第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★两向量的数量积 ★例1 ★例4 ★向量积概念的引入 ★向量积的运算 ★例6 ★例9 ★向量的混合积 ★例11 ★内容小结 ★习题8-3 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量 示b ,它们的夹角为0 ,乘积| a ||b | cose 称为向量a 与b 的数量积(或 称为内积、 点积)，记为a b,即 a b 却 a || b | cos . 根据数量积的定义，可以推得： (1) a b =|b |Pr j b a =|a |Pr j a b ; I — - 2 (2) a a a | ; (3) 设a*、b 为两非零向量，贝U a_L b 的充分必要条件是 a ， b = 数量积满足下列运算规律: (1)交换律 a b = b a; (2)分配律 (a b) c = a c b c; (3)结合律 人(』b)=(杯b =a ，(Lb),( &为实数) 二、两向量的向量积 定义2若由向量a 与b 所确定的一个向量 c 满足下列条件： ★数量积的运算 ★例2 ★例3 ★例5 ★向量积的定义 ★例7 ★例8 ★例10 ★混合积的几何意义 ★例12 ★例13 ★课堂练习 ★返回
(1) c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定(图
8-3-4); (2) C的模| C|=|a〔|b | sin6 ,(其中8为a与b的夹角)， 则称向量c为向量a与b的向量积(或称外积、叉积)，记为 c = a b . 根据向量积的定义，即可推得 (1) a 3 =0 ； (2) 设a、b为两非零向量，贝U a//b的充分必要条件是』xb = 0. 向量积满足下列运算规律： (1) a b = -b a; (2) 分配律(a b) c = a c b c; (3) 结合律u￡xb) = (?a)Xb = ax(7_b),(岛为实数). 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01)已知a={1,1,~4}, b={1,—2,2},求 (1)a b; (2) a与b的夹角0 ; (3) a与b上的投影. 解(1) a b =1 1 1 (-2) (-4) 2 = -9. a x b x a y b y a z b z 1 . 3■: (2) cos@=j2 2；j 2 2 2 =_了，」.nr a x a y a z , b x b y b z 2 4 a b (3) a b =|b|PrRa, . Pr j b a = ------------- = -3. |a| 例2证明向量c与向量(￡ d)b —(b 3)￡垂直. 证[(a c)b - (b c)a] c =[(a c)b c - (b c)a c] =(b c)[a c - a c] =0,
【课题】7.3 平面向量的积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积． 在讲述向量积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
+ F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
．两个向量a
§1.4 向量的向量积、向量的混合积本节重点：1。向量的向量积及其运算律、坐标运算 2．向量的混合积及其运算律、坐标运算 1.4.1向量积 物理学中研究刚体转动问题时，“力矩”是一重要概念；所谓一个力→f关于 定点O的力矩,指的是一个向量→m,它的模等于这个力的大小│→f│与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积,它垂直于通过O与力作用线的平面,并且向 量→OH, →f,→m组成一个右手标架{O;→OH, →f,→m}。但是，要获得力矩→m，也可以不使用垂足H。我们在ｆ作用线上任取一点R。如图以→r记向量→OR。则→m垂 直于→r，→f。且→r，→f，→m仍组成一个右手标架{O; →r, →f,→m}。 由于OH＝OR sin∠ORH 而∠ORH＝π－∠(→r，→f) （或∠(→r, →f)） 故│→m│＝│→f││→OH│＝│→f││→r│sin（π-∠(→r, →f)） ＝│→r│·│→f│sin∠(→r, →f) 我们把由→r，→f得出→m的方法推广到一般向量，就产生一种新的运算。 1.4.1定义设→a，→b为两不共线非零向量，作一向量→c，其模等于→a，→b之模 与→a，→b夹角正弦之积，它的方向与→a，→b垂直且→a，→b，→c组成一个右手标架{ｏ; → a, →b,→c}, 则→c称为→a, →b的向量积(或叫外积),记作 → c＝→a×→b或[→a, →b] 系1:│→a×→b│等于以→a, →b为邻边的平行四边形的面积。 系2: 两向量→a, →b共线充要条件为→a×→b＝0。 由定义可以推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 (1) →b×→a＝－(→a×→b) (2) λ→a×→b＝→a×λ→b＝λ(→a×→b) 证:(1)若→a, →b共线,则等式显然成立。今设→a，→b不共线，则当交换→a, →b次序时, →a, →b的夹角及各自的模均未改变,故│→b×→a│＝│→a×→b│。又根据向量积定义，→a×→b与→b×→a都同时垂直于→a与→b，因此→a×→b与→b×→a是共线向量，且按顺序→a，→b，→a×→b和→b，→a，→b×→a都分别构成右手标架{ｏ; →a, →b,→a× → b},{ｏ; →b,→a, →b×→a}所以→a×→b与→b×→a方向相反。 从而得→a×→b＝-(→b×→a) (2) 不妨设λ≠0且→a, →b不共线
（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的 长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ? b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式： ,A B d ＝||AB AB AB =?（A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。 （8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ?b ＝λa 12210x y x y ?-=。 2）a ⊥b （a ≠0）? a ·b ＝012120x x y y ?+=。 （9）线段的定比分公式： 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12P P PP λ=，则
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
平面向量的内积教案
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |算向量模的公式的基础； （3）cos＝ |||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2 3·10＝5003 （J ） 图7—21
第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 ★ 返回 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积（或称为内积、点积），记为b a ?，即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; （2） 2 ||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律： （1）交换律 ;a b b a ?=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图
8-3-4）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 b a c ?=. 根据向量积的定义，即可推得 （1）0 =?a a ； （2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: （1）;a b b a ?-=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 解 (1) b a ?2)4()2(111?-+-?+?=.9-= (2) 222222cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++= θ,2 1- = ∴.4 3π θ= (3) ,Pr ||a j b b a b =?.3| |Pr -=?=∴a b a a j b 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 证 c a c b b c a ??-?])()[(])()[(c a c b c b c a ??-??=])[(c a c a c b ?-??=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥?-?
本节重点: 2 1.4.1向量积 § 1.4 向量的向量积、向量的混合积 1。向量的向量积及其运算律、坐标运算 ?向量的混合积及其运算律、坐标运算 物理学中研究刚体转动问题时， 亠冃 T 向量m ,它的模等于这个力的大小| ,并且向量O H , 与力作用线的平面 “力矩”是一重要概念；所谓一个力/关于定点O 的力矩，指的是 也可以不使用垂足 H 。我们在f 作用线上任取一点 R 。 与从O 到这个力作用线所引垂直线段 OH 之积，它垂直于通过 O T c T ,m ｝。但是，要获得力矩 m , 如图以r 记向量OR 。则m 垂直于r , f 。且/ , f , m 组成一个右手标架｛ O ；OH , f', T f , m 仍组成一个右手标架｛ O ; 由于 而 故丨m | = | T T T r , f , m }。 OH = OR sin / ORH / ORH = n —Z ( r , f )(或/ 我们把由 f | |OH | = |f' | | ?I f | sin Z ( r , f 得出m 的方法推广到一般向量， a , b 为两不共线非零向量，作一向量 b 垂直且a , b , c 组成一个右手标架｛ o ; T r T r , r | sin ( n - Z ( r , f ) 141 定义设 积，它的方向与a , (或叫外积),记作 T T c = a x T T 系 1: | a x b T 就产生一种新的运算。 c ,其模等于a , b 之模与a , b 夹角正弦之 则c 称为a , b 的向量积 T T b , c }, T b ] T T a , b 为邻边的平行四边形的面积。 T T a x b = 0。 等于以 T 系2:两向量a , b 共线充要条件为 由定义可以 推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 T T T T b x a =—(a x b ) T T T T T 入 a x b = a x 入 b =入(a x b ) 证:(1)若a , b 共线,则等式显然成立。今设 T T T T 及各自的模均未改变，故|b x a | = |a x b T T T T T T —f —f b 次序时，a , b 的夹角 与b ,因此a x b 与b x a 是共线向量，且按顺序 T 标架｛o ; a , T T T a , b 不共线，则当交换a , T T T T T 。又根据向量积定义， a x b 与b x a 都同时垂直于a TTTTTT T T a , b , a x b 和b , a , b x a 都分别构成右手 从而得 (2) 不妨设 当入＞0时, TTT TTTT TTTT b , a x b },{ o ; b , a , b x a }所以 a x b 与 b x a 方向相反。 T T T T a x b = -( b x a ) T T 入工0且a , b 不共线 TT TTTT TT 入a 与a 同向，故入a x b 与a x b 同向，又与入(a x b )同向， 、., T T T T T T 另一方面 | 入 a x b | = | 入 a | | b | sin Z (入 a , b ) T T T =| 入 | |a | | b | sin Z (入 a T T T T b )) T T =| 入 | |a | | b | sin Z ( a , b ) =| 入(a x b ) | ,
【课题】7.3 平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究相关问题奠定基础. 水平目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的水平． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．所以，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的准确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．能够记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 + F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
向量内积、外积和混合积 1 点乘 1.1 定义 点乘，也叫向量的内积、数量积。两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<> 令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。 1.2 坐标表示 设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则： 121212 a b x x y y z z =++ 1.3 几何意义 点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。 1.4 应用 （1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量） （2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦； （3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影； （4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。（<0）多边形在视点的正面能看到。 （5）求平面外一点到平面的距离。从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。 （6）方向角与方向余弦。方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则： 222cos ,cos ,cos cos cos cos y x z a a a a a a αβγαβγ= ==++ 如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。 2 叉乘 2.1 定义 叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。大小为： sin ,c a b a b =<> 令sin ,a b θ<>=，则[]/2,/2θππ∈-，指的是a 到b 的夹角，具有方向性。 2.2 坐标表示 c =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2），矩阵表示为
浅谈向量混合积的应用 摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分 几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积 向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积 在各领域的运用予以举例说明. 混合积的定义 给定空间的三个矢量→ →→c b a ,,，如果先做前两个矢量→ →b a 和的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量→ c 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量 → →→c b a ,,的混合积，记做→→→??c b a )(或),,(→→→c b a 或).(→ →→c b a 性质1三个不共面矢量→→→c b a ,,的混合积的绝对值等于以→ →→c b a ,,为棱的平行六面体的体积V ，并且当→ →→c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当→ →→c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有 ,)(V c b a ε=→ →→ 当→→→c b a ,,是右手系时;1=ε当→ →→c b a ,,是左手系时.1-=ε 性质2 三矢量→ →→c b a ,,共面的充要条件是.0),,(=→ →→c b a 性质 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即 ).()()()()()(→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→-=-=-===b c a a b c c a b b a c a c b c b a 推论 →→→??c b a )(=).(→ →→??c b a 性质 3 如果,,,333222111→ →→→→→→→→→→→++=++=++=k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 那么 .)(3 3 3 222 111Z Y X Z Y X Z Y X c b a =→ →→ 一、在微分几何中的应用 引理 1 向量函数→ )(t r 具有固定长的充要条件是对于t 的每个值，→ ')(t r 都与 → )(t r 垂直.
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量：
根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c 均为向量）有： 即： 向量a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b 间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是 一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b 的叉乘公式为：
其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个 垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】
*揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?o o ， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100× 2 3 ·10＝5003 （J ） 这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA u u u r ＝a , OB u u u r ＝ b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，图7—21
关于向量内积的基本知识点： 基本概念： 设 V 是实数 R 上的线性空间 .如果 V 中任意两个向量α, β都按某一法则对应于 R 中一个唯一确定的数 , 记作 ( α , β ), 且 满足 (i) ( α , β)=( β, α ); (ii) ( α+β, γ )=( α , γ ) + (β , γ ); (iii) ( k α , β) = k(α, β); (iv) 当αθ≠时, ( α , α )>0; 其中的α , β,γ是 V 中任意向量 , k 是任意实数 .则称 ( α , β) 为向量 α , β的内积. 而 V 叫做对这个内积来说的一个欧几里德 (Euclid) 空间 , 简称欧氏空间 . 举例说明： 例1： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β , 规定： n n y x y x y x +++= 2211),(βα 容易验证 , 关于内积的公理被满足 , 因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间。 例2： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β , 规定： n n y nx y x y x +++= 22112),(βα 不难验证 , 这样R n 也作成一个欧氏空间. 由以上两个例子可以看出 , 对同一个线性空间可以引人不同的内积 , 使它作成欧氏空间 例3： 令 C[a ,b] 是定义在 [a ,b] 上一切连续实函数所成的线性空间 .关于任意 f(x), g(x) ∈C[a ,b] , 规定: dx x g x f g f b a ?=)()(),( 根据定积分的基本性质可知 , 关于内积的公理都被满足 , 因而 C[a ,b] 作成一个欧氏空间 .
【最新整理，下载后即可编辑】 概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
5.3 向量的数量积、向量积及混合积 一、相关问题 1．人在路面上用绳子拉一个物体，绳子上的力F 与路面成的角为θ，物体产生的位移为S ，求力F 对物体做的功. 解：力F 所做的功W 等于F 在位移方向上的分力大小与移动距离的乘积，即 W=cos θF S . 2．一个力F 作用在棒的一端P,使棒绕其支点O 转动，求力F 关于支点O 的力矩的大小. 解：力矩M 的大小为：sin (,).OA OA =∠M F F 方向为垂直力F 和向量OP 所在的平面。 二、相关知识 1．向量数量积的定义； 答：两个向量a 和b 的数量积为a 与b 的模和它们夹角的余弦的乘积，即 cos (,).?∠a b =a b a b 2．向量积的定义； 答：两个向量a 与b 的向量积是一个向量，它的模为sin (,),∠a b a b 方向与,a b 都垂直，并且按,,?a b a b 这一顺序组成右手系. 3．向量数量积的运算性质有哪些？ 答：（1）交换律：?=?a b b a ；数量积的运算与方向无关。 （2）关于数因子的结合律：()()λλ?=?a b a b （3）分配律：()+?=?+?a b c a c b c （4）0,?≥a a 等号成立当且仅当=0a . 4．向量积的运算性质有哪些？ 答：（1）反交换律：?=-?a b b a ；数量积的运算与方向有关。 （2）关于数因子的结合律：()()()λλλ?=?=?a b a b a b （3）右分配律：()+?=?+?a b c a c b c （4）左分配律：()?+=?+?a b c a b a c 三、练习题
1．设证明βα ,为任意向量，证明βαβα +≤+； 证明：作,,OA AB ==αβ则OB =+αβ,根据三角形三边之间的关系有： OB OA AB ≤+,即+≤+αβαβ. 2．已知点(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C ，求（1）BAC ∠，（2）Pr AC j AB ； 解： (0,1,0),(1,0,0)AB AC =-=-,0(1)(1)0000AB AC ∴?=?-+-?+?=. cos AB AC AB AC BAC ?=?∠,cos 0AB AC BAC AB AC ?∴∠= =?, ∴2 BAC π ∠= , Pr 0AC AB AC j AB AC ?= =. 3．试证明三个向量γβα ,,共面的充分必要条件是0),,(=γβα ； 证明：取单位坐标系{O;123,,e e e },设123123123(,,),(,,),(,,)x x x y y y z z z ===αβγ， 则32 331 12 1223311 23311 2 ()( )()i i i x x x x x x z y y y y y y ==?+?+??∑e e e e e e e α,β,γ =1 23 233 1 1 2 3 1 2123123123233 1 12 1 2 3 ()()()x x x x x x x x x z z z y y y y y y y y y z z z ++?=?e ,e ,e e e e . α,β,γ共面等价于存在不全为0的实数123,,k k k 使得123k k k α+β+γ=0，即方程组112233112233112233 00k x k x k x k y k y k y k z k z k z ++=?? ++=??++=?有非零解，这就等价于12 3 12312 3 0x x x y y y z z z =，即(α,β,γ)=0. 4．设6 )?,?(,3,4π===b a b a ，求以b a 2+和b a 3-为边的平行四边形的面积。 解：由向量积的运算性质可知： b a b a b a b b b a a b a a b a b a ?-=?-?-=?-?-?+?=-?+5323232)3()2( 再由向量积的几何意义可得所求平行四边形的面积为： .3021345)?,?sin(5)(5)3()2(=???=?=?-=-?+=b a b a b a b a b a S 四、思考题
第二讲 Ⅰ 授课题目 §7. 2 数量积 向量积 Ⅱ 教学目的与要求 1、掌握向量的数量积的定义及数量积的性质； 2、掌握向量的向量积的定义及向量积的性质； 3、掌握向量的数量积与向量积的计算方法。 Ⅲ 教学重点与难点 1、重点：数量积与向量积的定义及性质。 2、难点：数量积与向量积的计算方法。 Ⅳ 讲授内容 一、两向量的数量积 数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2. 以s 表示位移→21M M . 由物理学知道, 力F 所作的功为 W = |F | |s | cos θ, 其中 为F 与s 的夹角. 数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及 它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ?b , 即 a · b =|a ||b | cos θ. 数量积与投影: 由于|b | cos θ=|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b . 同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2. 这是因为夹角θ=0，所以 a ·a =|a || a | cos θ=|a | 2. (2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a·b =0, 则a ⊥b ；反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0. 这是因为如果a·b =0，由于|a | 与|b |均不为零，所以 cos θ =0，从而θ= 2π，即a ⊥b ；反之如果a ⊥b ,那么2π θ=，cos θ =0，于是a ·b =|a ||b | cos θ=0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直, 因此，上述结论可叙述为：向量a ⊥b a ·b =0. 数量积的运算律: (1)交换律: a·b =b· a θ b a