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湖北省武汉市部分重点中学2011-2012学年度上学期高 一期中考试

湖北省武汉市部分重点中学2011-2012学年度上学期高一期中考试

数 学 试 卷

命题人:武汉四中 刘 鸣 审题人: 武汉市第四十九中 周 镜 全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合U={x ︱x 是小于6的正整数},A={1,2},()U B C A ={4},则()U C A B =( )

A .{3,5} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,4}

2.设A ={x |20≤≤x },B ={y |12≤≤y },下列图形表示集合A 到集合B 的函数图形的是( )

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A B

C

D

3.下列函数中,与函数y =x 相同的函数是( )

A .y =x

x 2

B .y =(x )2

C .ln x

y e = D .y =x

2log 2

4.给定函数①12

y x =,②12

log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间

(0,1)上单调递减的函数序号是( )

A. ①④

B. ①②

C. ②③

D.③④

5.由表格中的数据可以判定方程02e =--x x

的一个零点所在的区间))(1,(N k k k ∈+,则k 的值为(

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6.下列幂函数中,定义域为R 且为偶函数的个数为( ) (1)2

y x -= (2)y x = (3)

1y x

= (4)

23

y x

=

A .1个

B .2个 C.3个 D.4个

7. 设,,m n p 均为正数,且13

3log m

m =,31()log 3

p p =,11()log 3

q q =,则( ) A .m >p >q B. p >m >q C. m >q >p D. p >q >m

8.已知()f x 为偶函数,在[0,)+∞上为增函数,若2(l g )(1)f o x f >,则x 的取值范围为( ) A .(2,)+∞ B .1(0,)(2,)2?+∞ C.1(,2)2

D .(0,1)(2,)

?+∞

9.设函数

()f x =,对于给定的正数K ,定义函数(),()(),()K f x f x K

f x K f x K

≤?=?

>?若对于函数

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()f x = x ,恒有()()K f x f x =,则( )

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A .K 的最小值为1

B . K 的最大值为1

C .K 的最小值为

D . K 的最大值为10.已知定义在[上的函数)(x f y =和)(x g y =,其图象如下图所示:

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给出下列四个命题:

①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确命题的序号( )

A .①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.若集合M ={y |y =x 2

-2x +1,x ∈R},N ={x |y =

,则M N = .

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12.不查表,化简:2

221

log log 12log 422

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-为 . 13. 已知1

12

2

a a 3-+=,则332

2

a a -+的值等于__________.

14. 设集合P ={x |x 2

=1},Q ={x |a x =1},若Q ?P ,则实数a 的值所组成的集合是_____. 15.定义在R 上的函数()f x ,如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数),使得()f x ≥()g x 对一切实数x 都成立,则称()g x 为()f x 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数()f x ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ②()g x =2x 为函数()2x

f x =的一个承托函数; ③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)

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已知全集U=R ,{|()A x f x =,2{|log ()1}B x x a =-<. (1)若a =1,求()U C A B ?. (2)若()U C A B ?=?,求实数a 的取值范围. 17.(本题满分12分)

已知函数()|1||1|()f x x x x R =-++∈

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(1)证明:函数()f x 是偶函数;

(2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段 函数的形式,然后画出函数图像,并写出函数的值域;

(3)在同一坐标系中画出直线2y x =+,观察图像写出不等式()2f x x >+的解集. 18. (本题满分12分)

已知函数b a bx ax x f ,(1)(2++=为实数),x ∈R ,

(1)若f (x )有一个零点为-1,且函数()f x 的值域为)0,+∞??,求()f x 的解析式;

(2)在(1)的条件下,当kx x f x g x -=-∈)()(,]2,2[时是单调函数,求实数k 的取值范围;

19.(本题满分12分)

已知函数()242 1.x x f x a =?--

(1)当1a =时,求函数()f x 在]0,3[-∈x 的值域; (2)若关于x 的方程0)(=x f 有解,求a 的取值范围.

20. (本题满分13分)

某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元.经预测知,当售出这种产品t 百件时,若05t <≤,则销售所得的收入为2

152

t t -

万元:若5t >,则销售所得收入为123

82

t +万元.

(1)若该公司的这种产品的年产量为x 百件(0)x >,请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表

示为当年生产量x 的函数;

(2)当年产量为多少时,当年公司所获利润最大?

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(3) 4.64)

21.(本题满分14分)

对于在[],a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ,如果对任意的[,,]x a b ∈,均有|()()|1f x g x -≤,则称()f x 与()g x 在[],a b 上是接近的,否则称()f x 与()g x 在[],a b 上是非接近的.现在有两个函数

()log (3)t f x x t =-与1

()log (

)(01)t g x t t x t

=>≠-且,现给定区间[2,3]t t ++. (1)若1

2

t =

,判断()f x 与()g x 是否在给定区间上接近; (2)若()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上都有意义,求t 的取值范围; (3)讨论()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上是否是接近的.

数学试卷参考答案

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11. (0,1] 12.1

2

-

13.18 14.{0,1,-1} 15. ① 三、解答题

16. (本题满分12分)

解:由已知得{|12}A x x x =≤≥或,{|2}B x a x a =<<+

{|12}U C A x x ∴=<< ……………………4分

(1)当a=时,{|13}B x x =<<, (){|12}U C A B x x ∴=<< ………………6分 (2)若()U C A B ?=?,则2a ≥或21a +≤,2a ∴≥或1a ≤.

即a 的取值范围为(,1][2,)-∞+∞ . …………………12分

17.(本题满分12分) 解:(1)()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=++-=

∴()f x 是偶函数 ……………………4分

(2)2(1)()2(11)2(1)x

x f x x x x -<-??=-≤≤??>?

由函数图象知,函数的值域为[2,)+∞ …………9分 (3由函数图象知,不等式的解集为{|02}x x x <>或………12分

18. (本题满分12分)

解:(1)由题意得:???

??-=-=+-120

1a

b b a 解得:???==21b a

所以:2

()21f x x x =++ …………………6分 (2)由(1)得1)2()(2

+-+=x k x x g

当[]2,2-∈x 时,)(x g 是单调函数的充要条件是:

222222-≤--≥--k k 或 解得: 26-≤≥k k 或 …………………12分

19.(本小题满分12分)

解:(1)当1=a 时,12)2(21242)(2--=--?=x

x x x x f ,

令]0,3[,2-∈=x t x

,则]1,8

1[∈t ,

故]1,8

1

[,89)4

1(2122

2

∈--=--=t t t t y , 故值域为]0,89

[-

…………………6分

(2)关于x 的方程012)2(22=--x x a 有解,等价于

方程0122

=--x ax 在),0(+∞上有解 …………………8分

解法一:记12)(2--=x ax x g

当0=a 时,解为01<-=x ,不成立

当0

<=

a x ,过点)1,0(-,不成立 当0>a 时,开口向上,对称轴041

>=a

x ,过点)1,0(-,必有一个根为正 所以,0>a

…………………12分

解法二:方程0122

=--x ax 可化为22

11111

()2228

x a x x +=

=+- a ∴的范围即为函数21111

()()228

g x x =+-在(0,)+∞上的值域

所以,0>a

…………………12分

20. (本题满分13分)

解:(1)当05x <≤时,2

()50.5(0.50.25)f x x x x =--+=20.5 4.750.5x x -+-

当5x >时,123

()(0.50.25)82

f x x x =

+-+0.12511x =-+ 20.5 4.750.5,05

()0.12511,5

x x x f x x x ?-+-<≤∴=?

-+>? ………………4分 (2)当05x <≤时,()f x =20.5 4.750.5x x -+-=2

0.5( 4.75)10.78125x --+ ∴当 4.75x =时,max ()10.78125f x =

当5x >时,()f x 0.12511x =-+0.12551110.37510.78125<-?+=<

∴当年产量为4.75(百件)时,当年公司所得利润最大,最大为10.78125万元.……9分 (3)由题意知()0f x ≥

当05x <≤时,2

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0.5 4.750.5x x -+-0≥,即 4.75 4.75x ≤≤ 0.119.39x ∴≤≤,又05x <≤,0.115x ∴≤≤ 当5x >时,0.125110,588x x -+≥∴<≤

综上可得,0.1188x ∴≤≤

∴当年产量为11件 8800件之间时,公司不会亏本. ………………13分

21.(本小题满分14分) 解:(1)当12t =

时,1231()()log [()()]22f x g x x x -=--12

2

1log [(1)]4

x =--

令122

1()log [(1)]4h x x =--,当57[,]22

x ∈时,12()[log 6,1]h x ∈-

即|()()|1f x g x -≥,()f x 与()g x 是否在给定区间上是非接近的. ………………4分 (2)由题意知,0t >且1t ≠,

230t t +->,20t t +->

01t ∴<< ………………4分 (3)22|()()||log (43)|t f x g x x tx t -=-+

假设()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上是接近的,则有22|log (43)|1t x tx t -+≤

221log (43)1t x tx t ∴-≤-+≤ …………(*)

令G (x )=22log (43)t x tx t -+,当01t ∴<<时,[2,3]t t ++在2x t =的右侧, 即G (x )=22log (43)t x tx t -+,在[2,3]t t ++上为减函数,

max ()log (44)t G x t ∴=-,min ()log (96)t G x t ∴=-

所以由(*)式可得

01

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log (44)1log (96)1

t

t

t t t <

-≤??-≥-? ,解得

0t <≤

因此,当0t <≤时,()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上是接近的;

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当t >()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上是非接近的. ………14分

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