正视图
侧视图
俯视图 图1
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（湖南卷）
参考公式：（1）()
()()
P AB P B A P A =
，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式34
3
V R π=，其中R 为求的半径。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 A ．1a =，1b = B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b =-=-
D ．1,1a b ==-
2．设集合{}{}
2
1,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ?”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．9122π+
B ．9
182
π+
C ．942π+
D ．3618π+
4
由()()()()()
22
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()2
2110403020207.860506050K ??-?=≈???．
参照附表，得到的正确结论是
A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5．设双曲线()22
2109
x y a a -
=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．由直线,,03
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为
A ．
1
2
B ．1
C
D 7．设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范
围为 A ．（1，1 B ．（1+∞）
C ．（1,3 ）
D ．（
3，+∞）
8．设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g
x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小
时t 的值为
A ．1
B ．
1
2
C ．
2 D ．2
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题．．卡．
中对应号后的横线上。 （一）选做题（请考生在9、10、11
三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα=??
=+?
（α为参数）在极坐标系（与
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则C 1与C 2的交点个数为
10．设,x y R ∈,且0xy ≠，则2
22211()(4)x y y x
+
+的最小值为 。 11．如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，
AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。 （二）必做题（11～16题）
12．设n S 是等差数列{}n a ()n N *∈，的前n 项和，且141,7a a ==，
则9S = ．
13．若执行如图3所示的框图，输入11x =，232,3,2x x x ==-=,
则输出的数等于 。 14．在边长为
1
的正三角形
ABC
中, 设2,3,BC BD CA CE ==则
AD BE ?=__________________．
15．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随
机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事 件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）P （A ）= _____________; （2）P （B|A ）= ． 16．对于*
n N ∈ ,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+? ,当
0i =时，1i a =,当1i k ≤≤时, 1a 为0或1．记()I n 为上述表示中a i 为0的个数（例
如：0210
12,4120202I =?=?+?+?）,故(1)0I =, (4)2I =）,则
（1）(12)I =________________;（2）
()
1
2
m
I n n =∑________________;
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；
A-cos （B+4
π
）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。 18．（本小题满分12分）
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．
，将频率视为概率。 （Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。 19．（本小题满分12分）
如图5，在圆锥PO 中，已知PO ⊙O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC
的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值。 20．（本小题满分13分）
如图6，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为
v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S
成正比，比例系数为
110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1
2
，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3
2
时。
（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。
21．（本小题满分13分）
如图7，椭圆22
122:1(0)
x y C a b a b
+=>>
的离心率为
，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于C 1的长半轴长。 （Ⅰ）求C 1，C 2的方程； （Ⅱ）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB
分别与C 1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;
（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得121732
S S =?请说明理
由。
22．（本小题满分13分）
已知函数3()f x x =
，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ n a }（*
n N ∈）满足10(0)a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数
M,使得 对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．
参考答案
一、选择题： DABCCDAD
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b =-=-
D ．1,1a b ==- 答案：D
解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2.设{1,2}M =，2
{}N a =，则“1a =”是“N M ?”
则（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
正视图
侧视图
俯视图 图1
答案：A
解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ?”，反之“N M ?”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．9122π+
B ．9
182
π+
C ．942π+
D ．3618π+
答案：B
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积
3439+332=18322
V ππ=??+（）。
由22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
110(40302020)7.860506050K ??-?=
≈???
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C
解析：由2
7.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.
5.设双曲线22
21(0)9
x y a a -
=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3
y x a
=±
，故可知2a =。
6. 由直线,,03
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
12 B ．1 C
D
答案：D
解析：由定积分知识可得333
3
cos d sin |(S x x x π
π
ππ--
=
==
-=?D 。 7. 设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值
范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A
解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(
,)11m m m ++取最大值，由2
1211m m m
+<++解
得11m <<
。
8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．12 C
．2 D
．2
答案：D
解析：由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2
()ln h x x x =-，则1
'()2h x x x
=-
，令'()0h x =
解得2x =
，因2x ∈时，'()0h x <
，当(,)2
x ∈+∞时，'()0h x >，
所以当x =时，||MN
达到最小。即t =
二、填空题
9．2 10．9 11
12．25 13．23 14．14- 15．（1）21,(2)4π 16．（1）2（2）
1093
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα=??=+?（α为参数）在极坐
标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。 答案：2
解析：曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离
01
d =
=<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y R ∈,则222
211
()(4)x y y x
++的最小值为 。 答案：9
解析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x
+
+≥+=。 11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。
答案：
3
解析：由题可知，60AOB EOC ∠=∠=?，2OA OB ==,得1OD BD ==,DF =
，
又2
3AD BD CD =?=，所以AF AD DF =-= 二、必做题（12~16题）
12、设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
答案：25
解析：由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +?==。
13、若执行如图
3
所示的框图，输入
1231,2,3,2
x x x x ===
=，则输出的数等于 。 答案：
2
3
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则222(12)(22)(32)2
33
S -+-+-=
=。
14、在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ?=。 答案：1
4
-
解析：由题12AD CD CA CB CA =-=
-，1
3
BE CE CB CA CB =-=-， 所以111171
()()232364
AD BE CB CA CA CB CB CA ?=-?-=--+?=-。
B
C
15、如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将
一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）=______P A （）；（2）=______P A （B|）
答案：（1）
2
π
；（2）1
=4
P
A （B|） 解析：（1
）由几何概型概率计算公式可得2
=
=S P A S π
正圆（）；
（2）由条件概率的计算公式可得211
4===4
P AB P A P A ππ
?
（）（B|）（）。
16、对于*
n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=?+?+?+
+?+?，
当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0
112=?，210
4120202=?+?+?：故(1)0,(4)2I I ==）则 （1）(12)_____I = （2）127
()
1
2
______I n n ==∑
答案：（1）2；（2）1093
解析：（1）因3
2
1
1212+120202=??+?+?，故(12)2I =；
（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有1
1k C -个，有2个0的有21k C -个，……有m 个0的有1m
k C -个，……有
1k -个0的有111k k C --=个。故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()
2
I n 的和为：
01122
11
111112222
3k k k k k k C C C ------?+?+?+
+?=。 又7
12721=-恰为2进制的最大7位数，所以127
7
()
11
2
2
231093I n k n k -===+=∑∑。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因
为
0,
A π<<所以
s i
n 0.s 4
A C C
C π
>=≠=
从而又所以
则
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=
-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时 2sin()6
A π
+
取最大值2．
cos()4A B π
-+
的最大值为2，此时5,.312
A B π
π
=
=
18．解（I ）P （“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品
销售量为1件”）.10
3205201=+=
（Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3.
P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;4
1205==
P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为2件”）P +（“当
天商品销售量为3件”）.4
3205209201=++=
故X
X 的数学期望为.4
4342=?+?=EX
19．解法1：连结OC ，因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.
又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC PO ⊥，
因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ， 而AC ?平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC 。
（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，平面,POD PAC ⊥平面 所以
OH ⊥平面PAC ，又PA ?面
PAC ，所以
.PA OH ⊥
在平面PAO 中，过O 作
OG PA ⊥于G ，
连接HG ，
则有PA ⊥平面OGH ，
从而PA HG ⊥，故OGH ∠为二面角B —PA —C 的平面角。
在,sin 452Rt ODA OD OA ?=??=
中
在,Rt POD OH ?=
=
=中
在,Rt POA OG ?=
=
=中
在,sin OH Rt OHG OGH OG ?∠===中
所以cos OGH ∠=== 故二面角B —PA —C
解法2：（I ）如图所示，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则
(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，11
(,,0)22
D -
设1111(,,)n x y z =是平面POD 的一个法向量，
则由110,0n OD n OP ?=?=
，得1
11
1
10,220.x y ?-+=?=
所以111110,,1,(1,1,0).z x y y n ====取得 设2222(,,)n x y z =是平面PAC 的一个法向量， 则由220,0n PA n PC ?=?=，
得22220,
0.
x y ?-=??=??
所以22222,.1,x y ==取z
得2(n =。
因为12(1,1,0)(0,n n ?=?= 所以12.n n ⊥从而平面POD ⊥平面PAC 。
（II ）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0).n = 由（I ）知，平面PAC
的一个法向量为2(n = 设向量23n n 和的夹角为θ，则
2323cos ||||5n n n n θ?=
==?
由图可知，二面角B —PA —C 的平面角与θ相等， 所以二面角B —PA —C
20．（本小题满分13分）
解：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202
v c -+， 故100315
(||)(3||10)202y v c v c v v
=
-+=-+， （II ）由（I ）知
当0v c <≤时，55(310)
(3310)15;c y c v v v +=
-+=- 当55(103c)
10,y (3v 3c 10)15.v v
c v -<≤=-+=
+时 故(310)
15,0,5(103)15,10.c v c v
y c c v v 5+?-<≤??=?-?+<≤??
（1）当10
03
c <≤
时，y 是关于v 的减函数， 故当min 310,20.2
c
v y ==-时
（2）当10
53
c <≤时，在(]0,c 上，y 是关于v 的减函数， 在(],10c 上，y 是关于v 的增函数， 故当min 50,.v c y c
==
时
21．（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,2
3
======
b a a b b a a
c e 解得又从而 故C 1，C 2的方程分别为.1,14
222
-==+x y y x （Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.
由?????-==1
2
x y kx y 得 012=--kx x .
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为（0，—1），所以
2
121212
212122111
)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+?+=? .11
1
22-=-++-=
k k
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.
（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为??
???-=-=-=1,
1,12
11x y x k y x k y 由解得 ???-==???-==1
,
102
1k y k x y x 或 则点A 的坐标为)1,(2
11-k k . 又直线MB 的斜率为1
1k -
， 同理可得点B 的坐标为).11,1(2
11--
k k
于是211111111|||||||22||
k S MA MB k k k +=?=-=
由?????=-+-=0
44,12
21y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k 解得121
2
1218,140,141
14k x k x y k y k ?
=?+=????=--??=?+?或 则点D 的坐标为21122
11
841
(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1
-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+-
于是)
4)(1(||)1(32||||21
2
1211212++?+=?=k k k k ME MD S . 因此
211221
14
(417).64S k S k =++ 由题意知，
2221112114171
(417),4,.64324
k k k k ++===解得或 又由点A 、B 的坐标可知，21211111
1
13,.12k k k k k k k k -
=
=-=±+所以 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2
323x y x y -==
和 22．解：（I
）由3(),[0,)h x x x x =-∈+∞，而(0)0,(1)10h h ==-<且，
(2)60,0()h x h x =>=则为的一个零点，且()h x 在（1，2）内有零点。
因此()h x 至少有两个零点。
解法1：12
21()31,2h x x x -'=--记12
21()31,2x x x ?-=--则3
21()6.4
x x x ?-'=+
当(0,),()0,()(0,)x x x ??'∈+∞>+∞时因此在上单调递增，则()(0,)x ?+∞在
内至多
只有一个零点。又因为(1)0,0,()x ???><则在内有零点，
所以()(0,)x ?+∞在内有且只有一个零点，
记此零点为111,(0,),()()0x x x x x ??∈<=则当时； 当1(,)x x ∈+∞时，1()()0.x x ??>= 所以，
当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(,),()x x h x ∈+∞时单调递增，而1()(,)h x x +∞在内至多只有一个零点。 从而()(0,)h x +∞在内至多只有一个零点。 综上所述，()h x 有且只有两个零点。
解法2：由1122
22
()(1),()1h x x x x x x x ?-
-
=--=--记，则3
21()2.2
x x x ?-'=+
当(0,),()0,x x ?'∈+∞>时从而()(0,)x ?+∞在上单调递增，
则()(0,)x ?+∞在内至多只有一个零点，因此()(0,)h x +∞在内也至多只有一个零点。 综上所述，()h x 有且只有两个零点。
（II ）记()h x 的正零点为3
000,x x x =即
（1）当0110,,.a x a a a x <=<时由即
而2
3
210020,.a a x x a x =+<=<因此
由此猜测：0n a x <。下面用数学归纳法证明。 ①当101,n a x =<时显然成立。
②假设当0(1),,1k n k k a x n k =≥<=+时成立则当时，由
33
10010,.n k k a a x x a x ++=<=<知因此，当101
,k n k a x +=+<时成立。 故对任意的*0,k n N a x ∈<成立。
（2）当0a x ≥时，由（I ）知，0()(,)h x x +∞在上单调递增，则0()()0h a h x ≥=，
即33
3212,a a a a a a a a ≥+=+=+≤≤即，
由此猜测：k a a ≤，下面用数学归纳法证明， ①当11,n a a =≤时显然成立。
②假设当(1),k n k k a a =≥≤时成立，则当1n k =+时，
由3311,k k k a a a a a a
++=+≤≤≤知 因此，当11,k n k a a +=+≤时成立， 故对任意的*,n n N a a ∈≤成立
综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*,.n n N a M ∈≤都有
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小；
（II
cos()4
A B π
-+
的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=
-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+
<<∴<+<+==从而当即时
2sin()6
A π
+
取最大值2．
cos()4
A B π
-+
的最大值为2，此时5,.3
12
A B π
π
=
=
18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。 (Ⅰ）求当天商品不进货．．．
的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。 解析：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=
153202010
+=。 （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.
51(2)("")204
P x P ===
=当天商品销售量为1件；
(3)("")+("")+("1953
")++2020204
P x P P P ====
当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售
量为3件
X
X 的数学期望为2+3=444
EX =??。
19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO 中，已知
PO O
=的直径
2,,AB C AB D AC =是的中点,为的中点．
（I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面
（II ）求二面角B PA C --的余弦值． 解：（I ）连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥. 又
,,.
PO O AC O AC PO ⊥?⊥底面底面所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面。而
AC PAC ?平面，所以POD PAC ⊥平面平面。
（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,OH PAC ⊥平面又
,PA PAC ?平面所以PA OH ⊥.
在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G,连接HG ,则有
PA OGH ⊥平面
， 从而PA HG ⊥
，所以OGH ∠是二面角B PA C -
-的平面角．
在,sin 45Rt ODA OD OA ?=??=
中
在,Rt POD OH ?=
=
=中
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足 1 z i z +=（i 的虚数单位）的复数z= A 、 1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122 i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种 不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p == 3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 3 2 1x x ++，则(1)(1)f g += A 、3- B 、1- C 、1 D 、3 4、5 1(2)2 x y -的展开式中23 x y 的系数是 A 、-20 B 、-5 C 、5 D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题 ①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧? ④()p q ?∨ 中，真命题是 A 、①③ B 、①④ C 、②③ D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的 S 属于 A 、[-6,-2] B 、[-5,-1] C 、[-4，5] D 、[-3,6] 7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加 工成球，则能得到的最大球的半径等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 理科数学 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1. 已知 ()2 11i i z -=+（i 为虚数单位） ，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 2. 设A,B 是两个集合，则”A B A =I ”是“A B ?”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A. 67 B.37 C.89 D.49 4. 若变量,x y 满足约束条件1,2,1x y x y y +≥-?? -≤??≤? 则3z x y =-的最小值为（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 5. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 6. 已知5 ()x x -的展开式中含3 2x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3 B.3- C.6 D.-6 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ） 理科数学 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?= A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1， ，则AC= A. 5 B. C. 2 D. 1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13
2015年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015?湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）（2015?湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A?B”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（） A．B．C．D． 4．（5分）（2015?湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2 5．（5分）（2015?湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
6．（5分）（2015?湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣6 7．（5分）（2015?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（） 附“若X﹣N=（μ，a2），则 P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826． p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544． A．2386 B．2718 C．3413 D．4772 8．（5分）（2015?湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标 为（2，0），则||的最大值为（） A．6B．7C．8D．9 9．（5分）（2015?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ= （） A．B．C．D． 10．（5分）（2015?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的 利用率为（材料利用率=）（）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm 4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π 个单位 B.向左平移4π 个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π 个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ， 则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤
2014年湖南省高考数学试卷（文科） (扫描二维码可查看试题解析) 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2014?湖南）设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为（） 2．（5分）（2014?湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（） 3．（5分）（2014?湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分 4．（5分）（2014?湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增 5．（5分）（2014?湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）B 6．（5分）（2014?湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则 7．（5分）（2014?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
8．（5分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） 9．（5分）（2014?湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（） ． ﹣＞lnx2﹣lnx1﹣＜lnx2﹣lnx1 2121 10．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） [，[， 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2014?湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为． 13．（5分）（2014?湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）（2014?湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离 和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是． 15．（5分）（2014?湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=． 三、解答题（共6小题，75分） 16．（12分）（2014?湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和． 17．（12分）（2014?湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： （a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，）， （，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b） 其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败． （Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； （Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 18．（12分）（2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．
2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的一项。 1. 已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2. 32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4. 已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B .3 C D .3m 5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动 的概率
A .18 B .38 C .58 D .78 6. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158 8. 设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A .32 π αβ-= B .22 π αβ-= C .32 π αβ+= D .22 π αβ+= 9. 不等式组1 24x y x y +≥??-≤? 的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 10. 已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦
以下是查字典语文小编给大家整理编辑的2014年湖南高考语文试题及答案，一起来看看吧! 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 语文 本试题卷共七道大题，22小题，共8页。时量150分钟。满分150分。 一、语言文字运用(12分。每小题3分) 家风是一个家族世代相传沿袭下来的体现家族成员精神风貌、道德品质、审美格调和整体气质的家族文化风格。一个家族之链上某一个人物出类拔( )、深( )众望而为家族其他成员所宗仰追慕，其懿行( )言便成为家风之源，再经过家族子孙代代接力式的( ) 守祖训，流风余韵，绵延不绝，就形成了一个家族鲜明的家风。 1.下列汉字依次填入语段中括号内，字音和字形全部正确的一组是 A.萃孚fóu 佳恪gé B.粹负fú 佳恪kè C.粹负fù 嘉恪gé D.萃孚fú 嘉恪kè 【答案】 D 【解析】出类拔萃：拔：超出;类：同类;萃：原为草丛生的样子，引申指同类丛聚。后以出类拔萃形容卓越出众，不同一般。萃字从草不从米，据义定形。 深孚众望：使大家信服，符合大家的期望。孚：使人信服、信任、相信。读fú，褒义词。 深负众望：指辜负了大家的期望。负：辜负，读fù，贬义词。 懿行嘉言：嘉，美好的意思，不能写作佳。常指有益的言论和高尚的行为。2009年湖南卷字音题曾考过嘉言懿行(yì)。 恪守：谨慎而恭敬遵守。恪读kè ，形声不能套读半边。 试题分析：本题属于一题多考，既考字音、字形，又考成语运用。题目新颖，含金量极高。 考点：识记现代汉语普通话常用字的字音。能力层级为识记A。 考点：识记并正确书写现代常用规范汉字。能力层级为识记A。 考点：正确使用词语(包括熟语)。能力层级为表达运用E。
2015年湖南省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015?湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（） 已知= 3．（5分）（2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
B S= S= S= = 4．（5分）（2015?湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）
作出可行域如图， ，解得．由解得，由 时，））﹣﹣）
6．（5分）（2015?湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）B 的指数为 = 的项的系数为 ∴ ，并且 7．（5分）（2015?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（） 附“若X﹣N=（μ，a2），则 P（μ﹣?＜X≤μ+?）=0.6826． p（μ﹣2?＜X≤μ+2?）=0.9544． × ×
8．（5分）（2015?湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（） ||=|2|=|4+|| |+|=|4+ | || 9．（5分）（2015?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ= B ＜ ， ==×﹣ ，不合题意，
，，即=×﹣= 10．（5分）（2015?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的 利用率为（材料利用率=）（） B （） V=
2014年普通高等学校统一考试（大纲） 理科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ） A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]- 3.设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 4.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ） A ．2 B C ．1 D 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女 医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的 直线交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为（ ） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．22 1124 x y += 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
2014年湖南省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分） 1．（5分）设命题p:?x∈R,x2+1＞0,则￢p为（） A．?x0∈R,x02+1＞0 B．?x0∈R,x02+1≤0 C．?x0∈R,x02+1＜0 D．?x0∈R,x02+1≤0 2．（5分）已知集合A={x|x＞2},B={x|1＜x＜3},则A∩B=（） A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）下列函数中,既是偶函数又在区间（﹣∞,0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为（）A．B．C．D． 6．（5分）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11 7．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（） A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6]
8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（5分）若0＜x1＜x2＜1,则（） A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1 C．x2＞x1D．x2＜x1 10．（5分）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C（3,0）,动点D满足||=1,则|++|的取值范围是（） A．[4,6]B．[﹣1,+1]C．[2,2]D．[﹣1,+1] 二、填空题（共5小题,每小题5分,共25分） 11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）在平面直角坐标系中,曲线C:（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P（﹣1,0）且斜率为k的直线,则k的取值范围是． 15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数,则a=．
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?U A）∩B的子集个数为（） A．7 B．3 C．8 D．9 3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D． 4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（） A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10 5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2） 2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（） A．B．C．D． 6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2） 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D． 8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ----------------
2015年湖南省高考数学试卷（文科） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
A．B．C．D． 6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（） A．B．C．D． 7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（） A．B．2 C．2 D．4 8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）
.. 绝密★启用前 2014年高考全国2卷理科数学试题（含解析） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i 2．设向量a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a ?b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A.5 B.5 C.2 D.1 4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.1727 B.59 C.1027 D.1 3 6．执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 7．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ） A.334 B.938 C.6332 D.94 9．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A.110 B.25 C.3010 D.22 10．设函数()3sin x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (湖南卷) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 答案：B 解析：z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B． 2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．A．抽签法B．随机数法 C．系统抽样法D．分层抽样法 答案：D 解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样． 3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B ，则角A等于()． A． π 12 B． π 6 C． π 4 D． π 3 答案：D 解析：由2a sin B 得2sin A sin B sin B，故sin A ，故A＝ π 3 或 2π 3 .又△ABC为锐角 三角形，故A＝π3 . 4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件 2, 1, 1. y x x y y ≤ ? ? +≤ ? ?≥- ? 则x＋2y的最大值是()． A． 5 2 -B．0 C． 5 3 D． 5 2 答案：C 解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分． 令x＋2y＝d，即 1 22 d y x =-+， 由线性规划知识可得最优点为 12 , 33 ?? ? ?? ，所以d max＝ 145 333 +=. 5．(2013湖南，理5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()．A．3 B．2 C．1 D．0 答案：B 解析：设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x，y)，
2014年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（） A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i 2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（） A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20 5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④ 6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（） A． B． C．pq D．﹣1 9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（） A．x=B．x=C．x=D．x= 10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（） A．（﹣）B．（）C．（）D．（） 二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是． 12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .18 B .38 C .58 D . 78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158