2019-2020学年广西河池高三下数学高考模拟
一、选择题
1. 已知集合A ={?2, ?1,0,1}，B ={x|(x ?2)(x +1)≤0}，则A ∩B =（ ） A.{0,1} B.{?1,0,1} C.{?1,0,1,2} D.{?1,0}
2. 设i 是虚数单位，若复数i 满足z (i ?1)=1+i ，则其共轭复数z ˉ
=（ ） A.i B.?i
C.?1+i
D.?1?i
3. 某校高三有文科学生150名，理科学生540名，其性别比例如图所示，则该校高三女生的人数为( )
A.261
B.369
C.321
D.429
4. 二项式(x 2?12x )6
的展开式中常数项为( ) A.?5
2
B.5
2
C.15
16
D.?3
16
5. 已知sin θ?cos θ=1
2，则cos 2
(θ?π
4)=（ ）
A.7
16
B.7
8
C.√54
D.√7
4
6. 函数f (x )=1
3x 3+a ln x 的图象在(1,f (1))处的切线方程为6x ?3y ?b =0，则a +b =（ ） A.3 B.4
C.5
D.6
7. 运行如图所示的程序算法，则输出的结果为（ ）
A.2
B.1
2
C.13
D.13
2
8. 已知函数f (x )的部分图象大致如图，则f (x )的解析式可能是（ ）
A.f (x )=2x +1
2?1?cos x B.f (x )=sin x
e ?e C.
f (x )=(x +1
x )?cos x
D.f (x )=e x +1
e x ?1?sin x
9. 如图，已知多面体ABCD ?A 1B 1C 1D 1是正方体，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，点M 是棱BB 1上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱DD 1交于点N ，则以下说法不正确的是( )
A.四边形EMFN 是平行四边形
B.四边形EMFN 是菱形
C.当点N 从点D 1往点D 运动时，四边形EMFN 的面积先增大后减小
D.当点N 从点D 1往点D 运动时，三棱锥D 1?EFN 的体积一直增大
10. 已知l 为抛物线x 2=8y 的准线，抛物线上的点A 到l 的距离为d ，M 点的坐标为(8,2)，则|AM|+d 的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.2√2
11. 定义在R 上的奇函数满足f (x +2)=?f (2?x )，当x ∈(0,1)时，f (x )=log 4(x +1)，则f (x )在(3,4)上（ ）
A.是减函数，且f (x )>0
B.是增函数，且f (x )<0
C.是减函数，且f (x )<0
D.是增函数，且f (x )>0
12. 已知函数f (x )=sin ωx ?√3cos ωx (ω>0,x ∈R )，若函数f (x )在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A.[13,2
3] B.[16,7
12] C.[13,2
3
]∪(0,1
6
]
D.[1
6,7
12
]∪(0,1
12
]
二、填空题
已知向量a →
=(1,2)，b →
=(3,4)，则a →
在b →
上的投影为________.
函数f (x )=sin x ?cos x x ∈[?π2,π
2]的值域为________.
设F 1，F 2为双曲线C:x 2?y 23
=1的两个焦点，P 为C 上一点且在第一象限．若△PF 1F 2为等腰三角形，则P 点
的坐标为________．
某顶部有盖的几何体容器的三视图如图5所示，网格纸上小正方形的边长为1，若在该几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与顶部圆盖所在平面平行，则小圆柱体积的最大值为________．
三、解答题
等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，其中a 1，a 3，a 9成等比数列，且数列{a n }为非常数数列． (1)求数列通项a n ； (2)设b n =1S n
，b n 的前n 项和记为T n ，求证：T n <2．
为了了解市民对电视剧市场的爱好，某上星电视台邀请了100位电视剧爱好者（男50人、女50人）对4月份观看其播出的电视剧集数进行调研，得到这100名电视剧爱好者观看集数的中位数为39集（假设这100名电视剧爱好者的观看集数均在[25,55]集内），且观看集数在[45,50)集内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求m ，n 的值；
(2)有些观众喜欢带有主角光环意识来观剧．但是最近几年的影视作品里出现了一个有趣的趋势——攻气十足的女性角色越来越讨人喜欢，傻白甜的女主们则破了主角光环，各种被嫌弃．更有些剧集中明明是女配的脚本，却因为更具有大女主气场，而获得了比主角更多的关注与声量，如《完美关系》里的斯黛拉，《精英律师》里的栗娜，《我的前半生》里的唐晶，……，已知在这100名电视剧爱好者的女性中有31名认为自己有主角光环意识，男性中有19名认为自己有主角光环意识，根据以上数据请同学们制作出列联表，并且判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系？参考公式及数据： K 2=n (ad?bc )2
(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，其中n =a +b +c +d ．
两个边长均为2的正方形ABCD 与ABEF 按如图的位置放置，M 为BD 的中点， FP →
=λFB →
(λ∈[0,1])．
(1)当λ=1
2时，证明： MP//平面BCE ；
(2)若D 在平面ABEF 上的射影为AF 的中点，MP 与平面ABCD 所成角为30°，求λ的值．
函数f (x )=
2(sin x?cos x )
e x
．
(1)讨论f (x )在[0,+∞)上的最大值；
(2)有几个ω(ω>0，且为常数），使得函数y =f (ωx )在[0,π
2]上的最大值为ω
e π2
？
如图，椭圆
Q:
x
2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率e =1
2
，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1，F 2分别作两条相互垂
直的直线l 1，l 2，分别交椭圆Q 于A ，C ，B ，D 四点，l 1，l 2的交点为M ，三角形MF 1F 2面积的最大值为1．
(1)求椭圆Q 的方程；
(2)当四边形ABCD 的面积S 最小时，求点M 的坐标．
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√10?a cos θ,y =8+√10?a sin θ, （θ为参数，常数a <10）．以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ?π
4)=2√2．
(1)写出C 1及直线l 的直角坐标方程，并指出C 1是什么曲线；
(2)设A 是曲线C 1上的一个动点，求点A 到直线l 的距离的最小值．
已知f (x )=|x ?a|+|x +b|(a >0,?b >0)． (1)当a =2，b =1时，解不等式f (x )≥9；
(2)若f (x )的最小值为2，求1
a+1
+12b
的最小值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年广西河池高三下数学高考模拟
一、选择题 1.
【答案】 B
【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由(x ?2)(x +1)≤0得?1≤x ≤2， ∴ A ∩B ={?1,0,1}. 故选B . 2.
【答案】 A
【考点】 共轭复数
复数代数形式的混合运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：z =1+i
i?1=(1+i )2
(i?1)(i+1)=2i
?2=?i ， 所以z ˉ
=i . 故选A . 3.
【答案】 C
【考点】
用样本的频率分布估计总体分布 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由统计图表可得，该校高三文科女生的人数为150×0.7=105， 该校高三理科女生的人数为540×0.4=216， 所以该校高三女生的人数为321. 故选C . 4. 【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用 二项式系数的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：解：(x 2?
12x
)6
的展开式的通项公式为： T r+1=C 6r
?(?1
2)r ?x 12?3r ，
令12?3r =0，求得r =4，
故常数项等于C 64?(?1
2)4=
1516
.
故选C ． 5.
【答案】 B
【考点】
二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 诱导公式
三角函数的化简求值 同角三角函数基本关系的运用 【解析】
【解答】
解：由sin θ?cos θ=1
2
及正弦二倍角公式可知sin 2θ=3
4
，
由余弦降幂公式及诱导公式化简可得
cos 2(θ?π4)=1+cos 2(θ?π
4)2
= 1+cos (2θ?π2
)
2
=
1+sin 2θ
2
=
1+34
2
=7
8.
故选B ． 6.
【答案】 D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：当x =1时， f (1)=1
3，
故切点为(1,1
3) ， f ′(x )=x 2+a
x
，
斜率k =f ′(1)=1+a ，切线方程为y ?1
3=(1+a )(x ?1)， 即3(1+a)x ?3y ?2?3a =0，
比较系数知a =1，b =5，所以a +b =6. 故选D ． 7.
【答案】 A
【考点】 程序框图
循环结构的应用
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：当k =1时， a =2； 当k =3时， a =132
； 当k =5时， a =13
132
=2；
…；
当k =99时， a =
132，
k =101时，a =2，k >100，输出a =2. 故选A . 8. 【答案】 D
【考点】 偶函数 奇函数
函数的图象与图象变化 函数的图象
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由图象观察可知，函数图象关于y 轴对称， A ，f(?x)=2?x +1
2?x ?1?cos (?x)=1+2x
1?2x cos x =?f(x)， ∴ 此函数为奇函数，
C ，f(?x)=(?x +
1?x
)?cos (?x)=?(x +1
x
)?cos x =?f(x)，
∴ 此函数为奇函数，
选项A ，C 为奇函数，其图象关于原点对称，故不合题意； 对于选项B ，当x >0，且x →0时，f (x )<0，故排除B . 故选D ． 9. 【答案】 C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算 棱柱的结构特征
【解析】 无
【解答】
解：A ，因为平面ADD 1A 1//平面BCC 1B 1，
平面EMFN 与它们相交，由面面平行的性质定理可知EN//MF ， 同理EM//NF ，
所以四边形EMFN 是平行四边形，此选项正确； B ，连接AC ，EF ，MN ，BD ，B 1D 1，
易知AC ⊥平面BDD 1B 1，
所以EF ⊥平面BDD 1B 1，所以EF ⊥MN ， 所以四边形EMFN 是菱形，此选项正确； C ，四边形EMFN 的面积S =1
2EF ?MN ，
线段EF 的长度是定值，当点N 从点D 1往点D 运动时，
线段NM 的长度先减小后增大，所以四边形EMFN 的面积先减小后增大，此选项错误； D ，V D 1?EFN =V F?D 1EN ，点F 到平面ADD 1A 1的距离不变， 当点N 从点D 1往点D 运动时，
△DEN 的面积一直增大，所以三棱锥D 1?EFN 的体积一直增大， 此选项正确． 故选C ． 10. 【答案】
B
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
抛物线的定义
【解析】
无
【解答】
解：抛物线的焦点为F(0,2)，准线为l：y=?2，
过A作AN⊥l交l于点N，连结AF，
由抛物线的定义|AF|=|AN|=d，
∴|AM|+d=|AM|+|AF|≥|MF|=8，
当且仅当M，A，F三点共线时取“=”号，
∴|AM|+d的最小值为8．
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
函数的周期性
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
【解析】
【解答】
解：定义在R上的奇函数满足f(x+2)=?f(2?x)，∴f(x+2)=?f(2?x)=f(x?2)
∴f(x+4)=f(x) ,即函数周期是4.
f(x)在(3,4)上的图象和在(?1,0)上的图象相同，
∵当x∈(0,1)时，f(x)=log
4(x+1)，
∴此时f(x)单调递增，且f(x)>0
∵f(x)是奇函数，
∴当x∈(?1,0)时，f(x)单调递增，且f(x)<0，即当x∈(3,4)时，f(x)单调递增，且f(x)<0．
故选B．
12. 【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的图象
函数的零点
【解析】
【解答】
解：f(x)=sinωx?√3cosωx=2sin(ωx?π
3
)，
2sin(ωx?π
3
)=0，
ωx?π
3
=kπ，k∈Z，
x=kπ+
π
3
ω
≤π，kπ+
4π
3
ω
≥2π，
k+1
3
≤ω≤2
3
+k
2
，k∈Z，
k+1
3
<2
3
+k
2
，∴ k<2
3
，
k=0时，1
3
≤ω≤2
3
，
k=?1时，0<ω≤1
6
.
故选C．
二、填空题
【答案】
11
5
【考点】
向量模长的计算
向量的投影
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a
→
在b
→
上的投影为
a→?b
→
|b
→
|
=
√32+42
=11
5
.
故答案为：11
5
.
【答案】
[?√2,1]
【考点】
两角和与差的正弦公式正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=sin x?cos x=√2(√2
2sin x?√2
2
cos x)=√2sin(x?π
4
)，
∵ x∈[?π
2π
2 ]，
∴ x?π
4∈[?3π
4
,π
4
]，
sin(x?π
4)∈[?1,√2
2
]，
∴√2sin(x?π
4
)∈[?√2，1]. 故答案为：[?√2,1].
【答案】
(3 2,√15
2
)或(5
2
,3√7
2
)
【考点】
双曲线的标准方程双曲线的定义
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析【解答】
解：设F1，F2
，分别为双曲C的左、右焦点，
根据题意可知c
=√1+3=2．
因为△PF1F2为等腰三角形，
所以易知|PF1|=|F1F2|=4或者是|PF2|=|F1F2|=4，分两种情况讨论，设P(x,y)，
F1(?2,0)，F2(2,0)，
因为|PF1|?|PF2|=2a=2，
①|PF1|=|F1F2|=4，所以|PF2|=4?2=2，
则
{
x2?y2
3
=1,
|PF2|2=(x?2)2+y2=4,
x>0,
y>0,
解得{
x=3
2
,
y=√15
2
,
②|PF2|=|F1F2|=4，
|PF1|=4+2=6．
或
{
x2?y2
3
=1,
|PF1|2=(x+2)2+y2=36,
x>0,
y>0,
{
x=
5
2
,
y=
3√7
2
,
所以点P的坐标为(3
2
,√15
2
)或(5
2
,3√7
2
)．
故答案为：(3
2
,√15
2
)或(5
2
,3√7
2
)．
【答案】
32π
27
【考点】
利用导数研究函数的最值
由三视图求体积
直线与平面所成的角
函数模型的选择与应用
【解析】
【解答】
解：如图，设小圆柱底面半径与经过其半径外端点的半球的半径夹角为θ，由三视图知，半球半径为1.
则小圆柱的底面半径为cos θ， 高为1+sin θ，θ∈
(0,π
2
)，
小圆柱体的体积V =π?cos 2θ?(1+sin θ)， 设sin θ=t ，t ∈(0,1)，
则V =π?(1?t 2)(1+t )=π?(?t 3?t 2+t +1) ， 则V ′=π?(?3t 2?2t +1)=π?(?3t +1)(t +1)， 当t =1
3时，V max =32π27
．
故答案为：32π
27. 三、解答题
【答案】
(1)解：由等比中项公式a 32
=a 1?a 9，
32=(3?2d )(3+6d )，得d =1或d =0（舍去）， a n =a 3+(n ?3)?1=n ． (2)证明：S n =na 1+
n(n?1)2×d =
n(n+1)2
，
b n =1
S n
=2
n(n+1)=2(1
n ?1
n+1)，
T n =b 1+b 2+?+b n
=2(11?12+12?13+?+1n ?1n +1)
=2(1?1
n+1)<2． 【考点】 等比中项 数列的求和 等差数列的通项公式 【解析】 【解答】
(1)解：由等比中项公式a 32
=a 1?a 9，
32=(3?2d )(3+6d )，得d =1或d =0（舍去）， a n =a 3+(n ?3)?1=n ．
(2)证明：S n =na 1+n(n?1)2×d =n(n+1)2
，
b n =
1S n
=
2n(n+1)
=2(1
n
?
1
n+1
)，
T n =b 1+b 2+?+b n
=2(11?12+12?13+?+1n ?1n +1
)
=2(1?1
n+1)<2．
【答案】
解：(1)∵ 观看集数在[45,50)内的人数为15， ∴ 观看集数在[45,50)内的频率为
15100
=0.15；
由频率分布直方图得(0.02+2m +4n +0.01)×5+0.15=1， 化简得m +2n =0.07，①
由中位数可得0.02×5+2m ×5+2n ×(39?35)=0.5， 化简得5m +4n =0.2，②
由①②解得m =0.02，n =0.025． (2)根据题意得到列联表：
∴ K 2=
100×(19×19?31×31)2
50×50×50×50
=5.76<10.828，
∴ 不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系． 【考点】
众数、中位数、平均数 频率分布直方图 独立性检验 【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)∵ 观看集数在[45,50)内的人数为15， ∴ 观看集数在[45,50)内的频率为
15100
=0.15；
由频率分布直方图得(0.02+2m +4n +0.01)×5+0.15=1，
化简得m +2n =0.07，①
由中位数可得0.02×5+2m ×5+2n ×(39?35)=0.5， 化简得5m +4n =0.2，②
由①②解得m =0.02，n =0.025． (2)根据题意得到列联表：
∴ K 2=
100×(19×19?31×31)2
50×50×50×50
=5.76<10.828，
∴ 不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系． 【答案】
(1)证明：如图，取AB 的中点N ， DB 的中点为M ，连结MN ，PN ，
∵ FP →
=λFB →
，λ
=1
2
，
∴ P 为FB 的中点，
∴ NP//AF//BE ， 又NP ?平面BCE ， ∴ NP//平面BCE ，
同理可证，NM//平面BCE ， 又∵ NM ∩NP =N ， ∴ 平面NMP//平面BCE ， 又MP ?平面NMP ， ∴ MP//平面BCE ．
(2)解：由已知，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则AB →
=(0,2,0)，AD →
=(1,0,√3)，FB →
=(?2,2,0)，
设平面ABCD 的法向量为n →
=(x,y,z )． 则{n →
?AB →
=2y =0,n →?AD →=x +√3z =0, ∴ 取n →=(√3,0,?1)，
由FP →
=λFB →
(λ∈[0,1])，M 为BD 的中点， ∴ M (?1
2,1,
√3
2
)， P (1?2λ,2λ,0) ，
MP →
=(32?2λ,2λ?1,?
√3
2
)， ∵ MP 与平面ABCD 所成角为30°， ∴ sin 30°=|cos ,MP → >| =|(√3,0,?1)?(32?2λ,2λ?1,?√3 2)| 2×√(32?2λ)2 +(2λ?1)2+(?√32) = √3(1?λ)|2√8λ2?10λ+4 =12 ， 解得λ1=7?√174 ，λ2= 7+√174 （舍）， ∴ λ= 7?√174 ． 【考点】 用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定 【解析】 左侧图片未给出解析． 左侧图片未给出解析． 【解答】 (1)证明：如图，取AB 的中点N ， DB 的中点为M ，连结MN ，PN ， ∵ FP →=λFB → ，λ=1 2， ∴ P 为FB 的中点， ∴ NP//AF//BE ， 又NP ?平面BCE ， ∴ NP//平面BCE ， 同理可证，NM//平面BCE ， 又∵ NM ∩NP =N ， ∴ 平面NMP//平面BCE ， 又MP ?平面NMP ， ∴ MP//平面BCE ． (2)解：由已知，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则AB → =(0,2,0)，AD → =(1,0,√3)，FB → =( ?2,2,0)， 设平面ABCD 的法向量为n → =(x,y,z )． 则{n → ?AB → =2y =0,n →?AD →=x +√3z =0, ∴ 取n →=(√3,0,?1)， 由FP → =λFB → (λ∈[0,1])，M 为BD 的中点， ∴ M (?1 2 ,1, √3 2 )， P (1?2λ,2λ,0) ， MP → =(32?2λ,2λ?1,? √3 2 )， ∵ MP 与平面ABCD 所成角为30°， ∴ sin 30°=|cos ,MP → >| = |(√3,0,?1)?(32?2λ,2λ?1,?√3 2)| 2×√(32?2λ)2 +(2λ?1)2+(?√32) = √3(1?λ)|2√8λ2?10λ+4 =1 2， 解得λ1= 7?√174 ，λ2= 7+√174 （舍）， ∴ λ= 7?√174 ． 【答案】 解：(1)f ′(x )= 4cos x e x ，x ∈R ， 当x ∈[0,π 2)时， f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(π2, 3π 2 ]时， f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴ f (x )在[0,3π 2 ]上的最大值为f (π2)=2e π 2 ； 又当x > 3π 2 时， 2sin x ?2cos x ≤2√2，e x >e 3π 2， 此时， f(x)<2√2 e 3π2 < 2e π 2 ， 所以f (x )在(0,+∞)上的最大值为2 e π2 ． (2)当x ∈[0,π2]时， ωx ∈[0,ωπ2 ]， ①当ω≥1时，ωπ2 ≥π 2，f (ωx )的最大值为2 e π2 ， ∴ 2 e π 2 = ωe π 2 ，ω=2； ②当0<ω<1时，f (ωx )的最大值为f (ωπ2 )， ∴ f (ωπ2 )= ω e π2 ． 令t = ωπ2 ∈(0,π 2)，则有 2(sin t?cos t) e t = 2t e π 2π ， 记g (t )=sin t?cos t e t ? t e π 2π ， 则g ′(t )=2cos t e t ? 1 πe π2 ，g ′′(t )=? 2(sin t+cos t ) e t ， 当t ∈(0,π 2)时，g ′′(t )<0，g ′(t )单调递减， 又∵ g ′(π 2)<0，g ′(0)>0， ∴ g ′(t)在(0,π2)上有唯一的零点t =t 0． 当t ∈(0,t 0)时，g ′(t )>0，g(t)单调递增； 当t ∈(t 0,π 2)时，g ′(t )<0 ，g (t )单调递减． ∴ g (t 0)>g (π2)= 12e π 2 >0，又∵ g (0)=?1<0， 所以g(t)在(0,t 0)上有唯一的零点t =t 1，在[t 0,π 2)上的函数值恒大于0． 即g (t )在(0,π 2)上有唯一的零点t =t 1． ∴ f ( ωπ2 )=e ? π2 ω在ω∈(0,1)上有唯一解，ω1= 2t 1π ． 综上所述，有两个ω符合题意． 【考点】 利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 【解答】 解：(1)f ′( x )= 4cos x e x ，x ∈R ， 当x ∈[0,π2)时， f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(π2, 3π 2 ]时， f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴ f (x )在[0,3π2 ]上的最大值为f (π2)= 2 e π2 ； 又当x > 3π 2 时， 2sin x ?2cos x ≤2√2，e x >e 3π 2， 此时， f(x)<2√2e 3π 2 < 2e π 2 ， 所以f (x )在(0,+∞)上的最大值为2 e π2 ． (2)当x ∈[0,π2]时， ωx ∈[0,ωπ2 ]， ①当ω≥1时，ωπ2 ≥π 2 ，f (ωx )的最大值为2 e π2 ， ∴ 2 e π2 = ωe π 2 ，ω=2； ②当0<ω<1时，f (ωx )的最大值为f (ωπ2 )， ∴ f (ωπ2 )= ωe π 2 ． 令t = ωπ2 ∈(0,π 2)，则有 2(sin t?cos t) e t = 2t e π 2π ， 记g (t )=sin t?cos t e t ? t e π2π ， 则g ′(t )=2cos t e t ? 1 πe π2 ，g ′′(t )=? 2(sin t+cos t ) e t ， 当t ∈(0,π 2)时，g ′′(t )<0，g ′(t )单调递减， 又∵ g ′(π 2)<0，g ′(0)>0， ∴ g ′(t)在(0,π 2 )上有唯一的零点t =t 0． 当t ∈(0,t 0)时，g ′(t )>0，g(t)单调递增； 当t ∈(t 0,π 2)时，g ′(t )<0 ，g (t )单调递减． ∴ g (t 0)>g (π 2 )= 12e π 2 >0，又∵ g (0)=?1<0， 所以g(t)在(0,t 0)上有唯一的零点t =t 1，在[t 0,π 2)上的函数值恒大于0． 即g (t )在(0,π 2)上有唯一的零点t =t 1． ∴ f ( ωπ2 )=e ? π2 ω在ω∈(0,1)上有唯一解，ω1= 2t 1π ． 综上所述，有两个ω符合题意． 【答案】 解：(1)∵ l 1⊥l 2，∴ MF 1⊥MF 2， 设F 1(?c,0)，F 2(c,0)，则|MF 1|2+|MF 2|2=4c 2， S △MF 1F 2=12|MF 1||MF 2|≤1 4(|MF 1|2+|MF 2|2)=c 2， 当且仅当|MF 1|=|MF 2|=√2c 时取得最大值c 2， ∴ c 2=1，c =1， ∵ 椭圆Q 的离心率e =c a =1 2，∴ a =2， 又由b 2=a 2?c 2=3， ∴ 椭圆Q 的方程为x 2 4+ y 23 =1． (2)设直线l 1:x =my ?1， 由{x 24+y 2 3=1,x =my ?1,?(4+3m 2)y 2?6my ?9=0， 设A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 则y 1+y 2= 6m 4+3m 2，y 1y 2= ?94+3m 2 ， |AC|=√1+m 2|y 1?y 2| =√1 +m 2 ?√36m 2+36(4+3m 2)4+3m 2 = 12(m 2+1)4+3m ， 若m =0，|AC|=3，这时|BD|=4，S =1 2×4×3=6, 若m ≠0，则直线l 2:x =?1 m y +1， 由{x 24+y 2 3=1,x =?1m y +1,?(4+3m 2)y 2 ?6m y ?9=0， 同理得|BD|= 12(1 m 2+1) 4+3m 2 = 12(1+m 2)4m 2+3 ， ∴ S =1 2 |AC||BD| =12×12(m 2+1)4+3m 2?12(1+m 2)4m 2+3 =72?m 2+1 4+3m 2?1+m 2 4m 2+3， 设m 2+1=t ，则m 2=t ?1(t >1)， S =72?t 3t +1?t 4t ?1 =72? 1 (3+1t )(4?1t ) = 72 ?(1t ?12)2+494 ， 当t =2时，S =28849 <6， ∴ S min = 288 49 ， 这时m 2=1，m ±1， 当m =1时，l 1:x =y ?1，l 2:x =?y +1， 由{x =y ?1,x =?y +1, ?{x =0,y =1, 当m =?1时，l 1:x =?y ?1，l 2:x =y +1， 由{x =?y ?1,x =y +1, ?{x =0, y =?1, 故当S 最小时，点M 的坐标为M (0,1)或(0,?1)． 【考点】 圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】 【解答】 解：(1)∵ l 1⊥l 2，∴ MF 1⊥MF 2， 设F 1(?c,0)，F 2(c,0)，则|MF 1|2+|MF 2|2=4c 2， S △MF 1F 2=1 2|MF 1||MF 2|≤1 4(|MF 1|2+|MF 2|2)=c 2， 当且仅当|MF 1|=|MF 2|=√2c 时取得最大值c 2， ∴ c 2=1，c =1， ∵ 椭圆Q 的离心率e = c a =1 2 ，∴ a =2， 又由b 2=a 2?c 2=3， ∴ 椭圆Q 的方程为x 2 4+ y 23 =1． (2)设直线l 1:x =my ?1， 由{x 2 4+ y 2 3=1,x =my ?1,?(4+3m 2)y 2?6my ?9=0， 设A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 则y 1+y 2= 6m 4+3m 2，y 1y 2= ?94+3m 2 ， |AC|=√1+m 2|y 1?y 2| =√1+m 2 ?√36m 2+36(4+3m 2)4+3m 2 = 12(m 2+1)4+3m 2 ， 若m =0，|AC|=3，这时|BD|=4，S =1 2×4×3=6, 若m ≠0，则直线l 2:x =?1 m y +1， 由{x 24 + y 23=1, x =?1 m y +1,?(4+3m 2)y 2?6 m y ?9=0， 同理得|BD|= 12( 1 m 2+1)4+3m 2 = 12(1+m 2)4m 2+3 ， ∴ S =1 2 |AC||BD| =12×12(m 2+1)4+3m 2?12(1+m 2)4m 2+3 =72? m 2+14+3m 2 ? 1+m 2 4m 2+3 ， 设m 2+1=t ，则m 2=t ?1(t >1)， S =72?t 3t +1?t 4t ?1 =72? 1 (3+1t )(4?1t ) = 72 ?(1t ?12)2+494 ， 当t =2时，S =28849 <6， ∴ S min = 28849 ， 这时m 2=1，m ±1， 当m =1时，l 1:x =y ?1，l 2:x =?y +1， 由{x =y ?1,x =?y +1, ?{x =0,y =1, 当m =?1时，l 1:x =?y ?1，l 2:x =y +1， 由{x =?y ?1,x =y +1, ?{x =0, y =?1, 故当S 最小时，点M 的坐标为M (0,1)或(0,?1)． 【答案】 解：(1)消去参数θ，即得C 1的直角坐标方程为x 2+(y ?8)2=10?a . 所以，当a <10时，C 1表示以(0,8)为圆心，√10?a 为半径的圆． 因为ρsin (θ?π 4 )=2√2， 所以ρsin θ?ρcos θ=4， 因为x =ρcos θ，y =ρsin θ， 所以直线l 的直角坐标方程为y ?x =4，即x ?y +4=0． (2)圆心C(0,8)到直线l 的距离为d = 2()2 =2√2， 若d 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】 【解答】 解：(1)消去参数θ，即得C 1的直角坐标方程为x 2+(y ?8)2=10?a . 所以，当a <10时，C 1表示以(0,8)为圆心，√10?a 为半径的圆． 因为ρsin (θ?π 4 )=2√2， 所以ρsin θ?ρcos θ=4， 因为x =ρcos θ，y =ρsin θ， 所以直线l 的直角坐标方程为y ?x =4，即x ?y +4=0． (2)圆心C(0,8)到直线l 的距离为d = 22 =2√2， 若d 【答案】 解：(1)当a =2，b =1时， f(x)=|x ?2|+|x +1|， 则 f (x )={1?2x,x 3,?1≤x ≤2,2x ?1,x >2, 当x 当x >2时， f (x )=2x ?1≥9，解得x ≥5． 所以f (x )≥9的解集为(?∞,?4]∪[5,+∞)． (2)f(x)=|x ?a|+|x +b|≥|x +b ?(x ?a)| =|a +b|=a +b =2， 1+1=1(1+1 )[(a +1)+b] =1(1+b +a +1+1) ≥13(3 2+√2)=1 2 +√2 3 ． 取等号的条件为b a+1=a+12b ， 即a +1=√2b 时， 联立a +b =2, 得{a =5?3√2, b =3√2?3, 因此1 a+1+1 2b 的最小值为1 2+ √23 ． 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 【解答】 解：(1)当a =2，b =1时， f(x)=|x ?2|+|x +1|， 则 f (x )={1?2x,x 3,?1≤x ≤2,2x ?1,x >2, 当x 当x >2时， f (x )=2x ?1≥9，解得x ≥5． 所以f (x )≥9的解集为(?∞,?4]∪[5,+∞)． (2)f(x)=|x ?a|+|x +b|≥|x +b ?(x ?a)| =|a +b|=a +b =2， 1a +1+12b =13(1a +1+1 2b )[(a +1)+b] =13(1+b a +1+a +12b +12) ≥13(3 2+√2)=1 2+√2 3 ． 取等号的条件为 b a+1 = a+12b ， 即a +1=√2b 时， 联立a +b =2, 得{a =5?3√2, b =3√2?3, 因此 1a+1 + 12b 的最小值为1 2 + √23 ．
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