第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，
请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
?
?
?
?
?
?
?
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B.
100
1
2
00
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
C.
1
3
00
010
00
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
D.
1
2
00
1
3
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
?
?
?
?
?
?
?
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2
浙02198# 线性代数试卷第1页（共66页）
β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（）
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
A.秩(A) B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1， α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=A T D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 浙02198# 线性代数试卷第2页（共66页） 浙02198# 线性代数试卷 第3页（共66页） 第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或 不填均无分。 15.111 35692536 = . 16.设A =111111--?? ???，B =112234--?? ? ? ?.则A +2B = . 17.设 A =(a ij )3 × 3 ，|A |=2，A ij 表示|A |中元素 a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 (a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= . 19.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r( 23.设矩阵A =010********---?? ?????，已知α=212-?? ? ? ? ??是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.设A =120340121-?? ? ? ??? ，B =223410--?? ???.求（1）AB T ； （2）|4A |. 26.试计算行列式 3112513420111 5 3 3 ------. 27.设矩阵A =423110123-?? ?? ? ??，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-?? ?? ? ?? ? 2103，α2=1324-?? ??????，α3=3021-?? ??????，α4 =0149-?? ? ?????. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 浙02198# 线性代数试卷 第4页（共66页） 29.设矩阵A =1210 2242 662102333334-----?? ?? ?? ? ?. 求：（1）秩（A ）； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵A=0222342 43----?? ? ?? ?? 的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D . 31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 122232 12132323444+-+--， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组 Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 答案： 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--?? ? ? ? 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242 ++- 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB T= 120 340 121 22 34 10 - ? ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? ?= 86 1810 310 ? ? ? ? ? ? ? . （2）|4A|=43|A|=64|A|，而 |A|=120 340 121 2 - =-. 所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3112 5134 2011 1533 5111 11131 0010 5530 - -- - -- = - -- -- = 511 1111 550 -- -- = 511 620 550 62 55 301040 - -- = - -- =+=. 27.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1= 223 110 121 143 153 164 1 - - ? ? ? ? ? ? ? = -- -- - ? ? ? ? ? ? ? - . 所以B=(A-2E)-1A= 143 153 164 423 110 123 -- -- - ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? = 386 296 2129 -- -- - ? ? ? ? ? ? ? . 浙02198# 线性代数试卷第5页（共66页） 浙02198# 线性代数试卷 第6页（共66页） 28.解一 ----?? ???????→?-----?? ?? ????2130130102243419053213010112013112 ?→?--?? ????? ??→??? ? ? ? ? ? ? 1 3 50112008800141410350 11200110000 ?→??? ? ? ? ? ? ? 1002010100110 000, 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3， 即 -++=-=-+=+-=???????230312243491231223123x x x x x x x x x x . 方程组有唯一解（2，1，1）T ，组合系数为（2，1，1）. 29.解 对矩阵A 施行初等行变换 A ?→?-----?? ?? ????12102000620328209632 ?→?-----?? ???????→?----?? ? ??? ? ?121020328300062000217121 20328300031000 00=B . （1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3. （2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最 大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。 （A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T . 经正交标准化，得η1=255550//-?? ?????，η2=2515451553///?? ?? ? ??. λ=-8的一个特征向量为 ξ3= 1 2 2- ? ? ? ? ? ? ? ，经单位化得η3= 13 23 23 / / / . - ? ? ? ? ? ? ? 所求正交矩阵为T= 2552151513 55451523 05323 /// /// // - - ? ? ? ? ? ? ? . 对角矩阵D= 100 010 008-? ? ? ? ? ? ? . （也可取T= 2552151513 05323 55451523 /// // /// - -- ? ? ? ? ? ? ? .） 31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32. 设 y x x x y x x y x 1123 223 33 22 =+- =- = ? ? ? ? ? ? ? ，即 x y y x y y x y 112 223 33 2 =- =+ = ? ? ? ? ? ， 因其系数矩阵C= 120 011 001 - ? ? ? ? ? ? ? 可逆，故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 . 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 浙02198# 线性代数试卷第7页（共66页） 浙02198# 线性代数试卷 第8页（共66页） 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l 1=0，l 2=0，从而 l 0=0 . 所以η0，η1，η2线性无关。 线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。 （ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 浙02198# 线性代数试卷 第9页（共66页） ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 解· 3 )(0 0000 000 1) (1 111 )(x d c b a x x x x d c b d c b a x d x c b d c x b d c b x d c b d c b a x d x c b d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c b a d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++= ++++ 2. 设B A AB 2+=，且A ,410011103??? ? ? ??= 求B 。 浙02198# 线性代数试卷 第10页（共66页） 解.A B E A =-)2( ??????????-----=--111122112) 2(1 E A ，???? ? ?????-----=-=-322234225)2(1A E A B 3. 设,1000110001100011?????? ??---=B ????? ? ? ?=20 001200312 043 1 2C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。 4. 问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211 ,,221122a a a ααα????-?? ? ?- ? ? ? ? ? ?=-==- ? ? ? ? ? ?- ? ? ?-?? ? ???? 。 5. λ为何值时，线性方程组??? ??-=++-=++-=++2 23 321 321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 ① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解 ③当1=λ时，有无穷多组解，通解为???? ? ?????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c 6. 设.77 103 ,1301 ,3192 ,01414321???? ?? ? ??--=??????? ??--=??????? ??--=??????? ??=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 7. 设100010021A ?? ? = ? ??? ，求A 的特征值及对应的特征向量。 浙02198# 线性代数试卷 第11页（共66页） 五、证明题 (7分) 若A 是n 阶方阵，且，I AA =T ，1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵。 ×××大学线性代数期末考试题答案 一、填空题 浙02198# 线性代数试卷 第12页（共66页） 1. 5 2. 1≠λ 3. n n s s ??， 4. 相关 5. E A 3- 二、判断正误 1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 三、单项选择题 1. ③ 2. ③ 3. ③ 4. ② 5. ① 四、计算题 1. 3 )(0 0000 000 1) (1 111 )(x d c b a x x x x d c b d c b a x d x c b d c x b d c b x d c b d c b a x d x c b d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c b a d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++= ++++ 2. A B E A =-)2( ??????????-----=--111122112)2(1 E A ，???? ? ?????-----=-=-322234225)2(1A E A B 3. ()[] () [] ????? ???????---=-=? ???????? ???---=-????? ? ? ?????=-?? ??????? ???=---12 1 0121001200011210 012100120001 12 3 4 012300120001 )(1000 21003210 4321 1 '1 ''B C E X B C B C B C ，， 浙02198# 线性代数试卷 第13页（共66页） 4. )22()12(81 2 12 121212 1212321-+=- --- -- =a a a a a a a a ，，当21-=a 或1=a 时，向量组321a a a ，，线性相关。 5. ① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解 ③当1=λ时，有无穷多组解，通解为???? ? ?????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c 6. ???? ? ???? ???-=? ? ??? ? ??????------→????????????--------→????????? ???------=0000110020102001131300 161600241031 21713010430241031217130731110094312 1)(4321a a a a ，，， 则 ()34321=a a a a r ，，，，其中321a a a ，，构成极大无关组，321422a a a a ++-= 7. 0)1(1 2 01 01 3=-=----=-λλλλλA E 特征值1321===λλλ，对于λ1＝1，??????????-=-020*******A E λ，特征向量为???? ??????+??????????100001l k 五、证明题 浙02198# 线性代数试卷 第14页（共66页） ()()' +-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A ∴()02=+A I ， ∵()0=+A I 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij 组成的记号称为n 阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） （3）可逆的条件： ①|A|≠0；②r(A)=n; ③A->I; （4）逆的求解 伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~) ②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1） 5．用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B，则X=（A^-1）B； XB=A，则X=B(A^-1)； AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组 1．线性方程组解的判定 定理： 浙02198# 线性代数试卷第15页（共66页） (1) r(A,b)≠r(A) 无解； (2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解； (3)r(A,b)=r(A) 特别地：对齐次线性方程组AX=0 (1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A) 再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解(2)|A|=0 有非零解 2．齐次线性方程组 （1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解； r(A) （2）解的结构： X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 （3）求解的方法和步骤： ①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组； ③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。 3．非齐次线性方程组 （1）解的情况：利用判定定理。 （2）解的结构：X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 （3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。 （4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。 四、向量组1．N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算： （1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）； （2）向量内积α'β=a1b1+a2b2+…+anbn； （3）向量长度|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√根号) （4）向量单位化(1/|α|)α； 5）向量组的正交化（施密特方法） 设α1，α 2，…，αn线性无关，则 β1=α1， β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1， β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。 3．线性组合 浙02198# 线性代数试卷第16页（共66页） （1）定义若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。 （2）判别方法将向量组合成矩阵，记 A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β) 若r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示； 若r (A)≠r (B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。 （3）求线性表示表达式的方法： 将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。 4．向量组的线性相关性 （1）线性相关与线性无关的定义设 k1α1+k2α2+…+knαn=0 若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。 （2）判别方法：① r(α1，α 2，…，αn) 5．极大无关组与向量组的秩 （1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 （2）求法设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。 五、矩阵的特征值和特征向量 1．定义对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。 2．特征值和特征向量的求解：求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。 3．重要结论： （1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。 六、矩阵的相似 1．定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。 2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）： 求出所有特征值；求出所有特征向量； 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。 3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。 七、二次型1．定义n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标 浙02198# 线性代数试卷第17页（共66页） 浙02198# 线性代数试卷 第18页（共66页） 准型。i,j=1 2．二次型标准化： 配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q ，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3．二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：①A 为正定的充要条件是A 的所有特征值都大于0；②A 为正定的充要条件是A 的所有顺序主子式都大于0 全国2010年1月高等教育自学考试 试题部分 说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ ） A. 3 2 B.1 C.2 D.3 8 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1 D. A -1C -1B -1 3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32 4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 浙02198# 线性代数试卷 第19页（共66页） C.3 D.4 6.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m ≥n B.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C.r （A ）=m D.Ax =0存在基础解系 8.设矩阵A =???? ? ?????---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）T D.（1，0，-3）T 9.设矩阵A =??? ? ? ?????--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 = （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 10.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=2 3 3222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ） A.????? ?????963642321 B.????? ?????963640341 C.???? ??????960642621 D.???? ??????9123042321 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式13 769543 2 1=_________. 浙02198# 线性代数试卷 第20页（共66页） 12.设A =? ? ??? ???? ???110012000012 0025，则A -1=_________. 13.设方阵A 满足A 3-2A +E =0，则（A 2-2E ）-1=_________. 14.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________. 15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2-4α1）=_________. 16.设A 是m ×n 实矩阵，若r （A T A ）=5，则r （A ）=_________. 17.设线性方程组???? ? ?????-=????????????????????211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________. 18.设n 阶矩阵A 有一个特征值3，则|-3E +A |=_________. 19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a ，3），且α与β正交，则a =_________. 20.二次型3231212 32232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=的秩为_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算4阶行列式D =8 765765465435 432. 22.设A =??? ? ??????---375254132，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A -1. 23.设向量α=（3，2），求（αT α）101. 24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组； （2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. 全国2010年4月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ ） 2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值= 第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X． 2017年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)试卷 (课程代码04184) 本试卷共4页,满分100分,考试时间150分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑 3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4.合理安排答题空间,超出答题区域无效。 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，* A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式，r(A)表示矩阵A 的秩。第一部分选择题 一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。 1.设B A ,是n 阶可逆矩阵，下列等式中正确的是 A.() 111---+=+B A B A B.()111---=B A AB C.()111----=-B A B A D.()111 ---=A B AB 2.设A 为3阶矩阵且???? ? ??==100610321,1)(B A r 则=)(BA r A.0 B.1 C.2 D.3 3.设向量组),6,3,1(),1,0,0(),2,1,0(),3,2,1(321====βa a a 则 A.β,,,321a a a 线性无关 B.β不能由321,,a a a 线性表示 C.β可由321,,a a a 线性表示，且表示法惟一 22.已知()31212322213212224,,x x x tx x x x x x x f -+++=为正定二次型，（1）确定t 的取值范围；（2）写出二次型()321,,x x x f 的规范形。 四、证明题：本题7分。 23.证明矩阵????? ??=111011001 A 不能对角化。 全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 2006年10月高等教育自学考试课程代码：2198 1．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ） A ．-4|A| B ．-|A| C ．|A| D ．4|A| 2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ） A ．（2A ）T =2A T B ．（3A ）-1=3A -1 C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]T D ．（A T ）-1=A 3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=??? ??--2173，则A=（ ） A ．??? ??--3172 B ．??? ??3172 C ．?? ? ??--3172 D ．?? ? ??2173 4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ） A ．α1，α2，α1+α 2 B ．α1，α2，α1-α2 C ．α1-α2，α2-α3，α3-α 1 D ．α1+α2，α2+α3，α3+α1 5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4） C ．（1，1，0） D ．（0，-1，0） 6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ） A ．无解 B ．有唯一解 C ．有无穷多解 D ．解的情况不能确定 8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ） A ．（-1，0，1） B ．21 （-1，0，1） C ．（1，0，-1） D ．21 （1，0，1） 9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ） A ．??? ? ??003021311 B ．??? ? ??111121111 全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( A ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( D ) A.0 B.(1,-1) C. ???? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( C ) A.21- ???? ??--1234 B. 21- ??? ? ?? --4321 C. 21- ???? ?? 4321 D. 21- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是(A ) A.????? ??000010101 B. ???? ? ??0010101 00 C. ????? ??100030001 D. ???? ? ?? 102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( B ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( D ) A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示 C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 2014年10月全国高等教育自学考试 线性代数（经管类）试卷及答案 课程代码：04184 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特 征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关， 则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数 为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 2019年4月全国自考线性代数04184真题试题 一、 单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。 1.(04184)设行列式122112212a a a a b b b b +-=-+-，则1212 a a b b = A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.设A 为2阶矩阵，将A 的第1行与第2行互换得到矩阵B ，再将B 的第2行加到第1行得到单位矩阵，则1A -= A.1110?? ??? B.1101?? ??? C.0111?? ??? D.1011?? ??? 3.设向量(2,1,)T b β=可由向量组1(1,1,1)T α=,2(2,3,)T a α=线性表出，则数,a b 满足关系式 A.a-b=4 B.a+b=4 C.a-b=0 D.a+b=0 4.设齐次线性方程组123123123 2000x x x kx x x x x x ++=??++=??-+=?有非零解，则数k= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(04183) 设3阶实对称矩阵A 的秩为2，则A 的特征值=0λ的重数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 6.(04183)设某3阶行列式第2行元素分别为1,-2,3，对应的余子式为3,2,-2，则该行列式的值为 . 7.已知行列式2031111a b c =，则203 111111 a b c -+-= . 8. 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???100010201?? ?= ? ??? . 9.(04184)设n 阶矩阵A 满足关系式22A A E -=，则1A -= . 10.设向量组123(1,1,),(1,,1),(,1,1)T T T a a a ααα===的秩为2，则数a= . 11.(04184)与向量1(2,1)T α=-正交的单位向量2α= . 12.设4元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为 自考历年线性代数考试试题及答案解析精选 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分. 1、设行列式=m, =n,则行列式等于[] A、m+n B、-(m+n) C、n-m D、m-n 2、设矩阵A=,则A-1等于[] A、B、 C、D、 3、设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于[1,2]的元素是[] A、–6 B、6 C、2 D、–2 4、设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有[] A、A=0 B、BC时A=0 C、A0时B=C D、|A|0时B=C 5、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩[A T]等于[] A、1 B、2 C、3 D、4 6、设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则[] A、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1[α1+β1]+λ2[α2+β2]+…+λs[αs+βs]=0 C、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1[α1-β1]+λ2[α2-β2]+…+λs[αs-βs]=0 D、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7、设矩阵A的秩为r,则A中[] A、全部r-1阶子式都不为0 B、全部r-1阶子式全为0 C、至少有一个r阶子式不等于0 D、全部r阶子式都不为0 8、设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下面结论错误的是[] A、η1+η2是Ax=0的一个解 B、η1+η2是Ax=b的一个解 C、η1-η2是Ax=0的一个解 D、2η1-η2是Ax=b的一个解 2018年4月自考《线性代数（经管类）》真题（完整试卷） 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式 121 2 1a a b b =-， 则121212 12 a a a a b b b b +-=+- A. 2- B. 1- C. 1 D.2 2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B A. 0 B. a C. 2a D.3a 3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+- 4. 设矩阵3 00 00000120 022B ?? ? ? = ? - ? ??，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 5. 设矩阵120240001A -?? ?=- ? ??? ，则二次型T x Ax 的规范型为 A. 222123z z z ++ B. 222123z z z +- C. 2212z z - D.2212z z + 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 6. 设3阶行列式11121321222312 2 2 a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则 313233++=A A A . 7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T C A B = 则C = . 8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1 * 132A A -??+= ??? . 9.2016 2017 001123010010456100=100789001?? ???? ? ??? ? ??? ? ????? ???? . 10.设向量(1,0,0)T β= 可由向量组123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则 a 的取值应满足 . 11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T t ααα=-=-=，，的秩为2，则 t = . 12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b = 的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3 λ- 为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵223E A - 必有一个特征值为 . 14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2A = . ??????????????????????精品自学考 料推荐?????????????????? 全国 2019 年 10 月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码： 02198 试卷说明： A T 表示矩阵 A 的转置矩阵， A * 表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵， |A|表示 方阵 A 的行列式。 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 a 11 a 12 a 13 3a 11 3a 12 3a 13 1.设行列式 a 21 a 22 a 23 ，则 3a 32 3a 33 等于 （ ） 33a 31 a 31 a 32 a 33 3a 21 3a 22 3a 23 A. –81 B. –9 C.9 D.81 2.设 A 是 m × n 矩阵， B 是 s ×n 矩阵， C 是 m ×s 矩阵，则下列运算有意义的是（ ） A.AB B.BC C.AB T D.AC T 3.设 A ，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确 的是（ ） ．．． A.(A+B) T =A T +B T B.(A+B) -1 =A -1 +B -1 C.(AB) -1=B -1A -1 D.(AB) T =B T A T 4.已知α 1=(1,0,0) ，α 2=(-2,0,0) ，α 3=(0,0,3) ，则下列向量中可以由α 1，α 2 ，α 3 线性表出 的是（ ） A. （ 1， 2， 3） B. （ 1， -2， 0） C.（ 0， 2， 3） D. （3， 0， 5） 5.设 A 为 n(n>2) 阶矩阵，秩（ A ） 历年自考线性代数试题 真题及答案分析解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 4．??? ?? ??=3332312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则= B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．． 的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线 性相关 C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出 D ．β必能由321,,ααα线性表出 8．设A 为n m ?矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于m B ．等于m C ．小于n D ．等于n 9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T A B ．2A C ．1-A D ．*A 10．二次型212 322 213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 浙02198# 线性代数试卷 第1页（共25页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 020005 1020203 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________. 全国2012年4月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明：在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A) 表示矩阵A 的秩. 一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a a a a =2,则111213 21 222331 32 33 232323a a a a a a a a a ------=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 2.设矩阵A =1 201 2000 3?? ? ? ?? ? ,则A *中位于第1行第2列的元素是( ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 3.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1 () A --=( ) A.-3 B.13 - C.13 D.3 4.已知4?3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设A 为3阶矩阵,P =1002 1000 1?? ? ? ??? ,则用P 左乘A ，相当于将A ( ) A.第1行的2倍加到第2行 B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行 D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123 234 230+= 0 x x x x x x ++=?? --? 的基础解系所含解向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) 2015年10月自考线性代数(经管类)试卷及答案 2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A* 表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵， ︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩 阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分， 共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符 合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性 表出，则下列结论中 正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n 矩阵，且r(A)=r 1，r(A，b)=r 2 ，则 下列结论中正确的是 A．若r 1 =m，则Ax=O有非零解 B．若r 1 =n，则Ax=0仅有零解 C．若r 2 =m，则Ax=b有无穷多解 D．若r 2 =n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值= 第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij 的代数余子式为 A ij (i,j=1,2)，则a 11 A 21 +a 12 +A 22 =__________． 7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a 1=(1，2,1)T，a 2 =(-1，1，0)T， a 3 =(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________． 13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a 1=(1，-l，0)T，a 2 =(4，0，1)T，则 =__________． 15．二次型f(x 1，x 2 )=-2x 1 2+x 2 2+4x 1 x 2 的规范形为 全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( ) A.0 B.(1,-1) C. ??? ? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( ) A.2 1 - ???? ??--1234 B. 21 - ???? ??--4321 C. 2 1 - ??? ? ??4321 D. 2 1- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是( ) A.????? ??000010101 B. ????? ??001010100 C. ???? ? ??100030001 D. ???? ? ??102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 全国2012年10月自学考试线性代数试题 课程代码：02198 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列 式，r(A )表示矩阵A 的秩。 1．设行列式1122=1 a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式11 1 222 =a b c a b c -- B A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 2．设矩阵123 456709?? ?= ? ??? A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是 C A ．-14 B ．-6 C ．6 D ．14 3．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A E D ．1=A 4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= C A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．设向量组T T 12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是 D A ．(-1，-1，-1)T B ．(0，-1，-1)T C ．(-1，-1，0)T D ．(-1，0，-1)T 6．齐次线性方程组1342340 20x x x x x x ++=??-+=?的基础解系所含解向量的个数为 B A.1 B.2 C.3 D.4 7．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 D A ．12αα- B ．12αα+ C ．1212αα+ D ．1211 22αα+ 8．若矩阵A 与对角矩阵111-? ? ?=- ? ?-?? D 相似，则A 2= A 历年-全国自考线性代数试题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 浙02198# 线性代数试卷 第3页（共59页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 02000 51020 20 3 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________. 第六章 实二次型 一、单项选择题 1．二次型f （x 1，x 2）=2 22135x x +的规范形是（ ） A ．2221y y - B ．2 221y y -- C ．22 21y y +- D ．22 21y y + 2．设实对称矩阵A =??????? ? ??--12024000 2，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（ ） A ．2 32221z z z ++ B ．2 32221z z z -+ C ．22 21z z + D ．22 21z z - 3．若3阶实对称矩阵A =（ij a ）是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f （ ） A.A 可逆 B.|A |>0 C.A 的特征值之和大于0 D.A 的特征值全部大于0 5.设矩阵A =??? ? ??????--4202000 k k 正定，则（ ） A.k>0 B.k ≥0 C.k>1 D.k ≥1 6．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设矩阵??? ? ? ??=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ） A ．2 32221z z z ++ B ．2 32221z z z --- C ．23 2221z z z -- D ．23 2221z z z -+ 8. 三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=2 3 3222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ） 1 做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答! 浙江省2004年1月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码：02198 试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，E 是单位矩阵，A *是方阵A 的伴随矩阵。 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a=( ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的阶数为( ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)自学考试试卷 线性代数(经管类)
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