2021届福建省厦门双十中学高三上学期期中考试
数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合{|12},{|03}A x x B x x =-<<=<<，则A
B =（ ）
A ．(1,3)-
B ．(1,0)-
C ． (0,2)
D ．(2,3) 2.已知
11a
bi i
=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= （ ） A ．3 B ． 2 C ．5 D ．5 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 4.设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是 （ ）
A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥
B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥
C ．存在唯一平面α，使得a α?，且//b α
D ．存在唯一平面α，使得a α?，且b α⊥ 5. 已知命题:,23x x p x R ?∈<；命题32q :,1x R x x ?∈=-，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ∧? D ．p q ?∧? 6. 已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图像与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π，则
()f x 的单调减区间是（ ）
A ．2[,]()63k k k Z π
πππ+
+
∈ B ．[,]()36k k k Z ππ
ππ-+∈
C ．4[2,2]()33k k k Z ππππ++
∈ D ．5[2,2]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈ 7. 如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD AB k AC λ=+，则k λ+=（ ）
A ．12+． 22．2 D ．22
8. 已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.52(log 3),(log 5),c (2)a f b f f m ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ． c a b <<
D ．c b a << 9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．(4)33π+
B ．(4)32π+
C ．(4)36
π+ D ．(4)3π+
10. 已知函数21
()(0)2
x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,
)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e - D ．1(,)e e
- 11. 已知函数()sin 2sin cos f x x x x =++，以下说法中不正确的是（ ） A ．()f x 周期为2π B ．()f x 最小值为5
4
- C ．()f x 为单调函数 D ．()f x 关于点(,0)4
π
对称
12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图像最有可能的是（ ）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量,a b 夹角为60，且||1,|2|7a a b =-=，则||b =_______.
14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2,x f x =则4(log 9)f 的值为_______. 15. 已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n π，已知11212,2048m m m m a a a π-+-?==，则m =_______. 16. 如右图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=，根据以上数据计算可得cos θ=_______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(3,)2
π
，点B 的
极坐标为(6,)6
π
，曲线22:(1)1C x y -+=
(1)求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；
(2)过点O 的射线l 交曲线C 于M 点，交直线AB 于N 点，若||||2OM ON =，求射线l 所在直线的直角坐标方程.
18. （本小题满分12分）
在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)
2n n n S +=，数列{b }n 的前n 项和为n T ，且2n n n
a b = (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)是否存在*,m n N ∈，使得n m T a =，若存在，求出所有满足题意的,m n ，若不存在，请说明理由. 19. （本小题满分12分）
在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3
cos sin a b C B =+ (1)若2,7a b ==，求c ；
(2)设函数2330)2sin (15)y A C =---，求y 的取值范围. 20. （本小题满分12分）
如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，
且2BC CA ==
(1)求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；
(2)若二面角11B AB C --的余弦值为57
-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，上顶点为A ，短轴长为2，O 为原点，直线AF 与椭圆C
的另一个交点为B ，且AOF ?的面积是BOF ?的面积的3倍 (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,P Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使OPRQ 为平行四边形，求m 取值范围.
22. （本小题满分12分） 已知函数1()(0)1ax
x f x e a x
-+=
>- (1)当2a =时，求曲线()y f x =在1
2
x =处的切线方程； (2)讨论方程()10f x -=根的个数.
2021届福建省厦门双十中学高三上学期期中考试
数学理试题参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
D
D
C
B
A
A
C
C
B
C
B
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）. 13. 3 14. 1
3
- 15. 6 16. 31-
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.
依题意得
3
2cos 2tan 3sin ααα
?=?=.…………8分 所以射线l 所在直线的直角坐标方程为3y x =…………10分 18.
(1)当1n =时111a S == 当2n ≥时1(1)(1)
22
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-= 经验证，11a =满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =；…………6分
(2)由题意，易得231232222n n n T =++++，则234+1112322222
n n n
T =++++， 两式相减得234+1+1111231122222222n n n n n n T =++++-=--，所以2
22
n n n T +=-…………10分
由于2n T <，又2
212
n n m m +-=∴=，解得2n =.…………12分
19.
(1) cos sin sin sin cos a b C B A B C B =+
∴=+；
cos sin tan 3
B C B B B π
∴=
∴==…………4分 22222cos 2303b a c ac B c c c =+-∴--=∴=…………6分
(2)
23sin(230)2sin (15)3sin(230)12cos(230)y A C A C =---=--+-
30)cos(2102)13sin(230)cos(230)13sin(260)1A A A A A =-+--=----=--……10分
又ABC ?为锐角三角形，(,)(1,1]62
A y ππ
∴∈∴∈-.…………12分
20.
(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ∴1B M AC ⊥…………1分 又AC BC ⊥，且1B M
BC M AC =∴⊥平面11B C CB
因为AC ?平面11ACC A ,所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；…………4分
(2)以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系…………5分
2CA BC ==,设1B M t =，则11(200),(020),(010),(01,),C (0,1,t)A B M B t -，，，，，，，…………6分
即111(21,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB B C =-=-=-， 设面1AB B 法向量111
(,,)(1,1,)n x y z n t
=∴=…………8分 面11AB C 法向量21(,,)(,0,1)2
t n x y z n =∴=…………10分
125
cos ,7
n n t <>=-∴.…………12分
21.
(1) 短轴长为2，可得1b =，即(0,1)A ，设(,0),(,)F c B x y
AOF ?的面积是BOF ?的面积的3倍，即为11
13||22
c c y ?=??
可得1
3
y =-，由直线:1x AF y c =-
+经过B 可得43x c =，即41
(,)33
B c -，代入椭圆方程可得 22
161199c a +=即为222a c =，即有22
22a b ==，则椭圆C 的方程为2212
x y +=；…………4分 (2)设1122(,),(,)P x y Q x y ，由OPRQ 为平行四边形可得1212,R R x x x y y y +=+=
R 在椭圆C 上可得
22
1212()()12x x y y +++=，即为221212()((x )2m)12
x x k x ++++= 化为2221212(12)()8()82k x x km x x m +++++=…………6分
由2
212
x y +=，y kx m =+可得222(12)422k x kmx m +++=，由0?>即为2212k m +> 122
412km
x x k +=-+…………8分
代入可得22222
44(12)()8()821212km km
k km m k k
+-+-+=++，化为221240k m m +=?≠…………10分 又221241k m +=≥，解得12m ≥或12m ≤-，则m 取值范围是11
(,][,)22
-∞-+∞.…………12分
22.
(1)当2a =时，21()1x x f x e x -+=-又222
2()(1)
x x f x e x -'=- 1111()2,()322f e f e --'∴==故所求切线方程为；11122
32(),2y e e x y x e e
---=-=+
(2) 方程()10f x -=即()1f x =，()f x 的定义域为(,1)
(1,)-∞+∞
当11x x <->或时，易知()0f x <，故方程()10f x -=无解，故只需考虑11x -≤<的情况
设22
2()()1,()(1)ax ax a g x f x g x e x -+-'=-=-，令()0
g x '>得2
20ax a +->，又220a a x a ->∴> 当02a <≤时，()0g x '≥所以()g x 在区间[-1,1）
上是增函数，又(0)0,()0g g x =∴=，只有一个根0
当2a >时，由()0f x '>得x x <>
又11x -≤<，所以()g x 在[1,-和递增，在(递减
(1)10g -=-<，()g x 在(递减(g(0)0g ∴>=
又()g x 在[1,-递增，()0g x ∴=在[1,-有一个根
()g x 在(递减(g(0)0g(0)0g g ∴>=<=，
()0g x ∴=在(有一个根0
g(0)0,1,()g x g x <=→→+∞，又()g x 在递增
()0g x ∴=在有一个根 综上所述，当02a <≤时方程()10f x -=有一个根，当2a >时方程()10f x -=有三个根.