第四章 根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念
一． 根轨迹概念：
闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根.
当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s 平面上运动的轨迹称为根轨迹.
根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法.
例： 设控制系统如图4-1所示
()()
15.0+=
s s K
s G
()()
2220
+=+=
s s K s s K ,
开环极点： 01=p , 22-=p ()()()0
20
2K s s K s R s C s ++==
Φ；式中K K 20= 此系统的特征方程式可写为：()02,1121102K s K s s s -±-=?=++=? 讨论： 200210-===s s K ，时，
111210-=-==s s K ，时， j s j s K --=+-==112210，时， ∞--=∞+-=∞=j s j s K 11210，时，
令k 为0 ∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值
图4-1 控制系统的结构图
R (s )
C (s )
K s(0.5s+1)
标住在S 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹。 分析:
1.0K 变化时,根轨迹均位于左半s 平面,系统恒稳定.
2.根轨迹有两条,两个起点2,021-==s s
3.100< 4.10=K 时,闭环特征根为一对重根,响应为单调上升的指数曲线. 5.10>K 时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡. 6.开环增益K 可有根轨迹上对应的0K 值求得. 0K 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 二、根轨迹的幅值条件和相角条件 设单闭环控制系统框图如图： 通常有两种表示形式： A ．时间常数形式： ∏∏==++= n i i m j j s T s K s H s G 1 1) 1() 1()()(τ 图4-3 控制系统的结构图 R (s ) C (s ) H(S) G(S) B ．零、极点形式：∏∏==--= n i i m j j p s z s K s H s G 1 1 0) () ()()( 则，系统特征方程: 1+G(s)H(s)=0 ? G(s)H(s)= -1 ? 幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2k+1)π, k=0,1,2,… 考虑开环传递函数一般形式：∏∏==--= n i i m j j p s z s K s H s G 1 1 0) () ()()( ,因此 幅值条件: 1| || |1 1 0=--∏∏==n i i m j j p s z s K 或 ∏∏==--= m j j n i i z s p s K 110| ||| 相角条件: )()(1 1 ∑∑==-∠--∠m j n i j j p s z s =±(2q+1)π, q=0,1,2,… 说明：幅值条件与K 0有关，而相角条件与K 0无关。因此，凡能满足相角条件的点必然满足幅值条件；而满足幅值条件的点不一定满足相角条件！ 因此，绘制根轨迹的一般步骤是： 先找出S 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K 值。 例子：P107，例4-1。 4-2 绘制根轨迹的基本规则 闭环特征方程： 1) () (1 1 0-=--∏∏==n i i m j j p s z s K 上式表明了系统闭环极点和开环零、极点的关系。基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定闭环极点的位置了。 根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的。 在下面的讨论中，假定所研究的变化是根轨迹增益值K 0，但是当可变参数为系统的其他参数时，这些基本法则仍然适用。这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循 1800+2k π条件的称为1800 根轨迹；其相角遵循00+2k π条件的，称为00 根轨迹。 规则1：（对称性法则）根轨迹对称于S 平面的实轴。 规则2：根轨迹的分支数、根轨迹的起点和终点： 分支数等于特征方程的阶数，为n 条；根轨从n 个开环极点出发，其中m 条终于开环零点，(n-m)条终点在无穷远处。 ∏∏==--= m j j i n i z s p s K 11 0||| |, K 0=0为根轨迹的起点 s = p i ∏∏==--=n i i m j j p s z s K 1 10 | || |1， K 0→∞为根轨迹的终点 j 或s →∞ 规则3：根轨迹在实轴上分布： 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时, 这些线段就是根 轨迹的部分。 规则4：根轨迹的渐进线 n-m 条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定： 渐进线的倾角为: ,2,1,0)12(=-+±= q m n q a π? 渐进线与实轴的交点为: 开环零点数 开环极点数开环零点的实部之和 开环极点的实部之和--= --=∑∑==m n z p n i m j j i a 1 1 σ 例1：设控制系统的开环传递函数为 ) 22)(3() 2(3)()(2 ++++= s s s s s K s H s G ,求渐进线和与实轴的交点。 解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为 1 4180)12()12(-? ?+= -+= q m n q a π? 取式中的q =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。 渐近线与实轴的交点为 114)2()1130(111-=-----+--= ?? ????--=∑∑==j j z p m n m i i n j j a σ 规则5：根轨迹的分离点、会合点、分离角：两条以上根轨迹的交点。 分离点和会合点必须满足方程 00 =ds dK ----必要条件 分离角----根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角 分离角= r q π )12(+ ， r 为重根数，q=0,1,2… 例2：已知控制系统的开环传递函数为) 164)(1() 1()()(2 0++-+= s s s s s K s H s G ，确定根轨迹的分离点。 解 ：系统的特征方程式为：0)1()164)(1(02 =++++-s K s s s s 即：1 ) 164)(1(20+++--=s s s s s K 利用0/0=ds dK ,则有 0)1(16 24211032 2340=+-+++-=s s s s s ds dK 解之可得，分离点d 1=0.46 和 d 2=－2.22。 规则6：根轨迹的出射角和入射角： 出射角:从复数极点出发的角度。 入射角:到达复数零点的角度。 P116， 图4-13:取靠近4P 的点i s ,由相角条件: ()()()()()() ，，，，2101243211=+=-∠--∠--∠--∠--∠q q p s p s p s p s z s i i i i i π 4p s i →时，则： ()()()()()()143424144412z p p p p p p p q p s i p -∠+-∠--∠--∠-+=-∠=πθ 一般情况，出射角：()()??????????-∠--∠+=∑∑≠==n k i i i k m j j k pk p p z p 11πθ 同理，入射角：()()???? ??????-∠--∠-=∑∑=≠=n i i k m k j j j k zk p z z z 11πθ 规则7：根轨迹与虚轴的交点 两种方法: (1).用劳斯判据求 (2).将ωj s =带入特征方程求解 例3：设系统的开环传递函数为：) 2)(1(2)()(++= s s s K s H s G ，试绘制系统的根轨迹。 解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。 （1）系统的开环极点为0，1-，2-是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有3=-m n 条渐进线 渐进线的倾斜角为 3180)12()12(-? ?+= -+= q m n q a π? 取式中的q =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。 渐进线与实轴的交点为： 13)210(111-=--= ?? ????--=∑∑==m i i n j j a z p m n σ 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图的粗实线所示。 （4）确定分离点： 系统的特征方程式为：02232 3 =+++K s s s 即：)23(2 123 s s s K ++- = 利用0/=ds dK ，则有：0)26(2 1 23=++-=s s ds dK 解得：423.01-=s 和 577.12-=s 由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s 2=－1.577显然不是所要求的分离点。 因此，两个极点之间的分离点应为s 1=－0.423。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 劳斯行列表为 3 s 1 2 2s 3 2K 1s 3 26K - s 2K 由劳斯判据，系统稳定时K 的极限值为3。相应于K =3的频率可由辅助方程 0632322=+=+s K s 确定。 解之得根轨迹与虚轴的交点为2j s ±=。根轨迹与虚轴交点处的频率为 41.12±=±=ω 方法二 令ωj s =代入特征方程式，可得：02)(2)(3)(2 3=+++K j j j ωωω 即：0)2()32(2 2 =-+-ωωωj K 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即：0322 =-ωK ，022 =-ωω 所以 ：2±=ω 3=K 系统的根轨迹如图所示： 规则8：闭环极点的和与积. 系统特征方程(n>m 时)为 闭环极点的和：()开环极点之和和∑==n i i p 1 闭环极点的积：()()∏∏==+=m j i n i i z K p 1 01 积 可利用此性质判闭环极点i s 的分布情况 一些i s 变化后,另一些i s 会做相反变化. 例4：在例3中，确定根轨迹各分支上每一点的K 值 S 平面 σ ω j 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K =3处相交时，可按式 3)41.10()41.10(-=-+++j j x σ（开环极点0，-1，-2之和；即和为定值） 求出后一条根轨迹分支上K =3的点为οx =－3。 由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j 0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 3)423.0()423.0(-=-+-+x σ 所以 ，οx =－2.154。 因本系统特征方程式的三个根之和为-3，利用 1) () (1 1 0-=--∏∏==n i i m j j p s z s K 这一关系，可确定根 轨迹各分支上每一点的K 值。 现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j 0和－2.154，该点的K 值为 |)2)(1()(|2111++=s s s K 1s = -0.423 即，K =0.192。 另：闭环极点的确定: 1. 在根轨迹上任取一点,可由∏∏==--= m j j n i i z s p s K 110 确定相应的0K 值. 2. 给定ξ值,可由ξβ1cos -=做射线,求得一对共轭复根. 例5：设控制系统的结构图如图所示 试证明系统根轨迹的一部分是圆； 解 系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。 由根轨迹的幅角条件： π)12()()(1 1 +=+∠-+∠∑∑==q p s n z s m i j j i 得 ： π)12()2()3(+=+∠-∠-+∠q s s s 图 控制系统的结构图 R (s ) C (s ) ) 2()3(++s s s K s 为复数。将ωσj s +=代入上式，则有 πωσωσωσ)12()2()()3(+=++∠-+∠-++∠K j j j 即： 2 tan 180tan 3 tan 1 1 1 ++?=-+---σω σωσω 取上述方程两端的正切，并利用下列关系 y x y x y x tan tan 1tan tan )tan( ±= ± 有： 211)3(3313tan 3tan tan ωσσωσ ωσωσω σω σωσω++-=-++- +=??? ? ?-+-- 22 01202tan 180tan 1+=+?-++ = ??? ? ?++?-σωσωσω σω 2 )3(32+=++-σω ωσσω 即： 2 22)3()3(=++ωσ 这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j 0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。证毕。 例6：设控制系统的开环传递函数为) 22)(3() 2(3)()(2 ++++= s s s s s K s H s G 试绘制系统的根轨迹。 解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为 1 4180)12()12(-? ?+=-+= K m n K a π? 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。 三条渐近线如图中的虚线所示。 渐近线与实轴的交点为 114)2()1130(111-=-----+--= ?? ????--=∑∑==j j z p m n m i i n j j a σ （3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图4-14中的 粗线所示。从复数极点(－1±j ) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。 （4）在实轴上无根轨迹的分离点。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为 0)2(3)22)(3(2=+++++s K s s s s 即 06)36(85234=+++++K s K s s s 劳斯行列表 4 s 1 8 K 6 3s 5 K 36+ 2s 5 ) 36(40K +- K 6 1 s K K K 33415036-- + 0 s 6 若阵列中的s 1行等于零，即（6+3K ）－150K/（34-3K ）=0，系统临界稳定。 解之可得K =2.34。相应于K =2.34的频率由辅助方程 []034.230)34.236(402=?+?+-s 确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s =±j 1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。 （6）确定根轨迹的出射角 根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p 1=（－1＋j ）出发的根轨迹的出射角为 j)(p )(p p )(p )k (θ-+∠-+∠-∠-+∠++=132121801111 将由图中测得的各向量相角的数值代入并取k =0，则得到?-=6.26θ 系统的根轨迹如图所示。 例7： 设系统开环传函为 ，试绘制闭环 系统的概略根轨迹。 解： 根轨迹方程为 （1）确定实轴上的根轨迹：实轴上[0，-3]区域必为根轨迹。 （2）确定实轴上的渐进线：由于n-m=4,故有四条根轨迹渐进线。 （3）确定分离点： 用试探法求得d ≈-2.3 （4）确定起始角：用量角器量各向量相角，算得 （5）确定根轨迹与虚轴交点：本例闭环特征方程为 法一：应用劳斯判据，有 j S 平面 ω σ -1 -2 -3 -4 0 j 1 j 2 j 3 -j 3 135° 45° 90° 26.6° 图 例6系统的根轨迹 令,得k*=8.16.根据行的系数，得如下辅助方程。 ，代入K*=8.16，令s=jw，得w=+1.1或w=-1.1 法二：将s=jw代入特征方程式，可得 4-3 参量根轨迹的绘制 一. 参量根轨迹 K为参变量的根轨迹称参量根轨迹,又称广义根轨迹。 以非 K的位置上,适用前述规则。 绘制方法: 将参量演化到相当于 例：P121 二. 几个可变参量的根轨迹的绘制 应用场合：分析几个参量同时变化时对系统性能的影响。 绘制方法：固定某些参量，改变其中一个参量进行绘制根轨迹簇。 例：P122 例1．图中，系统I为比例控制系统，系统Ⅱ为比例-微分系统，系统Ⅲ为测速反馈控制系统，Ta表示分数分器时间常数或测速反馈系数。试作分析，比较。 4-4 非最小相位系统的根轨迹 传递函数的极点决定了相应系统的稳定性，稳定系统的全部极点位于S的左半平面，然而系统有右半平面的零点时系统还可以稳定的。 最小相位系统：传递函数的全部零点均位于S左半平面的系统。 非最小相位系统：传递函数的部分或全部零点在S右半平面。 工程上出现非最小相位系统的三种情况： 1、系统中存在着局部正反馈回路； 2、系统中含有非最小相位元件； 3、系统中含有滞后环节； 一、正反馈回路的根轨迹 正反馈系统框图如图： 闭环传递函数: ()()()()()() s H s G s G s R s C s -== Φ1 ()()()01=-=?s H s G s ()()1=?s H s G ()()()()()()?? ?? ??? ?? -∠--∠=∠=--=?∑∑∏∏====m j n i i j m i i m j j p s z s s H s G p s z s K s H s G 111101相角条件：幅值条件： ,2,1,02=±=q q ，π （零度根轨迹） 规则作相应修改: 规则3': 实轴上存在根轨迹的条件是其右边的开环零、极点数目之和为偶数. 规则4'：渐近线的倾角. m n q a -±= π ?2 ,2,1,0=q 规则6': 出射角 ()()∑∑≠==-∠--∠+=n k i i i k m j j k pk p p z p 112πθ 入射角 ()()∑∑=≠=-∠+-∠-=n i i k m k j j j k zk p z z z 1 12πθ R (s ) C (s ) H(S) G(S) 例1：设正反馈系统结构图如图所示， 其中 试绘制该系统的根轨迹图。 解：根轨迹方程为 二、系统中含有非最小相位元件 P125 R (s ) C (s ) H(S) G(S) 二、滞后系统的根轨迹 P125 4-7 用根轨迹分析控制系统 一、用根轨迹法确定系统的有关参数 P138 二、确定指定K 0时的闭环传递函数 如果K 已知，可以沿着特定的根轨迹分支，根据幅值条件，用试探法求相应的闭环极点。当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用此法 例1： 试用根轨迹法确定下列代数方程的根 08644)(234=++++=s s s s s D 解 当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。 把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得 034)86(12 3 4 2=+++++ s s s s s K g K g =1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为 ) 1)(3()4)(2()()(2++++= s s s s s K s H s G g 因为K g >0, 先做出常规根轨迹。 系统开环有限零点z 1=－2，z 2=－4；开环有限极点为 p 1=p 2=0，p 3=－1，p 3=－3。 实轴上的根轨迹区间为[-4，-3]，[-2，-1]。 根轨迹有两条渐近线，且σa =1，φa =±90°。 作等效系统的根轨迹如图所示。 图知，待求代数方程根的初始试探点可在实轴区间[－4，－3]和[－2，－1]内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余根。 初选s 1=－1.45，检查模值 046.1| )4)(2(||)1)(3(|11112 1=++++=s s s s s K g 由于K g >1故应增大s 1，选s 1=－1.442，得K g =1.003。 初选s 2=－3.08，检查模值得K g =1.589，由于K g >1，故应增大s 2，选s 2=－3.06，得 K g =1.162。经几次试探后，得K g =0.991时s 2=－3.052。 设 0)()052.3)(442.1()(=?++=s B s s s D 运用多项式的长除法得 819.1494.0)(2+-=s s B 解得326.1257.04,3j s ±=。解毕。 三、确定具有指定阻尼比的闭环极点和单位阶跃响应 闭环极点的确定: 1、根轨迹上任取一点,可由∏∏==--= m j j n i i z s p s K 110 确定相应的0K 值. 2、给定ξ值,可由ξβ1cos -=做射线,求得一对共轭复根. 例2： 已知控制系统如图所示 （1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。 （2） 估算%3.16%=p M 时的K 值。 解： 4 4) 2()2(16)(+=+= s K s K s G g （1）系统有四个开环重极点：p 1=p 2=p 3=p 4= -2。没有零点。实轴上除－2一点外，没 S 平面 j ω σ 0 -1 -2 -3 -4 例1 系统的根轨迹 例2 控制系统的结构图 R (s ) C (s ) K (0.5s+1)4 有根轨迹段。 根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为 24 8 -=-= a σ 44)12(ππ?±=+= K a ，π4 3 ± 下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。 将根轨迹上任一点s =s 1代入幅角方程，有 π)12()2(41+=+∠K s 即 π)12(4 1 )2(1+= +∠K s 和渐近线方位角a ?的表达式比较，两者相等，于是有 a s ?=+∠)2(1 由于s 1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。 系统的根轨迹如图所示。 图知，随着K g 的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j 2和－j 2处。将s =j 2代入幅值方程有 1| )2(|4 =+s K g 解得开环根增益：K gc =64，开环增益：K c =K g /16=4． 即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j ２，系统处于临界稳定的状态。当K >4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0 （2）由超调量的计算公式及指标要求，有 %3.16%2 1==--ξξπ e M p 解得， 5.0=ξ 即，系统闭环极点的阻尼角为 ?===--605.0cos cos 11ξβ。 在s 平面上做等阻尼线OA ，使之与负实轴夹角为β=±60°。OA 与根轨迹相交于s 1点， S 平面 σ 例2 系统的根轨迹 j ω 第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 习题 4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图4.1所示。 第4章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益* K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益* K 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 ) 2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G 根轨迹增益K K 2* =。闭环传递函数为 * 2* 2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为 02*2=++K s s 特征根为： *111K -+-=λ, *211K ---=λ 当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。 表4-1 **K K 1λ 2λ 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞ ∞ -1+j ∞ -1-j ∞ 利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或* K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或* K ）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹图直观地表示了参数K （或* K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如* K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。 图4-2 系统根轨迹图 第四章 根轨迹法 4-1 根轨迹的基本概念 一． 根轨迹概念： 闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根. 当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s 平面上运动的轨迹称为根轨迹. 根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法. 例： 设控制系统如图4-1所示 ()() 15.0+= s s K s G ()() 2220 +=+= s s K s s K , 开环极点： 01=p , 22-=p ()()()0 20 2K s s K s R s C s ++== Φ；式中K K 20= 此系统的特征方程式可写为：()02,1121102K s K s s s -±-=?=++=? 讨论： 200210-===s s K ，时， 111210-=-==s s K ，时， j s j s K --=+-==112210，时， ∞--=∞+-=∞=j s j s K 11210，时， 令k 为0 ∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值 图4-1 控制系统的结构图 R (s ) C (s ) K s(0.5s+1) 标住在S 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹。 分析: 1.0K 变化时,根轨迹均位于左半s 平面,系统恒稳定. 2.根轨迹有两条,两个起点2,021-==s s 3.100< 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= ' 28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2- 第四章 根轨迹分析复习要点 根轨迹图绘制规则，以系统开环传递函数：()() 14.005.02++=S S S K S G 为例，画出系统的根轨迹图。 1.对称性：控制系统的根轨迹图。因系统开环增益K 变化，导致系统闭环特征方程的根在复平面上变化，形成根轨迹图。闭环特征方程的根或者为实数，或者为一对共轭复数（实部相同，虚步互为相反数），所以控制系统的根轨迹图关于实轴对称。 2.根轨迹分支数：控制系统开环传递函数中，分母多项式的解为极点，个数为n ，分子多项式的解为零点，个数为m ，所以系统有n 条根轨迹，m 条终止于零点，n-m 条终止于无穷远处。例题中系统有0个零点，3个极点，0条根轨迹终止于零点，3条根轨迹终止于无穷远处。闭环系统特征方程是：04.005.023=+++K S S S 。3个开环极点为：P1=0，P2=－4＋2j ，P3=－4－2j 。 3.确定实轴上属于根轨迹的段。实轴上任意取一点，该点右端零极点个数和为奇数，则该点所在段属于根轨迹。例题中，整个负实轴均为根轨迹。 4.渐近线：有n-m 条渐近线，与实轴正向夹角()0,1,...,1 21K n m K n m π θ=--+=-，与实轴交点 -a n m σ-=-所有极点和所有零点和，例题渐近线与实轴交点：－2.67，渐近线与实轴夹角：60度，180度，300度。 5.求分汇点：特征方程中K 用s 表示，对K 求s 的一阶导数，令之为0，解方程可得根轨迹的分汇点， 根据实际情况适当取舍。例题，特征方程为：320.050.4S S S K ++=-，200.150.810dK S S ds =++=，，12S 3.33S 2解得：＝－，＝－，均为分汇点。 6.出射角：极点出射角为：180度+所有零点与该极点连线与实轴正向夹角和-所有其他极点与该极点连线与实轴正向夹角和。例题，P2的出射角为：180+0-（153.4+90）=－63.4度，因为根轨迹的对称性，P3的出射角为：63.4度。 7.与虚轴交点：s =j ω 带入特征方程，整理出实部和虚部，令之为0，解2个方程得到ω和K 的值，ω为根轨迹和虚轴交点，K 为到达交点时的增益数值，大于该值系统失去稳定性。例题中 s =j ω 带入04.005.023=+++K S S S ，可得：()()32j 0.40K ωωω-+-=，解得8, 4.47K ω==。 王小增 20141116 第四章 根轨迹法 一、填空选择题（每题2分） 1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。 2、根轨迹对称于s 平面 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时闭环极点为 －1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。 6、系统的开环传函为G(s)H(s)= ) 4(3 +s s K ，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。 A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞] 根轨迹填空题答案 1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。 2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时系统的闭环 极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。 6、B 二、综合计算题及参考答案 a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。 解： 8’(按规则分解) a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 c b a d 解：每项三分 c b a d b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为 1 5.0) 15.0()(2+++= s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。 解：G(s)的零、极点标准形式为 ) 1)(1() 2()(j s j s s K s G -++++= 因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G 所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=ds dK 可解得： d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。 4’ 因此其根轨迹如下图所示：第4章根轨迹分析法知识题解答
第4章根轨迹分析法习题解答
第四章 根轨迹法 习题
第四章根轨迹法
第4章根轨迹分析法参考答案
第4章 根轨迹法
第四章 根轨迹方程
根轨迹法习题和答案
第四章根轨迹分析复习要点
自动控制第四章 根轨迹法 复习资料
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