ,文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为( ). 10.(2013课标全国Ⅰ,文10)已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,23cos 2 A +cos 2A =0,a =7,c =6,则b =( ). A .10 B .9 C .8 D .5

2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ( 安徽卷) 第Ⅰ卷(选择题共50 分) 一、选择题:本 大题共10 小题,每小题 5 分,共50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.(2013 安徽,理1)设i是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数.若z·zi+2=2 z ,则z=( ) .A.1+i B .1-i C .-1+i D .-1-i 2.(2013 安徽,理2) 如图所示,程序框图( 算法流程图) 的输出结果是( ) . 1 25 3 11 6 B .24 C .4 D .12 A. 3.(2013 安徽,理3) 在下列命题中,不是..公理的是( ) . A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此 平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 4.(2013 安徽,理4) “a≤0”是“函数 f ( x)=|( ax-1) x| 在区间(0 ,+∞) 内 单调递增 ”的( ) . A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2013 安徽,理5) 某班级有50 名学生,其中有30 名男生和20 名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别 为86,94,88,92,90 ,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93. 下列说法一定正确的是( ). A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 1 6.(2013 安徽,理6) 已知一元二次不等式 f ( x) <0 的解集为x x 1或x ,则f(10 2 ( ) . A.{x|x <-1 或x>-lg 2} B.{x| -1<x<-lg 2} C.{x|x >-lg 2} D.{x|x <-lg 2} x ) >0 的解集为 7.(2013 安徽,理7) 在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) .A.θ=0( ρ∈R)和ρcos θ=2 π B.θ=2(ρ∈R)和ρcos θ=2 π C.θ=2(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0( ρ∈R)和ρcos θ=1 2013 安徽理科数学第1 页

2013届高考数学第一轮复习教案9.

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一.课标要求: (1)空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ②了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量; ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二.命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 三.要点精讲 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、

速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 加法交换率: 加法结合率: 数乘分配率: 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意:当我们说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说、平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量(≠)、,∥的

2020高考数学第一轮复习全套讲义

第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想. 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,. 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈,{2,}B x x k k Z ==∈,则A B ?=?. 3.已知集合{0,1,2}M =,{2,}N x x a a M ==∈,则集合M N ?=_______. 4.设全集{1,3,5,7,9}I =,集合{1,5,9}A a =-,{5,7}I C A =,则实数a 的值为____8 或2___. 【范例解析】 例.已知R 为实数集,集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=, {01R B C A x x ?=<<或23}x <<,求集合B . 分析:先化简集合A ,由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系;最后,由数形结合,利用数轴直观地解决问题. 解:(1) {12}A x x =≤≤,{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=, R A C A R ?=, 可得A B ?. {0,2}

2013年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则( ). A.A∩B= B.A∪B=R C.B?A D.A?B 2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( ). A.-4 B. 4 5 - C.4 D. 4 5 3.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.已知双曲线C: 22 22 =1 x y a b -(a>0,b>0)的离心率为 5 2 ,则C的渐近线方程为( ). A.y= 1 4 x ± B.y= 1 3 x ± C.y= 1 2 x ± D.y=±x 5.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( ).

A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ). A . 500π3cm 3 B .866π3 cm 3 C . 1372π3cm 3 D .2048π3 cm 3 7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( ). A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析

2013年安徽省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求 2.(5分)(2013?安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果中() .C D. 5.(5分)(2013?安徽)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88, 6.(5分)(2013?安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<﹣1或x>},则f(10x)>0的解集为() (

( 8.(5分)(2013?安徽)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…, x n,使得=…=,则n的取值范围是() 9.(5分)(2013?安徽)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足==2,则点集{P|,,λ、μ∈R}所表示的区域面积是() .C D. 10.(5分)(2013?安徽)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x 的方程3(f(x))2 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡上 11.(5分)(2013?安徽)若的展开式中x4的系数为7,则实数a=_________. 12.(5分)(2013?安徽)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= _________. 13.(5分)(2013?安徽)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为_________. 14.(5分)(2013?安徽)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等,设OA n=a n,若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是_________.

数学高考第一轮复习策略

数学高考第一轮复习策略 一、构建知识网络,注重基础,重视预习,提高复习效率。 数学的基础知识理解与掌握,基本的数学解题思路分析与数学方法的运用,是第一轮 复习的重中之重。对知识点进行梳理,形成完整的知识体系,确保基本概念、公式等牢固 掌握。要扎扎实实,对每个知识点都要理解透彻,明确它们要求以及与其他知识之间的联系。 复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率,必须使自己的思维与老师的思 维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径,要做到“两先两后”,即先预习后听课, 先复习后作业。以提高听课的主动性,减少听课的盲目性。而预习了之后,再听老师讲课,就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍,把重点放在自己还未掌握的内容上,从而提高复 习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率,勤动手,多动脑。 所有课都进入复习阶段,通过复习,学生要能检测出知道什么,哪些还不知道,哪些 还不会,因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂,增强听课的主动性。现在学 生手中都会有一种复习资料,在老师讲课之前,要把例题做一遍,做题中发现的难点,就 是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减少听课过 程中的困难;有助于提高思维能力,自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可 提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法,坚持下去,就一定能举 一反三,提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记,笔记不是记录而是将上述听课 中的要点,思维方法等作出简单扼要的记录,以便复习,消化,思考。 三、建好错题档案,做好查漏补缺。 这里说的“错”,是指把平时做作业中的错误收集起来。复习,各类试题要做几十套,甚至更多。如果平时做题出错较多,就只需在试卷上把错题做上标记,在旁边写上评析, 然后把试卷保存好,每过一段时间,就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补 缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外,还要学会“举一反三”,及时归纳。 每次订正试卷或作业时,在做错的试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类: 1、找不到解题着手点。 2、概念不清、似懂非。 3、概念或原理的应用有问题。 4、知识点之间的迁移和综合有问题。

2013年高考理科数学全国卷1有答案

数学试卷 第1页(共21页) 数学试卷 第2页(共21页) 数学试卷 第3页(共21页) 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区:河南、山西、河北 注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E :22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________

2013年高考(安徽卷)理科数学解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间为120分钟。 参考公式: 如果事件A 与B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立,那么 ()()()P AB P A P B = 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 (1) 设是虚数单位,_ z 是复数z 的共轭复数,若|()>0I x f x =+2=2z zi ,则z = (A )1+i (B )1i - (C )1+i - (D )1-i - 【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+??=+?z i 则 i z b a a +=????==????==+?111222b b a 22 所以选A (2) 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 (A ) 16 (B )2524 (C )34 (D )1112 【答案】D 【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++ =s s ,所以选 D (3)在下列命题中,不是公理.. 的是 (A )平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B )过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C )如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D )如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A

最新高考数学第一轮复习教案1

高三一轮复习 5.4 数列求和 (检测教 师版) 时间:50分钟 总分:70分 班级: 姓名: 一、 选择题(共6小题,每题5分,共30分) 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=-20,则-6a 4+3a 5=( ) A.-20 B.4 C.12 D.20 【答案】C 【解析】 因为S 5=-20,所以S 5=5a 3=-20,∴a 3=-4,∴-6a 4 +3a 5=-6(a 1+3d )+3(a 1+4d )= -3(a 1+2d )=-3a 3=12. 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15, 则数列???? ?? 1a n a n +1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【答案】A 【解析】 由S 5=5a 3及S 5=15得a 3=3,∴d =a 5-a 3 5-3 =1,a 1=1, ∴a n =n ,1a n a n +1=1n (n +1)=1n -1 n +1,所以数列???? ??1a n a n +1的 前100项和T 100=1-12+12-13+…+1100-1101=1-1 101=100 101,故选A. 3.数列{a n }满足:a 1 =1,且对任意的m ,n ∈N *都有:a m +n =a m +a n

+mn ,则1a 1+1a 2+1a 3+…+1 a 2 008 =( ) A.2 007 2 008 B.2 007 1 004 C. 2 0082 009 D.4 0162 009 【答案】D 【解析】法一 因为a n +m =a n +a m +mn ,则可得a 1=1,a 2=3,a 3= 6,a 4=10,则可猜得数列的通项a n =n (n +1)2,∴1 a n =2n (n +1)=2? ?? ??1n -1n +1,∴1a 1+1a 2+1a 3+…+1 a 2 008= 2? ????1-12+12-13+…+12 008-12 009=2? ? ? ??1-12 009=4 0162 009.故选D. 法二 令m =1,得a n +1=a 1+a n +n =1+a n +n ,∴a n +1-a n =n +1, 用叠加法:a n =a 1+(a 2-a 1)+…+(a n -a n -1)=1+2+…+n =n (n +1)2 , 所以1a n =2n (n +1)=2? ?? ??1n -1n +1.于是1a 1+1a 2+…+1 a 2 008=2? ??? ?1-12+2? ????12-13+…+2? ????1 2 008-12 009=2? ????1-12 009=4 0162 009,故选D. 4.设a 1,a 2,…,a 50是以-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a 1+a 2+…+a 50=9且(a 1+1)2+(a 2+1)2+…+(a 50+1)2=107,则a 1,a 2,…,a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个 【答案】A

2013年高考数学全国卷1(理科)

绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A={x |x 2-2x >0},B={x |-5<x <5},则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误!未找到引用源。 (3-4i)z =|4+3i |,则z 的虚部为 ( ) A 、-4 (B )-4 5 错误!未找到引用源。 (C )4 (D )45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +,故z 的虚部为4 5,故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误!未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C. 4、已知双曲线C :22 22 1x y a b -=(0,0a b >> )的离心率为2,则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题.

2013年高考数学全国卷1答案与解析

2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析 一、选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<,则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点 :集合的运算 解析:A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案:B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点 :复数的运算 解析:由题知== = ,故z 的虚部为 . 答案:D 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 考点 :抽样的方法 解析:因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案:C 4.已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点 :双曲线的性质

解析:由题知,,即==,∴=,∴=,∴的渐近线方程为. 答案:C 5.运行如下程序框图,如果输入的,则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 :程序框图 解析:有题意知,当时, ,当 时, , ∴输出s 属于[-3,4]. 答案:A 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点 :球的体积的求法 解析:设球的半径为R ,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则 ,解得R=5,∴球的体积为 35003 cm π = . 答案:A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点 :等差数列

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