第一讲：实数
本期分四个专题复习：有理数及其运算、实数及其运算、二次根式及科学计数法与有效数字中考对这部分内容的考查一般以选择题、填空题及简单的解答题出现，大多都比较简单，但近几年出现了一些设计新颖的创新试题.由于这部分试题的概念较多，且逻辑性较强，命题者又对这部分内容常常设置一些易混、易错的题目，因此同学们在复习这部分知识时，一定要理解有关概念、运算法则及运算律等，着重训练基本运算方法与技能.
例3 ： 计算：22－5×
5
1+2 .
思路点拨 ：本题是有理数的混合运算，除了要熟练掌握有关运算法则，还要注意运算顺序.
解：原式=４－１＋２ =３＋２ =５． 练习：
1. 如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为（ ） A.－60 m B.︱－60︱m C.60 m D.
60
1m
2. ）下面的几个有理数中，最大的数是（ ）
A ．2
B ．13
C ．－3
D ．15
-
3. 如果2()13
?-
=，则“
”内应填的 数是（ ） A ．
32
B ． 23
C ．23
-
D ．32
-
4. A 为数轴上表示1-的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B 点，则B 点所表
示的数为（ ） A ．3-
B ．3
C ．1
D ．1或3-
5. 一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 _______元．
6. 计算：1
2
1(2)2(3)3-??
-+?-+ ???
．
答案： 1.A 2.A 3.D 提示：1÷（3
2-
）=－
2
3
4.A 提示：－1－2=－3
5.96 提示：120×80%=96
6.解：1
21(2)2(3)3-??
-+?-+ ?
??
463=-+1=．
最新考题
1.（2009年绵阳市）如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为 A ．－60 m B ．︱－60︱m C ．－（－60）m D ．
60
1m
2.（2009年黄石市）实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，a -，1-的大小关系是（ ）
A ．1a a -<<-
B ．a a a -<-<
C ．1a a <-<-
D ．1a a <-<-
a
1-
3.（2009营口）计算：12345
+=+=+=+=+= ，归
314,3110,3128,3182,31244,
纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测2009
+的个位数字是（）
31
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
4．（2009年浙江省绍兴市）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的 3.6
-和x，则（）
A．9 答案：1. A 2. C 3. C 4.Ｃ 知识点2：实数及其运算 例1： |－9|的平方根是（） A.81 B.±3 C.3 D.－3 思路点拨：因为|－9|=9，而9的平方根为±3，所以|－9|的平方根是±3，故选B. +的值在（） 例3：估算171 A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 思路点拨：解答有关无理数的估算问题一般有两种途径：直接估算或利用计算器求解.这里用的是直接估算的方法——平方法，只要首先将原数平方，看其在哪两个平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围. 解：因为16<17<25，所以4<17<5，所以5<171 +<6.故选D. 例4：计算：3 1 2748 2 -+＝_________． 思路点拨：实数的运算与有理数的运算一样，要注意运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减，如果有括号先算括号里面的，能运用运算律的就运用，简化运算，解答实数运算题时，一定要注意把结果化为最简形式. 解：3 1 2748 2 -+=3－4×2 2 2 2 +=3. 练习 1. 4的算术平方根是（） A．2 ±B．2 C ．2 ±D ．2 2. 在实数0，1，2，0.1235中，无理数的个数为（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3. 实数a、b在数轴上的位置如图1所示，则a与b的大小关系是（） A.b a< B.b a= C.b a> D.无法确定 4. 估算272 -的值( ) A.在1到2之间 B.在2到3之间 C.在3到4之间 D.在4到5之间 5.计算：123 -= ． 6. 计算： 1 31224823 3 ?? -+÷ ? ? ?? ． 图 1 答案： 1.B 2.B 提示：只有2 3.C 提示：观察实数a 、b 在数轴上所对应的位置可知b 4.C 提示：因为25<27<36，所以5<27<6，所以3<272-<4. 5.3 提示：原式=23－3=3 6. 解：原式263343233 ?? =-+÷ ?? ? 281432333 = ÷=． 最新考题 1.（2009年淄博市）如果2()13 ?- =，则“ ”内应填的实数是（ ） A ． 32 B ． 23 C ．23 - D ．32 - 2.(2009年黄冈市)1．8的立方根为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4 D ．±4 3.（2009年湖南长沙）已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a -+的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．12a - D ．21a - 4. (2009年义乌)平方根节是数学爱好者的节目，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根（题中所举例子除外）. _______年_______月_______日. 答案：1. D 2. A 3. A 4.答案不唯一，如2025年5月5日. 1- 1 0 a 知识点3： 二次根式 例1 ：若代数式 3x -有意义，则实数x 的取值范围是 . 思路点拨 ：在何种形式中出现二次根式,都要注意被开方数为非负数这一条件,有时它还可能成为隐含的解题的关键条件. 解：被开方数x －3≥0，得x≥3. 例2： 若 3 33.3.3 3. 3 32.3 13 2,022 22 2 或 的值等于（） ）（则 D C B A x x x x x x +--+-=-- 思路点拨 ：认真观察所给条件和所求的代数式的特点才可发现思路，找准解题 的“出发点”。 解： 由220x x --=，可得22x x -=. 所以 2 2 2 23()13 x x x x -+--+ =22333 ++ (223)(33)233 (33)(33) +-= = + - . 故选A 项。 例3：估计202 132+?的运算结果应在（ ） A.6和7之间 B.7和8之间 C .8和9之间 D.9和10之间 思路点拨 ： 202 132+?= , 5524,5.252,25.654,524202 132<<<<<<+=+?因为 所以.95248++<故选C 项。 练习 1.在实数范围内，若x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A.14 B. 48 C.b a D.44+a 3.化简()2 244123x x x -+--得（ ） A.2 B.44x -+ C.－2 D.44x - 4计算：1 312248233?? -+ ÷ ? ?? ? ． 5.计算：cos 45.2232)322()2 1(0 2 -- +---?- 答案： 1.A 2.A 3.A 提示： 2 2 ) 32) 12(---= x x （原式，因为 2x －3≥0，所以2x －1>0. 4解：原式263343233 ?? =- +÷ ?? ? 281432333 = ÷= ． 5.解：原式=.1241322232142 2-=-=-+-? 最新考题 1.(2009年潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a + B ．2 1a + C ．2 1a + D ．1a + 2.（09湖南怀化）若()2 2340a b c -+ -+-=， 则=+-c b a ． 3.（2009湖北省荆门市）定义2*a b a b =-，则(12)3**=______． 答案：1.B ； 2.3； 3.－2 例2 ：2004年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.500，达到136515亿元。136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为（ ） A.12 1.36510?元 B.13 1.365210?元 C.13.6512 10?元 D.1.36513 10?元 思路点拨 ：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位， 解：136515亿=1365150000000000元=1.36513 10?元. 例3 ： 2008北京奥运火炬传递的路程为13.7万公里，近似数13.7万是精确到（ ） A.十分位 B.十万位 C.万位 D.千位 思路点拨 ：近似数的精确位数的确认需要与有效数字的确定相鉴别，同学们不要把两者 混淆。 解：近似数13.7万原数位137000，显然7精确到千位。故选D 项。 练习： 1.某种流感病毒的直径是0.00000008m ，这个数据用科学记数法表示为（ ） A ．6810m -? B ．5810m -? C ．8810m -? D ．4810m -? 2.由四舍五入法得到的近似数 3.20,105?下列说法正确的是（ ） Ａ.有３个有效数字，精确到百位 Ｂ.有３个有效数字，精确到百分为 Ｃ.有２个有效数字，精确到万位 Ｄ.有３个有效数字，精确到千位 3.国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（ ） A ．42610?平方米 B ．42.610?平方米 C ．52.610?平方米 D ．62.610?平方米 4.太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3 3.8102?千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（ ）千瓦．（用科学计数法表示，保留2个有效数字） A ．14 1.910? B ．14 2.010? C ．15 7.610? D ．15 1.910? 答案： 1. C 2.B 提示：9.03万=90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位． 3. 提示：25.8万=2.585 5106.210?≈? 4.A 提示：3 3.8102?千瓦的20亿分之一用科学计数法表示，保留2个有效数字为 14 1.910?。 最新考题 1. （2009年浙江省绍兴市）甲型Ｈ1N1流感病毒的直径大约是0.000 000 081米，用科学记数法可表示为（ ） A ．8.1×190-米 B ．8.1×180-米 C ．81×190-米 D ．0.81×170-米 2.(2009年河北)据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为 ． 3.（2009年广西钦州）在钦州保税港区的建设中，建设者们发扬愚公移山、精卫填海的精神，每天吹沙填海造地约40亩．据统计，最多一天吹填的土石方达31670方，这个数字用科学计数法表示为_ _方（保留三个有效数字）． 答案：1.B 2.1.2 × 107 3.17×105 过关检测 一、 选择题 1.A 为数轴上表示1-的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B 点，则B 点所表示的数为（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1或3- 2.对于式子(8)--，下列理解：（1）可表示8-的相反数；（2）可表示1-与8-的乘积；（3）可表示8-的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 A ．1a a -<<- B ．a a a -<-< C ．1a a <-<- D ．1a a <-<- 5. 数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（） A. 2002或2003 B. 2003或2004 C. 2004或2005 D. 2005或2006 6.下列说法中正确的是（ ） A ．4是一个无理数 B ．函数y=11 x -的自变量x 的取值范围是x≥1 C ．8的立方根是±2 D ．若点P(2，a)和点Q(b ，－3)关于x 轴对称，则a+b 的值为5 7.一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a + B ．21a + C ．2 1a + D ．1a + 8.根据下图所示，对a 、b 、c 三种物体的质量判断正确的是（ ） A 、a B 、a C 、a>c D 、b 9.已知a 的绝对值是它自身；b 的相反数是它本身；c 的倒数是它自身，则结果不唯一的是（ ）。 A ab B ac C bc D abc 10.下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数： 1 1122-? ?-+ ??? ； 第2个数：23 1 1(1)(1)1113234????---? ?-++ + ? ? ??????? ； 第3个数：2345 1 1(1)(1)(1)(1)11111423456 ???????? -----? ?-++ +++ ? ? ? ? ??????????? ； …… 第n 个数：23 21 1 1(1)(1)(1)11111234 2n n n -?????? ----? ?-++ ++ ? ? ? ?+??????? ? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 二、填空题 1.定义2*a b a b =-，则(12)3**=______． 2.13 - =_________；0(5)-=_________；－8的立方根是 ． 3.下图是一个简单的运算程序.若输入X 的值为﹣2,则输出的数值为 . 4.大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是 ． 5.（10－11）（11－12）（12－13）·…·（99－100）=_______ 6.李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的 14 ，34 均变成 12 ，1 2 变成1， 等）．那么在线段AB 上（除A ，B ）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________． 三、解答题 1.（1） 1 2 1 (2)2(3) 3 - ?? -+?-+ ? ?? ．（2） 2 2 2009 3 9 4? ? ? ? ? - - + - -- π 2.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22 a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24 x=的解． 3.若△ABC的三边长分别为a,b,c,a和b满足0 )2 ( 12= - + -b a，求c的取值范围。 4.已知1 2- a与5 - a是m的平方根，求m的值． 7.若20072008 a = ，20082009 b = ，试不用．． 将分数化小数的方法比较a 、b 的大小． 8.如果有理数a,b 满足∣ab－2∣+(1－b)2 =0，试求++++ +++ ) 2)(2(1) 1)(1(11b a b a ab ……+ ) 2007)(2007(1 ++b a 的值。 答案： 一、1.A 2.C 3.C 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A 1.－2； 2. 3 1,1,－2； 3. 6； 4. 表示a 的点与表示－5的点之间的距离； 5. 1； 6.1 三、1（1）1 2 1(2)2(3)3-?? -+?-+ ??? 463=-+ 1= ． 4.解：本题有两种情况： ⑴当512-=-a a 时，得4-=a 912-=-a ()8192 =-=m ⑵当()()0512=-+-a a 时，2=a 312=-a 932 ==m 5.(1)－18.3－9.5+7.1－14－ 6.2+13－6.8－8.5=－43.2 所以B 在A 地正南方向，相距43.2千米。 (2)18.3+9.5+ 7.1+14+6.2+13+6.8+ 8.5=83.4(千米) 83.4×0.2= 16. 68 (升) 6.小彩灯的排列方式是4个一循环，126÷4的余数是2， 所以126号的位置与2?号的位置一样；色彩模式是3个一循环， 126÷3=42，能整除，所以126号的色彩与0号的色彩一样． 如图所示． 专题一 实数及其运算 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题2分，共56分） 1．（2011年福州）6的相反数是 ( ) A ．－6 B ．1 6 C ．±6 D 2．（2011年柱林）2011的倒数是 ( ) A ．1 2011 B ．2011 C ．－2011 D ．－1 2011 3．（2011年浙江）－6的绝对值是 ( ) A ．－6 B ．6 C ．16 D ．－1 6 4．（2011年金华）下列各组数中，互为相反数的是 ( ) A ．2和－2 B ．－2和 C ．－2和－12 D ．1 2和2 5．（2011年安徽省）－2，0，2，－3这四个数中最大的是 ( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－3 6．（2011年成都考）4的平方根是 ( ) A ．±16 B ．16 C ．±2 D ．2 7．（2011年十堰）下列实数中是无理数的是 ( ) A B C ．1 3 D ．3.14 8．（2011年襄阳）下列说法正确的是 ( ) A ．0 2π?? ???是无理数 B 是有理数 C 是无理数 D 9．（2011年德州）下列计算正确的是 ( ) A ．(－8)－8＝0 B ．(－1 2)×(－2)＝1 C ．()01--＝1 D ．2-＝－2 10．（2011年呼和浩特）如果a 的相反数是2，那么a 等于 ( ) A ．－2 B ．2 C ．1 2 D ．－1 2 11．（2011年孝感）下列计算正确的是 ( ) A B = C 6 D 4 12．（2011年广州）四个数－5，－0.1，1 2中为无理数的是 ( ) A ．－5 B ．－0.1 C ．1 2 D 13．（2011年南昌）下列各数中是无理数的是 ( ) A B C D 实数的性质及运算 教学目标 知识与技能： 掌握实数的相反数和绝对值； 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法： 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 情感态度与价值观： 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 教学重点 1、会求实数的相反数和绝对值； 2、会进行实数的加减法运算； 3、会进行实数的近似计算. 教学难点 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 教学过程 一、导入新课： 1、回顾有理数中的相反数、绝对值、倒数的概念 相反数：有理数a的相反数是a -. 绝对值：当a≥0时， a a= ，当a≤0时， a a- = 倒数：如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 . 2、思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ 二、实数的性质：有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念对实数仍然适用. 三、练一练 1. 3的相反数是， π的相反数是 ， 5-1的相反数是 . 2. -π的绝对值是 ， 3-的绝对值 = ， 0的绝对值 = ， 总结归纳： 1. a 是一个实数，实数a 的相反数为-a. 2、①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 典例例精析： 1、写出下列各数的相反数和绝对值： 3.14.-π 2、（1）求 327的相反数， （2）已知3a = ，求a. 实数的运算： 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 实数的运算顺序： (1)先算乘方和开方; (2)再算乘除，最后算加减; (3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 典例精析： 例3 计算下列各式的值： ,0,,a a a ??=??-?000.a a a 当时；当时；当时>=< 2021 中考数学专题训练实数及其运算 一、选择题（本大题共12道小题） 1. 下列各数中，负数是() A.-(-2) B.-|-2| C.(-2)2 D.(-2)0 2. 下列各式中，计算结果为正的是( ) A．(－50)＋(＋4) B．2.7＋(－4.5) C．(－1 3)＋ 2 5D．0＋(－ 1 3) 3. 下列各数中比3大比4小的无理数是() A.B.C.3.1 D. 4. 据央视网报道，2019年1~4月份我国社会物流总额为88.9万亿人民币.“88.9万亿”用科学记数法表示为() A.8.89×1013 B.8.89×1012 C.88.9×1012 D.8.89×1011 5. 下列等式正确的是( ) A．a－(b＋c)＝a－b＋c B．a－b＋c＝a－(b－c) C．a－2(b－c)＝a－2b－c D．a－b＋c＝a－(－b)－(－c) 6. 下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A. 495 B. 497 C. 501 D. 503 7. 某企业今年第一季度盈利22000元，第二季度亏损5000元，若盈利记为正，亏损 记为负，则该企业今年上半年盈利(或亏损)的金额(单位：元)可用算式表示为( ) A．(＋22000)＋(＋5000) B．(－22000)＋(＋5000) C．(－22000)＋(－5000) D．(＋22000)＋(－5000) 8. 二模若a＞0，b＜0，则a－b的值( ) A．大于零B．小于零 C．等于零D．不能确定 9. 观察下列等式:70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+…+72019的结果的个位数字是() A.0 B.1 C.7 D.8 10. 若长方形的宽为3m＋2n，长比宽长m－n，则这个长方形的周长是( ) A．4m＋n B．8m＋2n C．14m＋6n D．7m＋3n 11. 当a是整数时，整式a3－3a2＋7a＋7＋(3－2a＋3a2－a3)一定是( ) A．3的倍数B．4的倍数 C．5的倍数D．10的倍数 12. 已知一个两位数，个位数字为b，十位数字比个位数字大a，若将十位数字和个位数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数之差为( ) A．9a－9b B．9b－9a C．9a D．－9a 二、填空题（本大题共6道小题） 13. 计算3×6－2＝________． 14. 如果|a|＝7，|b|＝4，那么a＋b＝________． 15. y x O 课时17．二次函数及其图象 【课前热身】 1．将抛物线y =-3x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________. 2.如图所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的 图象， 那么a 的值是______. 3.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是() A.-2B.2C.-1D.1 4.二次函数y =2(x -5)2+3的图象的顶点坐标是() A.(5，3) B.(-5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3) 5.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.a ＞0，b ＜0，c ＞0B.a ＜0，b ＜0，c ＞0 C.a ＜0，b ＞0，c ＜0D.a ＜0，b ＞0，c ＞0 【知识整理】 1.解析式： (1)一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ). (3)两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0). 注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得.若已知抛物线的顶点和 y x O 对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质 a ＞0 a ＜0 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x =_______时，y 有最 _____值为________. 当x =_______时，y 有最 _____值________. 增 减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 在对称轴右侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 3.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________. 4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式，其中 h =____，k =________. 5.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系. 第2课时实数的性质及运算 【教学目标】 1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应； 2、学会比较两个实数的大小； 了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算； 3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。【学难点与重点】 1、难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解 2、重点：实数与数轴上的点一一对应关系 【教学过程】 一、创设情境 我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？ 1、课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会． 2、你能在数轴上画出坐标是2的点吗？画一画，说说你的方法． 教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来． 练习：学生自己完成课本第178页练习第1题． 在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数． 类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义． 3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？ 二、比一比 1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这个结论在实数范围内也成立。 2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 例1比较下列各组数里两个数的大小 ，-6；（3）－2，33 （1）2，1.4；（2）5 .1的大小比较； 分析：像例1(1)，即可以将2，1.4的大小比较转化为2，96 也可以先求出2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。 三、算一算 问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？ 答：加、减、乘、除、乘方和开方运算． 接着问：有哪些规定吗？ 中考数学总复习资料大全 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0) -a(a<0) │a │= 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、 实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷5 1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、 应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， x x 2=x,2x =│x │等。 4.系数与指数 区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 a x b 单项式 多项式 整式 分式样 有理式 无理式 代数式 把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！ 20XX 年中考数学专题复习 第二讲：实数的运算 【基础知识回顾】 一、实数的运算。 1．基本运算： 初中阶段我们学习的基本运算有、、、、、和共六种，运算顺序是先算，再算，最后算，有括号时要先算，同一级运算，按照的顺序依次进行。 2．运算法则： 加法：同号两数相加，取的符号，并把相加，异号两数相加，取的符号，并用较大的减去较小的，任何数同零相加仍得。 减法：减去一个数等于。 乘法：两数相乘，同号得，异号得，并把相乘。 除法：除以一个数等于乘以这个数的。 乘方：(-a ) 2n +1 =(-a ) 2n = 3．运算定律： 加法交换律：a+b= 加法结合律：(a+b)+c= 乘法交换律：ab= 乘法结合律：（ab ）c= 分配律：（a+b ）c= 二、零指数、负整数指数幂。 0a = （a≠0） a -p = （a≠0） 【名师提醒】 1．实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。 2．注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（ 3 1）-1 = 三、实数的大小比较： 1．比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法、比较法等，两个负数大的反而小。 2．如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。 【名师提醒】 比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较 22大小，可以先确定10和65的取值范围，然后得结论： 10+265-2。 【重点考点例析】 考点一：有理数的混合运算。 例1 （2015?厦门）计算：2 1223-+? -（）． 思路分析：选算乘方，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可． 解：原式1229=-+? 118=-+ 17=． 点评：此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与符号的判定是解决问题的关键． 跟踪训练 1．（2015?河北）计算：3-2×（-1）=（ ） A ．5 B ．1 C ．-1 D ．6 考点二：实数的大小比较。 A ．0 B ． D ．-1 A ．|a|＜1＜|b| B ．1＜-a ＜b C ．1＜|a|＜b D ．-b ＜a ＜-1 思路分析：首先根据数轴的特征，判断出a 、-1、0、1、b 的大小关系；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，逐一判断每个选项的正确性即可． 解：根据实数a ，b 在数轴上的位置，可得 a ＜-1＜0＜1＜b ， 九（2）班数学总复习计划 本学期是初中学习的关键时期，学生成绩差距较大，教学任务非常艰巨。因此，要完成教学任务，必须紧扣教学大纲，结合教学内容和学生实际，把握好重点、难点，努力把本学期的任务完成。毕业班总复习教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须面对的问题。下面结合本届九年级数学的实际情况，特制定本复习计划 一、第一轮复习（3月22号——4月20号） 第一轮复习的形式： 第一轮复习的目的是要“过三关”： （1）过记忆关。必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。 （2）过基本方法关。如，待定系数法求二次函数解析式。 （3）过基本技能关。如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。基本宗旨：知识系统化，练习专题化，专题规律化。在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构，可将代数部分分为六个单元：实数、代数式、方程、不等式、函数、统计与概率等；将几何部分分为六个单元：相交线和平行线、三角形、四边形、相似三角形、解直角三角形、圆等。复习完每个单元进行一次单元测试，重视补缺工作。 第一轮复习应该注意的几个问题： （1）必须扎扎实实地夯实基础。中考试题按难、中、易的比例，基础分占总分（120分）的70%，因此使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。 （2）中考有些基础题是课本上的原题或改造，必须深钻教材，绝不能脱离课本。 （3）不搞题海战术，精讲精练，举一反三、触类旁通。“大练习量”是相对而言的，它不是盲目的大，也不是盲目的练。而是有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。 （4）注意气候。第一轮复习是冬、春两季，大家都知道，冬春季是学习的黄金季节，五月份之后，天气酷热，会一定程度影响学习。 （5）定期检查学生完成的作业，及时反馈。对于作业、练习、测验中的 第六章实数复习课教案 魏邱乡初级中学中学赵凤杰 一、内容和内容解析 1．内容 平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念、运算． 2．内容解析 本章的内容是从典型的实际问题出发，首先介绍了算术平方根的概念和它的符号表示．然后学习了平方根和立方根的概念及符号表示，并通过开平方、开立方运算认识了不同于有理数的数-----无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，并能在实数范围内进行简单运算． 本章的重点内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．算术平方根是学习平方根的基础，类比平方根的探究思路和方法，对立方根进行了探究；通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，体会类比的研究方法和作用．实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，体验数形结合的数学思想． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：复习平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，构建本章知识结构． 二、目标和目标解析 1．学习目标： 1.知识与技能 了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义掌握平方根的定义，会求一个数的平方根。 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 2.过程与方法 经历有关归纳过程，归纳有关平方根，立方根的结论. 3.情感态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过复习本章的主要内容，进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，能建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别． 达成目标（2）的标志是：学生能够运用乘方与开方是互逆运算及实数的运算律和运算性质进行实数的简单运算；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计无理数的大致范围，会进行实数的大小比较． 三、教学问题诊断分析 学生对正数开平方会有两个结果感到不习惯，容易将算术平方根和平方根混淆．对于负数没有平方根，学生接受起来也有一定的难度．平方根和立方根虽都是开方运算，但它们的表示方法和性质及运用是学生在练习中经常出错的地方；无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其定义比较抽象，学生没有任何感性认识，真正理解这个概念也有一定的困难．学生在复习课中既要对所学的知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．基于以上分析，本课的教学难点是：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构． 四、教学过程设计 (一) 热身游戏 明七暗七 设计意图：用问题引导学生回忆平方根与立方根的概念及它们之间的联系，梳理知识，构建体系． 头脑风暴 议一议思考：平方根和立方根之间的联系与区别： 师生活动：学生独立解答后，小组交流、全班展示.教师关注：学生对平方根及立方根 第一章中考数学总复习知识点总结：实数考点一、实数的概念及分类（3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 32 , 7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 32 , 7+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60°等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“32,7”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“32,7”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 32,7（32,732,70） 32,7 32,7 ；注意32,7的双重非负性： -32,7（32,7<0） 32,732,70 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：32,7，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做32,7的形式，其中32,7，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3分） 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 嘉兴市、舟山市2001-2012年中考数学试题分类解析专题01 实数一、选择题 1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分） 1 5 -的相反数是【】 A．5 B．－5 C． 1 5 - D． 1 5 2. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分） 1 1 3 - ?? = ? ?? 【】 A．1 3 B．3 C．－3 D． 1 3 - 3. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分）2000年人口统计的结果已经公布，我国的人口总数约 1 290 000 000人，用科学记数法表示为【】 A．1.29×107 B．129×107 C．1.29×109 D．129×109 【答案】C。 【考点】科学记数法。 4. （2002年浙江舟山、嘉兴4分）16的平方根是【】 A.±4 B.4 C.±2 D.2 5. （2002年浙江舟山、嘉兴4分）化简： 21 =-【 】 A.12- B.12+ C.12-- D.12+- 6. （2003年浙江舟山、嘉兴4分）计算：2―3＝【 】 A . ―1 B. 1 C.5 D .―5 【答案】A 。 【考点】有理数的减法。 【分析】根据有理数的减法法则计算：2―3＝－1。故选A 。 7.（2003年浙江舟山、嘉兴4分）2002年全国的财政收入约为18900亿元，用科学计数法可记为【 】 A .1.89×105 亿元 B .1.89×104 亿元 C.189×102 亿元 D.189×103 亿元 【答案】B 。 【考点】科学记数法。 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值。在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。18900一共5位，从而18900=1.89×104 。故选B 。 8. （2004年浙江舟山、嘉兴4分）计算(－2)×(－3)的结果是【 】 A .6 B.5 C. －5 D .－6 实数的运算 【教学目标】 一、知识目标 1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。 2．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算。 3．正确运用公式： );0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a 。 4．了解二次根式和最简二次根式的概念。 二、能力目标 1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的研究精神和创新能力。 2．能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识。 三、情感目标 通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。 时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题。其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养。 这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务。 【教学重难点】 1．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算。 2．发现规律：);0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a ，并能用规律进行计算。 【教学过程】 一、师生互动 （一）二次根式的理解 (0a ≥)的式子叫做二次根式。 说明： 1．被开方数大于0； 2(0a ≥)具有非负数的特性。 3．性质：一般地)0(≥a a 是a 的算术平方根，于是有)0()(2≥=a a a 。 练习： 1．若x 23-有意义，则=x ______； 2．要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是（ ） A ．x ≥1； B ．x ≤1； C ．x>1； D ．x<1 3．计算： （1）2)5 3(； （2）2)32(； 答案： 1．2 3≤x ； 2．A ； 3．解： （1）5 3)53(2=； （2）1234)3(2)32(222=?=?=。 （二）师生共析 在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。 关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。 拓展训练 2020年中考数学专题分类卷 专题一 实数（模拟篇） 一、选择题 1．（2018·平南县二模）-3的绝对值是( ) A ．3 B ．-3 C ．0 D ．31 2．（2018·重庆模拟）在-7，5，0，-3这四个数中，最大的数是( ) A ．-7 B ．5 C ．0 D ．-3 3．（2017·涿州市一模）有理数a ，b 在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a+b ＞0 B ．a-b=0 C ．a+b ＜0 D ．a-b ＞0 4．（201 7·蜀山区—模）2 3- 的相反数是( ) A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 5．（2018·和平区—模）计算（-2）3，结果是( ) A ．8 B ．-8 C ．-6 D ．6 6．（2018·如皋市—模）据江苏省统计局统计：2017年南通市GDP 总量为7734. 64亿元，位于江苏省第4名，将这个数用科学记数法表示为( ) A.7.734 64×1011元 B.77. 346 4×101?元 C.7.734 64×1012元 D.7.734 64×1013元 7．（2017·平南县—模）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微笑的无花果，质量只有0. 000 000 076克，将0. 000 000 076克用科学记数法表示为( ) A ．7.6×10ˉ? B ．0.76×10 ˉ? C ．7.6×10? D ．0. 76×10? 8．（2018·柳州模拟）16的值等于( ) A ．4 B ．-4 C ．±4 D ．4 9．（2017·嘉祥县模拟）下列计算正确的是( ) A ．4=±2 B ．332-=-）（ C ．()552=- D ．()332-=- 10. (2018·杭州二模)在实数π， 31，2，tan60°中，无理数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．（2017·福建模拟）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是( ) 初三数学总复习教案2020 第七章圆 课时24．圆 【考点链接】 一、圆的相关概念 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又 是对称图形，是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦 心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分 别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 二、与圆相关的位置关系 1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆 心的距离d和半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两 圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r. 4. 圆的切线过切点的半径；经过的一端，并且这条的直线是圆的切线. 5. 从圆外一点能够向圆引条切线，相等，相等. 6. 三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点，它到相等。 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三 角形的交点，叫做三角形的，它到相等. 三、与圆相关的计算 1. 圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对 的弧长为，弧长公式为 . 2. 圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = . 3. 圆柱的侧面积公式：S= .（其中为的半径，为的高）。 4. 圆柱的全面积公式：S= + 。 5. 圆锥的侧面积公式：S= .（其中为的半径，为的长）。 6. 圆锥的全面积公式：S= + 。 【河北三年中考试题】 1.（2008年，2分）如图3，已知⊙O的半径为5，点到弦 的距离为3，则⊙O上到弦所在直线的距离为2的点有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)2 1(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （1 （2； （3）)0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12 2 31111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)4964(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 643 3)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(--b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ） 中考数学总复习资料---代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ???? ?? ?? ????????????? ???? ?????????????????? ??无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是 a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ????==0 ,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ± 叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2018年中考数学第一轮复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 解实数的分类。如：2 π是 数，不是 数， 【名师提醒：1、正确理7 22是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。 2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做3a ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ??????正数正无理数 零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0） 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做n a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3分） 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。中考数学专题练习一 实数及其运算
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