2016-2017学年黑龙江省大庆四中高二(上)期中数学试卷
(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本题共12小题,每题5分,满分60分.每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1.“x>3”是“x2﹣5x+6>0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由题意,可以根据充要条件的定义进行判断.
【解答】解:x2﹣5x+6>0的解集A:(6,+∞)∪(﹣∞,﹣1),B:(3,+∞),∵B?A∴“x >3”是“x2﹣5x+6>0”的充分不必要条件;故选A
2.设命题p:a,b都是偶数,则¬p为()
A.a,b都不是偶数B.a,b不都是偶数
C.a,b都是奇数D.a,b一个是奇数一个是偶数
【考点】命题的否定.
【分析】根据命题的否定的定义进行判断即可.
【解答】解:∵命题p:a,b都是偶数,
∴¬p:a,b不都是偶数,
故选:B
3.命题“如果a=4,那么方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的逆命题()A.是真命题B.是假命题C.没有逆命题D.无法确定真假【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】写出原命题的逆命题,进而根据椭圆的标准方程,判断真假.
【解答】解:“如果a=4,那么方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的逆命题是
“如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么a=4”,
程+=1表示焦点在x轴上的椭圆?a2>4?a<﹣2,或a>2,
故“如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么a=4”是假命题,
故选:B.
4.已知命题p,q都是假命题,则下列命题为真命题的是()
A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧q D.p∨(¬q)
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据已知中命题p,q都是假命题,结合复合命题真假判断的真值表,可得答案.【解答】解:∵命题p,q都是假命题,
∴命题p∨q,p∧q,(¬p)∧q都是假命题,
命题p∨(¬q)是真命题,
故选:D.
5.设命题p:?n∈N,n2>2n,则¬p为()
A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 【考点】命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
【解答】解:命题的否定是:?n∈N,n2≤2n,
故选:C.
6.下列说法中正确的是()
A.如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于﹣1
B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件
C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D.“a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的充分不必要条件
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据l1与l2垂直的充要条件,可判断A,根据充要条件的定义,可判断BD,判断原命题的真假,可得其逆否命题的真假,可判断C.
【解答】解:若两条直线的斜率一条为0,一条不存在,则两直线也垂直,故A错误;
“+≥2”?“a>0,b>0,或a<0,b<0”,
故“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;
命题“若x=y,则sinx=siny”为真命题,故其逆否命题为真命题,故C正确;
“a=﹣5且b=5”?“a+b=0”,即“a=﹣5且b=5”是“a+b=0”的充分不必要条件,
故“a+b≠0”是“a≠﹣5或b≠5”的充分不必要条件,
即“a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的必要不充分条件,
故D错误;
故选:C.
7.在椭圆4x2+y2=4上任取一点P,设P在x轴上的正投影为点D,当点P在椭圆上运动时,
动点MM满足=2,则动点M的轨迹是()
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.圆D.无法确定
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可知:P(x0,y0),D(x0,0),M(x,y),则=(0,﹣y0),=(x﹣
x0,﹣y),由=2,即(0,﹣y0)=2(x﹣x0,﹣y),因此,整理可得,
代入椭圆,即可求得动点M的轨迹方程x2+y2=1,因此动点M的轨迹是圆.
【解答】解:由椭圆,可知焦点在y轴上,
设P(x0,y0),D(x0,0),M(x,y),
由题意可知:=(0,﹣y0),=(x﹣x0,﹣y),
由=2,即(0,﹣y0)=2(x﹣x0,﹣y),
则,
∴,
由P(x0,y0)在上,则,
∴x2+y2=1,
动点M的轨迹是圆,
故选:C.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若实轴长度为8,则△ABF2的周长是()
A.26 B.21 C.18 D.16
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线方程求得a=4,由双曲线的定义可得AF2+BF2 =21,△ABF2的周长是(AF1 +AF2)+(BF1+BF2 )=(AF2+BF2)+AB,计算可得答案.
【解答】解:由题意可得2a=8,由双曲线的定义可得
AF2﹣AF1=2a,BF2 ﹣BF1=2a,
∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16,即AF2+BF2 ﹣5=16,AF2+BF2 =21.
△ABF2(F2为右焦点)的周长是
(AF1 +AF2)+(BF1+BF2 )=(AF2+BF2)+AB=21+5=26.
故选A.
9.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()
A.B.C.D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为直线x=上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率.
【解答】解:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C.
10.已知抛物线C:y2=16x,焦点为F,直线l:x=﹣1,点A∈l,线段AF与抛物线C的交点为B,若|FA|=5|FB|,则|FA|=()
A.B.35 C.D.40
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设A(﹣1,a),B(m,n),且n2=16m,由|FA|=5|FB|,确定A,B的坐标,即可求得|FA|.
【解答】解:由抛物线C:y2=16x,可得F(4,0),
设A(﹣1,a),B(m,n),且n2=16m,
∵|FA|=5|FB|,
∴﹣1﹣4=5(m﹣4),∴m=3,
∴n=±4,
∵a=5n,∴a=±20,
∴|FA|==35.
故选:B.
11.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=9,直线l:y=kx+3与圆C相交于A、B两点,M为弦AB上一动点,以M为圆心,1为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围()
A.(﹣∞,0] B.[,+∞)C.[0,] D.(0,]
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】M为圆心,1为半径的圆与圆C总有公共点,只要求点M在弦的中点上满足,其它的点都满足,即圆心C到直线的距离+1≥3,从而可得实数k的取值范围.
【解答】解:以M为圆心,1为半径的圆与圆C总有公共点,只要求点M在弦的中点上满足,其它的点都满足,
即圆心C到直线的距离d+1≥3,
所以+1≥3,
所以0,
故选:C.
12.如图,F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由△BAF2为等边三角形,设AF2=t,则AB=BF2=t,再由双曲线的定义,求得t=4a,再由余弦定理可得a,c的关系,结合离心率公式即可计算得到.
【解答】解:由△BAF2为等边三角形,
设A为右支上一点,且AF2=t,则AB=BF2=t,
由双曲线的定义可得,
AF2﹣AF1=2a,BF1﹣BF2=2a,BF1=AB+AF1,
即有t+2a=2t﹣2a,
解得,t=4a,
AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,
由余弦定理可得,
F1F22=AF12+AF22﹣2AF1?AF2cos60°,
即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×,
即为4c2=28a2,
则有e==.
故选D.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
13.抛物线y=4x2的焦点坐标是.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先化简为标准方程,进而可得到p的值,即可确定答案.
【解答】解:由题意可知∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
14.双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设该双曲线的实半轴为a,虚半轴为b,半焦距为c,由离心率e==2,b2+a2=c2
可求得b=a,从而可求双曲线的两条渐近线所成的锐角.
【解答】解:设该双曲线的实半轴为a,虚半轴为b,半焦距为c,
∵离心率e==2,
∴c=2a,c2=4a2,
又b2+a2=c2,
∴b2=c2﹣a2=3a2,
∴b=a,
当双曲线的焦点在x轴时,双曲线的两条渐近线方程为y=±x=±x,
而y=x的倾斜角为60°,y=﹣x的倾斜角为120°,
∴双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°;
当双曲线的焦点在y轴时,同理可得,双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°;
故答案为:60°.
15.若直线:x﹣y+2=0与圆C:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4相交于A,B两点,则?的值为0.
【考点】直线与圆相交的性质;平面向量数量积的运算.
【分析】求出圆心C(3,3)到直线x﹣y+2=0的距离为CD,以及cosACB的值,利用数量积的公式即可得到结论.
【解答】解:由圆的标准方程可知,圆心C(3,3),半径r=2,
∵圆心C(3,3)到直线x﹣y+2=0的距离为
CD=,
∴AD=,即AB=2,
∴△ACB为直角三角形,
∴∠ACD=,
即AC⊥BC,
∴?=0,
故答案为:0.
16.已知P是曲线+=1(xy≠0)上的动点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标
原点,若M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且?=0,则||的取值范围是(0,2).【考点】椭圆的简单性质.
【分析】椭圆方程:+=1(xy≠0),a=3,b=,则c==2,如图所示.M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且F1M⊥MP,可得点M是底边F1N的中点.又点O是线段
F1F2的中点,|OM|=丨丨,|PF1|=|PN|,可得∠F2NM>∠F2F1N,可得|F1F2|>|F2N|,即可得出.
【解答】解:由椭圆方程:+=1(xy≠0),a=3,b=,则c==2,
如图所示.∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点,
∵?=0,
∴⊥,
∴点M是底边F1N的中点,
又点O是线段F1F2的中点,
∴|OM|=丨丨,
∵|PF1|=|PN|,
∴∠F2NM>∠F2F1N,
∴|F1F2|>|F2N|,
∴0<|OM|×2c=c=2.
∴则|OM|的取值范围是(0,2).
故答案为:(0,2).
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.)17.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x﹣3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】设动圆圆心M(x,y),动圆M与C1、C2的切点分别为A、B,则|MC1|﹣|AC1|=|MA|,|MC2|﹣|BC2|=|MB|,从而可得|MC2|﹣|MC1|=2,利用双曲线的定义,即可求动圆圆心M的轨迹方程.
【解答】解:设动圆圆心M(x,y),动圆M与C1、C2的切点分别为A、B,则|MC1|﹣|AC1|=|MA|,|MC2|﹣|BC2|=|MB|.
又∵|MA|=|MB|,
∴|MC2|﹣|MC1|=|BC2|﹣|AC1|=3﹣1=2,
即|MC2|﹣|MC1|=2,又∵|C1C2|=6,
由双曲线定义知:动点M的轨迹是以C1、C2为焦点,中心在原点的双曲线的左支.
∵2a=2,2c=6,∴a=1,c=3,
∴b2=8.
∴动点M的轨迹方程为x2﹣=1(x≤﹣1).
18.有两个命题,p:关于x的不等式a x>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0};q:函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】对于命题p:利用指数函数的单调性可得:0<a<1.
对于命题q:函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.等价于?x∈R,ax2﹣x+a>0.对a分类讨论,利用函数的图象与性质即可得出.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p真q假,或p假q真,即可得出.
【解答】解:p:关于x的不等式a x>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},∴0<a<1.q:函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.等价于?x∈R,ax2﹣x+a>0.
如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
(i)a=0 不成立.
(ii)a≠0 时,,解得,即q:a.
如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p真q假,或p假q真,
∴或,
解得,或a≥1.
∴实数a的取值范围是,或a≥1.
19.已知定点A(﹣1,1),动点P在抛物线C:y2=﹣8x上,F为抛物线C的焦点.
(1)求|PA|+|PF|最小值;
(2)求以A为中点的弦所在的直线方程.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)利用抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,当A,P,E三点共线时最小,|PA|+|PF|取得最小值;
(2)利用点差法,求斜率,即可求以A为中点的弦所在的直线方程.
【解答】解:(1)设抛物线C的准线为l,所以l的方程为x=2,
设P到准线的距离为d,垂足为E.由抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,
当A,P,E三点共线时最小,|PA|+|PF|最小值为3.﹣﹣﹣﹣﹣
(2)设以A为中点的弦所在的直线交抛物线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,
所以x1+x2=﹣2,y1+y2=2,
又因为M,N在抛物线C上,
则有y12=﹣8x1,y22=﹣8x2,做差化简得k MN=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又直线MN过点A(﹣1,1),所以有y﹣1=﹣4(x+1),
即以A为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20.已知点A(1,)在椭圆E:+=1上,若斜率为的直线l与椭圆E交于B,C两点,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可知:设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程,由△>0,求得0≤m2<8,根据韦达定理及弦长公式求得丨BC丨,由点到直线的距离公式点A到l的距离为d,
再利用三角形的面积公式求得S△ABC=?丨BC丨?d,利用基本不等式的性质即可求得△ABC 的面积最大值时,m的取值,即可求得直线l的方程.
【解答】解:设直线l的方程为y=x+m,设B(x1,y1),C(x2,y2),
由,消去y,整理得4x2+2mx+m2﹣4=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣
则△=8m2﹣16(m2﹣4)=8(8﹣m2)>0,解得:0≤m2<8,
由韦达定理可知:x1+x2=﹣,x1?x2=,
由弦长公式可知:丨BC丨=?=,﹣﹣﹣﹣
又点A到l的距离为d==,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故S△ABC=?丨BC丨?d==?≤?
=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当m2=8﹣m2,即m=±2时取等号,此时满足0≤m2<8,
故直线l的方程为y=x±2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21.已知圆O:x2+y2=4与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求?的取值范围.
【考点】直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算.
【分析】根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,列出方程,再根据点P在圆内求出取值范围.
【解答】解:不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4即得A(﹣2,0),B(2,0).
设P(x,y),
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得,
两边平方,可得(x2+y2+4)2﹣16x2=(x2+y2)2,
化简整理可得,x2﹣y2=2.
?=(﹣2﹣x,﹣y)?(2﹣x,﹣y)=x2﹣4+y2=2(y2﹣1).
由于点P在圆O内,故,
由此得y2<1.
所以?的取值范围为[﹣2,0).
22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点为短轴的一个端点,∠OF2B=60°.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如图,过右焦点F2,且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于D,E两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AD分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′.试问k?k′是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)由条件可知,故求的椭圆方程.
(2)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x﹣1).由可得:(4k2+3)x2
﹣8k2x+4k2﹣12=0.因为直线AE的方程为:,直线AD的方程为:
,从而列式求解即可.
【解答】解:(1)由条件可知,故所求椭圆方程为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x﹣1).
由可得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
因为点F2(1,0)在椭圆内,所以直线l和椭圆都相交,即△>0恒成立.
设点E(x1,y1),D(x2,y2),
则.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为直线AE的方程为:,直线AD的方程为:,
令x=3,可得,,所以点P的坐标
.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
直线PF 2的斜率为
=
==
=
=,
所以k?k'为定值
.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2016年12月20日
期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一、选择题(本大题共4小题,共12.0分) 1.当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了() A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 2.正方体被平面所截得的图形不可能是() A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=, 则下列结论中错误的是() A. AC⊥BE B. EF∥平面ABCD C. 三棱锥A-BEF的体积为定值 D. △AEF的面积与△BEF的面积相等 4.由一些单位立方体构成的几何图形,主视图和左视图如图所示,则这样的几何体体 积的最小值是()(每个方格边长为1) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题(本大题共10小题,共30.0分) 5.设a,b是平面M外两条直线,且a∥M,那么a∥b是b∥M的______条件. 6.已知直线a,b及平面α,下列命题中:①;②; ③;④.正确命题的序号为______(注:把你认为正确 的序号都填上). 7.地球北纬45°圈上有A,B两地分别在东经80°和170°处,若地球半径为R,则A, B两地的球面距离为______. 8.如果一个球和立方体的每条棱都相切,那么称这个球为立方体的棱切球,那么单位 立方体的棱切球的体积是______. 9.若三棱锥S-ABC的所有的顶点都在球O的球面上.SA⊥平面ABC.SA=AB=2,AC=4, ∠BAC=,则球O的表面积为______.