2011年高三数学一轮复习精品导学案：第八章平面解析几何【知识特点】
1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；
2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；
3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。
【重点关注】
1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；
2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；
4、注重数学思想方法的应用
解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。
【地位和作用】
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，
帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：
1、各种题型均有所体现，分值大约在19-24分之间，比重较高，以低档题、中档题为主；
2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题；
3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。
第一节直线与方程
【高考目标定位】
一、直线的倾斜角与斜率
（一）考纲点击
1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
2、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
（二）热点提示
1、直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系是高考热点；
2、主要以选择、填空题的形式出现，属于中低档题目。
二、直线的方程
（一）考纲点击
1、掌握确定直线位置的几何要素；
2、掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
（二）热点提示
1、直线的方程是必考内容，是基础知识之一；
2、在高考中多与其他曲线结合考查，三种题型可出现，属于中低档题。
三、直线的交点坐标与距离公式
（一）考纲点击
1、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（二）热点提示
1、本节重点体现一种思想——转化与化归的思想，这种思想是高考的热点之一；
2、本部分在高考中主要以选择、填空为主，属于中低档题目。
【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③倾斜角α的范围000180α≤<. （2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点
的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式
为直线上一定点，k
为斜
是直线上两
注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一
定。（1）若
，直线垂直于x 轴，方程为
；（2）若，直线垂直于y 轴，方程为；（3）若
，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式 若点
的坐标分别为
，且线段
的中点M 的坐标为
（x,y ），则此公式为线段的中点坐标公式。
三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是
，
两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
【热点难点精析】
一、直线的倾斜角与斜率
（一）直线的倾斜角
※相关链接※
2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2
π
的子
集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(
,)2
π
π的子集，且k=tan α为增函数。
若k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率k=-cos
α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。
思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 解答：
1cos 1,1cos 1.11,1tan 1,30,4
4
3[0,],.
44k ααβπ
π
ββπππβπ-≤≤∴-≤-≤-≤≤∴-≤≤∴≤≤
≤≤??
∴????
即或
倾斜角的范围为
（二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：21
21
y y k x x -=
-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 21
2121
()y y k x x x x -=
≠-求斜率；
（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：
已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 ※例题解析※
〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果3
3
3
(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=
思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
解答：
（三）两条直线的平行与垂直
〖例〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）； （2）∠MPN 是直角。
思路解析：∠MOP=∠OPN ?OM//PN ，∠MPN 是直角?MP ⊥NP ，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。
解答：
0(,0),(1),//.200(2)2
1,(5),2055
2
1,7,(7,0).5
(2)90,, 1.
2222(2),(5),1,2525
16,(1,0)(6,0).
OM NP OM NP MP NP MP NP P x MOP OPN OM NP k k k k x x x x P x MPN MP NP k k k x k x x x x x x x P ∠=∠∴∴=---====≠---∴=
∴=-∠=∴⊥∴=-=≠=≠∴?=-----== 设又即又解得或即或
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和2l
，
。若有一条
直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。
（2）注意转化与化归思想的应用。
（3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。
二、直线的方程
（一）直线方程的求法 ※相关链接※
1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。
用待定系数法求直线方程的步骤： （1）设所求直线方程的某种形式； （2）由条件建立所求参数的方程（组）； （3）解这个方程（组）求参数； （4）把所求的参数值代入所设直线方程。
2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。
※例题解析※
〖例〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 思路解析：对截距是否为0分类讨论→设出直线方程→代入已知条件求解→得直线方程。
解答：当a=3,b ≠0时，设所求直线方程为
1x y a b +=，即1.(2,1)
,3x y
P b b
+=-又直线过点
211
1,.310.33
30(0).1
(2,1),12,.
2
1
.
2
1
310.
2
b x y b b a b y kx k P k k y x x y y x -+==-++====≠--==-=-++==-解得所求直线方程为当时，则所求直线过原点，可设方程为又直线过点则所求直线方程为综上所述，所求直线方程为或
（二）用一般式方程判定直线的位置关系 ※相关链接※
两条直线位置关系的判定
已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则 （1）
12122112211221111222222
//00(0)(0).
l l A B A B AC A C B C B C A B C
A B C A B C ?-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为
（2）121212//0.l l A A B B ?+= （3）
（4）
※例题解析※
〖例〗已知直线1:260l ax y ++=和直线2
2:(1)10l x a y a +-+-=，（1）试判断1l 与2
l 是否平行；（2）1l ⊥2l 时，求a 的值。
思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按2l 的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
解答：（1）方法一：
2122112212
12221220,(1)120,0,(1)160,(1)12020
//1,
(1)160(1)61//.
A B A B a a AC A C a a a a a a l l a a a a a a l l l l -=--?=-≠--?≠--?=?--=??∴???=-??--?≠-≠???
=-由得由得故当时，，否则与不平行
方法二：
12121212121212121:260,:0,0:3,:10,101:3,:(1),211//,1,
213(1)1//a l x y l x l l a l y l x y l l a a a l y x l y x a a
a
l l a a a a l l l l =++====---=≠≠=-
-=-+-?-=
??=--??-≠-+?=-当时,不平行于；当时，不平行于；当且时，两直线可化为解得综上可知，时，，否则与不平行.
（2）方法一：
由12122
02(1)0.3
A A
B B a a a +=+-=?=得 方法二：
1212121:260,:0,111:3,:(1),211()1.
213a l x y l x l l a a a l y x l y x a a
a a a a =++===≠=-
-=-+--=-?=- 当时，与不垂直，故不成立.当时，由
（三）直线方程的应用 ※相关链接※
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。
注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。
（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。 ※例题解析※
〖例〗如图，
过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴
正半轴于A 、B 两点。
（1）当⊿AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。
思路解析：求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式。由于本题中给出了一点，且直线与x 、y 轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：
①点斜式：设l 的方程为
，分别求出A 、B 的坐标，根据题目要求
建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；
②截距式：设l 的方程为
，将点（2，1）代入得出a 与b 的关系，建立目
标函数，求最小值及最值成立的条件；
③根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决。 解答：（1）方法一：设l 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则1
(2,0),(,12),A B o k k
-
-
1111(2)(12)22(4)24,
2211
4211
<0,,1(2),240.
22
S AOB k k k k k k k k k y x x y ∴=--÷=+--≥+=-=-=±∴=--=--+-= 当且仅当，即时取等号.
故所求直线的方程为即 方法二：设所求直线方程为由已知得，
于是。当且仅当，即
时，
取最大值
1
4
，此时取最小值4。故所求的直线l 的方程为
，即
。
方法三：设所求直线方程
为，由已知
得
（2）方法一：
2
2
1
:1(2)(0),0,0(2,0),(0,12).
1|||| 4.,1,||||.0,1,30.
l y k x k y x A B k k PA PB k k k PA PB k k l x y ---<==--====±<∴=-+-= 设直线分别令得由当且令当即时取得最小值又这时的方程是 方法二：
(0),,.
2
||||
sin ,cos .||||
11
||1||2,||,||.sin cos 24
||||.
sin cos sin 2(0,),0sin 21,sin 21,,.
24
1.30.
BAO P PE x E PF y F PE FP AP BP PE FP AP BP AP BP k l x y π
θθθθθθ
θθθππ
θθθθ∠=<<⊥⊥∴
====∴=
=∴==∈∴<≤==∴=-∴+-= 设过作轴于作轴于又当即时原式取得最小值的方程是
注：解析法解决实际问题，就是在实际问题中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决。
三、直线的交点坐标与距离公式 （一）有关距离问题 ※相关链接※
1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。
2、点到几种特殊直线的距离
（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。 （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.
（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。 （4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-.
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。
※例题解析※
〖例〗已知点P （2，-1）。
（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
思路解析：设出直线方程→由点到直线距离求参数→判断何时取得最大值并求之。 解答：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，-1），可见，过P （2，-1）且垂直于x 轴的直线满足条件。此时l 的斜率不存在，其方程为x=2。若斜率存在，设l 的方
程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得，解得3
4
k =
。此时l 的方程为3x-4y-10=0.
综上，可得直线l 的方程为x=2或3x-4y-10=0.
（2）作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得1,l OP k k =-所以1
2,l OP
k k =-
=由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线
2x-y-5=0是过P 点且与原点O
=
（3）由（2）可知，过P P 点且到原点距离为6的直线。
（二）有关对称问题 ※相关链接※
常见的对称问题： （1）中心对称
①若点
及
关于
对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用
，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称 ①点关于直线的对称 若两点
关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段
的中点在对称轴l 上，而且连接
的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标()22,x y （其中120,A x x ≠≠） ②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
※例题解析※
〖例〗求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程。 思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。 解答：方法一：由23
1y x y x =+??
=+?
知直线1l 与l 的交点坐标为（-2，-1），设直线2l 的方程为
y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线1l 、2l 的距离相等，由点到直线的距离公式得
=
，解得1
(2)2
k k =
=舍去，
∴直线2l 的方程为x-2y=0.
方法二：设所求直线上一点为P （x,y ）,则在直线1l 上必存在一点100(,)P x y 与点P 关于直线对称。
由题设：直线1PP 与直线l 垂直，且线段1PP 的中点00
2(
,)22
x x y y P ++在直线上。 ∴000000111,,11
22
y y
x y x x
y x y y x x -?=-?=-?-??
?=+++??=+?? 变形得代入直线1:23l y x =+得x+1=2(y-1)+3, 整理得x-2y=0.
所以所求直线方程为x-2y=0. （三）解析法（坐标法）应用
〖例〗（12）如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点，P M ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。
思路解析： 建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出|PM|和|PN|的长度。 解答：过点A 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标，……………1分
设B （-a,0），C （a,0）(a>0),A （0，b ）,P(1x ,0),a,b 为定值，1x 为参数，-a ≤1x ≤a, ∴
AB
的
方
程
是
bx-ay+ab=0,AC
的
方
程
是
bx+ay-ab=0,……………………………………………………4分
由点到直线的距离公式得………………7分
∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原点坐标代入AB ，AC 方程左端分别得ab,-ab,且点P 在直线AB ，AC 的下方，∴b 1x +ab>0,b 1x - ab<0,………………………………………………10分
∴……12分
注：解析法（坐标法）即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处
理代数问题的方法解决，这种方法是联系平面解析几何的纽带。求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后出现定值。
【感悟高考真题】
1．（2010安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 4.A
【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.
2．（2010上海文数）7.圆2
2
:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离
d = 3 。
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为35
4
2413=+?+?
3．（2010山东理数）
（16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴上，直线:1l y x =-补圆C 所截得的弦长为则过圆心有与直线l 垂直的直线的方程为
【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：
2
2+2=(a-1)
，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直
线方程为x+y-3=0。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
4．（2008年·全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与
740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ）
A ．3
B ．2
C ．13
-
D ．12
-
【考点精题精练】
一、选择题
1．倾斜角为45?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（B ）
A ．01=+-y x
B ．01=--y x
C ．01=-+y x
D ．01=++y x 2．倾斜角为45?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ D ） A ．1y x =+ B ．1y x =-- C ．1y x =-+ D ．1y x =- 3．过点
()
2,1M 的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，且
2MQ MP
=，则
直线l 的方程为（D ）
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.x-y-1=0
D.x+y-3=0
4．点P(2,3)到直线：ax+(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为 （ B ）
A ．3,-3
B ．5,1
C ．5,2
D ．7,1
5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件
的直线条数为 ( B )
A ．3
B ．2
C ．4
D ．1 6．已知点
到直线
的距离相等，则实数的值等于（ C ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ B ）
A. 0
B. 8-
C. 2
D. 10 解析：42,82
m
k m m -=
=-=-+ 8．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ C ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
解析：
,0,0a c a c
y x k b b b b =-+=-><
9．若方程014)()32(2
2
=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ C ） A. 0≠m B. 2
3
-
≠m
C. 1≠m
D. 1≠m ，2
3
-
≠m ，0≠m 解析：
2223,m m m m +--不能同时为0 10．若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平
面区域内，则实数的值为（D ）
A.7
B.－7
C.3
D.－3
11．设
分别是中
所对边的边长,则直线
与
的位置关系是( B )
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直 12．过原点和
在复平面内对应点的直线的倾斜角为（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．（2010届·广东省梅州揭阳高三联考（理））13．函数x
e y 2=图像上的点到直线
042=--y x 距离的最小值是 _5
14． 11.若直线
1:10
l mx y +-=与
2:250
l x y -+=垂直，则m 的值是 2 ．
15． 16.已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M 满足2=,
点N 满足3-=，点P 满足⊥，则P 点的轨迹方程是 x 2+y 2
-2x-y=0 .
16．直线为参数）上与点的距离等于的点的坐标是 （-3，4）
或（-1，2） 三、解答题
17．（广东汕头金平区·2010届高三上联考（文）） (20)（本小题满分14分）
已知函数
x a x x f +
=)(的定义域为),0(∞+，且
22
2)2(+
=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、
． （1）求a 的值；（2分）
（2）问：||||PN PM ?是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分） （3）设O 为原点，求四边形OMPN 面积最小值（7分）
本小题主要考查位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,
解答：（1）∵
22
222)2(+=+
=a f ，∴ 2=a . （2分）
（2）点P 的坐标为),
(00y x ，
则有
002x x y +
=，00>x ，（3分）
由点到直线的距离公式可知：
00
00||,1
2
|
|||x PN x y x PM ==
-=
，（6分）
故有1||||=?PN PM ，即||||PN PM ?为定值，这个值为1. （7分） （3）由题意可设),(t t M ，可知),
0(0y N .（8分）
∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=?PM
k ，即 1
00-=--t x t
y ，解得
)(2100y x t +=
，又
0002x x y +=，∴ 0022x x t +=.（10分） ∴
22
212
+=
?x S OPM ，
22
2120+=
?x S OPN ，（12分）
∴
212)1
(2120
20+≥++=
+=??x x S S S OPN OPM OMPN ，
当且仅当10=x 时，等号成立．
∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+．（14分） 18．已知直线Ax By C ++=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴；
（5）设()
P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点， 证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000.
解答：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零
即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠
（5）证明：()00P x y ，在直线Ax By C ++=0上 00000,Ax By C C Ax By ∴++==--
高三数学一轮复习学案概率统计 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法， 在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】 题型1 抽样方法 【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999-〕中，在公证部门监督下按照 随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 〔 〕A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ． 分层抽样 D ．以上均不对 分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288， 388，488，588，688，788，888，988．答案B ． 点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部 分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样 方法．〔2〕 系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一 段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体． 例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在 全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校 抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕 A ．24 B ．18 C ．16 D ．12 分析：依照给出的概领先求出x 的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．占全校学生总数的19%， 解析：C 二年级女生即20000.19380x =?=，如此一年级和二年级学生的总数是 3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生 一年级 二年级 三年级 女 生 373 x y 男生 377 370 z
1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ） ． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）； 直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量） （6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；
第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范 围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0 高三数学一轮复习学案：函数的概念及其表示 一、考试要求：1、了解映射的概念；2、理解函数的概念,了解构成函数的要素； 3、在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 4、了解函数与映射的关系； 5、了解简单的分段函数，并能简单应用． 二、知识梳理： 1、函数（1）函数的定义：设集合A 是一个非空 集，对A 内任意数x ，按照______的法则f ，都有 ___ 数值y 与它对应，则这种对应关系叫做_________上的一个函数。 （2）函数的两大要素：函数自变量的取值范围（集合A ）叫做函数的__________，所有函数值构成的集合叫做函数的___________。 （3）函数的表示方法：________、_________、_________。 (4)分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值范围有着不同的________，这样的函数通常叫做_________。 2、映射（1）映射的定义：设A 、B 是两个 集合，如果按照某种对应法则f 对集合A 中的 元素，在集合B 中 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。y 是x 在映射f 的作用下的 ，x 称作y 的 ，其中A 叫映射f 的 ，由所有象f(x)构成的集合叫映射f 的 。 （2）一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的 , 在集合A 中都有 ，则这两个集合的元素之间存在 关系，称这个映射叫集合A 到集合B 的一一映射。 3、函数与映射的关系：函数是一种特殊的________，其特殊性表现在__________。 三 基础练习： 1、下列四个命题：（1）函数是其定义域到值域的映射。 （2）x x x f -+-=23)(是函数。 （3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线.（4）函数???<-≥=) 0()0(22x x x x y 的图象是抛物线.其 中正确的个数是（ ） A ：1 B ：2 C ： 3 D ： 4 2、下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ：1-=x y 与2)1(-=x y B ：1-=x y 与1 1--= x x y C ：x y lg 4=与2lg 2x y = D ：2lg -=x y 与100lg x y = 3、在x y 2=，x y 2log =，2x y =，x y 2cos = 这四个函数中，当1021<< 个性化简案 个性化教案（真题演练） 个性化教案 平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值. 平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =- 天印中学2010届高三数学第一轮复习教学案 主备人：李松 2009-12-1立体几何2） 课题：线面平行与面面平行（B 级） 【教学目标】 1. 掌握直线与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题； 2. 掌握平面与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题。 〖走进课本〗——知识整理 1.直线与平面的位置关系有 ; ; 三种 2.直线与平面平行的判定定理： 用符号表示为 3.直线与平面平行的性质定理： 用符号表示为 4.两个平面平行的判定定理 有符号表示为 5.两个平面平行的性质定理 有符号表示为 〖基础训练〗——提神醒脑 1.直线a ⊥平面α，直线α||b ，则a 与b 的关系是（ ） A.b a || B. b a ⊥ C. b a ,一定异面 D. b a ,一定相交 2.如果直线a 平行于平面α，则（ ） A.平面α内有且只有一条直线与a 平行； B. 平面α内无数条直线与a 平行； C. 平面α内不存在与a 垂直的直线； D. 平面α内有且只有一条直线与a 垂直； 3.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是（ ） A.α||a B. α?a C.α||a 或α?a D. α?a 4.已知直线b a ,和平面α，那么b a ||的一个必要不充分的条件是（ ） A.α||a ，α||b B. α⊥a ，α⊥b C. α?b 且α||a D. b a ,与α成等角 5.以下六个命题：其中正确命题的序号是 ①两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； ⑤与同一条直线成等角的两个平面平行； ⑥一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行； 平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A 解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 2013年高考数学一轮复习精品教学案8.7 抛物线 【考纲解读】 1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 抛物线的概念 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 方程 ()022>=p px y 叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2p x - = ； 2．抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方 程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=， py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 标准方程 22(0)y px p => 22(0) y px p =-> 22(0)x py p => 22(0) x py p =-> 图形 焦点坐标 (,0)p (,0)2p - (0,)2p (0,) 2p - 准线方程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ o F x y l o x y F l x y o F l 福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案 1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．会用二元一次不等式表示平面区域． 3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用． 4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法． 5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念． 在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等． 第1课时直线的方程 知识网络 考纲导读 高考导航 基础过关 简单的线性规划 直线的倾斜角和斜率 直线方程的四种形式 两条直线的位置关系 直线 圆的方程圆的一般方程 圆的参数方程 直 线 和 圆圆的标准方程 曲 线 和 方 程 线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．直线方程的五种形式 名称方程适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例1.已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝时，直线在y轴上的截距为－ 2 3．④ 当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点． 解：(1) －1⑵ 2或－ 2 1⑶ 3 1或－2 ⑷－ 2 3⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y＋ 3 x＋2=0的倾斜角是（） A．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（） A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3 （3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－7 ，则l2的斜率是（） A．7 B．－ 7 C． 7 D．－7 （4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是． 解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－ 3 ． （2）C．提示：用斜率计算公式12 12 y y x x - - ． 典型例题 直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角， 且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，???==???==0 001221B A B A 或， 苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化 1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式： 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =- 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 集合 （一）集合的含义与表示 1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。 （二）集合间的基本关系 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2．在具体情境中，了解全集与空集的含义. （三）集合的基本运算 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。 根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. 第1课时 集合的概念 一、集合 1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有： (1) 确定性； (2) ； (3) ． 3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系 4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系 5．集合与集合的关系用符号 表示． 6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ． 7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ． 8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ． 9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个． 10．空集?是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，?是任何集合的 ，?是任何非空集合的 ，解题时不可忽视?． 例1. 已知集合8| 6A x N N x ?? =∈∈??-?? ，试求集合A 的所有子集.解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为 2,4,5，即{}2,4,5A =. ∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ. 变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ??+=??? ? 求b-a 的值. 解：由{}1,,0,,b a b a b a ??+=??? ? 可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修
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