第二章 一元线性回归模型
2.1 一元线性回归模型的基本假定
2.1.1一元线性回归模型
有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t
上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线
这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即
1t
t
y x β?=?
22
0t
t y x β?=?
另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1
t
y x β?=?，
22
1t
y β?=?0 ，
1t
y β?=?，
22
00t
y β?=?
2.1.2 随机误差项的性质
随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略， （2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，
（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。 2.1.3 一元线性回归模型的基本假定
通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =
β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t 做出如下假定。 1、零均值：随机误差项的的期望为零
E(u t ) = 0，y t = β0 + β1 x t + u t 的期望值E(y t ) = β0 + β1 x t 正是由E(u t ) = 0推出的 2、同方差：随机误差项的方差与t 无差。 D(u t ) = E[u t - E(u t ) ]2 = E(u t )2 = σ 2
不难推出：[][]()2
2
220101()(()()()t t t t t t t D y E y E y E x u x E u ββββσ=-=++-+==
3、无自相关：即不同的误差项相互独立。
Cov(u i , u j ) = E[(u i - E(u i ) ) ( u j - E(u j ) )] = E(u i , u j ) = 0, (i ≠ j )。含义是不同观测值所对应的随机项相互独立。称为u i 的非自相关性。
不难推出：[][]cov(,)()()()0t s t t s s t s y y E y E y y E y E u u =--== 4、解释变量与随机误差项不相关
Cov(u i , x i ) = E[(u i - E(u i ) ) (x i - E(x i ) )] = E[u i (x i - E(x i ) ] = E[u i x i - u i E(x i ) ] = E(u i x i ) = 0。u i 与x i 相互独立。否则，分不清是谁对y t 的贡献。
5、正态假定。即误差项服从均值为零，方差为σ 2的正态分布。
u
t
~ N (0,σ2)
不难推出，y t~ N (β0 + β1 x t,σ2)。
以上这些对随机误差项的假设是德国数学家高斯最早提出的，也称高斯假设或古典假设。满足以上古典假设的线性回归模型，也称古典线性回归模型。
回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。
2.2一元线性回归模型的参数估计
2.2.1最小二乘估计（OLS）
对于所研究的经济问题，通常真实的回归直线是观测不到的。收集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。
怎样估计这条直线呢？显然综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。怎样用数学语言描述“处于样本数据的中心位置”？设估计的直线用
t
y?=0?β+1?βx t
表示。其中
t
y?称y t的拟合值（fitted value），0?β和1?β分别是β0 和β1的估计量。观测值
到这条直线的纵向距离用
t
u?表示，称为残差。
y t =
t
y?+t u?=0?β+1?βx t +t u?
称为估计的模型。假定样本容量为T。（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。（这种方法对异常值非常敏感）设残差平方和用Q表示，
Q =
∑=T
i t
u
1
2?=
∑=-T
i t t y
y 1
2
)?(=
∑=--T
i t t x y 1
210)??(ββ，
则通过Q 最小确定这条直线，即确定0?β和1?β的估计值。以0?β和1?β为变量，把Q 看作是0?β和1?β的函数，这是一个求极值的问题。求Q 对0?β和1
?β的偏导数并令其为零，得正规方程，
?β??Q = 2∑
=--T
i t t x y 1
10)??(ββ(-1) = 0 (1) 1
?β??Q = 2∑=--T i t t x y 1
10)??(ββ(- x t ) = 0 (2) 解这个方程组得：0?β= x y 1?β-、1
?β=∑∑---2
)
())((x x y y x x t
t t
下面用代数和矩阵两种形式推导计算结果。首先用代数形式推导。由（1）、（2）式得，
∑=--T
i t t x y 110)??(ββ= 0 (3)
∑=--T
i t t x y 1
10)??(ββx t = 0 (4)
（3）式两侧用T 除，并整理得，
0?β= x y 1
?β- (5) 把上式代入（4）式并整理，得，
])(?)[(11∑=---T
i t
t
x x y y
βx t = 0 (6) ∑∑==---T
i t t
T
i t t
x x x
x y y
1
1
1
)(?)(β= 0 (7)
1
?β= ∑∑--t
t
t t x x x
y y x )()
( (8)
因为∑=-T
i t y y x 1
)(= 0，∑=-T i t x x x 1
)(= 0，分别在（8）式的分子和分母上减∑=-T
i t y y x 1
)
(和∑=-T
i t x x x 1
)(得，
1
?β= ∑∑∑∑------)
()()()(x x
x x x x y y
x y y x t
t
t
t
t t
(9)
=
∑∑---2
)
())((x x y y x x t
t t
(10) 下面用矩阵形式推导
0?βT +1
?β (∑=T
i t x 1
) = ∑=T
i t y 1
?β∑
=T
i t x 1
+1
?β(∑=T
i t
x 1
2
) =
∑=T
i t
t y x 1
???
???
?
?∑∑
∑2t t t x x x T
????????10
??ββ=????????∑∑t t t y x y ????????10??ββ
=1
2-???
?
??
??∑∑∑t t t x x x T ????
???
?
∑∑t t t y x y =22)(1∑∑-t t x x T ?????
???--
∑∑∑T x x x t t t 2???????
?∑∑t t t y x y
这种形式在单位根检验的理论分析中非常有用。 例2.1（P35）略
2.2.2最小二乘估计量0?β和1
?β的特性 (1) 线性特性
这里指0?β和1?β分别是y t 的线性函数。 1
?β= ∑∑---2
)())((x x y y x x t
t
t
=∑∑∑----2
)
()
()(x x x x
y y x x t
t
t
t
=
∑∑--2
)
()(x x y x x t
t
t
令 k t =
∑--2
)
()
(x x
x x t
t ，代入上式得 1
?β= ∑ k t y t 容易证明：0t k =∑;
1t t k x =∑;
22
1
()t t
k x x =
-∑∑ 2
2
()0()()
t
t
t
t
t
x x x nx k x x x x --===--∑∑
∑∑∑
2
222
()()()()()1()()()
t
t t t t t t t t t
t
x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x -+---==-+=
=---∑∑∑∑∑∑∑∑
2
2
22222()1()()()t t
t t t t x x x x k x x x x x x ??--===??--????-????
∑∑∑∑∑∑ 可见1
?β是y t 的线性函数，是β1的线性估计量。 同理β0也具有线性特性：0
1?()t t xk y n β=-∑ (2) 无偏性 利用上式
E(1
?β) = E(∑ k t y t ) = E[ ∑ k t (β0 + β1 x t + u t ) ] = E ( β0 ∑ k t + β1 ∑ k t x t + ∑ k t u t ) = β1 + E(∑ k t u t ) = β1+∑ k t E u t = β1 (3) 有效性
β0, β1的OLS 估计量的方差比其他估计量的方差小。
为了说明最小方差性，先导出0?β和1
?β的方差公式。 [][]()2
2
220101var()()()()t t t t t y E y E y E E ββμββμσ=-=++-+==,且与y 相互独
立。
2
2
2
212
var()var()var()()t t t t t
t k y k y k
x x σβσ
====
-∑∑∑∑
同样，我们可以推出： 22
2
var()()
t t x n x x σβ=-∑∑
假设*1t t c y β=∑是β1的另一个线性无偏估计值，c t ≠k t ， *11()E ββ=
*101011()()()t t t t t t t E c E y c x c c x ββββββ==+=+=∑∑∑∑
比较两边可得：0t c =∑、1t t c x =∑ 而且有：
222
()1()()()
t t t t t t t t t t x x k c k k c k c x x x x --=-=---∑∑∑∑
∑∑ =22
11
(1)
(101)0()()t t t t t
c x x c x x x x --=--=--∑∑∑∑
*2222
1222
2222221
var()var()()()2()()var t t t t t t t t t t t t t t t t c y c k c k k c k k c k k c k k βσσσσσσβ===+-??=+---??
=+-≥=∑∑∑∑∑∑∑
同理可证：*
0var()var ββ≥ Gauss-Markov 定理：
若u t 满足E(u t ) = 0，D(u t ) = σ 2，那么用OLS 法得到的估计量就具有最佳线性无偏性。估计量称最佳线性无偏估计量，这就是高斯马尔可夫定理。最佳线性无偏估计特性保证估计值最大限度的集中在真值周围，估计值的置信区间最小。
选学内容：
渐近无偏性，一致性和渐近有效性：上面的评价是对有限样本而言，下面讨论估计量的渐近特性。渐近无偏性，一致性和渐近有效性。先给出渐近分布的概念。
渐近分布。用T 1 < T 2 < …< T N 表示连续递增样本容量。设在每个样本容量T i 下重复抽样。则每个x Ti 都应有自己的均值E(x Ti ) 与方差Var (x Ti )。利用递增样本可以求得随机变量序列，
x T = {x T 1, x T 2, …, x TN }
其中每个元素都是相应样本容量下的一个随机变量。当T N 趋于无穷大时，这些分布收敛于某一分布。则称该分布为渐近分布或极限分布。
渐近期望。对于期望值序列， E(x T ) = {E(x T 1), E(x T 2), …, E(x TN ) }
如随着T → ∞，期望值E(x T )收敛于某一常数μ，则称μ 为x T 的渐近期望。记为 )(T T x E Lim ∞
→= μ （与期望概念不同）
与期望值序列相对应，也可以写出方差序列。
Var(x T ) = E(x T -E(x T ))2 ={E[x T 1 - E(x T 1) ]2, E[x T 2 - E(x T 2) ]2,…, E[x TN - E(x TN ) ]2} 但在许多情形下，E ∞
→T Lim (x T -E(x T ))2 = 0，即x T 的分布退化为一点。例如，已知x 的分布
是x ~ N (μ,
T
2σ)。当T → ∞，Var(x )→0。为防止分布发生退化，可以用T 乘Var(x )。
当T → ∞，T Var(x )→σ 2。
渐近方差。若上述随机变量序列有渐近期望，同时有新序列，
E[T (x T - E(x T ) ) 2 ] = {E{T [x T 1 - E(x T 1)]2}, E{T [x T 2 - E(x T 2) ]2 },…, E{T [x TN - E(x TN ) ]2 }} 满足
E ∞
→T L i m
[T (x T -E(x T ))2
] = v 则定义x T 的渐近方差为
T 1E ∞→T L i m [T (x T -E(x T ))2 ]= T
1v 渐近无偏性。若β?的渐近期望为β，则β?为 β 的渐近无偏估计量，即 )?(T
T E L i m β∞
→= β 一致性 若β?满足（1）渐近无偏性，（2）)?(V T
T ar Lim β∞
→= 0，则β?具有一致性，β?为 β 的一致估计量。
渐近有效性。若β?满足（1）具有一致性，（2）与其他估计量的方差相比，β?的渐进方差较小，Var(T β?)< Var(T
β~
)，则称β?具有渐近有效性。 OLS 估计量都能满足上述渐近特性，但满足渐近特性的估计量不见得是最佳线性无偏估计量。
注意：分清4个式子的关系。 (1) 真实的统计模型，y t = β0 + β1 x t + u t
(2) 估计的统计模型， y t =0?β+1
?β x t +t u ? (3) 真实的回归直线，E(y t ) = β0 +β1 x t
(4) 估计的回归直线，t y ?=0?β+1
?β x t
2.2.3 OLS 回归直线的性质
(1) 残差和等于零，∑t u
?= 0 由正规方程2∑ (y t -0?β-1?β x t ) (-1) = 0得 ∑ (y t -0?β-1?β x t ) = ∑ (y t -t y ?) = ∑ (t u
?) = 0
(2) 估计的回归直线 t y ? =0?β+1?β x t
过（x ,y ）点。 正规方程 ∑ (y t -0?β-1?β x t ) = 0两侧同除样本容量T ，得y =0?β+1?βx 。得证。 (3) y t 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数，t y
?=y 。 t y ?=T
1∑t y ?= T
1∑ (0?β+1?β x t ) = 0?β+1
?βx = y 。得证。 (4) Cov(t u
?, x t ) = 0 只需证明 ∑ ( x t -x )t u ?= ∑ x t t u ?- ∑x t u ?= ∑ x t t u ?= ∑ x t (t y ?-0?β-1?β x t
) = 0。 上式为正规方程之一。
(5) Cov(t u
?,t y ?) = 0 只需证明 ∑ (t y ?-y )t u ?= ∑t y ?t u ?- ∑y t u ?= ∑t y ?t u ?= ∑t u ?(0?β+1?β x t ) = 0?β∑t u ?+1
?β∑t u ?x t = 0 2.2.4 y t 的分布和1
?β的分布 根据假定条件u t ~ N (0, σ 2 )，
E(y t ) = E(β0 + β1 x t + u t ) = β0 + β1 x t + E(u t ) = β0 + β1 x t 。 Var(y t ) = Var (β0 + β1 x t + u t ) = Var (β0 + β1 x t ) + Var (u t ) = σ 2
y t 是u t 的线性函数，所以
y t ~ N (β0 + β1 x t , σ 2 )（注意：不是?t y ）。
可以证明
E(1?β) = β1
， Var (1?β) = -2
)(1
x x t σ 2，
1?β是y t 的线性函数（1?β= ∑ k t y t ），所以
1?β ~ N (β1
, -2
)(1
x x t σ 2 )。 E(0
?β) = β0， 22
02
var()()t t x n x x σβ=-∑∑
0?β是y t 的线性函数（0
1?()t t xk y n β=-∑），所以
?β ~ N (β0 , 22
2
()t t x n x x σ-∑∑ )。
2.2.5．σ 2 的估计及参数的区间估计 定义
2?σ
= 2
()2)t
u
T -∑
其中2表示待估参数的个数。可以证明E(2?σ) = σ 2。2?σ是σ 2 的无偏估计量。因为t u 是残差，所以2?σ
又称作误差均方。可用来考察观测值对回归直线的离散程度。 推导过程如下：
01t t t y x ββμ=++ 01???t t
y x ββ=+ y y -=(01t t x ββμ++)-(01x ββμ++)=1()()t t x x μμβ-+-
由01???t t y x ββ=+及正规方程y =0?β+1?βx 可得： ?y y -=1?()t
x x β- 残差：
?t t t u y y =-=?()()y y y y ---=11?()()()t t x x μμββ---- 求平方和
2
2
112221111?()()()??()()()2()()()
t
t t t t t t u x x x x x x μμββμμββββμμ??=----??=-+------∑∑∑∑∑
取期望：
22221111??()(())()()2()()()t t t t t E u E E x x E x x μμββββμμ????=-+------????
∑∑∑∑由于
222222
2
2
222
()(2)211()(2)
t
t t t t
t t t t t t s t s
n n u u n n μ
μμμμμμμμμμμμμμμ≠-=+-=+-=-=-=-+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ()()()22
22
22121()(1)t t t t s
t s E E E E u u n n n n n n
μμμμσσσ≠??-=-
+=-=-??∑∑∑∑ 2
2
2
2
2112
?()
()
()
()
t
t
t
E x x x x x x σββσ??--=-=??
-∑∑∑
由于11?t t k u ββ=+∑，所以：11
?t t k u ββ-=∑ 112222
22
?()()()()()()
()()()
()2()()
()()
()t t t t t t t t t t t t t
t t t
t t s t s t t t s t t
u u x x k u u u x x x x k u u x x u u x x x x u
x x u u x x x x x x u x x x
x ββ≠????---=--????-??=-=-??--+--??-??==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
211?()()()t t E x x ββμμσ??---=??
∑ 故有：()22222(1)2(2)t E u n n σσσσ=-+-=-∑
记2?σ
= 2()2)t u T -∑则有，()22?E σσ= 为计算方便，也可以采用如下计算形式：
212
??()()()?2
t
t t t
y y x x y y n βσ
----=
-∑∑（推导过程：略）
1?β和0
?β的估计的方差是 ∧
Var (1?β) = S 2 (1
?β) =∑-2
)(1
x x t 2?σ
， ∧
Var (
0?β) = S 2 (0
?β) =∑∑-2
2
)(x x T x t t 2?σ
知道了2
σ或其估计值2
?σ，就可以对1?β和0
?β进行区间估计 1、当总体方差2
σ已知时
11
1?(0,1)()
Z N ββσβ-= ，其中1()σβ
00
0?(0,1)()Z N ββσβ-= ，其中0()σβ
2、当总体方差2
σ未知时，样本容量充分大时，用2σ的无偏估计2()(2)
t u T -∑代替，仍可认为：
111?(0,1)()
Z N ββσβ-=
3、当总体方差2σ未知时，样本容量较小时，用2
σ的无偏估计2
(
)(2)t
u
T -∑代
替，此时
11
(2)
1?()T t t ββσβ--=
以第三种情况为例，利用1
?β求β1的置信区间。 P {
)
?(1
11
?βββs -≤ t α (T -2) } = 1- α 由大括号内不等式得β1的置信区间
1?β-)?(1
β
s t α (T -2) ≤ β1 ≤1?β+)?(1
βs t α (T -2) 其中)?(1βs 是)?(21βs =
∑-2
)
(1
x x t 2?σ
的算术根，而其中的σ?是2?σ的算术根。 例2.2（P46）
设回归方程为?t y
=6.70+0.58x t ，且2
()
64t
x x -=∑，
2()44t
y
y -=∑，
()()37t
t
x x y
y --=∑，T=10，求1β的95%置信区间。
解：212
??()()()?2
t
t t t
y y x x y y n βσ
----=
-∑∑=2.82
S (1
?β)
=0.21 所以1?β的95%置信区间为：1?β±t 0.025(10-2) S (1
?β)=0.58±2.306×0.21，即为 （0.10，1.06）。
2.3一元线性回归模型的假设检验。
建立模型的目的是用来进行预测或评价。建立模型之后，还需要进行检验，就是利用一定的定性与定量标准对模型的函数形式、变量选择、及参数估计的正确性进行评估。只有经过检验证明是正确的回归模型，才能用于经济分析、预测、决策。
2.3.1模型估计式的理论检验
理论检验又称符号检验，依据模型参数的符号及大小，评判其是否符合经济理论的规定或社会经济实践的常规。如果参数符合经济理论的规定或社会经济实践的常规，表明它在理论上有依据或在实践中能够被验证。反之说明它缺乏理论依据与实践证明，不能成立，不应被接受。
2.3.2 拟合优度的测量
拟合优度是指回归直线对观测值的拟合程度。显然若观测值离回归直线近，则拟合程度好；反之则拟合程度差。
为了说明样本决定系数的意义，首先让我们来考察一下被解释变量的总变差的组
成情况，以平均值y 为基准，说明yt 和t
y ?对y 的偏离程度，如下图：
图2.3 三种离差示意图
可以证明 ∑ (y t -y ) 2 = ∑ (t y
?-y ) 2 + ∑ (y t -t y ?)2 = ∑ (t y ?-y ) 2 + ∑ (t u ?)2。 TSS （总平方和）= ESS （回归平方和） + R SS （残差平方和）
证明 ∑ (y t -y ) 2 = ∑[ (y t -t y
?) + (t y ?-y )]2 = ∑ (y t -t y ?)2 + ∑ (t y ?-y )2 + 2 ∑ (y t -t y ?) (t y ?-y ) 其中 ∑ (y t -t y ?) (t y ?-y ) = ∑ (y t -t y ?)1?β(x t
-x ) =1?β∑ (y t -t y ?) x t -x 1?β∑ (y t -t y ?) =1?β∑t u ?x t = 0 度量拟合优度的统计量是可决系数（确定系数）：回归平方和在总变差中所占的比重为样本决定系数。即
R 2
=
∑∑--2
2)()?(y y y y
t t = （回归平方和）/（总平方和）= ESS/TSS =1- RSS/TSS
所以R 2的取值范围是 [0，1]。对于一组数据，TSS 是不变的，所以RSS ↑（↓），
ESS ↓（↑）。
2.3.3 回归参数的显著性检验
主要是检验 β1 是否为零。通常用样本计算的1
?β不等于零，但应检验这是否有统计显著性，即取零的概率。
H 0：β1 = 0； H 1：β1 ≠ 0 在H 0成立条件下，
t =
)
?(111
?βββs -=
)
1?
(1?ββs =
∑-2
1
)
(??x x t σ
β
-t α (T-2) 0 t α (T-2)
若 | t | > t α (T -2) ，则 β1 ≠ 0；若 | t | < t α (T -2) ，则 β1 = 0。
2.3.4 正态性检验：（雅克-贝拉检验JB ）
它是依据OLS 的残差，对大样本的一种检验方法：
Jarque 和Bera 建立了如下检验统计量：22(3)64n K JB S ??-=+????
其中：33
??()?t
u u u
S n σ
-=∑（对概率密度函数对称性的度量，偏度系数）， 44
??()?t
u
u u
K n σ-=
∑（对概率密度函数胖瘦的度量，峰度系数） 在给定的正态假定下，22(3)64n K JB S ??
-=+????
统计量渐近的服从自由度为2的2χ分布，用符号表示为：2(2)asy JB χ
如果?t u
服从正态分布，则S 为零，K 为3，因而JB 统计量的值为零，但如不是正
态分布，JB 将是一个逐渐增大的值。我们很容易从2χ分布表计算出JB 的值。在某一显著水平下，如果计算出的统计值超过临界2χ值，则拒绝正态分布的零假设。 例：（P58）
2.4 一元回归模型的预测
对于时间序列数据，预测可分为事前预测和事后预测。两种预测都是在样本区间之外进行，如图所示。
对于事后预测，被解释变量和解释变量的值在预测区间都是已知的。可以直接用实际发生值评价模型的预测能力。对于事前预测，解释变量是未发生的。（当模型中含有滞后变量时，解释变量则有可能是已知的。）当预测被解释变量时，则首先应该预测解释变量的值。对于解释变量的预测，通常采用时间序列模型。
对于截面数据，通常是推测未知的数据。
预测还分为有条件预测和无条件预测。对于无条件预测，预测式中所有解释变量的值都是已知的。所以事后预测应该属于无条件预测。当一个模型的解释变量完全由滞后变量组成时，事前预测也有可能是无条件预测。例如
t y ?=0?β+1
?β x t -1 当预测T +1期的y t 值时，x t 用的是T 期值，是已知值。
预测还分为静态预测和动态预测。
2.4.1 y F 的点预测。
对于总体方程：01t t t y x ββμ=++ 01()t t E y x ββ=+
在样本点之外的x=x f ，那么，这个时期的被解释变量Y 和期均值E （Yf ）应该为：
01f f f y x ββμ=++，01()f f E y x ββ=+
根据估计的回归函数: ?t y =0?β+1?β x t ，在x=x f 时的拟合值为： F y ? =0?β+1
?β x F
取期望：E （F y ?） =E （0?β+1?β x F ）=01()f f
x E y ββ+= 表明?f y 是f y 的均值E （f y ）的无偏估计，因此可以作为E （f y ）置信区间的中心。 注意：E （?f y
）=01f x ββ+=f y -f μ，表明?f y 不是f y 的无偏估计。但E （?f y -f y ）=0，即在多次观察中，?f y
可能大于、小于f y ，但两者之差的平均值趋于0，在这外意义上，用?f y
来估计f y ，并且用?f y 作为f y 的预测中心是合理的。 2.4.2 区间预测
对于任一给定样本，预测值?f y
只能作为f y 的估计值，作为E （f y ）的无偏估计量，不等于真实的f y 和E （f y ），也就是说两者之间存在误差，这个误差称为预测误差，
为了估计这个误差，需要求出?f y
的抽样分布，在遵循古典假设的情况下，?f y 服从正态分布。下面我们分别讨论?f y
对f y 和E （f y ）的误差，及其分布，进而进区间预测。 1、E （f y ）的预测区间。
为了得到E （f y ）的预测区间，应首先求出E （f y ）与它的无偏估计值?f y
的偏差的方差。
因为：E （F y
?） =()f E y ，所以有 ?var(()f f y E y -=2??(())(())f f f f E y E y E y E y ??---??=2
?(()f f E y E y ??-??
=20101??()()f f E x x ββββ??---??=2
0011??()()f E x ββββ??---??
=22200110011????()()2()()f f E x E x E ββββββββ??????-+----??????
其中：
第一项：22
2
2
000002
???()(())var()()
t t
x E E E T
x x σβββββ????-=-==????-∑∑
第二项：2
2
11?()f x E ββ??-??=2
2
2
111??(())var()f f x E E x βββ??-==
??222
()f
t x x x σ-∑
由于11?t t k u ββ=+∑，001?()t t xk u T ββ=+-∑， 所以：11
?t t k u ββ-=∑，001?()t t xk u T ββ-=-∑ 第三项：0
011??2)()f x E ββββ??--??=12()f t t t t x E xk u k u T ??-????∑∑ =,1
2()f t t s s t s x E xk u k u T ??-????
∑
=212()f t t t t s x E xk k u T =??-????∑+12()f t t s s t s x E xk u k u T ≠??
-????
∑
=212()()f t t t x xk k E u T -∑+12()()f t s t s t s x xk k E u u T ≠-∑=21
2()f t t x xk k T σ-∑
=2
2
12()f t t x k x k T σ-∑∑=22
12(0)()
f t x x x x σ--∑=222()f t x x x x σ--∑ 从而有：?var(()f f y
E y -=22
2
()t t x T x x σ-∑∑+
222
()f
t x x x σ-∑22
2()f t x x
x x σ-
-∑
=2
2
2()1()f t x x T x x σ??--??-????
∑ 由?f y
- E （f y ）的期望和方差可知。 ?f y - E （f y ）~N （0，22
2()1()f t x x T x x σ??--??
-???
?∑）
?()(0,1)y
E y N -
由于2σ未知，用2?σ
= 2()2)t u T -∑代替，根据抽样分布理论，则有：
?()(2)y
E y t t T -=-
那么给定显著显水平α，则可求得E （f y ）的（1-α）的预测区间为：
则E(y F ) 的区间预测是 ?f y
± [ t α/2 (T -2) σ?∑--+
2
2)()(1
x x x x T t F ]
2 单个y F 的区间预测
为了得到f y 的预测区间，应首先求出f y 与?f y
之间偏差的方差，由于E （f y -?f y ）=0，f y 与?f y 不相关（因为t y 之间不相关，而0?β、1?β是t
y 的线性组合，F y ? =0?β+1?β x f ，f x 为非随机变量，所不相关）。并且
201var()var()var()f f f f y x u u ββσ=++== 22
2()1?var()()f t x x y T x x σ??
-=-??
-???
?∑ 所以：2
2
2()1??var()var()var()1()f f f f f t x x y y y y T x x σ??--=+=+-??-????
∑ 由?f f y y
-的期望和方差可知： 22
2()1?(0,1)()f f f t x x y y N T x x σ??
--+-??-????
∑
?(0,1)y y
N -
由于2σ未知，用2?σ
= 2()2)t u T -∑代替，根据抽样分布理论，则有：
?(2)y
y t t T -=-
那么给定显著显水平α，则可求得f y 的（1-α）的预测区间为：
F y
? ± [ t α/2 (T -2) σ?∑--+
+2
2)()(1
1x x x x T t F ]
2.4.3 影响预测区间大小的因素
由一预测区间的表达式，可以看出，影响预测区间大小的因素有四个：
1、误差相u t 方差的大小。这是随机影响因素，由总体决定。2?σ趆小，区间趆小。
2、样本容量。
3、()t x x -的大小，即样本范围的大小，范围趆大，精度趆高。
4、()F x x -的大小，即预测点离平均值的大小，趆近精度趆高。
2.4.4 回归结果的报告形式与分析 1、回归结果的格式
回归模型经过估计，检验之后，得到一系列数据，为了清晰、简明地表明这些数据，需用一定的标准格式报告回归分析的结果。
如例2.1的分析结果可以写成：
?t y
= 37.2270 + 0.5414t x ?()i s β=(5.7008) (0.0267) 标准差 ?()i
t β=(6.5301) (20.2979) t 统计量 2R =0.9808 S.E=7.28655 dW=8 2、回归结果的分析
1）、系数的说明，系数的正负号与大小。 2）、拟合情况：2R 、S.E 。
3）系数的显著性：?()i
t β、F
4）自相关检验：DW
2.5．相关理论
相关分析是研究变量间相互关系的最基本方法。从相关分析中引出的相关系数是回归分析的一个基本统计量。掌握它有助于对经济问题和经济计量模型的分析与理解。
11.1 相关的定义与分类
定义：相关（correlation）指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
分类：①按强度分
完全相关：变量间存在函数关系。例，圆的周长，L = 2πr。
高度相关（强相关）：变量间近似存在函数关系。如我国家庭收入与支出的关系。
弱相关：变量间有关系但不明显。例，近年来我国耕种面积与产量。
零相关：变量间不存在任何关系。例，某班学生的学习成绩与年龄。
完全相关相关、线性相关、正相关弱相关
②按变量个数分
按形式分：线性相关, 非线性相关简单相关：指两个变量间相关
按符号分：正相关, 负相关, 零相关复相关（多重相关和偏相关）：指三个或三个以上变量间的相关。
非线性相关负相关零相关
因非线性相关可以转化为线性相关处理，而复相关又可看作是简单相关基础上的拓展，所以后面重点介绍简单线性相关。
11.2 简单线性相关的度量