直线与二次函数解题方法闫萧寒博士
提起中考倒数第二道大题——二次函数，很多同学可能就会觉得头疼。二次函数大题一般二到三问，其中第一问送分题，计算一次函数解析式，或者计算点坐标；第二和第三问，考察学生知识的融合能力，以抛物线为几何载体的代数几何综合能力考察，涉及三角形、四边形的特殊图形动点问题，相似问题，图形判定以及面积计算等。
很多学生从第二问开始，有时候就是老虎吃天，无从下手，知识点，模型记了一大推，结果反而失去了自我思考自我总结的能力，题目稍微一新颖，稍微一灵活，稍微一难，他们不晓得该从哪个知识点下手了。
本文主要给正在上初三和即将升入初三的同学讲讲一条线的事儿，即直线在解决二次函数大题时的一些巧妙运用。
希望可以帮助大家，辨真去伪，直抓核心。
中考加油！
【一条线的事儿·知识点篇】
那些年，直线不可不知的秘密——精简核心版
2.斜率和截距
A.斜率定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
B. 斜率计算：
① ()
② 已知直线上任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线斜率为21
2121
()AB y y k x x x x -=≠-
③ 已知直线的一般式：0Ax By C ++=，则 3. 两条直线位置关系（仅仅研究特殊情况：垂直和平行）
已知直线111:l y k x b =+和222:l y k x b =+ A ． 若两直线垂直，则121k k =- B ． 若两直线平行，则1212,k k b b =≠ 4. 直线平移（关键）
已知直线:l y kx b =+
则与他平行的直线方程可设为：':l y kx c =+
5. 两点距离公式
已知平面内任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y
，则AB d =
6. 直线与二次函数交点和韦达定理
2
y kx m y ax bx c =+??=++?联系化简得2
0Ax Bx C ++=，则韦达定理可知：1212B x x A C x x A
?
+=-????=?? 另外，
① 方程组有两组不同的解时，直线与二次函数有两个交点; ② 方程组只有一组解时，直线与二次函数只有一个交点； ③ 方程组无解时，直线与二次函数没有交点
7. 补充知识
两个三角形面积相等： 等底等高
三角形面积最大：定底边，令高最大即可。
8. 平行线间的对称（关键）
已知直线11:l y kx b =+和:l y kx b =+
则直线1l 关于直线l 对称的直线1l 的方程为22:l y kx b =+，其中212b b b =-
【一条线的事儿·应用篇】
面积有关的动点存在性问题：面积最值，面积相等
1. (2009?陕西)如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥ OA,且OB=2OA,点A 的坐标是(﹣1，2). （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；
（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP =S △ABO ．
【解析】第一问考察三角形相似，第二问考察抛物线表达式求解。 第三问动点存在性问题，要求面积相等。需要牢记两个三角形面积相等的条件——等底等高。选公用边为底边，过另一点做底边平行线，再对称做一条即可。 充分利用直线对称平移的性质，简单题目，简单运用。
解：(1)过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ， 过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ， 则AF=2，OF=1 ∵ OA ⊥OB ，
∴∠AOF+∠BOE= 又∵∠OBE+∠BOE= ∴∠AOF=∠OBE
∴Rt △AFO ∽ Rt △OEB ∴
∴BE=4,OE=2 ∴B(4,2)
(2) 设过点A(-1,2)，B(4,2)，O(0,0)的抛物线表达式为
2y ax bx c =++
∴216420
a b c a b c c -+=??
++=??=?解得，12320
a b c ?=??
?=-??=???
∴抛物线表达式为：21322
y x x =
- (3)由题意可知，S △ ABP =S △ ABO
又∵S △ ABP=AB ·d ，S △ ABO=AB ·AF 又∵AB//x 轴，
∴满足题意的P 点为y=0和y=4这两条直线与抛物线的交点。
令y=0,即213
022
x x -=，得x=0或x=3
∴(0.0)， (3,0)
令y=4,即
213422x x -=，得32
x = ∴(，4)， (，4)
2.如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥ x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△ DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． 【解析】
第一问求解抛物线解析式，根据所给点，灵活选择设抛物线表达式的形式，两点式，顶点式还是一般式；第二问图形变换，找相似三角形，一般没有指明谁对应谁时，两三角形相似总计六种可能，但题目必然会通过定一角，将相似种类缩少到两种。
第三问便是咱们的一条线的事儿啦，采用三角形底一定，高最大，则面积最大。而高最大的找法就是利用平行于底边的一条线，平移它可以发现，当它与抛物线有且仅有一个交点时，高最大。
解：(1) 设过点A （4，0），B （1，0）的抛物线表达式为(1)(4)y a x x =-- 又∵抛物线过C （0，﹣2）
∴代入抛物线表达式得12a =-
∴抛物线表达式为215
222
y x x =-+-
（2）存在．
如图，设P 点的横坐标为m ，
∵P 是抛物线AB 段上一动点，∴1＜m ＜4， 则P 点的纵坐标为，
当1＜m ＜4时，AM=4﹣m ，． 又∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当时，△APM ∽△ACO ，即． 解得m1=2，m2=4（舍去），∴P （2，1）． ②当时，△APM ∽△CAO ，即．
解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）∴当1＜m ＜4时，P （2，1）． 综上所述，符合条件的点P 为（2，1）；
(3)∵ ==AC ·d ，且AC 为定值
∴d 取最大值时，面积最大
即点D 到直线AC 的距离最大时，面积最大。
又∵过AC 的直线表达式为1
:22
AC l y x =
- ∴设过点D 且平行于AC 的直线方程为1
2
y x m =+
联立21522212
y x x y x m
?=-+-????=+?? 化简得，212202x x m -+--=
∵当有且仅有一个交点时，满足点D 到直线AC 的距离最大
∴2420b ac m ?=-== ∴m=0
∴此时交点坐标为（2,1） ∴D 点坐标为(2,1)
3．如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△ QMB 与△ PMB 的面积相等？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△ RPM 与△ RMB 的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】第一问考察抛物线表达式求解；
第二问考察三角形面积相等，所以又是一条线的事儿。只需找到平行于底边并且过点P 的直线以及这条直线关于底边对称的另一条直线就成。 第三问依然考察同学们对三角形面积相等的理解。
解：(1) 设过点A （-1，0），B （3，0）的抛物线表达式为(1)(3)y a x x =+- 又∵抛物线过C （0，3）
∴代入抛物线表达式得1a =- ∴抛物线表达式为223y x x =-++
(2) ∵，底取公共边MB
∴待求点Q 到MB 的距离等于P 到MB 的距离即可
又∵B （3，0），C （0，3）
D
∴过BC 的直线表达式为:3BC l y x =-+
又∵点P 是对称轴与抛物线的交点，
∴P （1,4）
∴过点P 且平行于BC 的直线方程为5y x =-+
联立2235y x x y x ?=-++?=-+? 化简得，11x =，22x =
∴(1,4)， (2,3)
另一条符合题意的直线为1y x =-+
联立2231y x x y x ?=-++?=-+? 化简得，11x =-，23x =
∴(，)， (，)
(3)由已知可得，M 点坐标为直线BC 与对称轴的交点 联立1
3x y x =??
=-+?
∴M （1，2） 又∵，底取公共边RM
∴问题等价为点P 到RM 的距离等于点B 到RM 的距离。 取PB 中点为N ，∵P （1,4），B （3,0） ∴N （2,2）
过点M 和点N 的直线方程为：:2MN l y =
联立2232y x x y ?=-++?=?
化简得，11x =
21x =（舍）
∴R 为（1+，2）
N R
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
初中二次函数的解题方 法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
11.1班沈阳 14号 初中二次函数的解题方法 首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐 标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ; 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标 为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方 向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配 方法把一般式化成顶点式。 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0 有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由 一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴ y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x- x1)(x-x2) 重要概念：。 1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次 函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像 的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左 b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当 h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a 3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大 小。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。 有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。 常见问题 1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。 解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。 2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。
图1 图 2 压轴题解题技巧练习 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、 动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、 x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、圆 2． 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ． 2
?二次函数压轴题解题思路路 ?一、基本知识 1会求解析式 2.会利利?用函数性质和图像 3.相关知识：如?一次函数、反?比例例函数、点的坐标、?方程。图形中的三?角形、四边形、圆及平?行行线、垂直。?一些?方法：如相似、三?角函数、解?方程。?一些转换：如轴对称、平移、旋转。 ?二、典型例例题： （?一）、求解析式 1.（2014?莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； 2.（2012?莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式； 练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位?长度，再向上平移2个单位?长度后，所得函数的表达式为（） A.y=﹣2（x+1）2+2 B.y=﹣2（x+1）2﹣2 C.y=﹣2（x﹣1）2+2 D.y=﹣2（x﹣1）2﹣2 （?二）、?二次函数的相关应?用 第?一类：?面积问题 例例题.（2012?莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0） 与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．） （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的?面积； 2.（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线 y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．） （3）若△AOC沿CD?方向平移（点C在线段CD上，且不不与点D重合）， 在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的?面积记为S，试求S的最?大值．
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
C x x y y A O B E D A C B C D G 图1 图 2 A P O B E C x y 二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)， 其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、圆 2．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ， tan ∠ACO ＝ 1 3 ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．
二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与 x 轴交于 (1，0)、(2，0)两点，且1＞2，与 y轴交于点 (0，4)， A x B x x x C 其中 x1、 x2是方程 x2－2x－8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点 P是线段 AB上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC于点 E，连接 CP，当△ CPE的面积最大时，求点 P 的坐标； (3) 探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点，使△成为等腰三角 Q QBC 形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． y C E B A 二、圆 OP 2．如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c( a＞0)的图象顶点为D，与 轴交于点，与 x 轴交于点、，点在原点的左侧，点 B 的坐标为 (3 ， 0) ，＝， C A BA OB OC 1 tan ∠ACO＝3．x y (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图 2，若点G(2 ，y) 是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P 的坐标和△ AGP的最大面积． y y A B E O x AC B x C C G D D 图 1图 2
二次函数典型题解题技巧
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二次函数典型题解题技巧 (一)有关角 １、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边），与y 轴 交于点(0C ,3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由. 思路点拨:对于第(１）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ) 对于第(２)问,比较角的大小 a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了 b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了 c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小 d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等 e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、Ｃ、Ａ、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条 解:（1)∵CD ∥x 轴且点C(０,３）， ∴设点D 的坐标为(x ，３) . ∵直线y ＝ ｘ+５经过D 点， ∴3= x+５.∴ｘ=－２. 即点D(-２，3) ． 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1,y ）， 又∵直线ｙ= ｘ+５经过M 点， ∴y =－１＋5,y =4.即M(-1，4). ∴设抛物线的解析式为 2(1)4y a x =++． ∵点C （0,3）在抛物线上,∴ａ=-1． 即抛物线的解析式为 223y x x =--+.…………3分 （２)作BP ⊥AC 于点P,ＭＮ⊥AB 于点N. 由(1）中抛物线 223y x x =--+可得 点A(-3,0)，B(1，０)， ∴ＡB=4，AO ＝C Ｏ=３，A Ｃ＝32． ∴∠PAB ＝４5°. ∵∠ABP=45°，∴P Ａ=PB=22. ∴P Ｃ=A Ｃ－PA ＝2. 在Ｒｔ△BPC 中，tan ∠BCP=PB PC =2．
【解读二次函数的系数】 1、a 的正负决定抛物线的开口方向 a ＞0时，抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下。 2、︳a ︳决定抛物线张开角度 ︳a ︳越大，张开角度越小；︳a ︳越小，张开角度越大；︳a ︳相等，张开角度相同。 3、a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置 （1）a ，b 同号（ab ＞0），则对称轴x= - b 2a
图1 图 2 二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)， 其中x 1、x 2是方程x 2 －2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 二、圆 2．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ， tan ∠ACO ＝ 1 3 ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．
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2012年中考数学压轴题解题技巧解说 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出 发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG 最长 ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值. 解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解得a=-1 2 ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-1 2 x2+4x …………………3分 （2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 ∴PE=1 2 AP= 1 2 t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+1 2 t，8-t）.
2019初三数学二次函数解题方法 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 初三数学二次函数解题方法 1.求证“两线段相等”的问题： 2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式求出过已知点，且与已
知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。 4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题： 先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定
直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
二次函数典型题解题技巧 （一）有关角 1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴 交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由. 思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ） 对于第（2）问，比较角的大小 a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就 清楚了 b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就 确定了 c 、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大 小 d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全 等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等 e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快 速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d 这一条 解：（1）∵CD∥x 轴且点C （0，3）， ∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．
二次函数解题方法总结 二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享一篇二次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！ 1.求证“两线段相等”的问题： 2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。 4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题： (方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式
组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 (方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 (方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。 5.常数问题： (1)点到直线的距离中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题： 先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 (2)三角形面积中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题： 先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即
班沈阳 14号初中二次函数的解题方法 首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点 坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ; 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点 坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开 口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你 用配方法把一般式化成顶点式。 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴 即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即 b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵ X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴ y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1 x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：。 1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次 函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的 对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左 b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当 h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a 3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大 小。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。 有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。 常见问题 1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。 解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。 2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。
2020中考数学二次函数解题方法 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2020中考数学二次函数解题方法》的内容，具体内容：二次函数是中考数学必考的知识点，也是难点之一。下面是我为你整理的，一起来看看吧。：自定义概念①三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。③动三... 二次函数是中考数学必考的知识点，也是难点之一。下面是我为你整理的，一起来看看吧。 ：自定义概念 ①三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。 ③动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ④动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：y=3x-6。 ⑦X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y标。 ⑧直接动点：相关平面图形(如三角形，四边形，梯形等)上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标"一母示"是针对
直接动点坐标而言的。 1.求证"两线段相等"的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来;然后看两线段的长度是什么距离(即是"点点"距离，还是"点轴距离"，还是"点线距离"，再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，把它们进行化简，即可证得两线段相等。 2."平行于y轴的动线段长度的最大值"的问题： 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3."抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大"的问题： (方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y 消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以△=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切
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（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． … 解：（1）根据题意，得 ?? ? ? ? + ? - ? = - + - ? - - ? = . 4 5 , )1 ( 4 )1 ( 2 2 c a c a …2分 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为5 4 2- - =x x y．……4分 （2）令y=0，得二次函数5 4 2- - =x x y的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 由于P是对称轴2 = x上一点， 连结AB，由于26 2 2= + =OB OA AB， — 要使△ABP的周长最小，只要PB PA+最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴2 = x对称，连结BC交对称轴于点P，则PB PA+= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PB PA+ 的最小值为BC. 因而BC与对称轴2 = x的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为b kx y+ =，根据题意，可得 ? ? ? + = - = . 5 ,5 b k b 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 b k 所以直线BC的解析式为5 - =x y.…………………………………………………9分 因此直线BC与对称轴2 = x的交点坐标是方程组 ? ? ? - = = 5 ,2 x y x 的解，解得 ? ? ? - = = .3 ,2 y x 所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 , 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）. ⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
图1 图 2 中考数学二次函数综合题解题技巧 一、 动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、 x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、 圆 2． 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ．
3．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于 点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1 3． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积． 4．在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ． （1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标； （3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．
中考二次函数压轴题———解题技巧 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，我们的学生大部分都难以在有限时间内完全解答出来，最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比较，发现26题基本设有三小问，第一问基础为主（3到4分），多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点，第二问为中等档次（4分），多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似，第三问区分度较大，拉开距离的小问（4到5分），多以动点类结合，构成四边形、三角形，此问涉及面广，有多种情况。压轴题出题方向多与几何图形紧密结合，出题范围广，但万变不离其宗，抓住其中关键性质，利用好代数式，80%的分值可以拿到手，现将压轴题的各种解法思路罗列出来，望各位同学有针对性的去查漏补缺，做到1得2拿3取半。 几个自定义概念： ① 三角形基本模型：有一边在X 轴或Y 上，或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型。 ② 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P 在y=2x+1上， 就可设 P （t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝2 321x x -+，则可设为P （t ，2 321t t -+）当然若动点M 在X 轴上，则设为（t, 0）.若动点M 在Ｙ轴上，设为()t ，0 ③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ④ 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤ 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥ 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：63-=x y 。 ⑦ X 标，Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y 标。 ⑧ 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x 轴（y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。 ２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t ），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式 -y y 下 上或 21y y -，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的 性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：