任意角、弧度制及任意角的三角函数
2016高考会这样考 1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式．
复习备考要这样做 1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石．
1．角的概念
2．
3．
4.
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
(Ⅱ)
(Ⅲ)(Ⅳ)
为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段
[
1．
(1)“锐角”，把“
的角，第一象限角的集合为{Z}．
(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．
弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．
如，y)的横坐标不等于零，也就是角
与y?
?
k∈Z.
3．
(1)
(2)
(3)y轴
(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，
即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．
1．若点P在角
2π
3的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．
2．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－
25
5，则y＝________.
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3． 下列与9π
4
的终边相同的角的表达式中正确的是
( )
A ．2k π＋45° (k ∈Z )
B ．k ·360°＋9
4π (k ∈Z )
C ．k ·360°－315°(k ∈Z )
D ．k π＋5π
4 (k ∈Z )
4． 已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是
( )
A ．第一或第二象限角
B ．第二或第三象限角
C ．第三或第四象限角
D ．第一或第四象限角
5． 已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是
( )
A ．1
B ．4
题型一 角的有关问题
例1 (1)写出终边在直线y (2)若角θ的终边与67π(3)已知角α思维启迪：
探究提高 所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k ·360°＋α，k ∈Z ；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k 的奇、偶情况进行讨论．
已知角α＝45°，
(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)设集合M ＝?
???
??
x |x ＝k 2×180°
＋45°，k ∈Z ， N ＝?
???
??
x |x ＝k 4×180°
＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝
36x ，求sin α＋1tan α
的值． 思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x ，再求sin α＋1
tan α
的值．
探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P 点所在的象限，确定
已知角α
题型三 例3 (1)若θ(2)已知cos α≤－1
2
，求角思维启迪：由θ所在象限，可以确定sin θ、cos θ的符号；解三角不等式，可以利用三角函数线．
探究提高 (1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．
(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤： ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．
(1)y ＝
sin x －
3
2
的定义域为________． (2)已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，cos θ)在第几象限？
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维启迪：(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．
探究提高 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝1
2αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为
圆心角，S 是扇形面积．
(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多
少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm ；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
数形结合思想在三角函数线中的应用
典例：(12分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域；
(2)设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ
2
的大小．
审题视角 (1)求定义域，就是求使3－4sin 2x >0的x 的范围．用三角函数线求解． (2)比较大小，可以从以下几个角度观察：
①θ是第二象限角，θ2是第几象限角？首先应予以确定．可以画出三角函数线．规范解答
解 (1)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <3
4，
∴－
32 2 .[2分利用三角函数线画出x 如图阴影部分所示)， ∴x ∈???k π－π3，k π＋π 3(k (2)∵θ是第二象限角， ∴π 2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∴π4＋k π<θ2<π 2＋k π，k ∈∴θ 2 是第一或第三象限的角．(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得： ①当θ 2 是第一象限角时， sin θ2＝AB ，cos θ2＝OA ，tan θ 2＝CT ， 从而得，cos θ2 2；[8分] ②当θ 2 是第三象限角时， sin θ2＝EF ，cos θ2＝OE ，tan θ 2 ＝CT ， 学全优教育 打造长沙家长最满意的教育品牌 得sin θ2 2 .[10分] 综上可得，当θ2在第一象限时，cos θ2 当θ2在第三象限时，sin θ2 2 .[12分] 温馨提醒 1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线．用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点：①不能确定θ 2所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理 解不透，方法不够灵活． 方法与技巧 1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值． 2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 失误与防范 1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示． A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α等于 ( ) A.5 5 B.255 C ．－ 5 5 D ．－255 2． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 ( ) A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为() A．2 B．4 C．6 D．8 4．有下列命题： ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角； ④若α A．1 二、填空题(每小题 5．已知点P(tan α 6．设α 7．函数y＝sin x 三、解答题(共22分 8．(10分)已知角θcos θ和tan θ 9．(12分)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4 5 ，则m 的值为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－ 3 2 D.32 2． 已知点P ? ???sin 3π4，cos 3π 4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ( ) A.π 4 B.3π 4 3． 给出下列命题： ④若sin α＝sin β，则α⑤若cos θ<0，则θ其中正确命题的个数是 A ．1 B ．二、填空题(每小题54． 已知角α2sin α＋cos α＝________. 5． 函数y ＝2cos x －16． 一扇形的圆心角为 三、解答题 7． (13分)已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α 2 终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α 2的符号．
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