第四讲和倍问题
知识要点及基本方法：
已知两个数的和，还已知较大数是教小数的几倍，求这两个数各是多少的应用题，我们称之为和倍问题。
解和倍应用题用以下公式：
和÷（倍数+1）=小数
和—小数=大数（或小数×倍数=大数）
基础篇
热身题: 和倍问题 （1）甲是乙的3倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。 （2）甲是乙的4倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。 （3）乙仓库存粮是甲仓存粮的2倍，甲乙仓库的和是（）倍。 （4）师傅生产的零件是徒弟的2倍，师傅和徒弟生产的零件总数是（）倍。 （5）故事书是科技书的2倍，故事书和科技书的本书之和是（）倍。 （6）练习本是方格本的3倍，练习本和方格本的本书和是（）倍。 和倍问题数量关系： 和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×倍数＝几倍数或和－1倍数＝几倍数 例题精讲：例1、根据线段图列式 例2、学校图书室买来科技书和故事书共24本，其中故事书的本数是科技书的3倍。学校图书室买来科技书和故事书各多少本？ 试一试： 1、某专业户养鸡、鸭共48只，其中鸭的只数是鸡的5倍，这个专业户养鸡、鸭各多少只？ 2、学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球和足球各多少个？ 3、果园里有苹果树和梨树共650棵，其中苹果树是梨树的4倍。问苹果树和梨树各多少棵？ 4、副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有180千克。副食店有白糖、红糖各多少千克？
5、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 6、生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡和母鸡各多少只？ 差倍问题 数量关系：两个数的差÷（几倍—1）=较小的数 较小的数×几倍=较大的数或较小的数+两个数的差=较大的数 1、甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有几张画片？ 2、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？ 3、大仓库存粮比小仓库存粮多254吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。大、小仓库各存粮多少吨？ 4、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？ 5、小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明的2倍？ 6、一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？
第一讲倍数与因数(一) 例题精讲： 1、五位数73□28能被9整除,□应填几? 2、B A8919能被66整除,这个六位数是多少? 3、期末考试六年级一班数学平均分是90分,总分是□95□,这个班有多少名学生? 4、任意一个三位数连着写两回得到一个六位数,这个六位数一定能被7,11,13整除,为什么? 5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍,求这个两位数? 6、在298的后面填上一个三位数,使这个六位数能被476整除? 7、一梯形面积为1400平方米,高为50米,若两底的米数都是整数且可被8整除,求两底。(有几组解？) 8、某校人数是一个三位数,平均每个班36人,若将全校人数的百位与十位数对调,则全校人数比实际少180人,那么该校最多可达多少人?
练习： 1、四位数841□能被2和3整除,□里应填___________. 2、把789连续写___次,所组成的数能被9整除,并且这个数最小. 3、四位数ab 36=__________. 36能同时被2,3,4,5,9整除,则ab 4、把1,2,3这三个数字任意排列,可组成若干个三位数.在这些三位数中,能被11整除的是______________. 5、同时能被3,4,5整除的最小四位数是____________。 6、从3,5,0,1这四个数字中任选3个组成没有重复数字且同时能被3,5整除的三位数有_____个. 46,求x. 7、一个三位数减去它的各个数位的数字之和,其差还是一个三位数x 8、商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,商店里剩下的一箱货重多少千克? 9、三位数的百位,十位,个位数字分别是5,a,b将它接连重复写99次成为: 5??????，如果所组成之数能被91整除,这个三位数ab 5ab ab5ab 5是多少? 99个5 ab
习题讲解 和差问题 和差公式：（和+差）÷2＝大数（和 - 差）÷2＝小数 1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？ 2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？ 3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 和倍问题 已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做“和倍问题”。和倍公式： 和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）和—小数=大数 1、学校将360本书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两年级各分得多少本图书？ 2、小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍，小红和小明分别有压岁钱多少元？ 3、学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本，二、三年级各得图书多少本？ 差倍问题 已知两个数的差与两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做“差倍问题”。差倍公式：两数差÷（倍数—1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数） 1、小红买的兰花比月季多12朵，已知兰花的朵数是月季的3倍。小红买了兰花和月季各多少朵？ 2、甲存款数是乙的4倍，甲比乙多存600元。甲、乙两人各存款多少元？ 3、饲养场里养的白兔比灰兔多32只，已知白兔的只数是灰兔的5倍。白兔、灰兔各养了多少只？ 例1、甲班和乙班一共有60人。如果从甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。求甲、乙两班原来的人数。 例2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍，则减数是多少？ 例3、两个自然数相除，商是4，余数是1。如果被除数、除数、商及余数的和是56，那么被除数等于多少？
第四讲和差倍问题总结 关键：一定要会画线段图。先画少的一方；有倍数的先画倍。并把所有条件都在线段图上体现。 基本题型一： 和差问题： 1， 已知甲、乙两班共有学生56人，又知甲班比乙班多4人，问甲、乙两班分别多少人？ 解析第一步画线段图。关键：想办法使两班人数一样。 乙班 甲班56人 有两种方法可以让两班人数变得一样多。 方法一：可以从甲班拿走4人。 乙：（56-4）÷2=26（人） 甲：26+4=30（人） 方法二：可以借4人给乙班。 甲：（56+4）÷2=30（人） 乙：30-4=26（人） 基本题型二： 和倍问题： （一） 整倍型 2，果园里有杨树和桃树共100棵，杨树是桃树的4倍，请问，杨树和桃树各多少课？ 解析：先画出线段图 桃树 杨树100棵 桃树是一份，杨树是它的4倍，所以是4份，100是杨树和桃树的总和， 所以包括1份+4份 所以一份：100÷（1+4）=20（棵） 桃树正好是一份，为20棵。 杨树：20×4=80（棵） （二）非整倍型 思路：先转化成整倍问题 方法：“多”的减去，“少”的加上（多减少补）
3，班里有男生女生共66人，男生的人数是女的3倍多6人，请问，男生女生各多少人？解析：先画线段图。 女生 666人 男生 把多的减去，转化成整倍。 总数变为：66-6=60（人） 1份：60÷（1+3）=15（人） 男生：66-15=51（人） 4，郭老师买来白粉笔和红粉笔共95支，白粉笔是红粉笔的4倍少5支，问白粉笔和红粉笔各多少支？ 解析：先画线段图。 红粉笔 白粉笔 把少的补上，就凑成4倍了。 总数变为：95+5=100（支） 1份：100÷（1+4）=20（支） 白粉笔：95-20=75（支） 基本题型三： 差倍问题： 一、整倍型 5，小明买了足球和篮球，数了数，发现篮球比足球多15个，篮球的个数是足球的4倍，请问篮球、足球各多少个？ 解析：先画线段图。 篮球 足球 从图可以清楚的看出足球比篮球多了3份，同时多了15个。 所以，1份：15÷（4-1）=5（个） 足球：5×4=20（个），或者，5+15=20（个）
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
主备课人冯春明备课时间3/11 课题因数与倍数课型讲授课 三1、学生掌握找一个数的因数，倍数的方法； 维2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的； 目3、能熟练地找一个数的因数和倍数； 标4、培养学生的观察能力。 教学重点掌握找一个数的因数和倍数的方法 教学难点能熟练地找一个数的因数和倍数 创新点探讨总结因数与倍数关系 空白点动手找因数，倍数 教具准备生： 12 个同样的正方形， 师： ppt 课件 教学过程二次创作 一、创设情景，引入新课 师：人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈） 的关系是 ,, ？我和你们的关系是 ,, 生：父子、父女、母子、母女 师：我和你们的关系是 ,, ？ 生：师生关系 师：对，我是你们的老师，你们是我的学生，我们是师 生关系。在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这 节课，我 们一起讨论两数之间的因数和倍数的关 系。 板书：因数和倍 数。 二、认识因数和倍 数 师：课前，老师让每个学生都准备了12 个同样大小的小正 方形卡片，现在请大家把这些卡片拿出来，请看：课 件 生：学生明确要求后开始动手操作，师巡视并适当给予指导 生：汇报，师出示课件 师：刚才我们 用12个正方形拼出了不同的长方形，根据摆 法我们还写出 了 3 个不同的乘法算式。如：课 件 生读 红 色字部分 师：谁能根据6*2=12 ，接下去仿 4*3=12 也说 4 句他们之间 关系的话？怎么说呢？
12*1=12 板书： 12 的因数有： 1 2 3 4 6 12 三、求一个数的因 数 从 12 的因数可以看出，任何一个数都有它的因数，而且不
止一个，找到一个并不难，难的是想办法把他的所有的因数 无遗漏的全部找出来，老师相信你们能办得到，有信心吗? 课件例 1 （小组合作，总结找一个数的因数的方法。） 过渡语：小组合作中老师希望每一位同学都积极参 与进来，小组合作发挥的是集体的智慧，我希望能看到 你们合作中的勇敢发言和合作后汇报时集体智慧的闪现。 学生合作，师巡视并指导 师：同学们都很积极，哪个小组愿意展示你们小组合作 的结果，， 方法：一乘法二除法 板书 18=1*18 18=2*9 ......... 适时表扬：方法真好等。 板书：表示方法：1、18 的因数有： 1、 2、 3、 6、9、 18 2、集合 归纳：观察 12 18 的因数有什么特点？ 一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数 是本身，一个数的因数通常是成对出现的。 总结：你觉得怎样找才不容易漏掉？（本节课的重点和难点） 学生总结后课件 师：同学们归纳总结的真好：已经掌握了找一个数的因数的 方法，请你用同样的方法，练习1：再找一找30 的因数有 那些。 学生自主完成，师巡视，指明板演 练习 2：找 36 的因数 同学们已经掌握了找一个数的因数的方法，而且找的又 准又快 学是为了用，现在就让我们一起走进训练场来检验一下 你学到的方法是否能得到最好的运用。 拓展练习： 1、 [ 猜一猜 ] 一个长方形，它的面积是24 平方厘米，如果长和宽都是整数，猜一猜长和宽各是多少厘米？ [ 摆一摆 ] 如果把24 个棱长 是 1 厘米的小正方体摆成一个 长方体。想一想每排摆几个？摆了这样的几排？用乘法算式把自己的摆法表示出来，并和同桌交流。学生边操作、边汇报，边板书： 24×1=24 12×2=24 2、下 面我 们就 用这些算式 来研究
第一讲和倍问题 ?点击例题1 书架上，上下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那么下层的本数正好是上层的2倍，两层原来各有多少本书？ ?思路导航 由“上,下两层80本,如果从上层取下15本放入下层,那么下层共有的本数是上层的2倍”可求出上层现在的本数,由此可求出上层原来的本数和下层原来的本数。 解：上层现在的本数： 180÷（2＋1）=60（本） 上层原来的本数： 60+15=75（本） 下层原来的本数： 180-75=105（本） 答：上层原来有75本，下层原来有105本。 练习1： 1甲，乙两数的和是45，甲数是乙数的2倍，甲，乙两数各是多少？ 2 甲，乙两箱苹果共重96千克，如果从乙箱取出12千克放入甲箱，那些甲箱的重量是3倍，两箱原来各有苹果多少千克？ 3 养鸡场的种鸡和肉鸡共有2354只，后来卖了700只肉鸡，又买来150只种鸡，现在肉鸡比种鸡的5倍多88只。原来种鸡和肉鸡各有多少只？ ?点击例题2： 1 师徒二人共同工作3小时，一共生产了450个零件，已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，求师，徒每小时各生产了多少零件？ ?思路导航 本题没有直接告诉师徒每小时的效率“和”所以在解答时应先求出师徒二人的效率和。 解：根据题意： 1)先求出师徒二人每小时一共生产了多少零件。 450÷3=150（个） 2)徒弟每小时生产了多少零件。 150÷（2+1）=50（个） 3)师傅每小时生产了多少零件。 50×2=100（个） 答：师傅每小时生产了100个零件，徒弟每小时生产了50个零件。
练习2： 1 甲、乙两车同时从县城向相反的方向行驶，6小时一共行驶了720千米，甲车速度是乙车的2倍，求甲、乙每小时各行驶多少千米？ 2一个长方形的周长是108厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？ ?点击例题3 第一旅游团有78人，第二旅游团有82人，因为车程安排问题，要使第一旅游团的人数是第二旅游团人数的3倍，那么必须从第二旅游团调多少人到第一旅游团？ ?思路导航 第二旅游团调到第一旅游团，虽然两个旅游团的人数发生了变化，但总人数没有发生变化。所以，必须先求出两个旅游团的总人数。 1)第一旅游团和第二旅游团一共有多少人？ 78+82=160（个） 2)当第一旅游团的人数是第二旅游团的3倍是，第二旅游团有多少人？ 160÷（3+1）=40（人） 3)要从第二旅游团调多少人到第一旅游团？ 82-40=42（人） 答：必须从第二旅游团调42人到第一旅游团。 练习3 1 小冬和小梦都是集邮爱好者。小冬集了160张邮票，小梦集了122张邮票。小冬送给小梦几张邮票后，小梦的张数是小冬的2倍？ 2 甲工地有工人150人，乙工地有工人90人。要使甲工地的工人是乙工地的3倍，需从乙工地调多少人到甲工地？
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
奥数周周练---------------第一讲 本讲精讲 1、因数和倍数 （1）因数：如果自然数a能被自然数b整除，那么称b为a的因数。 （2）倍数：如果自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数。 如果要是求因数就去除以自然数，如果要是求倍数就去乘自然数。 2、公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数。 （１）一个非0自然数是几个数公有的因数，那么这个非0的自然数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 （２）一个非0自然数是几个数公有的倍数，那么这个非0自然数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 3、能被2,4,8整除的数的特征: 能被2整除的数，个位上的数能被2整除 能被4整除的数，十位和个位所组成的两位数能被4整除 能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除 4、能被5,25整除的数的特征: 能被5整除的数，个位上的数能被5整除 能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除 5、能被3,9整除的数的特征: 能被3整除的数，各个数位上数字的和能被3整除 能被9整除的数，各个数位上数字的和能被9整除 6、容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它的和中减去重复部分。 1、在10～226之间有多少个数是3的倍数？ 2、在1到100的自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 3、在1到100的自然数中，能被2整除或能被3整除的数有多少个？ 4、在1到200的自然数中，不是8的倍数也不是9的倍数的数有多少个？
5、今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分为若干堆．每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分______堆。 6、有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数。问这个整数是几？ 7、15×28×33、9×35×88、12×77×15、22×30×21这四个积中，哪个积与其它积不相等？ 8、将下列八个数平分成两组，使这两组数的积相等，可以怎样分？说明理由。 14、33、35、30、75、39、143、169。 9、一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个．这篮子里至少有多少个鸡蛋？ 10、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小．这个六位数是_____。 11、有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道十位数上的数字是1，个位上的数字是2，又知道这个数如果减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除，这个四位数是_____。
第一讲和倍问题 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。 例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系： 解：乙班：160÷（3+1）=40（本） 甲班：40×3=120（本） 或160-40=120（本） 答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。 这道应用题解答完了，怎样验算呢？ 可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。 验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍）。 例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？
分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。 解：①甲、乙两班共有图书的本数是： 30＋120=150（本） ②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是： 2＋1＝3（倍） ③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本） ④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本） 综合算式： （30＋120）÷（2+1）=50（本） 50-30=20（本） 答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。 验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍） （120-20）+（30+20）＝150 （本）。 例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。
四年级秋季 第四讲和倍问题（二） 1.和倍问题的结构特征： 已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，我们把它叫作和倍问题。解答时一般把最小的数看作1倍，先求出最小的数，然后再分别求出其他各数。 2.和倍问题的计算数量关系式： 小数=两数和÷（倍数+1）。 大数=两数和-小数。或者：大数=小数×倍数。 3.最好的解题方法： 利用画线段图的方法来表示数量之间的关系。 典例精讲 例1 学校有科技书和故事书共480本，科技书是故事书的3倍，两种书各有多少本？ 【思路点拨】为了便于理解题意，我们画图来分析： 由右图可知，如果把故事书的本数看作1份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1+3=4份。把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。 480÷（1+3）=120（本） 120×3=360（本）或480-120=360（本） 答：有故事书120本，科技书360本。 【详细解答】 达标练习 1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的质量是锡的5倍，铝和锡各用了多少千克？
2.甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？ 3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？ 例2少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？ 【思路点拨】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196（棵），这时杨树的棵数恰好是柳树的3倍，所以，柳树的棵数是196÷（1+3）=49（棵），杨树的棵数是216-49=167（棵）。 （216-20）÷（1+3）=49（棵） 216-49=167（棵） 答：柳树种了49棵，杨树种了167棵。 【详细解答】 达标练习 1.粮店有大米和面粉共6300千克，大米的质量比面粉的4倍多300千克，大米和面粉各有多少千克？ 2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分？
教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等),
(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。
四年级奥数课堂 第一讲和倍问题 （专题讲解）已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求出这两个数的应用题，叫“和倍问题”。 （解题技巧）根据题目所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然。正确列式的关键是，要找出两数和，以及与之对应的倍数和，先求出1倍数也就是每份的数（小的数）再求几倍数（大的数，）以下和倍问题常用的基本等量关系是： 小的数（1倍数）=两数和÷（倍数+1） 大的数（几倍数）=小的数（1倍数）×倍数 两数和-小的数（1倍数）=大的数（几倍数） 例题1：水果批发站有苹果和梨共48筐，苹果的筐数是梨的2倍，两种水果各有多少筐？ 例题2：甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨，放入甲仓库？ 趁热打铁习题 1.学校为培养孩子们的环保意识，组织全校循环利用课外读物。三、四年级共 捐书1200本，四年级是三年级捐书数目的2倍。三、四年级各捐书多少本？
2.诺贝尔文学奖获得者莫言准备和某小学的学生座谈。学校组织了240名学生， 其中女生是男生的3倍。那么，女生和男生各有多少名？ 3.有两车间，甲车间有85人，乙车间有65人，甲车间调出一部分人到乙车间， 使乙车间人数正好是甲车间的4倍，那么甲车间调出多少人到乙车间？ 4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每 分钟23立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的4倍？ 5.“中国好声音”海选时，原计划一天共有231人参加，如果把第二天的21人移 到第一天下午，那么第一天下午的人数正好是上午的2倍。第一天上午和下午原计划各有多少人参加？ 例题3：水果店里有苹果和梨共123筐，已经卖出8筐苹果和15筐梨，剩下苹果的筐数正好比梨多3倍，水果店原有苹果和梨各多少筐？ 例题4：动物园里有猴子和长颈鹿共180只，其中猴子的只数比长颈鹿的3倍少8只。动物园里有猴子和长颈鹿各多少只？
第一讲因数和倍数的提高及拓展 最大的因数是（）,最小的一个因数是（）,一个数的倍数的个数 ° 个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数，这个三位数 是（ 13、在3 X 9=27中，（）是（ ）和（ ）的倍数。在18 -3=6中，（）和（ ）是（ ）的 因数。5 X 7=35中，（）是（ ）和（ ）的倍数，（）和（ ）是（ ）的因数。 14、一个数是48的因数，又是6的倍数，这个数可能是（ ） 15、幼儿园的大班有 36个小朋友，中班有 48个小朋友，小班有 54个小朋友。按班分组，三个班的各组 人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友。 16、用”奇数”，”偶数”填空：偶数+偶数= 二、选择 1、 2 、3、7、11、19 都是（ ） A 、因数 B 、倍数 C 、质数 D 、奇数 2015五下 能力提升 、填空 2、 因为15十5=3，所以5是（ ）的因数，15是5的（ 3、 如果 A B 是两个整数（B M 0） ，且A - B = 2,那么A 是B 的（ ），B 是A 的（ ） 4、 20的因数有（ ），其中是质数的有（ 5、 6、 要使52」含有因数3, U 里最小可填 一个数的最小倍数是 99,这个数是（ ）;要使它是2的倍数, ），将它分解质因数是（ —里最大可填（ ）. 7、 1021至少加上一个整数（ ）就能被 3整除. 三个连续偶数的和是 42,这三个偶数分别是（ ）和（ 9、 两个质数和为18,积是65,这两个质数是（ ）和（ 11、一个数的最小倍数是 12,这个数是（ ;一个数的最大因数是 33,这个数是（ 偶数+偶数 =偶数 偶数-偶数 =偶数 偶数X 偶数=偶数 偶数+奇数 =奇数 偶数-奇数 =奇数 偶数X 奇数=偶数 奇数+奇数 =偶数 奇数-偶数 =奇数 奇数X 奇数=奇数 奇数-奇数 =偶数 无论多少个偶数相加都是偶数 偶数个奇数相加是偶数 奇数个奇数相加是奇数 偶数+奇数= 注: 1、一个数的因数的个数（） 是（），最小的倍数是（ 12、 奇数+奇数=
第四讲和倍问题 和倍问题的应用题，一般都在条件中告诉我拉：两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是多少。解答这类应用题的基本方法是： 和÷（倍数+1）＝较小数 较小数×倍数＝较大数 和-较小数＝较大数 同时解答这类应用题最好的方法是画线段图表示。 例：甲乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的4倍，问甲乙两个仓库各存货物多少吨？ 1. 小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍，妈妈和小红各几岁？ 2.生产队养公鸡母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍，公鸡和母鸡各有多少只？
3.果园里有梨树、苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的3倍。问三种树各多少棵？ 4.学校里足球的只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，篮球和足球共72只。三种球各有多少只？ 例：小明买语文本和数学本共250本，其中语文本比数学本的2倍多40本。语文本和数学本各有多少本？ 1.师傅和徒弟共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个，师徒二人各生产多少个零件？ 2.两个仓库共存粮2200吨。从乙仓库运出210吨后，甲仓库的粮食是乙仓库的2倍少380吨。甲乙两仓库原来各有粮食多少吨？
3.汉丰五校购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒。购进红白粉笔各多秒盒？ 例：两箱茶中共重88千克，如果从甲箱取出15千克放入到乙箱中，那么乙箱中的重量是甲箱的3倍。原来两箱各有茶叶多少千克？ 1.小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔，小兰给小红多少支后，小红的铅笔是小兰的2倍？ 2.甲乙两仓库共有粮食1038吨，如果从甲仓库调9吨粮食到乙仓库。这时两个仓库的粮食一样多。原来两个仓库各有多少吨粮食？ 3.姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐多少元后，姐姐的钱比弟弟多3倍？
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ． 2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 , 那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x,则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cos A · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2sin 9、 tan 65 tan 70 tan 65 ·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。
12、已知3 ，求(1tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos23, 求 sin 4cos4的值。 5 14、已知tan, tan是方程 x 23x50的两个根，求 sin 2 () 2 sin() · cos() 的值。
和倍问题 已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫和倍问题。 解这类应用题关键是要找准标准数（即1倍数），一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。数量关系可表示为： 两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数（1倍数）×倍数=大数（几倍数） 或两数和—小数（1倍数）=大数（几倍数） 解决和倍问题，为了理解题意，可以画出线段图，使数量关系一目了然。 1、三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 2、哥哥和弟弟共有图书120本，哥哥的图书是弟弟的3倍，哥哥有图书多少本？ 3、小强和小明共有28本练习本，小强的练习本比小明的2倍少2本，小强和小明各有几本练习本？
4、甲乙丙三个数的和是360，已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三个数各是多少？ 5、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若是把0去掉，则与加一个加数相同，这两个数各是多少？ 6、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克？ 7、一个除法算式，商是5，余数是1，被除数、除数、商和余数的和是109，除数是多少？ 差倍问题 差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。 解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而示出一倍数，再求出其它的数。解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系。 这类问题的数量关系式是： 两数差÷（倍数-1）=小数（1倍数） 小数（一倍数）×倍数=大数（几倍数） 或小数（一倍数）+两数差=大数（几倍数）
4??和差倍问题中的隐藏条件
之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量 关系，这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的 手段．比如故事中的两根蜡烛，它们之间有什么样的数量关系？有没有哪个数量关系在 燃烧过程中不变？ 例题1 叮叮和铛铛玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子．一开始叮叮有18枚棋子，铛铛则有22枚．玩了若干局之后，叮叮反 而比铛铛多了10枚棋子．请问：此时叮叮有多少枚棋子？ 分析在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？ 练习 1.有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到 小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？ 例题2 小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米．他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍 还多6米．那么两根绳子都剪去了几米？ 分析两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量 又会是什么呢？ 练习 2.两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳喳”吃的比较短，只有25厘米．它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长 度是短面条的2倍．那么此时短面条还剩多少厘米？
前面2道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：“和不变”与“差不变”．在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下： 给来给去和不变，同增同减差不变． 除了寻找不变量外，分析、比对前后条件之间的差异，利用较隐藏的“差”条件来 挖掘数量关系，也是解决和差倍问题的重要方法． 例题3 用杯子往一个空瓶里倒水．如果倒进6杯水，连瓶共重680克；如果倒进9杯水，连瓶共重920克．求空瓶的重量． 分析9杯水比6杯水重多少克？你能由此求出1杯水的重量吗？ 练习 3.一满瓶水可以装7杯水，如果从中倒出5杯水，剩下的水和瓶子共重520克；如果倒出3杯水，那么剩下的水和瓶子共重880克．请问：空瓶重多少克？ 例题4 有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃．1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米．此时粗蜡烛长度 正好是细蜡烛的3倍．请问：粗蜡烛还能烧多久？ 分析两根蜡烛最初的长度相同，1小时后它们相差几厘米？ 练习 4.卡莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较 快．在接下来的两个月里，萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将会是卡莉娅的2倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？