第5章剪切和挤压 5.1 剪切的概念和实例 在工程实际中，为了将构件互相连接起来，通常要用到各种各样的连接。例如图5-1中所示的（a）为拖车挂钩的销轴连接；（b）为桥梁结构中常用的钢板之间的铆钉连接；（c）为传动轴与齿轮之间的键块连接；（d）为两块钢板间的螺栓连接；（e）为构件中的搭接焊缝连接。这些起连接作用的销轴，铆钉，键块，螺栓及焊缝等统称为连接件。这些连接件的体积虽然比较小，但对于保证整个结构的牢固和安全却具有重要作用。因此，对这类零件的受力和变形特点必须进行研究、分析和计算。 （a）（b） (c) (d) 图5-1 工程中的连接 现以螺栓连接为例来讨论剪切变形与剪切破坏现象。设两块钢板用螺栓连接，如图5-2（a）所示。当钢板受到横向外力N拉伸时，螺栓两侧面便受到由两块钢板传来的两组力P 的作用。这两组力的特点是：与螺栓轴线垂直，大小相等，方向相反，作用线相距极近。在这两组力的作用下，螺栓将在两力间的截面m-m处发生错动，这种变形形式称为剪切。发生相对错动的截面称为剪切面，它与作用力方向平行。若连接件只有一个剪切面，称为单剪切，若有两个剪切面，称为双剪切。为了进一步说明剪切变形的特点，我们可以在剪切面处取出一矩形簿层来观察，发现在这两组力作用下，原来的矩形将歪斜成平行四边形，如图 5-2b所示。即矩形薄层发生了剪切变形。若沿剪切面m-m截开，并取出如图5-2c所示的脱离体，根据静力平衡方程，则在受剪面m-m上必然存在一个与力P大小相等、方向相反的 内力Q，此内力称为剪力。若使推力P逐渐增大，则剪力也会不断增大。当其剪应力达到材料的极限剪应力时，螺栓就会沿受剪面发生剪断破坏。 (a) (b) (c) 图5-2 螺栓连接的剪切破坏
2.1. 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面的轴力， 并作轴力图。 解: (a) (1)求约束反力 kN R R X 500203040 0==-++-=∑ (2)求截面1-1的轴力 kN N N R X 500 011 ==+-=∑ (3)求截面2-2的轴力 kN N N R X 100 40 022 ==++-=∑ (4)求截面3-3的轴力 3 30 200 20X N N kN =--==-∑ (5)画轴力图 (a) (b) 20kN N 2 20kN
(b) (1)求截面1-1的轴力 01=N (2)求截面2-2的轴力 P N P N X 40 4 022 ==-=∑ (3)求截面3-3的轴力 P N P P N X 30 4 033 ==-+=∑ (4)画轴力图 2.3. 作用图示零件上的拉力P=38kN ，试问零件内最大拉应力发生于哪个横截面上？并求其值。 解：(1) 1-1截面上的应力 16 13381067.86(5022)2010P MPa A σ -?= ==-?? (2) 2-2截面上的应力 2 1 3 3
3 26 2381063.332152010 P MPa A σ-?===??? (3) 3-3截面上的应力 3 36 3381045.24(5022)15210P MPa A σ-?===-??? (4) 最大拉应力在1-1截面上 MPa 86.671max ==σσ 2.4. 设图示结构的1和2两部分皆为刚体，钢拉杆BC 的横截面直径为10mm ，试求拉杆内的应力。 解：(1) 以刚体CAE 为研究对象 ∑=?-?+?= 035.15.4 0' P N N m C E A (2) 以刚体BDE 为研究对象 075.05.1 0=?-?=∑B E D N N m (3) 联立求解 kN N N N N N C E E C B 6 ' =∴== N P =7.5kN
一、是非题 2.1 使杆件产生轴向拉压变形的外力必须是一对沿杆件轴线的集中力。（） 2.2 轴力越大，杆件越容易被拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。（） 2.3 内力是指物体受力后其内部产生的相互作用力。（） 2.4 同一截面上，σ 必定大小相等，方向相同。（） 2.5 杆件某个横截面上，若轴力不为零，则各点的正应力均不为零。（） 2.6 δ、 y 值越大，说明材料的塑性越大。（） 2.7 研究杆件的应力与变形时，力可按力线平移定理进行移动。（） 2.8 杆件伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。（） 2.9 线应变 e 的单位是长度。（） 2.10 轴向拉伸时，横截面上正应力与纵向线应变成正比。（） 2.11 只有静不定结构才可能有温度应力和装配应力。（） 2.12 在工程中，通常取截面上的平均剪应力作为联接件的名义剪应力。（） 2.13 剪切工程计算中，剪切强度极限是真实应力。（） 二、选择题 2.14变形与位移关系描述正确的是（） A. 变形是绝对的，位移是相对的 B. 变形是相对的，位移是绝对的 C. 两者都是绝对的 D. 两者都是相对的 2.15轴向拉压中的平面假设适用于（） A. 整根杆件长度的各处 B. 除杆件两端外的各处
C. 距杆件加力端稍远的各处 2.16长度和横截面面积均相同的两杆，一为钢杆，一为铝杆，在相同的拉力作用下（） A. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形大于钢杆 B. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形小于钢杆 C. 铝杆的应力和变形都大于钢杆 D. 铝杆的应力和变形都小于钢杆 2.17一般情况下，剪切面与外力的关系是（）。 A．相互垂直 B．相互平行 C．相互成 45 度 D．无规律 2.18如图所示，在平板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高（）强度。 A．螺栓的拉伸 B．螺栓的剪切 C．螺栓的挤压 D．平板的挤压 三、计算题 2.19在图示结构中，若钢拉杆BC 的横截面直径为 10 mm ，试求拉杆内的应力。设由BC 联接的 1 和 2 两部分均为刚体。
材料力学习题解答(拉伸、压缩与剪切)
2.1. 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面的轴力， 并作轴力图。 解: (a) (1)求约束反力 kN R R X 500203040 0==-++-=∑ (2)求截面1-1的轴力 kN N N R X 500 011 ==+-=∑ (3)求截面2-2的轴力 kN N N R X 100 40 022 ==++-=∑ (4)求截面3-3的轴力 3 30 200 20X N N kN =--==-∑ (5)画轴力图 (a) (b) 20kN N 2 20kN
(b) (1)求截面1-1的轴力 01=N (2)求截面2-2的轴力 P N P N X 40 4 022 ==-=∑ (3)求截面3-3的轴力 P N P P N X 30 4 033 ==-+=∑ (4)画轴力图 2.3. 作用图示零件上的拉力P=38kN ，试问零件内最大拉应力发生于哪个横截面上？并求其值。 解：(1) 1-1截面上的应力 1613381067.86(5022)2010 P MPa A σ-?===-?? (2) 2-2截面上的应力 2 1 10 3 3
3 26 2381063.332152010 P MPa A σ-?===??? (3) 3-3截面上的应力 3 36 3381045.24(5022)15210 P MPa A σ-?===-??? (4) 最大拉应力在1-1截面上 MPa 86.671max ==σσ 2.4. 设图示结构的1和2两部分皆为刚体，钢拉杆BC 的横截面直径为10mm ，试求拉杆内的应力。 解：(1) 以刚体CAE 为研究对象 ∑=?-?+?= 035.15.4 0' P N N m C E A (2) 以刚体BDE 为研究对象 075.05.1 0=?-?=∑B E D N N m (3) 联立求解 kN N N N N N C E E C B 6 ' =∴== N =7.5kN
.word 版. 第二章 拉伸、压缩与剪切 2-1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 2-2图示杆的横截面面积为A ，弹性模量为E 。作轴力图，并求杆的最大正应力及伸长。 N(x)=x l P 21l l l ?+?=? =?+l 0lEA Pxdx EA 2Pl =EA Pl .
2-3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g=9.8m/s2, 混凝土的密度为3 3m / kg 10 04 .2? = ρ，P=100kN，许用应力[]MPa 2 = σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b。 选a： 6 2 2 3 3 10 2 a 4 a8.9 10 04 .2 10 100 ? = ? ? ? + ? a=0.2283m. 选b: 6 2 2 3 2 3 3 10 2 b b8.9 10 04 .2 4 2283 .0 8.9 10 04 .2 4 10 100 3 ? = ? ? ? + ? ? ? ? + ? ? b=0.3980m. 2-4 图示一面积为100mm?200mm的矩形截面杆，受拉力P=20kN的作用，试求：（1） 6 π = θ 的斜截面m-m上的应力；（2）最大正应力 max σ和最大剪应力 max τ的大小及其作用面的方位角。 max 3 MPa 1 2.0 1.0 10 20 σ = = ? ? = σ MPa 75 .0 30 cos 1o 6 = ? = σ π MPa 433 .0 60 sin 2 1o 6 = = τ π MPa 5.0 1 2 1 45 max = ? = τ = τ.
.word 版. 2-5 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。 ;sin P N 1θ - = θ=cot P N 2 材料最省时，两杆可同时达到许用应力 [];cot P A 1σθ= [] σθ= sin P A 2 结构的总体积为 []??? ? ??θθθ+?σ=+=cos sin cos 1Pl l A l A V 22211 0d dV =θ 0cos 2sin 22=θ-θ ∴ o 73.54=θ. 2-6 图示一三角架，在结点A 受P 力作用。设AB 为圆截面钢杆，直径为d ，杆长为l 1,AC 为空心圆管，截面面积为A 2,杆长为l 2，已知：材料的许用应力[]MPa 160＝σ,P=10kN,d=10mm,A 2=26m 1050-?,l 1=2.5m,l 2=1.5m 。试作强度校核。 ;kN 5.12N 1= kN 5.7N 2= []MPa 160MPa 15901.04 105.1223AB =σ<=?π ?=σ []σ<=??=σ-MPa 15010 50105.763AC 满足强度要求。
第二章拉伸、压缩与剪切 §2－1 拉伸与压缩的概念 等直杆的两端作用一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的力，这种变形叫轴向拉伸或压缩。 一、工程实例 悬索桥，其拉杆为典型受拉杆件；桁架，其杆件受拉或受压。 二、受力特点 杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。 三、变形特点 发生轴线方向的伸长或缩短。 §2－2 拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一、轴力 （1）对于轴向拉伸（压缩）杆件，用截面法求横截面m-m上的内力。 （2）轴力正负规定：拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。 二、轴力图 （1）轴力图：轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
（2）轴力图作用：通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截面所在位置，这样的截面称为危险截面。轴向拉（压）变形中的内力图称为轴力图，表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况。 （3）作下图所示杆件的轴力图 三、横截面上的应力 （1）平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移。 通过对称性原理，平面假设可得以证明。 （2）由平面假设可得，两截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。 （3）由材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同。所以，轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布。 即 N A F dA A σσ==? A N F = σ ， （2-1） 为拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。正应力的正负号与轴力正负号相同，拉应力为正，压应力为负。
当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力与轴线重合，外力与轴线重合，如左图，式（2-1）也可使用。 这时某一横截面上的正应力为 ()() x A x x N F = ）（σ （2-2） 例题 一等直杆受力情况如图a 所示，试作杆的轴力图。 解：（1）先求约束力 直杆受力如图b 所示，由杆的平衡方程0F =∑x 得 ()k N k N RA F =+-=50104020 （2）求杆中各段轴力 AB 段：沿任意截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，1-1截面上的轴力 为N1F ，设N1F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得： σ ()x σ
第二章 拉伸、压缩与剪切 2-1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 2-2图示杆的横截面面积为A ，弹性模量为E 。作轴力图，并求杆的最大正应力及伸长。 N(x)=x l P 21l l l ?+?=? = ?+l 0lEA Pxdx EA 2Pl = EA Pl .
2-3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g=9.8m/s2, 混凝土的密度为3 3m / kg 10 04 .2? = ρ，P=100kN，许用应力[]MPa 2 = σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b。 选a： 6 2 2 3 3 10 2 a 4 a8.9 10 04 .2 10 100 ? = ? ? ? + ? a=0.2283m. 选b: 6 2 2 3 2 3 3 10 2 b b8.9 10 04 .2 4 2283 .0 8.9 10 04 .2 4 10 100 3 ? = ? ? ? + ? ? ? ? + ? ? b=0.3980m. 2-4 图示一面积为100mm?200mm的矩形截面杆，受拉力P=20kN的作用，试求： （1） 6 π = θ的斜截面m-m上的应力；（2）最大正应力 max σ和最大剪应力 max τ的大小及其作用面的方位角。 max 3 MPa 1 2.0 1.0 10 20 σ = = ? ? = σ MPa 75 .0 30 cos 1o 6 = ? = σ π MPa 433 .0 60 sin 2 1o 6 = = τ π MPa 5.0 1 2 1 45 max = ? = τ = τ.
2-5 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。 ;sin P N 1θ-= θ=cot P N 2 材料最省时，两杆可同时达到许用应力 [];cot P A 1σθ= [] σθ=sin P A 2 结构的总体积为 []??? ? ??θθθ+?σ=+=cos sin cos 1Pl l A l A V 22211 0d dV =θ 0cos 2sin 22=θ-θ ∴ o 73.54=θ. 2-6 图示一三角架，在结点A 受P 力作用。设AB 为圆截面钢杆，直径为d ，杆长为l 1,AC 为空心圆管，截面面积为A 2,杆长为l 2，已知：材料的许用应力[]MPa 160＝σ,P=10kN,d=10mm,A 2=26m 1050-?,l 1=2.5m,l 2=1.5m 。试作强度校核。 ;kN 5.12N 1= kN 5.7N 2= []MPa 160MPa 15901.04 105.1223AB =σ<=?π?=σ []σ<=??=σ-MPa 15010 50105.763AC 满足强度要求。