抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]?
??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：
设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-
②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点对称；
关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--
③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=
④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-
⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=
（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于
直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B
A C By Ax A x f
B A
C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。 ③0))(2,)(2(0),(2
222=+++-+++-=B A C By Ax B y B A C By Ax A x F y x F 与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2
(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称
2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数
3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称
4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称
5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x -=
对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称
推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称
推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)
性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)
易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。
定义2、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。
说明：
（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)
（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(b －x)关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称 性质4、复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(b －x)关于点（（b －a ）/2，0）中心对称
推论1、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于y 轴轴对称
推论2、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
5、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|
性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|
性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|
6、函数对称性的应用
（1）若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（,即
k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+
nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-
（2）例题
1、1)1()(2121)(=-++=x f x f a a a x f x x
）对称：，关于点（; 2)()(10122
14)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（ 1)1()2121)0,(1
1)(=+≠∈+=x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。
3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设个不同的实数根，则有n x f 0)(=
na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2
2221121 .
),212(111a x x a x k n =?-=+=时，必有当
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、()()f x T f x ±=( 0T ≠) ?)(x f y =的周期为T ，kT (k Z ∈)也是函数的周期
2、()()f x a f x b +=+ ?)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1
)(x f a x f -
=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)
(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3=
7、 1
)(1)(+-=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)
(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4=
9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6=
10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则 11、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x = ()b a >?)(x f y = 周期)(2a b T -= 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 2= 12、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ()b a > ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 4=
13、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ()b a >?()f x 的)(4a b T -=
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例 1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）
（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且
[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。
2、比较函数值大小
例 3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981
x x f =试比较
)1998(f 、)17101(f 、)15
104(f 的大小. 解：))((R x x f ∈ 是以2为周期的偶函数，又19981
)(x x f = 在[]1,0上是增函数，且
1151419161710<<<<，).15
104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.
解：设1211212),12,12(<-<-?+<<-∴+-∈k x k x k k k x
0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由
)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.
例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区
间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.
解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，
4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f
又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时， []).21(4)1(243)4(2)()
4()(22≤≤+--=++--=?-=x x x x f x f x f 有
).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f
4、判断函数奇偶性
例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，
判断函数)(x f 的奇偶性.
解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得
)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数
例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f
,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得 )(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，
,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==
故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.
而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
例8.在数列{}n a 中，)2(11,31
11≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++
分析：此题的思路与例2思路类似.
解：令,1αtg a =则)4
(1111112απαα+=-+=-+=tg tg tg a a a ??
????+-=-+=??????+?-=∴+?=---+=-+=---απαπαπαπαπ4)1(11,4)1()42()4
(1)4(1111112
23n tg a a a n tg a tg tg tg a a a n n n n 于是 不难用归纳法证明数列的通项为：)44(απ
π
+-=n tg a n ，且以4为周期.
于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
1997951a a a a ====∴ ，由4)1(11997?-+=n 得总项数为500项，
.350050011997951=?=++++∴a a a a a
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第92
92天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
解：191919191)191(9291922909291192920929292+?++++=+=C C C C
1
)137()137()137()137()1137(9291922909291192920929292+?+?++?+?=+?=∴C C C C
因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，
故9292天为星期四. 8、复数中的应用
例10.（上海市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-
=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()
（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7. 分析：运用i z 2321+-
=方幂的周期性求值即可. 解：10)1(,11=?=-∴=--n n n z z z z z ，
)
(.4)(,,1).
(13),
(31,31,1min 3B n n k N k k n N k k n n z 故选择最小时即的倍数必须是=∴=∴∈+=∴∈=--∴= 9、解“立几”题
例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()
（A ）1； （B ）2；（C ）3 ； （D ）0.
解：依条件列出白蚁的路线→→→→→CB C C C D D A AA 111111
,1 →→AA BA 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.
1990=64331+?，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D 点，白蚁在C 点，故所求距离是.2
例题与应用
例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，则当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)
(1x f -
，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.
例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+10
20002?
=401个根. 例1、 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ）
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D 。（原卷错选为C ） 例2、 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝ f(6－x)的图象（ ）。
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x ，则f(7.5)=（ ）。
A ．0.5
B ．－
0.5 C ．1.5 D ．－1.5
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)， f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数
4、f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。 参考答案：D ，B ，C ，T ＝2。
5、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，
求100x =-1．