一、填空题
1. 322
()y y xy x '''+=为________阶微分方程．
2. 微分方程dy
x dx =的通解为 ．
3. 微分方程04=-''y y 的通解为___________.
4. 点(1,2,1)M --到平面0522=--+z y x 的距离是 .
5. 空间点(4,4,2)M -关于xoy 平面的对称点坐标为
6. y0z 平面的曲线z y a =+ 绕z 轴旋转生成的曲面方程为_______________.
7. 将xoy 面上的双曲线
22
1x y -=绕X 轴旋转一周，所形成的曲面方程为
8. 通过z 轴且过点)1,1,1(-M 的平面方程为 _________________________.
9. 三单位向量c b a ,,满足0=++c b a ，则 a b b c c a ?+?+?= .
10. 函数(
)22ln 1z x y =+-+的定义域为 .
11. 设函数2
2
e
y x
z +=，则z d = .
12. 已知函数3
2
4
),(y x y x y x f -+=，则=
??x f ．
13. 设21()y
x
dz e xdy ydx x =-，则2
2z y ?=? ．
14. 曲面
12
2-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面方程为__________.
15. 曲线23,,x t y t z t ===在点（1，1，1）处的切线方程为___________.
16.
由二重积分的几何意义，计算二重积分221
x y +≤σ=
??
________．
17. 改变积分次序
2
10
(,)x x dx f x y dy =
??
.
18. 在直角坐标系下将二重积分化为累次积分，其中D 为
1
1≤+x ，
1
≤y 围成的区域，
则(,)d d D
f x y x y =
?? ．
19. 幂级数121n n
n x n ∞
=+∑
的收敛半径为 .
20. 幂级数12n n
n x n ∞
=∑的收敛半径为 .
21.
幂级数14)n n x ∞
=-的收敛域为______________．
二、选择题
1. 微分方程
22(1)0y dx x dy --=是（ ）微分方程. A. 一阶线性齐次 B. 一阶线性非齐次 C. 可分离变量 D. 二阶线性方程
2. 方程 0y y '''-= 的通解为 （ ）.
A. 12x y C C e =+
B.
12()x y e C x C =+
C. 12x y C C e -=+
D.
12()x
y e C x C -=+
3. 下列微分方程中，通解为
)sin cos (212x C x C e y x
+=的方程是 （ ）. A ．054=-'-''y y y B ．054=+'-''y y y
C ．052=+'-''y y y
D ．x
e y y y 254=+'-''
4. 与向量)0,1,1(-垂直的单位向量是 （ ）．
A ．)
0,2
1,
2
1(
B ．)
0,21
,21( C ．)0,1,1( D ．)0,1,1(-
5. 设
(2,3,2)a =，(2,4,)b c =-，a b ⊥，则常数c =（ ）.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 直线
327x y z
==-与平面3278x y z -+=的位置关系是 （ ）. A.线与面平行但不相交 B.线与面垂直 C.直线在平面上 D.线与面斜交
7. 方程
322=++z y x 表示的曲面是 （ ）. A. 旋转抛物面 B. 圆柱面 C. 圆锥面 D. 球面
8. 下列曲面方程为抛物柱面方程的是 （ ）．
A ．2
2
2
z y x =+
B ．2
222a z y x =++
C ．2
22z y x =-
D ．
242
+=x y
9. 等式（ ）是正确的.
A.
01a =(0a 是单位向量) B. ||||||cos(,)a b a b a b ?= C. 222()()()a b a b ?= D. ||||||sin(,)a b a b a b ?=
10. 函数
1
ln()z x y =
+的定义域是 （ ）.
A. {}0|),(>+y x y x
B. {}0|),(≠+y x y x
C. {}1|),(>+y x y x
D. {}10|),(≠+>+y x y x y x 且
11. 函数3
3
2
2
(,)339f x y x y x y x =-++-的极大值点是 （ ）.
A. (1,0)
B. (1,2)
C. (3,0)-
D. (3,2)-
12. 设
2
2y x x z ++=，则
(1,1)
z
y -?=
? （ ）．
A. 21
1+
B.
21
-
C.
211-
D. 21
13. 设二元函数
22
sin y z y e x =-，则dz =（ ）. A. 2y ye dy ； B. (2sin cos )2y
x x dx ye dy -+; C.
2(2sin cos )(2)y y x x dx ye y e dy -++; D. (2sin cos )x x dx -.
14. 曲线
2
,1 ,1t z t t
y t t x =+=+=
对应 t = 1的点处的切向量为（ ）.
A. )1,2,21(；
B. (1, -4, 8) ；
C. (1,1,1)；
D. (1,2,3).
15. 函数
22
z x y = 当 1,1,0.2,0.1x y x y ==?=?=- 时的全微分为 ( ) . A. 0.20 B. 0.20- C. 0.1664- D. 0.1664 16. 以
2
24y x z --=为顶，0=z 为底，侧面为柱面
12
2=+y x 的曲顶柱体体积是（ ）.
A.
22
d πθ??
B.
2
20
2
d π
πθ-
?
?
C.
21
d πθ?
?
D.
2
20
4d π
θ??
17. 二重积分2
2214
x
y x d σ
≤+≤??
可表达为累次积分（ ）.
A.
22
3201
cos d r dr
πθθ?
? B.
22
3201
cos r dr d πθθ
?
?
C.22
2
dx dy
-?
D.
121
dy dx
-?
18. 二重积分
221
4
(,)x dx f x y dy
?
? 交换积分次序后成为（ ）.
A. 10
(,)dy f x y dx
?
B.
120
(,)dy f x y dx
?
C.
210
(,)dy f x y dx
?
D.
20
1
(,)dy f x y dx
?
19. 下列级数中，发散的级数是（ ）.
①2211n n ∞
=+∑ ②2111n n ∞=??+ ???∑ ③31113n n n ∞=??+ ???∑
④1n ∞
=∑
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
20. 下列级数中,收敛的级数为（ ）．
①11n n ∞
=∑ ② 3121n n ∞
=∑ ③14!n n n ∞=∑ ④∑∞
=+1)11ln(n n
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
21. 下列说法不正确的是 （ ）.
A. ∑∞
=1n n
n x 的收敛域为 [-1, 1 )； B. ∑∞=1n n ka 与∑∞=1n n a 同时发散 ；
C. 若∑∞
=1|
|n n
u
收敛，则∑∞
=1
n n
u
收敛 ； D. ∑∞
=1
)
3(n n
x
的收敛半径是3 .
三、判断题
1. 22x y
y x y +'''+=是线性微分方程. （ ）.
2. 若()y y x =是方程0y py qy '''++=的解，则3()y y x =也是其解. ( )
3. 若
12()()y y x y y x ==及是常系数齐次线性方程0y py qy '''++=的两个解，则
112212()()(y C y x C y x C C =+、为任意常数）是其通解. ( )
4. 直线
4
3
1232+=+=-z y x 与平面3=-+z y x 平行. （ ） 5. 曲面222
2221x y z a b a ++=可由xoy 面上的曲线2
2
221x y a b += 绕x 轴旋转一周而得.（ ）
6. 在空间直角坐标系中，向量 (0, 1 ,2 ) 与X 轴垂直. （ ）
7. 设
) , (
z y y x f w =具有一阶偏导数，则z y x y
w 1
2+
-=?? . （ ） 8. 命题甲：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。 命题乙：对函数(,)y f x y =偏导数存在是全微分存在的充要条件。这两个命题中只有一个正确。 （ ） 9. 若二阶偏导数
00(,)0xx
f x y ''>，则()00(,),f x y x y 在处必有极小值. （ ）
10. 对(,)z f x y =，2z x y ???与2z
y x ???一定相等. （ ）
11. 若()00(,),z f x y x y =在处连续, 则0
)],(),([lim 00000
=--→y x f y x x f x .（ ）
12. 设()
00(,),z f x y x y =在偏导数存在，则
()
00(,),z f x y x y =在连续 .
13.
??=D
yd x I σ
22sin sin 其中D 是矩形闭区域0,0x y ππ≤≤≤≤，I 的值不会超过2
π.
（ ）
14. ????+≤+D
D
d y x d y x σσ3
2)()(，其中D 由x 轴、y 轴及直线x+y=1围成.（ ）
15. 设(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则(,)z f x y =在 D 上可积. （ ）
16. 设∑∞
=1
n n
u
为正项级数，其部分和数列
{}n s 有界是级数收敛的充分必要条件.（ ）
17. 若lim 0
n n a →∞
=，则
1
n
n a
∞
=∑收敛。 ( )
四、解答题
1. 求微分方程dx ye dy e x
x =+)1(的通解.
2. 求微分方程()sin tan 0y x dx xdy -+=的通解.
3. 求微分方程2x y
y e -'=满足初始条件0
|0x y ==的特解.
4. 求过点(2,0,3)-且与直线2470
35210x y z x y z -+-=??
+-+=?
垂直的平面方程．
5. 与z 轴垂直的直线l 在平面1=+y x 上且过点(2,1,4)-，求其方程．
6. 求平行于平面012=--+z y x 和012=+-+z y x ，且通过点)1,2,1(-的直线方程．
7. 设函数),,(xyz xy x f w =，求x w ??，y w ??, z w
??．
8. 设函数
)(2
22y x f y x z ++=，求x z ??，y z
??．
9. 设
)
,(2
2
x y y x f z -=，其中f 是可微函数，求y z x z ????,．
10. 设v e z u
sin =，而y x v xy u +==,，试求y z
x z ????,．
11. 方程
02=-yz x e z 确定二元函数),(y x f z =，求dz ．
12. 设),(y x f z =由方程xyz z x =+)2sin(确定，求y z
x z ????,
．
13. 求yz e y
x u ++=2sin
的全微分．
14. 计算二重积分 ??+-D
y x y
x d d e )
(22
，其中D 是由0,0≥≥y x ，
12
2≤+y x 所围区域．
15. 求二重积分,
d d ??D
y x xy 其中D 是曲线
2
,2y x y x ==-所围成的闭区域.
16. 计算??-+D
y
x y x d d )12(，其中D 是由直线0=x ，0=y 及12=+y x 围成的区域．
17. 求幂级数1n
n x n ∞
=∑
的收敛域及和函数()S x .
18. 求幂级数∑∞
=+0)1(n n
x
n 的收敛域及和函数()S x .
19. 求幂级数2111
21n n x n ∞
-=-∑
的收敛域及和函数()S x .
五、应用题
1. 要设计一个容量为8m 3
的长方体无盖水箱, 问长、宽、高为多少时用料最省？
2. 求内接于半径为R 的球面，且具有最大体积的长方体．
3. 求函数222
(,,)23f x y z x y z =++ 在平面 11x y z ++= 上的最小值.
4. 计算由平面0=x ,0=y 及1x y +=所围成的柱体被平面0=z 及抛物面
226x y z +=-截得的立体的体积.
5. 求圆柱面
122=+y x 与平面02,0=+-+=z y x z 所围成的立体的体积.
6. 求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.
一、填空题（本大题共21小题，共42分）
1. 二
2. 2
12y x c =
+(c 为任意常数)
3. x x e c e c y 2221-+=
4. 4
5. (4,4,2)--
6. 222
()z a x y -=+
7.
1222=--z y x
8. 0=+y x
9. 32
10.
22
14x y <+≤
11.
2
2
e (22)x y xdx ydy ++
12. x y x 243
+
13. 2
1y x
e x
14.
6
2
4=
-
-
+z
y
x
15.
111 123 x y z
---
==
16. 2 3π
17.
1
(,)
y
dy f x y dx ?
18.
0110
2112
(,)(,) dx f x y dy dy f x y dx
-
---
????
或
19. R=1/2
20. 2
R=
21. [) 3,5
.
二、选择题（本大题共21小题，共42分）
1. C
2. A
3. B
4. A
5. C
6. B
7. A
8. D
9. D
10. D
11. D
12. B
13. C
14. B
15. A .
16. C
17. 2
18. A
19. D
20. C
21. B
三、判断题（本大题共17小题，共34分）
1.×
2. √
3.×
4. ×
5. ×
6. √
7. ×
8. √
9. ×
10. ×
11. √
12. ×
13. √
14. ×
15. √
16. √
17. ×
四、解答题（本大题共19小题，共152分）
1.
)1(x
e c y +=
2.
1sin 2sin c y x x =+
（其中c 是任意常数）
3.
221y x e e =+
4. 161411650x y z ---=
5. 214
1
10x y z -+-==-
6.
121311x y z +--==-
7. '
3'3'2'3'2'1,,xyf z w xzf xf y w yzf yf f x w =??+=??++=??
8. 22
22()
z xy xf x y x ?'=++?，2222()z x yf x y y ?'=++?
9. 22u v z y xf f x x ?''
=-?，12u v z yf f y
x ?''=-+?；
10. (sin()cos())
xy
z e y x y x y x ?=+++?，(sin()cos())xy z e x x y x y y ?=+++?
11. 222
2z z xyz x z
dz dx dy e x y e x y =+--
12. ()()cos 22cos 2yz x z z x x z xy
-+?=
?+-，
()2cos 2z xz y x z xy
?=
?+-
13. dz
ye dy ze y
dx du yz yz +++=)2cos 21(
14.
114e π?
?- ???
15. 458
16. 121-
17. ()ln(1),[1,1)S x x x =--∈-
18. )1,1(,)1(1
2
-∈-x x
19. 11ln ,(1,1)21x x x +∈--.
五、应用题（本大题共6小题，共42分）
1. 长、宽均为322m ，高为3
2m
2. 球面内接棱长为R 33
2的正方体具有最大体积
3. 最小值(6,3,2)66f =
4. 17/6
5. π2
6. π6
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二． 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=. 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +? 2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: 《高数》试卷7（上） 一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）. A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是（ ）. A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x （ ）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）. A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2（ ）. A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π 9、?=+1 01dx e e x x （ ）. A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题（每小题4分） 1、设函数x xe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ； 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ； 三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ； 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数； 3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分?++1 1x dx ； 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ； 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ； 四、应用题（每小题10分） 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象. 《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续，则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分) 同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷 一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1y y +=； :C 2 'y y y +=； :D 2 'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且() 0a b c ??=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 4、设e cos x x z x y y =+ -，则z y ?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y - +； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y -。 5、交换二次积分的次序：()2 220d ,d y y y f x y x =?? 【 A 】 ()4 2 : d ,d x A x f x y y ? ?； ()4 :d ,d x B x f x y y ?； ()2220 :d ,d x x C x f x y y ??； ()2 :d ,d x D x f x y y ?。 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =() 12e cos sin x c x c x +. 7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量x =()3,2,6±。 8、空间直线240 329x y z x y z -+=?? --=?在xoy 面上的投影直线方程为： 7990x y z -=?? =? 。 9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则 2z x y ?=??() 2"2f x y --。同济大学版高等数学期末考试试卷
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