第四章
1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,L m =
42610m τ-=?。
（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为1
5000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布。
解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：
222222()0a a D k x y z
φφφ
φφ∞???++-∑+∑=??? 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===
（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：
(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=
将方程化为：22221k X Y Z
X Y Z L
∞-???++=- 设：222
222,,x y z X Y Z B B B X Y Z
???=-=-=- 想考虑X 方向，利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+
代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a a
ππ
=?==?=
同理可得：0(,,)cos()cos(
)cos()x y z x y z a
a a
π
π
π
φφ=
其中0φ是待定常数。
其几何曲率：2
2222()()()106.4g B m a b c
πππ
-=++=
（1）应用修正单群理论，临界条件变为：
2
21g
k B M
∞-= 其中：2220.00248M L m τ=+=
1.264k ∞?=
（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ
3
222002
2
2
2
cos()cos()cos()()a b
c
a b c f f f f f f V
P E dV E x dx y dy z dz E abc a b c π
π
πφφ
φπ---=∑=∑=∑??
??3
1821
02() 1.00710f f P m s E abc
π
φ--?=
=?∑
2.设一重水—铀反应堆的堆芯22222
1.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==?=?。试按单群理
论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。
解：对于单群理论：
在临界条件下：2222
11
0.781311g m B L B L
Λ=
==++ （或用1k ∞Λ=）
对于单群修正理论：2220.03M L m τ=+=
22
2
19.33M k B m L -∞-=
= 在临界条件下：222
2
11
0.781311g m B M B M Λ===++ （注意：这时能用1k ∞Λ=，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不
再是之前的系统了。）
4. 设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，设栅格参数为：k ∞=1.19，L 2
=6.6
×10-4米2，τ=0.50×10-2米2
。（a ）试求该装置的有效增殖系数k ；（b ）当该装置恰好达临界时，水位高度H 等于多少？（c ）设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为R=1.66米，H=3.50米，若反射层节省估算为δr =0.07米，δH =0.1米。试求反应堆的初始反应性ρ以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。
5.一个球壳形反应堆，内半径为1R ,外半径为2R ，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为：
11
211
tan tan 1tan BR BR BR BR BR -=
+
解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：
22
22B r r r
φφφ??+=-?? 边界条件：i. 1
lim 0;x R J →=
ii. 2()0R φ=
（如果不2R 包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解：cos sin ()Br Br
r A C
r r
φ=+ 由条件i 可得：
111111
22
1111cos sin sin cos lim 0r R r R BR BR BR BR J D AB A CB C R R R R φ=→=-? =---=
11111
11111cos sin tan sin cos tan 1
BR BR BR BR BR C A A BR BR BR BR BR --?==-++
由条件ii 可得：
由此可见，11
211tan tan tan 1
BR BR BR BR BR -=
+，证毕。
7.一由纯235U 金属3
3
(18.710/)kg m ρ=?组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯
238
U 33(19.010/)kg m ρ=?，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
235
12381: 1.5, 1.78,35.4, 2.51;:0,0.18,35.4f a tr f a tr U b b m v U b m σσσσ--==∑====∑=。
解：以球心为左边原点建立球左边系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，
设其分界面在半径为R 处： 2
5525
1
235:k U L φφ∞--?=- 方程1 28828
1
238:U L φφ-?=
方程2 边界条件：i. 50lim r φ→<∞ ii. 58()()R R φφ= iii. 58
5
8r R r R D D r r
φφ==?? = ?? iv. 8lim 0r φ→∞= 令2
25
1
k B L ∞-=
（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程1通解：555
cos sin ()Br Br
r A C r r
φ=+ 由条件i 可知50A =，所以：5sin ()Br
r C r
φ=
球域内方程2通解：88888
exp(/)exp(/)
()r L r L r A C r r φ-=+ 由条件iv 可知,所以：888exp(/)
()r L r A r
φ-=
由条件ii 可得：88exp(/)exp(/)sin sin R L R L BR
C A C A
R R BR
--=?= 由条件iii 可得：
88
8582885(
1)exp()
cos sin 11()()exp()sin cos R R D L L BR BR R
D C B D A C A R R L R R L D BR BR BR
+--=---?=-所以（由题目已知参数,5,858,5,8
11
33tr tr tr tr D D ∑=∑?=
==∑∑）
888858
(
1)exp()exp(/)sin cos (1)sin sin cos sin R R L L D R L R A A BR BR BR BR BR BR BR D BR L +--=?-=+-即：8
cos sin R
BR BR BR L -=
88cot(1/)1
cos sin arc BL BR BR R BL B
-=-?= 代入数据：
328358510 4.7910A
N N m M ρ--==?
3283888
10 4.8110A
N N m M ρ--==?
,5,5
,5,5
232
5,5,5
218883555 2.115
1 1.3110329.170.1043cot(1/)/2arctan(1/)
0.064744
21.33
f f a a a f v v k L m B m L m
arc BL BL R m
B B
m V R kg
σσπρρπ∞--∑===∑==?∑∑====-+=
====?=
8.试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率
11(,)(
)sin cos()x r z r z AJ R H
πφμθ= 2
221()()g x B R H
π=+
其中：1 3.89x =是11()J x 的第一个零点，即。
证明：（1）书上图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，
几何曲率与材料曲率相等）：
2222
222211,(0,0,/2/2)g B r R H Z H r r r r z
φφφφφθπθ????+++=-≤≤≤≤-≤≤???? 边界条件（不考虑外推距离）：i. 00r R r φφ== = =
II. 00θθπφφ== = = III.
/2/20z H z H φφ==- = =
(注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：
如果()(1,2,,),()i a t i n f t =???/都是区间[],a b 上的连续函数，则对于任
一0(,)t a b ∈及任意的(0)(1)(2)(1)
0000,,,,n x x x x -???方程：
()()11()n n n n x a x a x a x f t -'++???++=
存在唯一解
()x t ?=
定义于区间[],a b 上，且满足初值条件()
()
00()(0,,1),k k x t x k n ==???-
而此扩散方程并非线性微分方程。） 对于表达式：111(,,)(
)sin cos(), 3.89x r z
r z AJ x R H
πφθθ== 不难证明其满足上述全部三个边界条件。11((0)(3.89)0)J J ==
（2）将表达式代入方程，其中，已知如下条件：
101,
n n n x J n J x J J J -''=-+=- 可推得：10
1
J xJ J x
-+'=
[]100
0100
11100112
2221
2(1)J xJ J J J xJ J J J J xJ J J J x x
x x x x x x
-+-+''''=-
+-++=--+-=--111111
110
()
()()()x r J x r x r x x r R J J J R R r R R
'''==-+ 12
20211111111111102211()22()()1()()()()()x r J x r x r x r x x r x r x r x r R J J J J J x r x r R R R R r R R R R R
R ???????????????'''''==--=--???? ????????????????????所以：
22
11111022112()()
()x x r x r x r J J r R R R R r x r J R
φφ??
???--?? ????????=
11110111()()
()x r x x r
J J r r R Rr R x r J R
φφ?-+?=
2112221111
()
()x r J r r R x r J R
φθφ??=-
所以：
112
2
112111111100222
2222
111(
)()211()()()()(
)()
x r x r J J x x r x r x r x r x r R R
J J J x r r R R R R r R R r
r r r r x r R
J R
φφφ
θφ
?????---+-++
????
???=
=-再有：
2
2
22cos()
()cos()z F H z z H H
ππφππφ???- ????==- 所以方程为：22
2
1g x B R H π????--=- ? ???
??
可知该表达式为方程的解。证毕。
（也可如此推出解的形式：分离变量：(,,)()()()r z r Q Z z φθ?θ=
方程变形：2222
222211g d d d Q d Z
dr r dr d dz B r Q Z
??θ?+++=-
设：222d Q d n Q θ=-（n 为任意实数），222z d Z dz B Z =-； 2222222222221()0g z r r d d n d d dr r dr B B B r r B n r dr dr ??
????+-=-+=-?++-= 变量替换：22
22
2,()(),()0r r d d x B r B x r x x x n dx dx
?????''==++-= 此为n Bessel 阶方程，通解为
()()
()()()n n r n n r
J x J B r r Y x Y B x ???==??
?? 由边界条件i 可得,n 须取使(0)0n J =的值，在其中，我们只去基波，即1n =，相
应的1r B R x =：
11()(/)r J x r R ?=
相应的： ()sin sin Q A C θθθθθ=+
由边界条件ii 可得： 0,()sin C Q A θθθθ==
对于z 有： ()sin()cos()z z z z Z z A B z C B z =+
由边界条件ii 可得， 0,/,()cos(/)z z z A B H Z z C z H ππ===
所以: 11(/)sin cos(/)AJ x r R z H φθπ=
10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求： （1）使临界体积为最小的/R H 的值；
（2）最小临界体积V 与2
m B 的关系。
解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率：2
22
2.405(
)(
)g B H
R
π
=+ 可得，在临界条件下：2
2
22
2.405(
)g R B H π
=
-
临界体积：232
222
2.405g H V R H B H πππ
==- 其取最小值时: 0dV
dH
=,即：
2223222222
2222
2222.4053 2.405203()2()g g g g g g H H B H B H B H H B H B H B πππππ?-?=?-=?=--
222
2
2
2
22
2.405 2.405323/g g
g
R R B B B ππ??=
=?=-
所以：2
0.5412R ?=
= （2
）由上可得临界最小体积：222
2
23
2.4053 2.40522
g g g V R H B B B ππ===
由于临界条件下：22g m B B =，所以：3
148.4/m V B =
11.设有意纯239Pu 33
(14.410/)kg m ρ=?组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数：
2.19,1.85,0.26
,f r t r v b b b σσσ====计算其临界半径与临界质量。 解：由已知条件可得：328310 3.6410A
N N m M
ρ-=
=? 1.92f f
a f r v v k σσσ∞∑===∑+
2
3211 1.771033()
a a tr tr f r D L m N N σσσ-=
===?∑∑∑+ 设临界半径为R ，则临界条件：2
2
g m B B =，可得：
2
2
10.138k R m H L π∞-??
=?== ???
对于这一实际问题，需要考虑外推距离：0.7104
0.71040.0288tr tr
d m N λσ==
= 所以实际临界体积为：3334
() 5.40103
V R d m π-=
-=? 临界质量：77.8m V kg ρ==
12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数:
（1）半径为R 的球形堆，反射层节省为T δ；
（2）半径为R ，高度为H 的圆柱形堆，反射层节省分别为r δ和H δ； （3）边长为,,a b c 的长方形堆，反射层节省分别为,,x y z δδδ。 解：可利用裸堆的结论，球：
3,204/3
3.27sin()4H bare R
R K r r dr R
ππ
π=
=?
23
()3H T
R K R πδ?=+
圆柱：2,2/02/0 3.622.405
cos()()2H bare H
R
H R H
K z dz J r rdr H R ππ
π-=
=??
23.62()()2H r H
R H
K R H δδ?=++
立方体： 3
,/2
/2
/2
/2/2/2 3.888
cos()cos()cos()H bare a b c a b c abc
K x dx y dy z dz a b c ππ
π
π
---=
=
=?
??
3()()()8222H x y z
a a a
K a a a πδδδ?=+++
详细推导：据97页4-1裸堆的通解形式可得：
球：1()sin(
)T
r A r r
R π
φδ=+
m a x 00cos()1lim sin()lim 1T r r T T T r R A r A
A r
R R R πδπππ
φδδδ→→??????+??===??+++????????
34/3V R π=
2000
sin sin()T R V T
dV A d d r r dr R ππδπ
φ?θθδ+=+???? 00
2(cos )sin(
)cos()T
R T T A r r d r R R δπ
π
π
πθδδ+??=--??++?
??
|
004cos()()cos()T T R R T T
T T R R A r r d r R R δδδδππππδπδ++????++=-+-????
++???
??|
22
20()40()cos()4()T T T R R A x dx A R πδδπδππ??++=++=+?????
323
m a x 2
43()14()3T H T T
V
R A
R R K A R R dV V ππφδπδδφ+===++? 圆柱：0 2.405(,)(
)cos()2T z
r z AJ r z R H π
φδδ=++ max 000
2.405lim ()cos()2r T z z AJ r z A R H π
φδδ=→→=++
2V R H π=
22/00
2/2.405(
)cos()2r
R H V
H T z
dV A d rJ r dr z dz R H π
δπ
φθδδ+-=++?
??
?
2/102/22.4052()()sin()2.4052r R H T z H T z R H A rJ r z R H δδδπ
πδπδ+-????++=????++???
?||
22()220.519120.863337()(2)2.405T z
T z R H A A R H δδπ
δδπ
++=???=++
22max
2
3.64()()1
0.863337()(2)
2H T z T z
V
A R H R H
K A R H R H dV V
φπδδδδφ=
==++++?
立方体：(,,)cos()cos(
)cos(
)222x
y
z
x y z A x y z a a a π
π
π
φδδδ=+++
max 000
lim cos(
)cos(
)cos(
)222x x
y
z y z A x y z A a a a π
π
π
φδδδ=→→→??
=??+++???
?
V abc =
/2/2/2/2/2
/2c o s ()c o s ()
c o s ()
222x
y z x y
z
a b c V
a b c x
y
y
dV A x dx y dy z dz a b c δδδδδδπ
π
π
φδδδ+++------=+++?
?
??
32222
2(
)()()()(2)(2)(2)y x z x y z b a c A A a b c δδδδδδππππ
+++=??=+++ 3
max
3(
)()()1
2
8222()(2)(2)(2)
H x y z
x y z V
Aabc
a b c
K a b c dV
A a b c V
φπδδδφδδδπ
=
=
=
++++++?
16.设有如图4-9所示的 一维无限平板反应堆。中间区域（I ）的1I
k ∞
=，厚度2b 为已知，两侧区域（II ）的1II
k ∞
>，试用单群理论导出确定临界尺寸a 的公式及临界时中子通量密度的分布。说明尺寸b 对临界尺寸有无影响及其理由。
解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩
散方程（由于几何上的对称性，对于本体只需考虑一侧，如X 为正一侧）：
2
221
,0I I I I k x b x L φφ∞?-=-≤≤? 方程1
222
1
,II II II II
k b x b a x L φφ∞?-=-≤≤+? 方程2 边界条件：i. ()();I II b b φφ= ii. ()0II b a φ+=
由表3-1查得方程1的通解：()cos sin I I I I I x A B x C B x φ=+
其中第二项明显有悖于对称性条件，故0I C =，同理有：()cos II II II x A B x φ= （由于本体是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故以下不再
对其进行区别，统一用2
B 表示）
有条件ii 可得：cos ()02()
II II II
A B b a B a b π
+=?+
整个系统的临界条件为：
eff k =中子率/（中子泄漏率+中子吸收率）=1 即：
2
1
b b a
I I II II
I II a I a II I f II f b
I
II
eff b a
b
b a
I
II I
II a
II a
II a
I a
II x a b
I
II
b
b
k dx k dx v R dV v R dV
k JdS R dV v R dV
dx dx dx φφφφφ+∞∞++=+∑+∑+=
=
=?++-?+∑+∑?????
???
??
2
b a
b
b a
b b a I II I I II II II a
I a
II a
I a II b b
b
dx dx dx k
dx k dx
φφφφφ+++∞∞?-?+∑+∑=∑+∑?
??
?
?
2
(1)(1)(1)b a
b b a
b a
I I II
II II
II
II II
II a I a II a II b b
b
D B dx k dx k dx k dx
φφφφ+++∞∞∞?=-∑+-∑=-∑?
??
?
2(1)/II II
II a II B k D ∞
?=-∑
?=
（注意，此处的泄露仅仅是II 区外表面上的泄露，I II -区之间的净流动时通过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的）
可见，临界尺寸a 与b 负相关，从物理上的理解：由于I 区增值性质弱于II 区，故存在由II 区向I 区的净流动，相当于II 区的泄露。I 区尺寸越小，则这一泄露越弱，此时的临界尺a 最小。但不要认为ab 之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的a+b 相当于同一材料曲率下最小的临界尺寸，而实际对于任意n 平方倍的几何曲率，临界条件都可以满足。 由条件i
可得：
cos cos cos cos 221/0I I II II I II II II I I I A B b A B b
b A A B b A a b k B L π∞=????==? ?+??=?==??
中子通量密度分布为：
()cos ,()cos 2222II II I II x b x A x A a b a b ππφφ????
==
? ?++????
，
其中II A 由临界时的功率条件确定。
17. 设有高度为H （端部无反射层）径向为双区的圆柱形反应堆，中心为通量密度展平区，
要求中子通量密度等于常数，假定单群理论可以适用。试求： （1）中心区的k ∞应等于多少？
（2）临界判别式及中子通量密度分布。
解：自己设定材料有关参数，以几何中心为原点建立坐标系：
222221,0I
I I I I I
k r b r r r z L φφφφ∞
???++=-≤≤??? 方程1
222
221,0II II II II II II
k r b r r r z L φφφφ∞
???++=-≤≤??? 方程2 由于I 区进行了通量展平，即0I φφ=为常数，易知1I k ∞=，而II
k ∞必须大于1.
边界条件： i. 0II r b φφ==|; ii. I II I x b II x b D D x x
φφ
==??=??||
iii. 0II r a φ==| iv. /20II x H φ=±=|
1、 H 和O 在1000eV 到1eV 能量范围内的散射截面似为常数，分别为20b 和38b.计算2H O 的ξ以及在2H O 和中子从1000eV 慢化到1eV 所需要的碰撞次数。 解：不难得出，2H O 的散射截面与平均对数能降应有下列关系： 2 2 2H O H O H H O O σξσξσξ?=?+? 即 2(2)2H O H O H H O O σσξσξσξ+?=?+? 2 (2)/(2)H O H H O O H O ξσξσξσσ=?+?+ 查附录3，可知平均对数能降： 1.000H ξ=，0.120O ξ=，代入计算得： 2 (220 1.000380.120)/(22038)0.571H O ξ=??+??+= 可得平均碰撞次数： 221ln()/ln(1.0001)/0.57112.0912.1C H O N E E ξ ===≈ 2．设 ()f d υυυ''→表示L 系中速度速度υ的中子弹性散射后速度在υ'附近d υ'内的概率。 假定在C 系中散射是各向同性的，求()f d υυυ''→的表达式，并求一次碰撞后的平均速 度。 解： 由： 21 2 E m υ'= ' 得： 2dE m d υυ'='' ()(1)dE f E E dE E α' →''=- - E E E α≤'≤ ()f d υυυ''→=2 2,(1)d υυαυ '' -- αυυυ≤'≤ ()f d αυ υ υυυυ= '→'' 322(1)3(1)υ αα= -- 6.在讨论中子热化时，认为热中子源项()Q E 是从某给定分解能c E 以上能区的中子，经过弹性散射慢化二来的。设慢化能谱服从()E φ/E φ=分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由c E 以上能区，（1）散射到能量为()c E E E <的单位能量间隔内之中子数()Q E ;（2）散射到能量区间1g g g E E E -?=-的中子数g Q 。 解：（1）由题意可知： ()()()()c E s Q E E E f E E dE φ∞ = ∑'''→'? 对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为 常数： /()()()c E S E Q E E f E E dE α φ= ∑''→'?
第三章 1.有两束方向相反的平行热中子束射到235U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为122110cm s --?。自右面入射的中子束强度为1221210cm s --??。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度； （3）设2119.210a m -∑=?，求该点的吸收率。 解：（1）由定义可知：1221310I I cm s φ+---=+=? （2）若以向右为正方向：1221110J I I cm s +---=-=-? 可见其方向垂直于薄片表面向左。 （3）2122133119.21031010 5.7610a a R cm s φ---=∑=????=? 2.设在x 处中子密度的分布函数是：0(,,)(1cos )2x aE n n x E e e λμπ -Ω=+u r 其中：,a λ为常数， μ是Ωu r 与x 轴的夹角。求： （1） 中子总密度()n x ； （2） 与能量相关的中子通量密度(,)x E φ; （3） 中子流密度(,)J x E 。 解：由于此处中子密度只与Ωu r 与x 轴的夹角相关，不妨视μ 为视角，定义Ωu r 在Y Z -平面影上与Z 轴的夹角?为方向角，则有： （1） 根据定义： 004()(1cos )2x aE n n x dE e e d πμπ+∞ -=+Ω??u r 20000(1cos )sin 2x aE n dE d e e d ππ?μμμπ +∞-=+??? 00 (1cos )sin x aE n e e dE d π λμμμ+∞-=+?? 可见，上式可积的前提应保证0a <，则有： 0000()()(sin cos sin )aE x e n x n e d d a π πλ μμμμμ-+∞=?+?? 0002(cos 0)x x n e n e a a λλπ μ--=--?+=- （2）令 n m 为中子质量，则2/2()n E m v v E =?= 04(,)(,)()(,,)2x x E n x E v E n x E d n e e λπ φ-==ΩΩ=u r u r （等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关
《核反应堆物理分析》85页扩散理论习题解答二 21 解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达式较简单），建立扩散方程： 即：2a D S φφ??+Σ=2a S D D φφΣ??=?边界条件：i.,ii.0φ<<+∞()0,0J r r =<<+∞ 设存在连续函数满足： ()r ?222,(1)1(2)a S D D L φ?φ???=???Σ?=??可见，函数满足方解形式：()r ?exp(/)exp(/)()r L r L r A C r r ??=+由条件i 可知：C =0， 由方程（2）可得：()()/a r r S φ?=+Σ再由条件ii 可知：A =0，所以： /a S φ=Σ 0） ，x >0S D ?,iii.()(0)/2a x t φ′=?Σlim ()0x J x →∞ =)exp(/)exp(/)/a x A x L C x L S =?++Σ//()x L x L J x D e e dx L L ?=?=?由条件ii 可得：0 lim ()()()22a a x a a AD CD t S tL S J x A C C A A C L L D →′′=?=?Σ++??=Σ++ΣΣ由条件iii 可得：C =0
所以：(22(1)a a a a tL S S A A A D D tL ′?=Σ+?=Σ??Σ′Σ//()[12(2/)(1)x L x L a a a a a a te S S S x e D t D L tL φ??′Σ=+=?′ΣΣΣ+??Σ′Σ对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。 22 解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程： 2112 22221()(),01()(),0x x x L x x x L φφφφ?= ≥?=≤边界条件：i.;ii.;1200lim ()lim ()x x x x φφ→→=000 lim[()|()|]x x J x J x S εεε=+=?→?=iii.;iv.; 1()0a φ=2()0b φ?=通解形式：，111sinh(/)cosh(/)A x L C x L φ=+222sinh(/)cosh(/)A x L C x L φ=+122cosh(sinh()cosh(sinh()]x x x x C A C S L L L L ?++=（3）1/)sinh(/)a L A a L =?（4）22cosh(/)sinh(/) C b L A b L =联系（1）可得：12tanh(/)/tanh(/) A A b L a L =?结合（2）可得：222tanh(/)/tanh(/)1tanh(/)/tanh(/)SL b L SL D A A A D a L b L a L ?=??=+1/1tanh(/)/tanh(/) SL D A a L b L ??=+
核反应堆物理分析答案 第一章 1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ= 以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有： 5 55235235238(1) c c c ε=+- 151 (10.9874(1))0.0246c ε -=+-= 25528 3 222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310() M(UO ) A c c UO N N UO m ρ-=+-+?=?==? 所以，26 352(5)() 5.4910()N U c N UO m -==? 28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=? 28 32()2() 4.4610()N O N UO m -==? 2112()(5)(5)(8)(8)()() 0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0() a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=?+?+?=∑==?= 1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时： (5)680.9a U b σ= 由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U = 33()19.0510/U kg m ρ=? 可得天然U 核子数密度28 3()1000()/() 4.8210()A N U U N M U m ρ-==? 则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=?=?= 总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑= 1-6 11 7172 1111 PV V 3.210P 2101.2510m 3.2105 3.210φφ---=∑???===?∑????
第四章 1.试求边长为,,a b c （包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布.设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆， 0.043,L m =42610m τ-=?。 （1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为15000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布. 解:长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为: 222222()0a a D k x y z φφφφφ∞???++-∑+∑=???边界条件：(/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ=== （以下解题过程都不再强调外推距离,可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法： (,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=将方程化为：22221k X Y Z X Y Z L ∞ -???++=- 设：222222,,x y z X Y Z B B B X Y Z ???=-=-=- 想考虑X 方向,利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+
代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a a ππ=?==?= 同理可得：0(,,)cos()cos()cos()x y z x y z a a a πππφφ= 其中0φ是待定常数。 其几何曲率：22222()()()106.4g B m a b c πππ-=++= (1)应用修正单群理论，临界条件变为：221g k B M ∞-= 其中:2220.00248M L m τ=+= 1.264k ∞?=（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ 322200222 2cos()cos()cos()()a b c a b c f f f f f f V P E dV E x dx y dy z dz E abc a b c πππφφφπ---=∑=∑=∑????3 182102() 1.00710f f P m s E abc π φ--?==?∑ 2.设一重水—铀反应堆的堆芯222221.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==?=?.试按单群理 论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。 解:对于单群理论：
第1章—核反应堆物理分析 中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0.1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0.1 MeV),热中子(E ﹤1eV). 共振弹性散射A Z X + 01n → [A+1Z X]*→A Z X + 01n 势散射A Z X + 01n →A Z X + 01n 辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为A Z X + 01n → [A+1Z X]*→A+1Z X + γ 235 U 裂变反应的反应式23592U + 01n → [23692U]*→A1Z1X + A2Z2X +ν01n 微观截面ΔI=-σIN Δx /I I I IN x N x σ-?-?==?? 宏观截面Σ= σN 单位体积内的原子核数0N N A ρ= 中子穿过x 长的路程未发生核反应，而在x 和x+dx 之间发生首次核反应的概率P(x)dx= e -Σx Σdx 核反应率定义为R nv =∑单位是中子∕m 3?s 中子通量密度nv ?= 总的中子通量密度Φ0 ()()()n E v E dE E dE ?∞ ∞ Φ==?? 平均宏观截面或平均截面为()()()E E E E dE R E dE ????∑∑== Φ ? ? 辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示f γ σασ= 有效裂变中子数1f f a f γνσνσν ησσσα === ++ 有效增殖因数eff k = +系统内中子的产生率 系统内中子的总消失（吸收泄漏）率
四因子公式s d eff n pf k k n εη∞ΛΛ= =Λk pf εη∞= 中子的不泄露概率Λ= +系统内中子的吸收率 系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率 热中子利用系数f =燃料吸收的热中子 被吸收的热中子总数 第2章-中子慢化和慢化能谱 2 11A A α-??= ?+?? 在L 系中，散射中子能量分布函数[]' 1 (1)(1)cos 2 c E E ααθ= ++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应(')'()c c f E E dE f d θθ→= 在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内的概率: 2d 2(sin )sin d ()42 c c r r d f d r θπθθθθ θθπ= ==对应圆环面积球面积 能量均布定律()(1)dE f E E dE E α' ''→=- - 平均对数能降2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+?? =+=- ?--?? 当A>10时可采用以下近似22 3 A ξ≈ + L 系内的平均散射角余弦0 μ00 1223c c d A π μθθ== ? 慢化剂的慢化能力ξ∑s 慢化比ξ∑s /∑a 由E 0慢化到E th 所需的慢化时间t S 0 ()th E s s E E dE t v E λλξ?? =- =?
反应堆物理习题 1. 水的密度为103kg ／m 3，对能量为0.0253eV 的中子，氢核和氧核的微观吸收截面分别为0.332b 和 2.7×10-4b ，计算水的宏观吸收截面。 2.22*10-2cm -1 2. UO 2的密度为10.42×103kg ／m 3，235U 的富集度ε=3％(重量百分比)。已知在0.0253eV 时， 235U 的微观吸收截面为680.9b ，238U 为2.7b ，氧为2.7×10-4b ，确定UO 2的宏观吸收截面。 0.5414cm -1 3．强度为10 104?中子/厘米2·秒的单能中子束入射到面积为1厘米2，厚0.1厘米的靶上，靶的原子密度为24 0.04810?原子/厘米3，它对该能量中子的总截面（微观）为4.5靶，求（1）总宏观截面（2）每秒有多少个中子与靶作用？ 0.216cm -1 8.64*108 4．用一束强度为1010中子/厘米2·秒的单能中子束轰击一个薄面靶，我们观测一个选定的靶核，平均看来要等多少时间才能看到一个中子与这个靶核发生反应？靶核的总截面是10靶。 1013s 5．能量为1Mev 通量密度为12 510?中子/厘米2·秒中子束射入C 12 薄靶上，靶的面积为0.5厘米2、厚0.05厘米，中子束的横截面积为0.1厘米2，1Mev 中子与C 12 作用的总截面（微观）为2.6靶，问（1）中子与靶核的相互作用率是多少？（2）中子束内一个中子与靶核作用的几率是多少？已知C 12 的密度为1.6克/厘米3。 1.0435*1012cm -3s -1 1.043*10-3cm 2 6．一个中子运动两个平均自由程及1/2个平均自由程而不与介质发生作用的几率分别是多少？ 0x I I e -∑=根据 在2个平均自由程不与介质发生作用的机率为: 220.1353e e λ-∑-== 在1/2个平均自由程不与介质发生作用的机率为: 120.6065e e λ-∑-==
第一章—核反应堆的核物理基础 直接相互作用：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。 中子的散射：散射是使中于慢化(即使中子的动能减小)的主要核反应过程。 非弹性散射：中子首先被靶核吸收而形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中子并发射γ射线而返回基态。 弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。 111001 100[]A A A Z Z Z A A Z Z X n X X n X n X n +*+→→++→+ 微观截面：一个粒子入射到单位面积内只含一个靶核的靶子上所发生的反应概率，或表示一个入射粒子同单位面积靶上一个靶核发生反应的概率。 宏观截面：表征一个中子与单位体积内原子核发生核反应的平均概率大小的一种度量。也是一个中子穿行单位距离与核发生相互作用的概率大小的一种度量。 平均自由程：中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫作平均自由程。 核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。 中子通量密度：某点处中子密度与相应的中子速度的乘积，表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。 多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。 瞬发中子和缓发中子：裂变中，99％以上的中子是在裂变的瞬间(约10-14s)发射出来的，把这些中子叫瞬发中子；裂变中子中，还有小于1％的中子是在裂变碎片衰变过程中发射出来的，把这些中子叫缓发中子。 第二章—中子慢化和慢化能谱 慢化时间：裂变中子能量由裂变能慢化到热能所需要的平均时间。 扩散时间：无限介质内热中子在自产生至被俘获以前所经过的平均时间。 平均寿命：在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均寿命。 慢化密度：在r 处每秒每单位体积内慢化到能量E 以下的中子数。 分界能或缝合能：通常把某个分界能量E c 以下的中子称为热中子，E c 称为分界能或缝合能。 第三章—中子扩散理论 中子角密度：在r 处单位体积内和能量为E 的单位能量间隔内，运动方向为Ω的单位立体角内的中子数目。 慢化长度：中子从慢化成为热中子处到被吸收为止在介质中运动所穿行的直线距离。 徙动长度：快中子从源点产生到变为热中子而被吸收时所穿行的直线距离为r M 。 第四章—均匀反应堆的临界理论 反射层的作用： 1. 减少芯部中子泄漏，从而使得芯部的临界尺寸要比无反射层时的小，节省一部分燃料；
第三章 1.有两束方向相反的平行热中子束射到235U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为122110cm s --?。自右面入射的中子束强度为1221210cm s --??。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度； （3）设2119.210a m -∑=?，求该点的吸收率。 解：（1）由定义可知：12 21 310I I cm s φ+ - --=+=? （2）若以向右为正方向：12 21 110J I I cm s + - --=-=-? 可见其方向垂直于薄片表面向左。 （3）2122133119.21031010 5.7610a a R cm s φ---=∑=????=? 2.设在x 处中子密度的分布函数是：0(,,)(1cos )2x aE n n x E e e λμπ -Ω= + 其中：,a λ为常数， μ是Ω与x 轴的夹角。求： （1） 中子总密度()n x ； （2） 与能量相关的中子通量密度(,)x E φ; （3） 中子流密度(,)J x E 。 解：由于此处中子密度只与Ω与x 轴的夹角相关，不妨视μ为视角，定义Ω在Y Z -平面影上与Z 轴的夹角?为方向角，则有： （1） 根据定义： 004()(1cos )2x aE n n x dE e e d λπμπ +∞ -= +Ω?? 20000(1cos )sin 2x aE n dE d e e d ππλ?μμμπ +∞-=+??? 00 (1cos )sin x aE n e e dE d π λ μμμ+∞ -=+? ? 可见，上式可积的前提应保证0a <，则有： 0000()()(sin cos sin )aE x e n x n e d d a π πλ μμμμμ-+∞=?+?? 0002(cos 0)x x n e n e a a λλπ μ--=--?+=- （2）令n m 为中子质量，则2 /2()n E m v v E =?= 04(,)(,)()(,,)2x x E n x E v E n x E d n e e λπ φ-==ΩΩ= （等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得： cos sin cos μθ?= 则涉及角通量的、关于空间角的积分： 240 (1cos )(1sin cos )sin d d π π μθ?θθ+Ω=+?? 2220 sin cos sin d d d d π πππ ?θθ??θθ= +? ??? 00 2(cos )(2sin cos )404d π π πθπ μμμππ =- +=+=?
《核反应堆物理分析》公式整理
第1章—核反应堆物理分析 中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0.1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0.1 MeV),热中子(E ﹤1eV). 共振弹性散射 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A Z X + 01n 势散射 A Z X + 01n → A Z X + 01n 辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A+1Z X + γ 235U 裂变反应的反应式 23592U + 01n → [23692U]* → A1Z1X + A2Z2X +ν01n 微观截面 ΔI=-σIN Δx /I I I IN x N x σ-?-?== ?? 宏观截面 Σ= σN 单位体积内的原子核数 0N N A ρ= 中子穿过x 长的路程未发生核反应，而在x 和 x+dx 之间发生首次核反应的概率 P(x)dx= e -Σ x Σdx 核反应率定义为 R nv =∑ 单位是 中子∕m 3?s 中子通量密度 nv ?= 总的中子通量密度Φ 0 ()()()n E v E dE E dE ?∞ ∞ Φ==?? 平均宏观截面或平均截面为 ()()()E E E E dE R E dE ????∑∑== Φ ? ? 辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示 f γ σασ= 有效裂变中子数 1f f a f γνσνσν ησσσα === ++ 有效增殖因数 eff k = +系统内中子的产生率 系统内中子的总消失（吸收泄漏）率
四因子公式 s d eff n pf k k n εη∞ΛΛ= =Λ k pf εη∞= 中子的不泄露概率 Λ= +系统内中子的吸收率 系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率 热中子利用系数 f =燃料吸收的热中子 被吸收的热中子总数 第2章-中子慢化和慢化能谱 2 11A A α-??= ?+?? 在L 系中，散射中子能量分布函数 []'1 (1)(1)cos 2 c E E ααθ= ++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应 (')'()c c f E E dE f d θθ→= 在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内的概率: 2d 2(sin )sin d ()42 c c r r d f d r θπθθθθ θθπ= ==对应圆环面积球面积 能量均布定律 ()(1)dE f E E dE E α' ''→=- - 平均对数能降 2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+?? =+=- ?--?? 当A>10时可采用以下近似 22 3 A ξ≈ + L 系内的平均散射角余弦0μ 00 1223c c d A π μθθ== ? 慢化剂的慢化能力 ξ∑s 慢化比 ξ∑s /∑a
核反应堆物理分析答案 第一章 1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ= 以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有： 5 55235235238(1) c c c ε=+- 151 (10.9874(1))0.0246c ε -=+-= 25528 3222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()M(UO ) A c c UO N N UO m ρ-=+-+?=?= =? 所以，26 352(5)() 5.4910 ()N U c N UO m -==? 28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=? 28 32()2() 4.4610()N O N UO m -==? 2112()(5)(5)(8)(8)()() 0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0() a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=?+?+?=∑==?= 1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时： (5)680.9a U b σ= 由289页附录3查得，0.0253eV 时：1 1 2() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U = 33()19.0510/U kg m ρ=? 可得天然U 核子数密度28 3()1000()/() 4.8210 ()A N U U N M U m ρ-==? 则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=?=?= 总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑= 1-6题
第三章 235 1?有两束方向相反的平行热中子束射到 U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度 12 2 1 12 2 1 为10 cm- s-。自右面入射的中子束强度为 2 10 cm- s-。计算： (1) 该点的中子通量密度； (2) 该点的中子流密度； (3) 设'I =19.2 102m J ，求该点的吸收率。 解：(1)由定义可知：；，=|「|「=：3 1012cm's 」 (2) 若以向右为正方向： J=『_|-=_1 1012cm's 」 可见其方向垂直于薄片表面向 左。 2 12 o 13 3 1 (3) R a 八a ■ =19.2 10 3 10 10 =5.76 10 cm s n “ X* ■ aE 2?设在X 处中子密度的分布函数是： n(x, E,0)=—"e (1 + cosP) 2 其中：■ ,a 为常数， 」是门与X 轴的夹角。求： (1) 中子总密度n(x)； (2) 与能量相关的中子通量密度 (X , E); (3) 中子流密度J(X , E) o 解：由于此处中子密度只与 门与X 轴的夹角相关，不妨视」为视角，定义■■在Y-Z 平面影上与Z 轴的夹角「为方向角，则有： =[dE 二 (才 e%aE (1+cos P)si n ?d ? .r, "bC Jf =n 0e ■ e dE L (1+cos?)sin A d # 可见，上式可积的前提应保证 a ：：： 0，则有： e aE 占兀 H n(x) =n 0 e“r—)l 0 「(『 sin 卩 +『cos^sin Ad#) a n 0e / IJ. I 応丄 c\ 2n 0e (—cos 0 0) z a a (2)令 g 为中子质量，则 E =g v 2/2= v(E) f[2E g (x,E)二 n(x,E)v(E)「2E m ； n(x,EJ W2 n °「e 七 2E_m . (等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得： cos 」=sin J cos : 则涉及角通量的、关于空间角的积分： 2 二 . (1 cos ')d = (1 sin^cos )si 4 二 0 2 2 一. d ， si 门冷亠 i cos sin^d- 0 0 0 - 0 =2二(-cos 710 ) (2二 p sin 」cos'd ") = 4 0 = (1)根据定义： n(x)二；dE L 暑 e%aE (1 +cos4)d0
第一章核反应堆的核物理基础（6学时） 1.什么是核能？包括哪两种类型？核能的优点和缺点是什么？ 核能：原子核结构发生变化时释放出的能量，主要包括裂变能和聚变能。 优点：1）污染小：2）需要燃料少；3）重量轻、体积小、不需要空气，装一炉料可运行很长时间。 缺点：1）次锕系核素具有几百万年的半衰期，且具有毒性，需要妥善保存；2）裂变产物带有强的放射性，但在300年之内可以衰变到和天然易裂变核素处于同一放射性水平上；3）需要考虑排除剩余发热。 2.核反应堆的定义。核反应堆可按哪些进行分类，可划分为哪些类型？属于哪种类型的核反应堆？ 核反应堆：一种能以可控方式产生自持链式裂变反应的装置。 3. 核素：具有确定质子数Z和核子数A的原子核。 同位素：质子数Z相同而中子数N不同的核素。 同量素：质量数A相同，而质子数Z和中子数N各不相同的核素。 同中子数：只有中子数N相同的核素。 原子核能级：最低能量状态叫做基态，比基态高的能量状态称激发态。激发态是不稳定的，会自发跃迁到基态，并以放出射线的形式释放出多余的能量。 核力的基本特点： 1）核力的短程性 2）核力的饱和性 3）核力与电荷无关 4.原子核的衰变。包括：放射性同位素、核衰变、衰变常数、半衰期、平均寿命的定义；理解衰变常数的物理意义；核衰变的主要类型、反应式、衰变过程，穿透能力和电离能力。 放射性同位素：不稳定的同位素，会自发进行衰变，称为放射性同位素。 核衰变：有些元素的原子核是不稳定的，它能自发而有规律地改变其结构转变为另一种原子核，这种现象称为核衰变，也称放射性衰变。 衰变常数：它是单位时间内衰变几率的一种量度；物理意义是单位时间内的衰变几率，标志 着衰变的快慢。 半衰期：原子核衰变一半所需的平均时间。 平均寿命：任一时刻存在的所有核的预期寿命的平均值。
核反应堆物理复习分析资料整理 中子核反应类型：势散射、直接相互作用、复合核的形成 微观截面：一个粒子入射到单位面积内只含一个靶核的靶子上所发生的反应概率，或表示一个入射粒子同单位面积靶上一个靶核发生反应的概率。 宏观截面：表征一个中子与单位体积内原子核发生核反应的平均概率。 中子通量：表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。 核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。 多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。 截面随中子能量的变化规律：1）低能区（E<1eV），吸收截面随中子能量减小而增大，大致与中子的速度成反比，亦称吸收截面的1/v区。2）中能区（1eV
核反应堆物理分析习题 答案第四章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第四章 1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,L m = 42610m τ-=?。（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为 15000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布。 解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为： 222222()0a a D k x y z φφφ φφ∞???++-∑+∑=??? 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ=== （以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法： (,,)()()()x y z X x Y y Z z φ= 将方程化为：22221k X Y Z X Y Z L ∞-???++=- 设：222 222,,x y z X Y Z B B B X Y Z ???=-=-=- 想考虑X 方向，利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+ 代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a a ππ =?==?= 同理可得：0(,,)cos()cos()cos()x y z x y z a a a πππ φφ= 其中0φ是待定常数。 其几何曲率：2 2222()()()106.4g B m a b c πππ-=++= （1）应用修正单群理论，临界条件变为：2 21g k B M ∞-= 其中：222 0.00248M L m τ=+= 1.264k ∞?= （2）只须求出通量表达式中的常系数0φ 3 222 00222 2cos()cos()cos()()a b c a b c f f f f f f V P E dV E x dx y dy z dz E abc a b c πππφφφπ---=∑=∑=∑????3 182102() 1.00710f f P m s E abc πφ--?==?∑ 2.设一重水—铀反应堆的堆芯222221.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==?=?。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。
1、热中子反应堆内，瞬发中子的平均寿期比自由中子的半衰期（ ）。 A、短的多； B、长的多； C、一样大。 1、某压水堆采用二氧化铀作燃料，其复集度为2.43%（重量），密度为104公斤/米2，计算：当中子能量为0.025ev时，二氧化铀的宏观吸收截面和宏观裂变截面（复集度表示铀－235在铀中所占的重量百分比）。
2、某反应堆堆芯由铀－235、水和铝组成，各元素所占的体积比分别为0.002，0.600和0.398，计算堆芯的总吸收截面 （0.025ev）。 3、求热中子（0.025ev）在轻水、重水和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞数。 4、试比较：将2.0M电子伏的中子束减弱到1/10所需的铝、钠和铝和铅的厚度。 5、一个中子运动两个平均自由程及1/2个平均自由程而不与介质发生作用的几率分别是多少？ 6、堆芯的宏观裂变截面为5米-1，功率密度为20×106瓦/m3,求堆芯内的平均中子通量密度。
7、有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀－235数量。 8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产生的裂变产物的放射性活度为1.08×10-16t-1.2居里，此处t为裂变后的时间，单位为天，试估计停堆后24小时堆内裂变产物的居里数。 9、1）计算并画出中子能量为0.025电子伏时的复集铀的参数η与复集度的函数关系。
2）有一座热中子反应堆，无限增值系数为1.10，快中子裂变因子，逃脱共振几率和热中子利用系数三者的乘积为0.65，试确定该堆所用核燃料铀的复集度。 10、某反应堆堆芯由铀－235、水和铝组成，各元素所占的体积比分别为0.002，0.600和0.398，求堆芯的中子温度、热中子平均宏观截面和热中子利用系数。设堆芯是均匀的，介质温度为570开， （ξσs）H2O=0.4567×10-26米2，（ξσs）Al=0.1012×10-28 米2， （ξσs）U=0.126×10-28米2，堆芯的热中子能谱为麦克斯韦谱。 11、计算温度为535.5开、密度为0.802×103的水的热中子平均宏观吸收截面。
1、热中子反应堆内，瞬发中子的平均寿期比自由中子的半衰期（）。 A、短的多； B、长的多； C、一样大。 1、某压水堆采用二氧化铀作燃料，其复集度为2.43%（重量），密度为104公斤/米2，计算：当中子能量为0.025ev时，二氧化铀的宏观吸收截面和宏观裂变截面（复集度表示铀－235在铀中所占的重量百分比）。 2、某反应堆堆芯由铀－235、水和铝组成，各元素所占的体积比分别为0.002，0.600和0.398，计算堆芯的总吸收截面（0.025ev）。 3、求热中子（0.025ev）在轻水、重水和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞数。 4、试比较：将2.0M电子伏的中子束减弱到1/10所需的铝、钠和铝和铅的厚度。
5、一个中子运动两个平均自由程及1/2个平均自由程而不与介质发生作用的几率分别是多少？ 6、堆芯的宏观裂变截面为5米-1，功率密度为20×106瓦/m3,求堆芯内的平均中子通量密度。 7、有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀－235数量。 8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产生的裂变产物的放射性活度为1.08×10-16 t-1.2居里，此处t为裂变后的时间，单位为天，试估计停堆后24小时堆内裂变产物的居里数。 9、1）计算并画出中子能量为0.025电子伏时的复集铀的参数η与复集度的函数关系。 2）有一座热中子反应堆，无限增值系数为 1.10，快中子裂变因子，逃脱共振几率和热中子利用系数三者的乘积为0.65，试确定该堆所用核燃料铀的复集度。
3-12试计算T =535K ，ρ=802kg/m 3时水的热中子扩散系数和扩散长度。 解：查79页表3-2可得，294K 时：m ，由定义可知：0.0016D =()/31/()(293)(293)()(293)(293)(293)/31/(293)()()() tr s s tr s s T T N K K D T K D K K K N T T T λσρλσρΣ===Σ 所以：0.00195(m) (293)(293)/D K D K ρρ==（另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查附表3 s σ在T N =s ΣD =n T =0.4920(b) ()(0.0253a M a kT eV σσ==T n =535×(1+0.46×36×0.4920/103)=577(K) （若认为其值与在0.0253eV 时的值相差不大，直接用0.0253eV 热中子数据计算：T n =535×(1+0.46×36×0.664/103)=592(K) 这是一种近似结果） （另一种方法：查79页表3-2，利用293K 时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：(m -1) (293) 1.97a K Σ=
1/（3×0.0016×0.676）=308(m -1)01(293)3(293)(1) s K D K μΣ==?进而可得到T n =592K ） 利用57页（2-88）式 0.414×10-28(m 2 )a σ==1.11(m -1) a a N σΣ==(293)(293)(293)(293)(293) s s N N K N K K N K K σρσρΣ==ΣQ 0.676)=L L L 3-16设有一强度为I （m -2?s -1）的平行中子束入射到厚度为a 的无限平板层上。试求： （1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率； （2）平板内中子通量密度的分布； （3）中子最终扩散穿过平板的概率。 解：（1）0()/exp() t I a I a =?Σ（2）此情况相当于一侧有强度为I 的源，建立以该侧所在横坐标为x 原点的一维坐标系，则扩散方程为： 222()()0,0 d x x x dx L φφ?=>