2004学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类）
一．填空题（每空2分）
1． 已知0→x 时， 1)1(3
12-+ax 与1cos -x 为等价无穷小量，则=a 2． 函数2
16ln x x y -+=的定义域为 3. 已知10)0('
=f ，则x
x f x f x )
()2(lim
-→= 。
4．已知x x a y 3cos 3
1sin +=在3
π
=x 处有极值，则=a
5．设)3cos(x y =，则)
12(y
= 。
6．若等式)3
4(x ad dx -=成立，则=a
7．设收益函数2
01.0150)(x x x R -=（元）,当产量100=x 时，其边际收益是 。 8．由曲线)(θr r =及射线βθαθ==,所围的曲边扇形面积公式为 。
9．设曲线的参数方程为?
??==)()
(t y y t x x ，βα≤≤t ，则弧长公式为 。
10．5
3)1(lim e x
k x x =+∞→，则=k
二．选择题（每题3分）
1．当0→x 时，x e x
sin 1--是2
x 的 无穷小。
a. 低阶；
b. 高阶；
c. 等价；
d. 同阶非等价； 2．设x
x
x f -+=2
2)(在区间),(+∞-∞内是 。
a. 偶函数
b.单调增函数
c.有界函数
d.单调减函数
3．设)
1(1)(2--=x x x x f ，则x=1是)(x f 的 间断点。
a. 第二类间断点；
b.可去；
c.跳跃；
4．函数)(x f 在0x 处左、右连续是)(x f 在0x 处连续的 。 a. 必要条件；b.充分条件；c.充分必要条件；d.都不是； 5．
?+=c e
x dx x f x
22)(，则)(x f =
a. x
xe 22 b. x
e
x 222 c. c xe
x
+22 d. )1(22x xe x +
三．解答下列各题（第9题10分,其余每题5分）
1．2
02lim
2
2
x
dt e t x t x ?+
→ 2. 设y=x
x
sin ，求dy
3.?--+dx e e x
x
1 4. ?xdx ln 5.
?
-20
2
2a dx x a 6. ?+∞
-1
dx xe x
7. 确定a 、b 的值，使函数?
?
?≤>+=1,1
,)(2
x x x b ax x f 在定义域内可导。 8.求由方程033
3=-+xy y x 确定的隐函数)(x y y =的导数
dx
dy
9. 设某厂每批生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数p Q 2100-=（其中p 为价格，Q 为产量），这种产品在市场上是畅销的。
a. 试分别列出该商品的总成本函数)(p C 和总收益函数)(p R 的表达式。
b. 求出使该商品的总利润最大的产量和最大利润。
c. 求出需求弹性。
d. p 为何值时，需求函数p Q 2100-=达到单元弹性需求？ 10. 求函数2
3
)32()1(+-=x x y 的极值。 四 ．证明下列各题（每题5分）
1．证明方程：0133
=+-x x 在区间（1，2）内只有一个实根。 2． 证明不等式：b a b a -≤-sin sin
2005学年第一学期 考试科目:高等数学(经济类)
一. 填空题(每小题3分,共15分) 1. 函数
y =
的定义域为 ;
2. 若要函数()f x =
在0x =处连续,则应补充定义(0)f = ;
3. 设函数y x α
=,α为常数,则函数y 的弹性Ey Ex
= ;
4. 1
lim sin x x x
→∞= ;
5. 设函数()f x 在x a =可导,则0()()
lim h f a h f a h h
→+--= .
二. 单选题(每小题3分,共15分)
1. 设()f x 是连续可微函数,则下列等式成立的是 .
A.22
'()()xf x dx f x C =+?
B. 2
21
'()()2
xf x dx f x C =
+?
C. 2
21
(())'()2
xf x dx f x =
?
D. 22()()xf x dx f x =?
2. 设sin ()||
x
f x x =
,则0x =是()f x 的 . A.跳跃间断点 B.连续点 C.可去间断点 D.第二类间断点 3. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有 .
A.[0,2]y x =
∈ B.256,[2,3]y x x x =-+∈
C.,[0,1]x
y xe x -=∈ D.1, 5
,[0,5]1, 5
x x y x x +
≥?
4.
1
211
dx x -?= .
A.2-
B.2
C.0
D.发散
5. 若
1
(2)2x k dx +=?,则k = .
A.0
B.1-
C.1
D.
12
三.求下列极限(每小题5分,共10分) 1. 求0
2
arctan lim
3x
x tdt x →?
. 2. 求22lim 1x
x x x →∞??
?-??
. 四.求导数与微分(每小题5分,共15分) 1. 若sin , 0
, 0x x y x x
≥?
,求'y .
2. 由0y
y xe x -+=所确定的隐含数为()y f x =,求dy .
3. 设0cos ,cos ,02
t
x a udu y b t a t b π
==<≤≤
dx .
五.求下列积分(每小题5分,共20分)
1. 求
1
(12ln )
dx x x +?. 2.
求641?. 3. 求arctan x xdx ?. 4. 求122
1(1)x
dx x -+?
六. 求函数32
26185y x x x =--+的单调区间,凸凹区间,极值,拐点.(6分)
七.已知某企业每日的边际收入函数为'()1048R x x =-,边际成本函数为2
'()840C x x x =-+,其中x 是日产量.如果日固定成本为250元,求(1)日总利润函数()L x ;(2)日获利最大时的产量.(6分) 八. 求由,1,2y x xy y ===所围成图形的面积.(6分)
九.设函数()f x 在[,]a b 上可导,且'()f x M ≤(其中M 为常数),()0f a =. 证明:
21
()()2
b
a
f x dx M b a ≤
-?
. (7分) 2007学年第1学期 考试科目：高等数学(经济类)
一 .填空题（每小题3分，共21分）
1．()(0,1],()1ln ,[()]y f x x x y f x ??==-=设的定义域是则复合函数的定义域是 .
2. 函数543
121540y x x x =+-的极大值 .极小值 3．曲线2
1-=x y 在点)1,1(处的切线斜率是
4.
=+?
dx x
x 2
1arctan
5.
0x →= .
6. sin 0x d dx =?________
7. 需求量q 对价格p 的函数为2
e 100)(p
p q -?=，则需求弹性为 .
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设函数?????
=≠+=0,
10
,2sin )(x x k x
x x f 在x = 0处连续，则k = A ．-2
B ．-1
C ．1 D. 2
2. 0
2002
0(,())()x x d y
x y x y f x dx
===是为曲线的拐点的
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 3. 若函数f (x )在点x 0处可导，则下列错误的是 ．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
C ．函数f (x )在点x 0处连续
D ．函数f (x )在点x 0处可微 4.下列函数是无穷小的是
A 、
2
112x
x +，当x →∞时，B 、25x x x + ，当0x →时， C 、1
2x
，当 0x →时 ，D 、2x
，当x →∞时. 5.下列反常积分收敛的是________ A.
1
1
dx x +∞?
B. 311dx x +∞?
C. 1+∞?
D. 2ln xdx +∞?
三．计算题（每题8,共48）
１. 2
,1
(),,,().,1
x e x f x a b f x ax b x ?≤?=?
+>??设函数取何值时为可导函数 2．求11202
lim[(1)]34
x x x x x -→+---极限. 3. 求?++x x x d )1ln(2积分
4. 2sin()30()x y e x y y y x ++-==求由方程+确定的函数的导数.
5. 计算定积分1
20(1)x xe dx x +? 6.2221.4t t x e d y dx y e
?=+?
?=??设,求
四.应用题(共11分)
1. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均本最低，每天产
量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？(6分) 2. 1
,3,2,1.2
y x y x y y ====求由曲线所围成的图形的面积.(5分) 五.证明题(5分)
120,0x x >>，设()0,(0)0f x f ''<=。证明对任意的120,0x x >>，有1212()()()f x x f x f x +<+。
参考答案：
2004学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类） -一．填空题（每空2分） 1．
=a -3/2；2. (0,4) 3. x
x f x f x )()2(lim
-→= 10; 4.=a 3; 5.)
12(y =)3cos(312x
6．=a -3; 7．148; 8．?βαθθd r )(2
12。9．?+βαdt y x 2
'2'。10．=k 5/3 二．选择题（每题3分）
1．d; 2. a; 3.b; 4.c; 5.d
三．1．41
4lim 2lim
4
2
2
2
0==?+
→x
xe x dt e t x x t x
2.x x y ln sin ln =;sin sin (cos ln )x
x
dy x x x x
=+
3.?--+dx e e x x 1c e e
de x
x x ++=+-=---?)1ln(11 4. ?xdx ln ?
+-=-=c x x x dx x x ln ln
5.
?
-20
2
2
a
dx x a )4
3
6()2sin(2/1())2cos(1(6060+
=+=+=?π?θπ
πa a a a dx x a a 6.
?
+∞
-1
dx xe x
111
2)(lim lim
---+∞
→-+∞→=--=-=?e e xe xde
b
x x b b
x
b 7. ?????-=?=?--=--+=+?==+-+-+→→→→1211
lim 1
1lim 1
1)(lim )(lim 211211
b a x x x b ax b a x b ax x x
x x 8.x
y x y y xy y y y x --=?=+-+22
'
'
'
2
2
0)(333
9. a. 总成本函数为：p Q Q C 107005200)(-=+=；
总收益函数为：2
2100)(p p Q p p R -=?=
b. 总利润函数为1104)(;7001102)()()('
2
+-=-+-=-=p p L p p p C p R p L
令,04)5.27(45,5.27,0)('
''
<-====L Q p p L 。而得：所以当产量为45时，总利润最大。
c.需求弹性：p
p
p Q p Q p 21002)()('-=
-=η； d. 令1=η，得到单元弹性需求：25=p
10. 1;2
1;230)510)(32()1(3212
'
=-=-==++-=x x x x x x y ，得：令
列表判断得: 2
113
21023
-=-=-）（；）（极小极大f f 四 1．设
）内至少有一个实根。
，在（由零点定理得：上连续，且在210)(,03)2()1(]2,1[)(;13)(3=<-=?+-=x f f f x f x x x f
又0)1(3)(2
'
>-=x x f ，至多有一个实根，故得证。 2． 证明 设x x f sin )(=，若a=b,显然成立。不妨设a )(cos sin sin ),)(()()(),,(' a b a b a b f a f b f b a -=--=-∈?ξξξ即： 使：，1cos ≤ξ，得证 2005级经济类高等数学（上）期终考试题参考答案 一、1．33 22 x - <<；2.－1；3. α;4. 1; 5. ()2f a ' 二、1．B ； 2. A; 3. B ; 4. D; 5. C 三、1．解 原式＝0arctan 1 lim 66 x x x →= 2．原式＝11lim lim 111111x x x x x x x x x x x x →∞→∞????? ???=+- ? ? ? ?-+-+???????? ()11 11 111lim 11111x x x e e x x -+-++-→∞ ? ???=+-=?= ? ?-+?? ?? 或 令221x x y x ??= ?-??，则22ln ln 1x y x x ?? = ?-?? 则()() 22 22 222222 2121ln 112lim ln lim lim lim 01 1 1 x x x x x x x x x x x x x x y x x x →∞→∞→∞→∞?--?-?? ? ? --?? ====-- 所以，原式＝0 1e = 四、1．解 ()() cos ,01,0x x y x ??； ()()() 0sin 0lim lim 1x x f x f x y x x - - - →→-'===； ()()()0000lim lim 1x x f x f x y x x +++→→-'=== 所以，()01y '=，()() cos ,01,0x x y x '=?≥?? 2.解 等式两边同时微分，得 ()1 01y y y y e dy e dx xe dy dx dy dx xe --++=?=- 或将等式两边同时对x 求导，得 ()11 1011y y y y y y e e y e xe y y dy dx xe xe --'''-++=?=?=-- 3.解 sin tan cos t t y dy b t b t dx x a t a '-===-'；22 322tan sec sec cos t t b b t t d y b a a t dx x a t a '??-- ???= ==-' 五、1.原式= () ()ln 12ln 11 ln 12ln 12ln 212ln 2 d x d x x C x x += =++++?? 2. t =，则6 5 ,6t x dt x dx ==，且11;642x t x t ====时，时， 原式= ()2 52 2 222341 111 61136616ln 136ln 1122t t dt dt t dt t t t t t t t ????==-+=-++=+ ???+++????? ?? 3.原式=()22 222211111arctan arctan arctan 12212 21x xd x x x dx x x dx x x ????=-=-- ? ?++??????? 2111 arctan arctan 222 x x x x C = -++ 4.因为()()221x f x x =+在[]1,1-上连续，且为奇函数，所以()12 1201x dx x -=+? 六、解 ()()2 61218631y x x x x '=--=-+，1212y x ''=- 令1201,3y x x '=?=-=；令301y x ''=?=， 列表如下： 所以函数在（-∞，-1）及（3,+∞）内单调递增，在（-1，3）内单调递减，有极大值为)115,f -=有极小值为()349f =-；函数在（-∞，1）内是凸函数，在（1，+∞）内是凹函数，有拐点（1，-17）。 七、解（1）()()()()32 60603x L x R x C x dx x dx x C ''=-=-=-+?????? 而()()()000250L R C =-=-，所以250C =-，所以()3 602503 x L x x =-- （2）令()()()()0,,8,L x R x C x x '''===±即得舍去负值 又()()()8282L x R x C x x x ''''''=-=--+=-，所以()8 L ''=所以当日产量是8时，日获利最大。 八、如右图所示,以y 作积分变量，所求图形的面积为 2 2 21 1113ln ln 222A y dy y y y ????=-=-=- ?????? ?? 九、证明：()()()()(),,,x x a a x a b f x M f t dt a M x a ''?∈≤∴ ≤≤-? ? ， ()()()()()()()22 22b b b b a a a a M M f x M x a f x dx M x a dx f x dx x a b a ??∴≤-?≤-?≤-=-? ???? 2007级经济类高等数学（上）期终考试题参考答案 一. 1．[1,)e 2．176, -13 3． 5.0)1(-='y ; 4.21arctan 2x c +；5.-1； 6; 7．2p 二． 1 C 2D. 3B. 4A. 5B. 三. 计算题 2 2 12' 1111'1,1,()(),1(1),(1),(1),,()1()(1)11(1)lim lim lim lim 21111x x x x x x x x f x f x a b x f e f e f a b a b e f x x f x f e e e x f e e e x x x x f ---- -+--→→→→+><====++==----=====----1.解:当时显然可导,故要使为可导函数,只要选取使其在处可导即可 可导必连续,故当时在连续 又 111'()(1)()(1)lim lim lim ,111 2,,(1),()x x x f x f ax b e ax e a e a x x x a e b e f f x +++ →→→-+-+--====---==-因此时存在从而为可导函数 2. 解: 11202lim[(1)]34x x x x x -→+---=1 12 002 lim(1)(1)3304x x x x -→+---- =311 3001[lim(1)]lim(1)332x x x x x ---→→--+=1 31e 2 -+ 3. 解: ln(x x ? =x ln(x +- ?++ ++ x x x x x x )d 1 (11 2 2 =x ln(x + - =x ln(x +-21x ++c 222224.:,(1)sin()(2)02sin()sin() x y x y x y x e y x y xy x y e xy x y y e x x y +++''+++=+'=-+ 解在方程两边同时对求导有 所以 5．解 1 1220011(1)(1)x x xe x dx de x x +-=++??112 0011(1)x x e de dx x x =-++?? 1 11200011111(1)2 x x x e e e e d dx x x x --=-+++??= 22232242,4;22() 2()22t t t t t t t t t dy dx dy dy e dt e e e dx dt dt dx e dt d dy d dy d y e dt dx e e dx dt dx dx e dt ----=====-=-===-6. 解:. . 四、应用题（11分） 1.某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？(6分) 解 因为 C q ()= C q q ()=05369800 .q q ++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800q q ++ '=059800 2.-q 令'C q ()=0，即059800 2 .-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C ()140=0514******* 140 .?++=176 （元/件） 2. 1 ,3,2,1.2 y x y x y y = ===求由曲线所围成的图形的面积 解: 1 ,[1,2],(2),3 y dA y y dy =-选为积分变量范围为面积元为 2115 (2)32 A y y dy =-=?所求面积为 五.证明题(5分)120,0x x >>设()0,(0)0f x f ''<=证明对任意的120,0x x >>有 1212()()()f x x f x f x +<+. 证明:不妨设 1221()()()f x x f x f x +-- [][]1221()()()(0)f x x f x f x f =+--- 2111221211()()(,0)f x f x x x x x ξξξξ''=-<<+<< 12112()()0 ()x f ξξξξξξ''=-<<< 1212()()()f x x f x f x ∴+<+ 12 0x x << 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学上模拟试卷和 答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 北京语言大学网络教育学院 《高等数学（上）》模拟试卷 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共100小题，每小题4分，共400分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、函数)1lg(2++=x x y 是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 2、极限=--→9 3 lim 23x x x （ ）。 [A] 0 [B] 6 1 [C] 1 [D] ∞ 3、设c x x x x f +=?ln d )(，则=)(x f （ ）。 [A] 1ln +x [B] x ln [C] x [D] x x ln 4、 ?-=+01 d 13x x （ ）。 [A] 6 5 [B] 6 5- [C] 2 3- [D] 2 3 5、由曲线22,y x x y ==所围成平面图形的面积=S （ ）。 [A] 1 [B] 2 1 [C] 3 1 [D] 4 1 6、函数x x y cos sin +=是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 7、设函数?????=≠=00 3sin )(x a x x x x f ，在0=x 处连续，则a 等于（ ）。 [A] 1- [B] 1 [C] 2 [D] 3 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 高等数学下册试题库及答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有 21112)1(211)1(1221cos 2 22222212 1=++?-++?-+?+?=??=n n n n α， 因此，所求夹角321 arccos π α==． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ???=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ）高等数学下册试题及答案解析word版本
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