数学 高二 选修2-1 第1章常用逻辑用语 第2讲 简单的逻辑联结词

高二 选修2-1 第1章常用逻辑用语

第2讲 简单的逻辑联结词

【基础知识】

1．简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词

命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断

p q p ∧q p ∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假

假

假

假

真

2.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示． 3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q .

【典型例题】

考点一 含有逻辑联结词命题的真假判断

【例1】设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π

2对称．则下列

判断正确的是( )．

A ．p 为真

B ．綈q 为假

C ．p ∧q 为假

D ．p ∨q 为真

【例2】(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是

“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．

A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q

【训练1】若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－b

a}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0

的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．

【训练2】已知命题p1：y＝ln[(1－x)·(1＋x)]为偶函数；命题p2：y＝ln 1－x

1＋x

为奇函数，则下列命题是假命题的

是()

A.p1且p2

B.p1或(綈p2)

C.p1或p2

D.p1且(綈p2)

【训练3】已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；

④(綈p)或q中，真命题是()

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【训练4】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()

A.p且q

B.(綈p)且(綈q)

C.(綈p)且q

D.p且(綈q)

考点二含有量词的命题的真假判断

【例3】下列四个命题

p 1：?x 0∈(0，＋∞)，0

12x ??

???＜0

13x ?? ???

；

p 2：?x 0∈(0,1)，

12

log

x 0＞13

log x 0；

p 3：?x ∈(0，＋∞)，12x

?

? ???

＞

12

log

x ；

p 4：?x ∈????0，1

3，12x

?? ?

??

＜13

log x . 其中真命题是( D )． A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4

【训练1】下列命题中，为真命题的是( ) A.任意x ∈R ，x 2>0 B.任意x ∈R ，－1

D.存在x 0∈R ，tan x 0＝2

解析 (1)任意x ∈R ，x 2≥0，故A 错；任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；任意x ∈R,2x >0，故C 错，故选D.

【训练2】判断下列命题的真假． (1)?x ∈R ，都有x 2－x ＋1>1

2.

(2)?α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)?x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)?x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.

【训练3】(2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“?x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．

考点三 全称命题与存在性命题的否定 【例4】 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：?x ∈R ，x 2－x ＋1

4

≥0；

(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.

【训练1】命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A.对任意实数x ，都有x >1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1

【训练2】设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为：______.

【训练3】下列命题中的真命题是( ) A.存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝3

2

B.任意x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1

C.存在x ∈(－∞，0)，2x <3x

D.任意x ∈(0，π)，sin x >cos x

【训练4】 (2010·深圳一模)已知命题p ：?x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为________．

考点四 借助逻辑联结词求解参数范围问题

【例题 5】 (12分)已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对?x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围．

【训练1】(2014·锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

【训练2】已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为()

A.m≥2

B.m≤－2

C.m≤－2或m≥2

D.－2≤m≤2

【训练3】(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()

A.{a|a≤－2或a＝1}

B.{a|a≥1}

C.{a|a≤－2或1≤a≤2}

D.{a|－2≤a≤1}

1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．

(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.

(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．

2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．

3．全称命题“?x∈M，p(x)”的否定是一个存在性命题“?x∈M，綈p(x)”，存在性命题“?x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“?x∈M，綈p(x)”.

【课堂练习】

1.常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断

典例已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

A.“綈p”是假命题

B.q是真命题

C.“p或q”为假命题

D.“p且q”为真命题

二、求参数的取值范围

典例已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.

三、利用逻辑推理解决实际问题

典例(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为________.

(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：中国非第一名，也非第二名；

乙：中国非第一名，而是第三名；

丙：中国非第三名，而是第一名.

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.

【课后练习】

1．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是()．

A．?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β

B．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

C．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·x m2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D．?a＞0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点

2．(2013·衡水二模)已知命题p：“?x0∈R，使得x20＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足()．A．[－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

3．(2014·宿州检测)给出如下四个命题：

①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；

③“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“?x0∈R，x20＋1≤1”；

④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．

其中不正确的命题的序号是________．

4．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

5.已知命题p：存在x∈R，x－2>lg x，命题q：任意x∈R，x2>0，则()

A.p或q是假命题

B.p且q是真命题

C.p且(綈q)是真命题

D.p或(綈q)是假命题

6.四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.4

7.下列结论正确的是()

A.若p：存在x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x＋1<0

B.若p或q为真命题，则p且q也为真命题

C.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件

D.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题

8.已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.

9.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________________________.

10.有下列命题：

①在函数y ＝cos ????x －π4cos ????x ＋π

4的图像中，相邻两个对称中心的距离为π； ②函数y ＝x ＋3

x －1

的图像关于点(－1,1)对称；

③已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x 0∈R ，使得sin x 0>1； ④在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于30°或150°. 其中的真命题是________.