【创新设计】2015-2016学年高中数学第三章函数的应用章末复习
提升新人教A版必修1
1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数的零点的存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)．
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.
4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．
5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
题型一 函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视． 例1 已知a 是函数f (x )＝2x
－log 2
1x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )
A ．f (x 0)＝0
B ．f (x 0)＞0
C ．f (x 0)＜0
D ．f (x 0)的符号不确定 答案 C
解析 如图所示，是y ＝2x
与y ＝log 2
1x 的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a ，于是在
(0，a )区间上，y ＝2x
的图象在y ＝log 2
1x 的图象的下方，从而2x 0＜log 2
1x 0，即f (x 0)＝2x 0
－log 2
1x 0＜0.
跟踪演练1 设函数y ＝x 3
与y ＝? ??
??12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 答案 B
解析 设g (x )＝x 3
－2
2－x
，则g (0)＝－4，g (1)＝－1，
g (2)＝7，g (3)＝26 12
，g (4)＝63 34
，
显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内，
即y ＝x 3
与y ＝? ??
??12x －2的图象的交点在(1,2)内．
题型二 函数模型及应用
针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，
P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如
下表所示：
第t 天
4 10 16 22 Q (万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；
(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝1
5
t ＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－1
10t ＋8，
故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为： P ＝?????
15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，－1
10t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N .
(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N . (3)由以上两问，可知
y ＝???
??
? ??
??15t ＋2－t ＋
，0≤t ≤20，t ∈N ? ??
??－110t ＋8－t ＋
，20＜t ≤30，t ∈N
＝?????
－15t －2
＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，
110
t －
2
－40，20＜t ≤30，t ∈N .
当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125， 当20≤t ≤30，y 随t 的增大而减小．
∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．
跟踪演练2 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：
(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由．
解 (1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1,1)和(6,2)． 可求得k ＝0.2，b ＝0.8. ∴y 甲＝0.2(x ＋4)．
故第二年甲鱼池的产量为1.2万只． 同理可得y 乙＝4(－x ＋172
)．
故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只． (3)设第x 年规模最大，
即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4(－x ＋17
2)
＝－0.8x 2
＋3.6x ＋27.2的最大值． 当x ＝－
3.6－
＝21
4
≈2时， y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大．
即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只． 题型三 转化与化归思想
转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．
例3 已知关于x 的方程ax 2
－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，试问当a 为何值时，方程的两根都大于1.
解 设方程的两根为x 1，x 2，方程的两根都大于1， 则x 1－1＞0，x 2－1＞0， 故???
?
?
x 1－x 2－
＞0，
x 1－
＋
x 2－＞0
????
??
x 1x 2－
x 1＋x 2＋1＞0，
x 1＋x 2＞2
??????
a －1a －a ＋
a
＋1＞0，
a ＋a
＞2
??
??
??
a ＜0，a ＞0，矛盾．
故不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.
跟踪演练3 当a 为何值时，函数y ＝7x 2
－(a ＋13)x ＋a 2
－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？
解 已知函数对应的方程为7x 2
－(a ＋13)x ＋a 2
－a －2＝0，
函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则：
????
?
f ＞0，f ＜0，f
＞0，
即?????
a 2
－a －2＞0，a 2
－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，
解得????
?
a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，
a ＜0或a ＞3，
∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.
1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点的存在定理，可用来求参数的取值范围． 2．函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．3．函数建模的基本过程如图