广东省汕尾市高二下学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·莆田模拟) 若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）
A . 2﹣i
B . 2+i
C . 1﹣2i
D . 1+2i
2. （2分）命题“?x∈R，x3>0”的否定是（）
A . ?x∈R，x3≤0
B . ?x∈R，x3≤0
C . ?x∈R，x3<0
D . ?x∈R，x3>0
3. （2分）(2014·山东理) 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A . 方程x3+ax+b=0没有实根
B . 方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C . 方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D . 方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
4. （2分）已知向量 =（2，1）， =（1，2），则，夹角的余弦值是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）
曲线在点处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A .
B .
C .
D . 1
6. （2分）某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N（100，5 2），且p（ξ＜110）=0.98，则P（90＜ξ＜100）的值为（）
A . 0.49
B . 0.52
C . 0.51
D . 0.48
7. （2分） (2017高二下·兰州期中) 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（）
A . 120个
B . 100个
C . 300个
D . 600个
8. （2分） (2016高三上·洛阳期中) 由y=x，y= ，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）
A . ln2+1
B . 2﹣ln2
C . ln2﹣
D . ln2+
9. （2分） (2017高三上·张家口期末) 已知双曲线C的焦点为F1 ， F2 ，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（）
A .
B . 2
C .
D .
10. （2分）已知平面α的一个法向量=（﹣2，﹣2，1），点A（﹣1，3，0）在α内，则P（﹣2，1，4）到α的距离为（）
A . 10
B . 3
C .
D .
11. （2分） (2016高二下·东莞期末) 若（3x+ ）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
12. （2分）已知奇函数y=f（x）的导函数f′（x）＜0在R恒成立，且x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（y2﹣2y）≥0，则的取值范围是（）
A . [0,2]
B . [0,]
C . [1，2]
D . [,2]
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高二上·尚志月考) 尚祥学校早上7：40上课，假设该校学生小付与小马在早上7:00—7:20之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小付比小马至少早5分钟到校的概率为________.（用数字作答）
14. （1分）设n为正整数，f(n)=1+ + +…+ ，计算得f(2)= ，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________.
15. （1分） (2017高二下·合肥期中) 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，
x﹣104
f（x）122
f（x）的导函数y=f′（x）的图象（该图象关于（2，0）中心对称）如图所示．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为 0与4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③函数y=f（x）﹣a零点的个数可能为0、1、2、3、4个；
④如果当时x∈[﹣1，t]，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；．
⑤函数f（x）的图象在a=1是上凸的
其中一定正确命题的序号是________．
16. （1分）已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为________
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （5分）已知命题p：f（x）=x+ 在区间[1，+∞）上是增函数；命题q：f（x）=x3+ax2+3x+1在R上有极值．若命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
18. （5分） (2018高三上·北京期中) 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．
19. （5分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角H﹣BD﹣C的大小．
20. （10分） (2017高二下·故城期末) 某校为了纪念“中国红军长征90周年”，增强学生对“长征精神”的深刻理解，在全校组织了一次有关“长征”的知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得20分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.
（1）求的分布列和均值；
（2）求甲、乙两队总得分之和等于40分且甲队获胜的概率.
21. （10分）(2018·上饶模拟) 已知函数在处的切线方程为
.
（1）求实数的值；
（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.
22. （10分） (2017高二下·高青开学考) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共45分)
17-1、
18-1、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、