2016年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1
．设集合2??=≤≤????
x
A ，{}ln 0
B x x =<，则A B =
A ．11
(,)22
-
B ．1(0,)2
C ．1[,1)2
D ．1(0,]2
2． 设命题p ：若,x y R ∈，x y =，则
1x y
=；命题q ：若函数()=f x x
，则对任意12x x ≠都有()()
1212
0f x f x x x ->-成立．在命题①p ∧q ； ②p ∨q ； ③()p q ∧?； ④()p q ?∨中，真命题是
A ．①③
B ． ①④
C ． ②③
D ． ②④ 3．已知复数11i
z i
-=
+，则2016z = A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
4．口袋中有5个小球，其中两个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率 A ．
110 B ．310 C ．14 D ．34
5．已知x ，y 满足约束条件10,
20,2,x y x y x -+≥??+-≥??≤?
则目标函数2z x y =-的最大值为 A ．1
2
-
B ．1 C ．4 D ．5 6．如图，给出的是求111246+++ (1)
20
+的值的一个程序框图，则判断框内填
入的条件是
A ．10i ≥
B ．10i ≤
C ．9≥i
D ．9≤i
7． 在平面直角坐标系中，双曲线C 过点(1,1)P ，且其两条渐近线的方程分别为20+=x y 和20x y -=，则
双曲线C 的标准方程为
A ．224133x y -=
B ．224133x y -=
C ．224133-=y x
D ．224133x y -= 或22
4133
x y -=
e
8．已知函数f(x)=sin(2)x ?+（?π<）的图象过点1
(0,)2
P ，如图，则?的值为 A ．
6π B ．56
π
C ．6π或56π
D ．6π-或56π
9．等腰直角ABC ?中，2
A π
∠=
，1AC =，BC 在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向ABC ?滚动，并沿ABC ?的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是（虚线为各段弧所在圆的半径）
10．已知数列{}n a 为等差数列，且公差0
d >，数列{}n b 为等比数列，若
110=>a b ，44a b =，则
A ．77a b > B
．77a b = C ．77a b < D ．7a 与7b 大小无法确定 11．四棱锥P
ABCD -的底面是边长为
的正方形，高为1，其外接球半径为
，
则正方形ABCD 的中心与点
P 之间的距离为
A ．
B ．
C ．
或1 D ． 或 12．已知点P 为函数()x x f ln =的图像上任意一点，点Q 为圆[(-x 1e e
+
2
2)]1y +=上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为
A ．e e
B ．
e
e
C ．
e e
D ． 1
e 1
e +- 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13．若
(21)61-=?m x dx ，则二项式3(12)-m
x 的展开式各项系数和为 ．
14．点P 在ABC ?的边BC 所在直线上，且满足2AP mAB nAC =+,m n R ∈），则在平面直角坐标系中，
动点(,)Q m n m n +-的轨迹的普通方程为 ．
15．数列{}n a 中，0n a >，前n 项和为n S ，且*(1)
()2
n n
n a a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为 ．
16．一个空间几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为 ．
A ．
B ．
C ．
D ．
正视图 侧视图
俯视图
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
已知()2sin
sin )1222x x x
f x =-+． （Ⅰ）若2[,]63
x ππ
∈，求()f x 的值域；
（Ⅱ）在ABC ?中，A 为BC 边所对的内角，若()2f A =，1BC =
，求AB AC ?的最大值． 18．（本小题满分12分）
某汽车公司为调查4S 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A ，B ，C ，D ，E 五座城市的4S 店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：
（Ⅰ）根据该统计数据进行分析，求y 关于x 的线性回归方程；
（Ⅱ）现要从A ，B ，E 三座城市的9家4S 店中选取4家做深入调查，求A 城市中 被选中的4S 店个数X 的分布列和期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， ．
1
2
1
()()
?()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑
19．（本小题满分12分）
正方体1111ABCD A B C D -中，沿平面11A ACC 将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线1
AC 的平面1A CM 与线段1BB 交于点M ． （Ⅰ）当M 与1B 重合时，求证：1MC AC ⊥；
（Ⅱ）当平面1A CM ⊥平面11A ACC 时，求平面1A CM 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C x py p =>，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且
16=MN ．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点(0,4)D ，若动圆P 与x 轴交于A 、
B 两点，求
A 1
A
M
B 1
C 1
C
B
DA DB DB
DA
+
的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
()ln 1f x x kx =-+（k 为常数），函数()g x x =e 4
ln(1)x x a
-+，（a 为常数，且0a >）．
（Ⅰ）若函数
()f x 有且只有1个零点，求k 的取值的集合；
（Ⅱ）当（Ⅰ）中的k 取最大值时，求证：()2()2(ln ln 2)ag x f x a ->-．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点Q ，AC 平分DAB ∠，AP 为梯形ABCD 外接圆的切线，交BD 的延长线于点P ．
（Ⅰ）求证：2
PQ PD PB =?；
（Ⅱ）若3AB =，2AP =，4
3
AD =，求AQ 的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
2x t
y t
?=??=??(t 为参数)， 在以O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线2C
的方程为ρ=．
（Ⅰ）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()|1||21|=-+-f x x x ． （Ⅰ）求不等式()2f x ≥的解集；
（Ⅱ）若x R ?∈，不等式()≥f x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．
2016年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷（理工类）答案
一、选择题
DDADC BBADC BC 二、填空题
13．1- 14．320x y +-= 15．n a n = 16．
116
3
17．
（Ⅰ）()cos 2sin()6
f x x x x π
=+=+
， -------------3分
2[,]63x ππ∈5[,]636
x πππ
∴+∈，()f x ∴的值域为[1,2]；-------------6分
（Ⅱ）
()2f A =，sin()16A π∴+=，3
A π
∴=，
2
2
2
1
cos 22
AB AC BC A AB AC +-∴==
-------------9分
2
2
121AB AC AB AC AB AC ∴=+-≥-，1AB AC ∴≤
11
cos 22
AB AC AB AC A AB AC ∴?==
≤． AB AC ∴?的最大值为1
2
． -------------12分
18．（Ⅰ）4,30x y ==，
22222
(34)(2830)(44)(3030)(64)(3530)(54)(3130)(24)(2630)
? 2.1,(34)(44)(64)(54)(24)b
--+--+--+--+--∴==-+-+-+-+--------------3分
?30 2.1421.6a
=-?=，∴y 关于x 的线性回归方程为：? 2.121.6y x =+．-------------6分 （Ⅱ）X 的可能取值为：0,1,2,3．
46495(0)42C P X C ===，13364910(1)21C C P X C ===，2236495
(2)14C C P X C ===，
31
36491(3)21
C C P X C ===． -------------9分
510514
0123422114213
EX =?
+?+?+?=．-------------12分
19．（Ⅰ）连接1C B ，在正方形11B BCC 中，1
1BC B C ⊥，
正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11B BCC ，
1B C ∈平面11B BCC ，1AB B C ∴⊥，1B C ∴⊥平面1ABC ， 1BC AC ∴⊥，即1MC AC ⊥；-------------4分
（Ⅱ）正方体1111ABCD A B C D -中，CB 、AB 、1BB 两两垂直， 分别以CB 、AB 、1BB 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 1A 1
A
（M ）
B C 1
C
B
设AB a =，(,0,0)C a ∴-，1(0,,)A a a -，设(0,0,)M z ，
1(,,)CA a a a ∴=-，(,0,)CM a z =，设平面1A MC 的法向量为1111(,,)n x y z =， 则11100
n CA n CM ?=??=??，即1111100ax ay az ax zz -+=??+=?，令1z a =，得1(,,)n z a z a =--，
平面11A ACC 的法向量为2(1,1,0)n =，
平面ABC 的法向量为3(0,0,1)n =，
平面1A CM
⊥平面11A ACC ，110n n ∴=，得12z a =，1(,,)22
a a
n a ∴=-，--------8分
设平面1
ACM 与平面ABC 所成锐二面角为θ，
则13
13
cos 3n n n n θ===．-------------12分
20． 解：(1) 设抛物线的焦点为)2
,0(p F ，则直线2:
x y l += 由??
?
??
=+=py x p x y 222，得0222=--p px x -------------2分
p x x 221=+∴，p y y 321=+∴， 164||21==++=∴
p p y y MN ，4=∴p ∴抛物线C 的方程为y x 82
= ------------4分
(2) 设动圆圆心)0,(),0,(),,(2100x B x A y x P ，则02
08y x =， 且圆2
0202020)4()()(:-+=-+-y x y y x x P ，
令0=y ，整理得：01622
002=-+-x x x x ，
解得：4,40201+=-=x x x x ， -------------4分
设32
816132832816)4(16
)4(|
||
|02
00
0200202
020++-=+++-=+++-==
x x x x x x x x x DB DA t ， A A
当00=x 时，1=t ，① 当00≠x 时，0
0328161x x t +
+-
=，00>x ，2832
0≥+
∴x x ， 122232
8816
1-=-=+-
≥∴t ，且1 综上①②知112≤≤-t ， -------------8分 t t t f 1)(+= 在]1,12[-单调递减， 221 21 121||||||||=-+-≤+=+∴ t t DA DB DB DA ， 当且仅当12-=t ，即240=x 时等号成立． 所以 | || |||||DA DB DB DA +的最大值为22． -------------12分 21．（1）解：x kx x f -= '1)(，----------------------------------------------------------------1分 ①0≤k 时，()0>'x f ，则()x f 在 ()+∞,0上单调递增． 而( )() 01111222 2 <-≤--=+--=---k k k e k ke k e f ，()011>-=k f ， 故()x f 在( ) 1,2 -k e 上存在唯一零点，满足题意； -------------------------3分 ②0>k 时，令()0>'x f 得k x 1< ，则()x f 在?? ? ??k 1,0上单调递增； 令()0<'x f 得k x 1> ，则()x f 在?? ? ??k 1,0上单调递减； 若01=?? ? ??k f ，得1=k ，显然满足题意； -------------------------------4分 若01>??? ??k f ，则10< ?? ? ??e k e f ， 又122ln 2142ln 24 2+?? ? ??-=+-=??? ??k k k k k f ， 令()1ln +-=x x x h ，则()x x x h -= '1， 令()0>'x h ，得1 ? ??k k k h ，即122ln -<-k k ， 则01122ln 2142ln 24 2<-<+?? ? ??-=+-=??? ??k k k k k f ． 故()x f 在??? ??k e 1, 1上有唯一零点，在?? ? ??24,1k k 上有唯一零点，不符题意． 综上，k 的取值的集合为{} 10=≤k k k 或． -----------------------6分 （2）由（1）知，1ln -≤x x ，当且仅当1=x 时取""=， 而 114>+x a ，故x a x a x a 4114 14ln =-+ 则1=k 时，()()>-+-?? ? ??+-=-22ln 214ln 2x x x a a axe x f x ag x 22ln 222ln 24 ---=-+--x x axe x x x a a axe x x -------------8分 记()22ln 2---=x x axe x F x ，则()()() 21 21-+= ??? ? ? - +='x x axe x x x ae x x F ， 令()2-=x axe x G ，则()()01>+='x e x a x G ，故()x G 在()+∞,0上单调递增． 而()020<-=G ，01222>??? ? ??-=??? ??a e a G ，故存在??? ??∈a x 2,00，使得()00=x G ， 即020 0=-x e ax ． -------------10分 则()0,0x x ∈时，()0<'x G ，故()0<'x F ；()+∞∈,0x x 时，()0>'x G ，故()0>'x F ． 则()x F 在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增， 故()()()000000ln 22ln 220 x x x x e ax x F x F x +-=---=≥ () 2ln 2ln 22 ln 2ln 200-=-=-=a a e x x ． 故()()()2ln ln 22->-a x f x ag ． -------------12分 22． (1) PA 为圆的切线∴PAD ABD ∠=∠，AC 平分DAB ∠BAC CAD ∴∠=∠ PAD DAC BAC ABC PAQ AQP ∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠PA PQ ∴=PA 为 圆 的 切 线 2PA PD PB ∴=?2PQ PD PB ∴=?．-------------6分 (2) PAD ?PBA ?9 2PA PB PB AD AB ∴ =∴=2PA PD PB =?8 9 PD ∴=， 810 299 AQ DQ PA PD ∴==-=-=．-------------12分 23． (1) 2 212:20,:14 x C x y C y --=+=．-------------6分 (2)设()2cos ,sin B θθ ，则AB == ， 当且仅当()24 k k Z π θπ=-∈ 时min AB = =．-------------12分 24．(1) { 0x x ≤或43x ? ≥ ?? ．-------------6分 (2)当0x =时， ()2,0f x a x ==，原式恒成立； 当0x ≠时，原式等价转换为11 12a x x - +-≥恒成立，即min 1112a x x ≤-+-． 111112121x x x x ????- +-≥---= ? ?????，当且仅当11120x x ???? --≤ ??????? 即 112x ≤≤时取等， 1a ∴≤．-------------12分
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