第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A卷
（小学中年级组）
一、填空题（每小题10 分, 共80 分）
1、计算: (2014×2014＋2012)－2013×2013＝________。
2、将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上。已知∠1＝20°，那么∠2是________度。
3、鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只。
4、第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有________个正方形。
图a 图b 图c
5、右面的加法竖式中，相同的汉字代表1至9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字。则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个。
只有三个可能
6、大小两个正方体积木粘在一起，构成右图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是________。
7、某班学生人数大于20 而小于30, 其中女同学的人数是男同学的2倍。全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人。这个班有学生________名。
8. 见右图, 图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积, 那么阴影三角形的面积为________。
二、简答题（每小题15 分, 共60 分, 要求写出简要过程）
9、用4个数码4和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于2、3、4、5、6 的五个算式。
10、右图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量。如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米?
11、某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元。一次，商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元。问这次促销最多卖出了多少支钢笔?
12、编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色: （1）涂2 个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2。那么不同的涂色方法有多少种?
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B卷
（小学中年级组）
一、填空题（每小题10 分, 共80 分）
1、计算: (2014×2014＋2012)－2013×2013＝________。
2、将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上。已知∠1＝22°，那么∠2是________度。
3、亮亮上学，若每分钟行40米，则8∶00准时到校；若每分钟行50米，则7∶55到校。亮亮的家与学校的距离是________米。
4、第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有________个正方形。
图a 图b 图c
5. “熊大”ד熊二”＝“熊兄弟”。若相同的汉字代表0 至9 中的相同数字, 不同的汉字代表不同的数字, 且“大”>“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________。
6、鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只。
7、如图所示的手串中，从挂坠的珠子开始逆时针将珠子1至22依次编号。小明玩数珠子游戏，规则是：从1号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数，但每当数到含数字7或7的倍数的数时就跳过它，直接数下一个数。例如：数到6时下一个数8，数到13时下一个数15，……，那么数到100时应落在第________号珠子上。
8. 布袋中有60 个彩球, 每种颜色的球都有6 个. 蒙眼取球, 要保证取出的球中有三个同色的球, 至少要取出________个球.
二、简答题（每小题15 分, 共60 分, 要求写出简要过程）
9、一块长方形的地ABCD 分成如图所示的两个长方形，分别承包给甲、乙两户。甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩。已知BF=3CF，那么长方形ABCD的总面积是多少亩？
10、右图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量。如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？
11、甲，乙，丙，丁四人分2013块糖果，甲分得的糖果比乙的2倍多10块，比丙的3倍多18块，比丁的5倍少55块。那么甲分得糖果多少块？
12、编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2.不同的涂色方法有多少种？
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级第I试 点击查看答案 1.计算：=___________. 2.计算：=__________. 3.对于任意两个数x, y定义新运算，运算规则如下： x ? y=x × y – x ÷2，x y =x + y ÷ 2， 按此规则计算，3.6 ? 2=_________,? (7.5 4.8) = __________. 4.在方框里分别填入两个相邻的自然数，使下式成立。 5.在循环小数中，将表示循环节的圆点移动到新的位置，使新的循环小数的小数点后第2011位上的数字是6，则新的循环小数是__________. 6.一条项链上共有99颗珠子，如图1，其中第1颗珠子是白色的，第2，3颗珠子是红色的，第四颗珠子是白色的，第5，6，7，8颗珠子是红色的，第9颗珠子是白色的，……则这条项链中共有红色的珠子_______颗。 7.自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a+b的最大值是________。 8.根据图2计算，每块巧克力_______元（□内是一位数字）。 9.手工课上，小红用一张直径是20cm的圆形纸片剪出如图3所示的风车图案（空白部分），则被剪掉的纸片（阴影部分）的面积是________cm2。（π取3.14） 10.用若干棱长为1cm的小正方体码放成如图4所示的立体，则这个立体的表面积（含下底
面面积）等于_________cm2。 11.图5中一共有_________个长方形（不包含正方形）. 12.图6中，每个圆圈内的汉字代表1~9中的一个数字，汉字不同，数字也不同，每个小三角形三个顶点上的数字之和相等。若7个数字之和等于12，则“杯”所代表的数字是________。 13.如图7，沿着圆周放置黑、白棋子各100枚，并且各自相邻排列。若将圆周上任意两枚棋子换位一次称为一次对换，则至少经过_________次对换可使全部的黑棋子彼此不相邻。 14.人口普查员站在王阿姨家门前问王阿姨：“您的年龄是40岁，您收养的三个孤儿的年龄各是多少岁？”王阿姨说：“他们的年龄的乘积等于我的年龄，他们的年龄的和等于我们家的门牌号。”普查员看了看门牌，说：“我还是不能确定他们的年龄。”那么，王阿姨家的门牌号是_______。 15.196名学生按编号从1到196顺次排成一列。令奇数号位（1，3，5……）上的同学离队，余下的同学顺序不变，重新自1从小到大编号，再令新编号中奇数上的同学离队，依次重复上面的做法，最后留下一位同学。这位同学开始的编号是_________号。 16.甲、乙两人同时从A地出发到B地，若两人都匀速行进，甲用4小时走完全程，乙用6小时走完全程。则当乙所剩路程是甲所剩路程的4倍时，他们已经出发了_______小时。17.某电子表在6时20分25秒时，显示6: 20: 25，那么从5时到6时这1个小时里，此表显示的5个数字都不相同的情况共有______种。 18.有三只蚂蚁外出觅食，发现一堆粮食，要运到蚁洞。根据图8中的信息计算，若甲、乙、丙三只蚂蚁共同搬运这堆粮食，那么，蚂蚁乙搬运粮食_________粒。 19.一批饲料可供10只鸭子和15只鸡共吃6天，或供12只鸭子和6只鸡共吃7天。则这批饲料可供_______只鸭子吃21天。 20.小明从家出发去奶奶家，骑自行车每小时12千米，他走后2.5小时，爸爸发现小明忘带作业，便骑摩托车以每小时36千米的速度去追。结果小明到奶奶家后半小时爸爸就到了。小明家距离奶奶家_________千米。
详解第二十三届“华杯赛”小学中年级组初赛试题 仙桃吴乃华 一、选择题（每小题10分，共60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1.. A, B均为小于1的小数，算式A×B+0.1的结果( D ). (A)大于1 (B)小于1 (C)等于1 (D)无法确定和1的大小 【解】：虽然题意已明确告知A, B均为小于1的小数，但这两个小于1的小数，可能是一位小数，也可能是两位或者多位小数，还可能是循环小数。 如果A, B均为小于1的一位小数，即使数值最大，如0.9×0.9+0.1，A×B+0.1的结果也小于1； 如果A, B均为小于1的两位小数，如0.98×0.97+0.1＝1.0506，A×B+0.1的结果大于1； 如果A, B两个小于1的小数中，有一个数为90÷91的值（循环小数），另一个小于1的小数为0.91，那么，则A×B+0.1＝1.。 由此可以看出，A×B+0.1的结果无法确定，应当选D 2. 小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40和49，反面上的数只能被1和它自己整除。那么，反面上的三个数的平均数是( B ) (A)11 (B)12 (C)39 (D)40 【解】：由“反面上的数只能被1和它自己整除”，其实能被1和它自己整除的数，除了所有质数外，还有1。但如果卡片反面上的三个数是1的话，那么，每张卡片的正面和反面的和就不可能相等，如果反面上的数某个数是1的话，其它两个数，也不可能完全是质数。所以，推知反面上的数一定都为质数。 又，由“每张卡片上的2个数的和相等”，知正面的三个数与反面的三个数的奇偶性相对应。
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 决赛试题B （小学高年级组） （时间2013年4月20日10：00～11：30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1．计算: 19×0.125+281×8 1+12.5=________. 解析：原式=（19+281+100）×0.125 =400×0.125 =50 2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是________九的第________天. 解析：31-21+1+31+10=52,52÷9=5…7，2013年的元旦是六九的第7天. 3．某些整数分别被131********，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是112927252，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________. 解析：设整数为A, 分别被131********，，，除后, 所得的商分别为A A A A 11139117957，，，; )1(111311211113)1(911921911)1(7972179)1(5752157-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[5，7，9，3]的时候满足题意。所以A-1=3465，A=3466。 4．如图所示, P, Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点, 且PD:AP =4:1, QC: AQ =2:3, 如果正方形ABCD 的面积为25, 那么三角形PBQ 的面积是 . 解析：连接QD,做QE ⊥BC 于E, QF ⊥AD 于F, QG ⊥CD 于G, 正方形 ABCD 的面积为25,所以AD=EF=5， QC: AQ =2:3,根据正方形对称 性，所以QE=QG=2，QF=3, PD:AP =4:1, AP=1，PD=4。 S △PQB=S 正- S △CQB-S △DQC-S △PQD-S △PAB =25-2×5÷2×2-4×3÷2-1×5÷2 =25-10-6-2.5 =6.5 5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩10个; 乙班分, 每人4个还剩11个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个. 解析：10≡1（mod3）=1；11≡3（mod4）=3；12≡5（mod5）=2，苹果数除以3余1，除以4少1，除以5多2。满足除以3余1，除以4少1的数最小是7，7刚好除以5余2，又因为苹果数大于12，[3，4，5]=60 ，那么这筐苹果至少有 7+60=67 个. 6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积 木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果 大积木的棱长为4, 则这个立体图形的表面积为 ________. E G F
第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题A 解析 1. 用[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3.14]=3，则： 201732017420175201762017720178 [ ][][][][][]111111111111 ??????+++++的值为 。 【考点】取整运算 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】直接计算即可 比较麻烦的简算方法： 先看第一项 20173(200215)361001454545 [ ][][][691]691[]1111111111 ?+??+===?+=?+ 第二项： 20173(200215)481001606060 [ ][][][891]891[]1111111111 ?+??+===?+=?+ 所以原式= 45607590105120 691[ ]891[]1091[]1291[]1491[]1691[]111111111111 ?++?++?++?++?++?+=(6810121416)914568910+++++?++++++ =6048 2. 从4个整数中任意选出3个, 求出它们的平均值, 然后再求这个平均值和余 下1个数的和, 这样可以得到4个数：8，12，2 103 和193, 则原来给定的4
个整数的和为 。 【考点】平均数与求和 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】假设这四个数为,,,a b c d 每三个数的平均值为：()3,()3,()3,()3a b c a b d a c d b c d ++÷++÷++÷++÷ 分别与余下的数的和为： 21 ()38,()312,()310,()39 33a b c d a b d c a c d b b c d d ++÷+=++÷+=++÷+=++÷+=将这四个式子左右两边分别相加得到： 21 ()3()3()3()381210933 a b c d a b d c a c d b b c d d ++÷++++÷++++÷++++÷+=+++ ()340a b c a b d a c d b c d a b c d +++++++++++÷++++= 3()3()40a b c d a b c d ?+++÷++++= 2()40a b c d ?+++= 20a b c d +++= 3. 在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子, 共有 种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合, 则把它们视为同一种摆放方法）. 【考点】 【专题】杂题
一、选择题（每小题10分，满分60分） 1. 如下图，时钟上的表针从(1)转到(2)最少经过了( B ). (A)2 小时30 分 (B)2 小时45 分 (C)3 小时30 分 (D)3 小时45 分 2. 在2012年，1月1日是星期日，并且( D ). (A)1 月份有5 个星期三，2 月份只有4 个星期三 (B)1 月份有5 个星期三，2 月份也有5 个星期三 (C)1 月份有4 个星期三，2 月份也有4 个星期三 (D)1 月份有4 个星期三，2 月份有5 个星期三 3. 有大小不同的4个数，从中任取3个数相加，所得到的和分别是180，197，208和222。那么，第二小的数所在的和一定不是( C )。 (A)180 (B)197 (C)208 (D)222 4. 四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面30米，丙在丁后面60米，乙在丙前面20米。这时，跑在最前面的两位同学相差( A ) (A)10 (B)20 (C)50 (D)60 5. 如图所示的两位数的加法算式中，已知A+B+C+D=22，则X+Y=( B ) (A)2 (B)4 (C)7 (D)13
6. 小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有( C )个。 (A)12 (B)10 (C) 8 (D) 6 二、填空题（每小题10分，满分40分） 7. 如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形，如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是( 56 )cm2. 8. 将10，15，20，30，40和60填入右图的圆圈中，使A，B，C三个小三角形顶点上的3个数的积都相等.那么相等的积最大为( 18000 ) 9. 用3，5，6，18，23这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是( 1 )。 10. 里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城。县城离里山镇54千米。早上8: 30一辆客车从里山镇开往县城，9:15到达，停留15分钟后开往省城，午前11:00能够到达。另有一辆客车于当日早上9:00从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米。那么两车相遇时，省城开往里山镇的客车行驶了(72 )分钟。
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中一年级组） （时间: 2017 年 3 月11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题10 分, 共80 分） 1.数轴上10个点所表示的数分别为a 1, a 2 , , a 10 , 且当i 为奇数时, a i +1-a i =2 , 当i 为偶数时, a i +1 -a i =1, 那么a 10 -a 6 = ?． 2.如右图, △ABC, △AEF 和△BDF 均为正三角形, 且 △ABC, △AEF 的边长分别为3和4, 则线段DF 长度 的最大值等于． 3.如下的代数和 -1?2016+2?2015- + (-1)m m ? (2016-m +1) + +1010?1007 的个位数字是, 其中m 是正整数. 4.已知2015 8.下面两串单项式各有2017个单项式: (1) (2) xy2, x4y5, x7y8, , x3n-2y3n -1, , x6046y6047, x6049y6050; x2y3, x7y8, x12y13, , x5m-3y5m-2, , x10077y10078, x10082y10083, 其中n, m 为正整数, 则这两串单项式中共有对同类项. 二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程） 9.是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如 果存在, 请给出一个例子; 如果不存在, 请说明理由. 10.如右图, 已知正方形ABDF 的边长为6 厘米, △EBC 的面 积为6 平方厘米, 点C 在线段FD 的延长线上, 点E 为线 段BD 和线段AC 的交点. 求线段DC 的长度. 11.如右图, 先将一个菱形纸片沿对角线AC 折叠,使顶点 B 和D 重合. 再沿过A, B (D) 和 C 其中一点的直线剪 开折叠后的纸片, 然后将纸片展开. 这些纸片中菱形 最多有几个? 请说明理由. 12.证明: 任意5个整数中, 至少有两个整数的平方差是7的倍数. 三、解答下列各题（每小题15 分，共30 分，要求写出详细过程） 13.直线a 平行于直线b, a 上有10个点A 1, A 2 , , A 10 , b 上有11个点B 1 , B 2 , , B 11, 用线段连接A i 和B j ( i=1, ,10 , j=1, ,11), 所得到的图形中一条边 在a 上或者在b 上的三角形有多少个？ 14.已知关于x, y 的方程x2-y2+k 求k 的最大值. =2017有且只有六组正整数解, 且x ≥y , 全国第十届华杯赛决赛 试题及解答 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第十届华杯赛决赛试题 一、填空（每题10分，共80分） 1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 公元历2005 1985 1910 希伯莱历5746 伊斯兰历1332 印度历1927 2．计算： ① ×+÷ = ();②= ()。 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中 1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。（精确到分钟） 4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=()。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。 6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为 元，一个集装箱可以节省元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。 7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表： 0 3 8 15 … 1 2 7 14 … 4 5 6 13 … 9 10 11 12 … …………… 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。 图2 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分） 9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度 10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数， ①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质； ②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。 第十届华杯赛决赛小学 组试题及解答 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第十届华杯赛决赛小学组试题及解答 一、填空（每题10分，共80分） 1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 2．计算： ① ×+÷ = ( ); ②= ( )。 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。（精确到分钟） 4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。 6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为元，一个集装箱可以节省元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。 7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表： 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。 8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。 总分 第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 决赛试题A （小学中年级组） （时间2013年4月20日10：00～11：30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1．计算: (2014×2014+2012)-2013×2013________. 解析：(2014×2014+2012)-2013×2013 =（2013+1）×（2013+1）+2013—1-2013×2013 =2013×2013+2013+2013+1+2013-1-2013×2013 =6039 考试中最直接的方法，死算也OK 。 2．将长方形的纸片ABCD 按右图的方式折叠后压平, 使三角形DCF 落 在三角形DEF 的位置, 顶点E 恰落在边AB 上. 已知∠1＝20°, 那么 ∠2是________度. 解析：因为翻折，∠CFD=∠E FD=90°-20°=70° ∠2=180°-70°-70°=40° 3．鸡兔同笼, 共有40个头, 兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只, 那么兔有________只. 解析：逼近法列表枚举，由于兔脚是鸡脚的9倍多，而鸡兔数量相同时，兔脚是鸡脚两倍，因此兔比鸡多，我们可以假设兔有35只，上下调整，检验得答案 兔子 35 34 33 兔脚 140 136 132 鸡脚 10 12 14 兔脚与鸡脚的倍数 >10倍 >10倍 4x+8=10×2×（40-x ） 解得x=33。 4．第一次操作将图a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图b; 第二次操作再将图b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图c; 这样继续下去, 当完成第六次操作时, 得到的图形中共有________个正方形. 解析：找规律。图a 有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形。所以答案为5+6×4=29。 本题略有点歧义。如果图a 中认为有4个正方形，则答案为4+6×3=22。题意在两种理解都合理的情况下，竞赛不能让学生去猜题意应该是那种理解。 5．右面的加法竖式中, 相同的汉字代表1至 9中的相同数字, 而不同的汉字代表不同的数字. 则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个. 解析：根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3种可能。 图b 图c … 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学高年级组） （时间: 2015 年 4 月 11 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算:57.6? 8 + 28.8 ? 184 - 14.4 ? 80 + 10 1 = . 5 5 2 2.甲、乙、丙、丁四人共植树 60 棵. 已知, 甲植树的棵数是其余三人的二分之 一, 乙植树的棵数是其余三人的三分之一, 丙植树的棵数是其余三人的四分之一, 那么丁植树棵. 3.当时间为 5 点 8 分时, 钟表面上的时针与分针成度的角. 4.某个三位数是 2 的倍数, 加 1 是 3 的倍数, 加 2 是 4 的倍数, 加 3 是 5 的倍数, 加 4 是 6 的倍数, 那么这个数最小为. 5.贝塔星球有七个国家, 每个国家恰有四个友国和两个敌国, 没有三个国家两 两都是敌国．对于一种这样的星球局势, 共可以组成个两两都是友国的三国联盟． 6.由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656, 则这些四位数中最大的是, 最小的是. 7.见右图, 三角形ABC的面积为 1, DO : OB= 1: 3 , EO : OA =4 : 5,则三角形 DOE 的面积为. 8.三个大于 1000 的正整数满足: 其中任意两个数之和的个位数字都等于第三 个数的个位数字, 那么这 3 个数之积的末尾 3 位数字有种可能数值. 第 1 页共2页 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9.将 1234567891011 的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数? 请说明理 由. 10.如右图所示, 从长、宽、高为 15, 5, 4 的长方体中切 割走一块长、宽、高为 y, 5, x 的长方体（x, y 为整 数）,余下部分的体积为 120, 求x和y. 11.圆形跑道上等距插着 2015 面旗子, 甲与乙同时同向从某个旗子出发, 当甲与 乙再次同时回到出发点时, 甲跑了 23 圈, 乙跑了 13 圈. 不算起始点旗子位置, 则甲正好在旗子位置追上乙多少次? 12.两人进行乒乓球比赛, 三局两胜制, 每局比赛中, 先得 11 分且对方少于 10 分 者胜; 10 平后多得 2 分者胜. 两人的得分总和都是 31 分, 一人赢了第一局并且赢得了比赛, 那么第二局的比分共有多少种可能? 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13.如右图所示, 点M是平行四边形ABCD的边CD上 的一点, 且DM : MC 1: 2 , 四边形EBFC为平行四 边形, FM与BC交于点G. 若三角形FCG的面积与 三角形 MED 的面积之差为13cm 2 ,求平行四边形 ABCD 的面积. 14.设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字 代表 11 个连续的非零自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同的汉字代表不同的数. 如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21, 则“行” 可以代表的数最大是多少? 试题说明：决赛试题小高 B 组，各地第一题数据略有不同。网站上只是公布了其中的一套试题。 第 2 页共2页 第 第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 初赛试题A（小学高年级组） （时间2013年3月23日10：00～11：00） 一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。） 1．2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）。 A．5 B．6 C．7 D．8 解析：巧算问题 原式=（2010.25+2）×（2015.75-2）－2010.25×2015.75 =2015.75×2－2010.25×2－4 =7 答案为C。 2．2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份。已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。 A．16 B．18 C．20 D．22 解析：简单数论。 从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95=1995，2012—1995=18（岁），所以选B。 3．一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟。 A．22 B．20 C．17 D．16 解析：周期问题。 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三；爬一米和滑一米的时间相同，以爬三米，滑一米为一个周期；（3-1）×3+3=9m,青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3-1）×4+1=9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟。（12—3）÷（3-1）=4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2=22分钟，选A。 4．一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为7:5, 那么盒子里原有的 黑子数比白子数多（）个。 A．5 B．6 C．7 D．8 解析：比和比例。 关键是找不变量，两次操作剩余棋子的总量不变。 取一颗黑子：黑子：白字：剩余棋子和=9:7:16 取一颗白子：黑子：白字：剩余棋子和=7:5:12 [12，16]=48 9:7:16=27:21:48，7:5:12=28:20:48，所以原来有黑棋子28颗，白棋子21颗，所以黑子数比白子数多28-21=7颗。选C。 第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 决赛试题A （小学高年级组） （时间2019年4月20日10：00～11：30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1．计算: 19×0.125+281×8 1-12.5=________. 解析：原式=（19+281-100）×0.125 =200×0.125 =25 2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2019年12月21日是冬至, 那么2019年的元旦是________九的第________天. 解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2019年的元旦是二九的第3天. 3．某些整数分别被119977553，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是92725232，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________. 解析：设整数为A, 分别被119977553，，，除后, 所得的商分别为A A A A 911795735，，，; )1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。所以A-1=315，A=316。 4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD 中, 以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰 三角形PAB . 则三角形PAC 的面积等于________平方厘米. 解析:过P 点做PE ⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以AE=EB=6cm 。 根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm 。 S △PAB=12×8÷2=48cm 2，S △PCB=12×6÷2=36cm 2， S △PAC=48+36-12×12÷2=12 cm 2。 5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个. 解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以3,4,5都余2， [3，4，5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个. 6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木 的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长 为3, 则这个立体图形的表面积为________. 解析：如图所示，四个三角形面积都是1×2÷2=1， 所以小积木一个面的面积是32-1×4=5。 这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。 所以面积为6×32+4×5=74。 7．设n 是小于50 的自然数, 那么使得4n +5和7n +6有大于1 的公约数的所有n 的可能值之和 为 . E 1、在右面的加法算式中, 每个汉字代表一个非零数字, 不同的汉字代表不同的数字. 当算式成立时, 贺＋新＋春＝（）. （A）24 （B）22 （C）20 （D）18 解析：就是一道数字谜的题目，根据规律我们试得，173+286=459，那么 贺新春相加为18. 2、北京时间16时, 小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4个钟表(如下图), 其中最接近16时的是（）. （A）（B）（C）（D） 解析：公开题，果冻老师已经分享过啦。 3、平面上有四个点, 任意三个点都不在一条直线上. 以这四个点为端点连接六条线段, 在所组成的图形中, 最少可以形成（）个三角形． （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 解析：一个三角形中三个顶点，里面有一点，分别和三角形的三个顶点相连，又出现3条线段，一共4个三角形，此时最少。 4、在10□10□10□10□10的四个□中填入“+”“－”“×”“÷”运算符号各一个, 所成的算式的最大值是（）. （A）104 （B）109 （C）114 （D）110 解析：1010101010109?+-÷= 在这个题目中，要想最大的话，少做除法，减法，多做加法，乘法，那么既然不能使（10+10）×2，那么只能10×10+10那么减去10最小吗，其实10÷10=1最小。 5、牧羊人用15段每段长2米的篱笆, 一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈, 则羊圈的最大面积是（ ）平方米. （A ）100 （B ）108 （C ）112 （D ）122 解析：一定要注意每条篱笆是横着放的，这时设和墙相邻的两边都有n 根篱笆，和墙相对的还有15—2n 根篱笆，每根篱笆长度为2，所以长方形的周长, 2(152)2n n ?-?最大时，2n 和15-2n 和同差小积大。当2n 与15-2n 越接近时，面积越大，n=4. 此时长方形2n=8,另一边长（15-2n ）×2=14，面积是112. 6、小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子, 先摆成了一个长方形的实心点阵. 然后再加上45枚棋子, 就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵. 那么小虎最多用了（ ）枚棋子. （A ）285 （B ）171 （C ）95 （D ）57 解析：新摆成的的实点矩阵，它行列必然都是45的约数，他的约数是1,3,5,9,15,45，因为在19×19的方格中，约数必然小于19，只可能是3,15,5,9，那么经验证当横着摆时，45个棋子列成3排，每一排15个，那么补足以后，不变的那条边就是15，那么怎样使长方形较大，原来的实心矩阵，另一边是16，故用了1519285?= 7、三堆小球共有2012颗, 如果从每堆取走相同数目的小球以后, 第二堆还剩下17颗小球, 并且第一堆剩下的小球数是第三堆剩下的2倍, 那么第三堆原有 颗小球． 解析： 共计2012=3a+3b+17,(a+b)=665 8、右图的计数器三个档上各有10个算珠，将每档算 第一届华杯赛决赛一试试题 1. 计算： 2．975×935×972×（）,要使这个连乘积的最后四个数字都是“0”，在括号内最小应填什么数？ 3．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使下面 的两个等式都成立，这时，长方形中的数是几？ 9○13○7=10014○2○5=□ 4．一条1米长的纸条，在距离一端0.618米的地方有一个红点，把 纸条对折起来，在对准红点的地方涂上一个黄点然后打开纸条从红点的地方把纸条剪断，再把有黄点的一段对折起来，在对准黄点的地方剪一刀，使纸条断成三段，问四段纸条中最短的一段长度是多少米？ 5．从一个正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米，问锯下的木条面积是多少平方米？ 6．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ 7．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？ 8．蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池 内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，循环各开水管，每天每管开一小时，问多少时间后水清苦始溢出水池？ 9．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？ 10．如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。问这六个质数的积是多少？ 11．若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案25 2, 3 316 12 62 74 94 54 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 解答.例如 (4 + 4 + 4) ÷ 4 = 3 , 4 - (4 - 4) ? 4 = 4 , (4 ? 4 + 4) ÷ 4 = 5 , (4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6 . 10.答案：25 解答. 设比小明小的学生为x人,比小华小的学生为y人.因为比小明大的学生为2x人,所 以全班学生共 N =3x +1人;又因为比小华大的学生为3y人,所以全班学生共N=4y+1人. 这样, N-1既是 3 的倍数, 又是 4 的倍数, 因此N-1是3?4=12的倍数. 这个班学生 人数大于 20 而小于 30, 所以N-1只可能是 24. 因此这个班共有学生N=24+1=25人. 11.答案：1.375 解答.小虎划船的全部时间为120分钟,他每划行30分钟,休息10分钟,周期为40分钟, “华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解 所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3 个 10 分钟休息划船时, 顺水的船速与逆水的船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论. 1)开始向下游划船, 设最远离租船处x千米. 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分钟可用. 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小 时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了1 3?1.5 , 所以 ? 1 ? x ÷4.5+ ? x + ?1.5? ÷1.5 = 1.5 . 3 ? ? 整理上式得 x +3x +1.5=6.75,4x= 5.25,x =1.3125(千米). 2)开始向上游划, 设最远离租船处y千米. 小虎可用 120 分钟, 有两次休息时间用在向上游. 所以 ? 1 ? ? 1 ? y + ?1.5? ÷1.5 + ? y - ?1.5? ÷ 4.5 = 1.5 . 3 6 ? ? ? ? 整理上式得 4 y+ 5 ?1.5 = 6.75 , 4 y= 5.5 , y =1.375(千米). 6 综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米. 12.答案：不能 解答. 设放的最小自然数为a,则放的最大自然数为a+23.于是这24个数的和为 A= 12(2a+ 23). 假设可能, 设每个正方形边上的数之和为S . 因为共有5个正方形, 这些和的和为5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有 5S= 2A. “华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解 第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题 A 解析 1.用［x ］表示不超过x 的最大整数，例如［3.14］=3，则: ,2017 3,『2017 4] [2017 5] [2017 6] [2017 7] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ] 【考点】取整运算 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】直接计算即可 比较麻烦的简算方法： 先看第一项 第二项： 「2017 3 r (2002 15) 4 r 8 1001 60 60 60n [ ][ ][ ][8 91 ] 8 91 [] 11 11 11 11 11 所以原式= =6048 2. 从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余 2 1 下1个数的和，这样可以得到4个数：8，12，10-和9-,则原来给定的4 3 3 个整数的和为 ________ [2017 3] [ (2002 15) 3, ,6 1001 45, 11 11 11 [6 91 91 [鲨 11 2017 8 11 ］的值为 6 91 [45] 8 11 91 [60] 11 10 91 [75] 12 11 91 禺14 11 91 [遁]16 91 [空] 11 11 =(6 8 10 12 14 16) 91 4 5 6 8 9 10 【考点】平均数与求和 【专题】计算 【难度】☆ 【解析】假设这四个数为a,b,c,d 每三个数的平均值为：(a b c) 3,(a b d) 3,(a c d) 3,(b c d) 3 分别与余下的数的和为： 2 1 (a b c) 3 d 8,(a b d) 3 c 12,(a c d) 3 b 10—,(b c d) 3 d 9- 3 3 将这四个式子左右两边分别相加得到： (a b c) 3 d (a b d) 3 c (a c d) 3 b (b c d) 3 d 8 12 10- 9 3 3 (a b c a b d acdbcd)3abcd 40 3 (a b c d) 3 (a b c d) 40 2 (a b c d) 40 a b c d 20 3. 在3 X3的网格中(每个格子是个1 X1的正方形)放两枚相同的棋子，每个格 子最多放一枚棋子,共有 ___________ 种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋 转而重合，则把它们视为同一种摆放方法) 【考点】 【专题】杂题 【难度】☆ 题 答 参赛证号 勿 _________ 请 姓名 线 内 学校 封 密 总分 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A （小学中年级组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算: (98 ? 76 - 679 ?8) ÷ (24 ? 6 + 25 ? 25 ? 3 - 3) = ________. 2. 从 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中 □ + □ > □ + □, 有________种不同的填法使式子成立.（提示: 1+ 5 > 2 + 3 和 5 +1 > 2 + 3 是不 同的填法.） 3.将下图左边的大三角形纸板剪 3 刀, 得到 4 个大小相同的小三角形纸板 (第一次操作), 见下图中间. 再将每个小三角形纸板剪 3 刀, 得到 16 个大小相同的更小的三角形纸板 (第二次操作), 见下图右边. 这样继续操作下去, 完成前六 次操作共剪了________刀. 4. 一个两位数与 109 的乘积为四位数, 它能被 23 整除且商是一位数, 这个两 位数最大等于________. 5. 右图中的网格是由 6 个相同的小正方形构成. 将其中 4 个小正方形 涂上灰色, 要求每行每列都有涂色的小正方形. 经旋转后两种涂 色的网格相同, 则视为相同的涂法, 那么有________种不同的涂 色方法. 6.有若干个连续的自然数,任取其中4个不同的数相加,可得到385个不同的和, 则这些自然数有________个. 7.在4 4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数, 每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等.右图给 出了几个所填的数,那么五角星所在的小方格中所填的数是 ________. 8.甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑,甲的速度是5米/秒,乙的速 度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟,则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）. 二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程） 9.右图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边 长为8 厘米的等腰直角三角形AEF, E在AB的延长线上, 则图中阴影部分的面积为多少平方厘米? 10.有10个两两不同的自然数,其中任意5个的乘积是偶数,全部10个数的 和是奇数.则这10个自然数的和最小是多少？ 11.在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其 中必有2个数的乘积等于238？ 12.最初,盒子中有三张卡片,分别写着数1, 2, 3.每次,从盒子里取出两张卡片, 将上面的数之和写到另一张空白卡片上,再把三张卡片放回盒子.如此5次后,除了最后一张写数的卡片外,其它的卡片都至少取出过一次,不超过两次. 问:此时盒子里面卡片上的数最大为多少？全国第十届华杯赛决赛试题及解答
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