所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下： 点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？ a.点乘的具体几何意义： 根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）： 定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边 由于余弦定理我们可以知道c2 =a2 +b2 - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c2(有兴趣的朋友可以去试着推导一下) 所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ) 因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c c=a - b c·c=(a -b)·(a - b) c·c=(a·a-2a·b+b·b) (a·a - 2a·b + b·b)=a2+b2- 2ab cos(q) 约掉a·a=a2,b·b=b2; -2a·b= -2ab cos(θ) a·b=ab cos(θ) 因为a=|a| 所以a·b=|a| |b|cosθ 跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 所以，点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样就节省了很多很多计算，能加快效率。
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
向量- 向量叉乘向量点乘 2010年07月28日星期三14:33 向量（Vector） 在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。 向量加法 向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有： V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2) 下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。 点乘（Dot Product） 如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。点乘比较简单，是相应元素的乘积的和： V1( x1, y1) V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2 注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有： A B = |A||B|Cos(θ) θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度，在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：Cos(θ) = A B /(|A||B|) 当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值 另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）
点乘 目录 点乘 叉乘 点乘 点乘（dot product），也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。 向量a·向量b=|a||b|cos
叉乘（cross product），也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin
向量的点乘和叉乘以及几何意义 |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：定义向量 c=a2abcos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可 以推导出cc=c(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)所以： cc=aa+bb-2abcos(θ)因为向量的点乘满足分配率： a(b+c)=ab+acc=ab)(a2ab+bb)(aa2abcos(q)约掉aa=a,bb=b;-2ab= -2abcos(θ)ab=abcos(θ)因为a=|a|所以ab=|a| |b|cosθ跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向 量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断 如下：ab>0方向基本相同，夹角在0到90之间ab=0正交ab<0方向基本相反，夹角在90到180之间所以，点乘的几何意义和用 处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至 于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我 们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面， 如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样 就节省了很多很多计算，能加快效率。向量的叉乘(也叫做叉积)
为什么是这样，上面已经说过，规定就这样。同样，我们给出叉乘的几何解释：在3维几何中，我们可以一眼看出来，叉乘的结果也是一个向量，而且这个向量不是一般的向量，而是大名鼎鼎的"法向量"，3D技术中法向量有多重要我就不吹了，反正是个VIP概念。在2维集合中，axb等于由向量组成的平行四边形的面积（证明很简单，你们可以自己试着证明）总之：向量的叉积最重要的应用就是创建垂直于平面，三角形，或者多边形的向量。
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量：
根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c 均为向量）有： 即： 向量a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b 间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是 一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b 的叉乘公式为：
其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个 垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
【最新整理，下载后即可编辑】 概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
向量内积、外积和混合积 1 点乘 1.1 定义 点乘，也叫向量的内积、数量积。两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<> 令cos ,a b θ<>= ，则[]0,θπ∈。 1.2 坐标表示 设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则： 121212a b x x y y z z =++ 1.3 几何意义 点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。 1.4 应用 （1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量） （2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦； （3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影； （4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。（<0）多边形在视点的正面能看到。 （5）求平面外一点到平面的距离。从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。 （6）方向角与方向余弦。方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则： 222cos ,cos ,cos cos cos cos y x z a a a a a a αβγαβγ ===++ 如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ= 。 2 叉乘 2.1 定义 叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。大小为： sin ,c a b a b =<> 令sin ,a b θ<>= ，则[]/2,/2θππ∈-，指的是a 到b 的夹角，具有方向性。 2.2 坐标表示 c =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2），矩阵表示为
习题二 向量的点积与叉积 一、是非题 解：1.（×）满足000=?≠≠b a b a ,,的向量a 与b 平行，可能同向或反向. 2.（√）由向量点积定义可得. 3.（×）b a ?的大小表示a ,b 两向量构成的平行四边形的面积. 4.（√）c a b a ?=?，即0)(=-?c b a ，所以)(c b a -⊥. 二、填空题 解：1. 1413)2(2 2 2 =++-=a ，21)1(2 2 =+-=b , 所以夹角余弦为7 1 72221411)1(302cos -=-=??+-?+?-=??= b a b a θ. 而以向量a ,b 为邻边的平行四边形的面积即为b a ?，所以 62)7 1(1214cos 1sin 2 2=- -??=-?=?=θθb a b a S . 2. 由向量加法的三角形法则及余弦定理，有2 32 3222)32(2cos 2 22= ??-+=θ，得a 与b 的夹角为6 π= θ. 3. k j i a 2++-=，k j i b 2+-=，所以 222)1(11)1(=?+-?+?-=?b a ，j i j i b a 442 11211+=--=?k . 4. 22 2224πsin =??=?=?b a b a . 三、选择题 解：1.(A) 因为1)32( )3 1()3 2(22 2 =-++，所以),,(3 23132-可以作为方向余弦.
2. (C)因为向量的点积满足乘法分配律. 3. (B)因为k j i a ++=，k j i j 010++=，所以同时垂直于a 和Oy 轴的单位向量为)(21 1 )1(22k i k i k i k i j a j a c +-±=+-+-±=+-+-±=??± =. 4.(C)由三角形法则及余弦定理，133 π 2cos 432432 2 =???-+=+b a . 四、解：1. k j i k j i b a 7351 1223 1 -+=-=?,83)7(35222=-++=?b a , 所以同时垂直于a ,b 的单位向量为{}73583 1-± ,,,即??? ?? ?-±837833 83 5 , , . 2.设{}p n m ,,=b ，由题意有??? ??=++-==, 14,2 36222p n m p n m 解得12±=m ，6±=n ，4μ=p ，因此所求向量为{ }4,6,12-±=b . 3.{}2,3,1-=，{}8,0,2-=，k j i k j i 612248 2 231 ++=--=?AC AB ， ABC ?的面积是以AC AB ,为邻边的平行四边形面积的一半，于是 213612242 1 222=++== ?S ABC .