第五章 不定积分 §5.3 凑微分法和分部积分法
（第5.1~5.2节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）
1. 求下列不定积分：
(1) ?
-dx e x
2； (2)
?dx x x ln 1
；
(3)?
+x
x dx 2
； (4) ?-dx x x 2
1； (5) dx x x x ?-+-2211； (6)()?-dx x 21sin 2
；
(7)?
xdx x 3
2cos sin ； (8)
?dx x 4sin 1
；
(9) ?
+dx x
x 2
31；
(10)；
(11)?
dx x
x x cos sin 1； (12*)?
+dx e
x
11
；
(13*)()?
+dx x x x
ln 1； (14*)
()
?+2
cos 2sin x x dx
．
3. 求下列不定积分： (1)[]?++dx x x )1ln(arcsin ； (2)?-dx e x
x 22
；
(3)?xdx e x
2sin ； (4)
()
dx e x x x
2
21?+；
(5) ?xdx ln sin ； (6)?
+dx x 2
1．
4. 求下列有理函数的不定积分：
(1)
?+dx x x )
1(1
7； (2)?++dx x x x 21.
5. 求下列不定积分： (1) 已知)(x f 是2
x e -的一个原函数，求?
'dx x f x )(；
(2) 已知2
x e -是)(x f 的一个原函数，求?
'dx x f x )(.
§5.4 换元积分法
1. 求下列不定积分： (1)?+dx x 1； (2)?
+-dx x 3
211；
(3)； (4)?-dx x
x 211；
(5)?
dx x x cos ；
(6)?
-dx e x
； (7)()
?
-dx x x 2
101298
1
(7) ?
++dx x
x
)11ln(．
2*. 求不定积分?-+dx x x x
x cos sin cos sin 2.
3*. 试求不定积分2ln 1
(ln )x dx x -?．
4*. 已知ln(1)
(ln )x f x x
+=
，求()f x dx ?.
第六章 定积分 §6.1 定积分的概念与性质
1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分： (1）?
-20
1dx x ； (2）?-1
1
sin xdx ；
(3）
?
--221
2
1dx x .
2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“=<>,,”关系，并给出必要的理由）. (1）?
10
2dx x 与
?
10
xdx ； (2）?2
1
2dx x 与
?
21
xdx ；
(3）?
20
sin πxdx 与
?
20
πxdx ； (4）?40tan πxdx 与
?
40
π
xdx ．
3. 利用定积分的性质，估计?
-=
20
dx xe I x 的大小.
4. 设()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且满足()()?=310
31dx x f f ，
试证：在()1,0内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .
5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由.
(1）?-1
11dx x ； (2）()?20dx x f ，其中()?
??=≠=1,21,2x x x x f ．
6*.根据定积分的定义，试将极限???
?
?+++∞→n n n n n n πππsin 2sin sin 1lim
表
达为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）：
§6.2 微积分基本定理
1．求下列函数关于x 的导数： (1）()1/1
2sin3x t
t dt -?
； (2）?
12
x
t dt te ；
(3）
?
22
x x
t dt e ； (4*）()?-x
tdt t x 0
sin ．
2．求下列极限： (1）?
→x x du x u 0
2
tan lim
； (2）()?+→x
u x du u x 010211lim ；
(3）?
-→20
4
0)cos 1(1
lim x x du u x
．
3．求函数()()()?---=
x
u
du e u u x f 0
2
21的极值点．
4．计算下列定积分： (1）?
++21
3231dx x x x ； (2）?ππ2
121sin 1dx x x
；
(3）?
-20
cos 2
1
π
dx x ； (4）{}
?-322,1min dx x ；
(5）()?-2
1dx x f ，其中()?????≥<=1
,1
,2
x xe x xe x f x x ；
(6）?
-b dx x 1
，其中b 为常数．
5．设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()?+-=1
32dx x f x x f ，试求()x f ．
6*．试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限n n S ∞
→lim ，其中
n
n n n S n ++++++=
21
221121 ．
§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法
1. 试利用定积分的换元法计算下列积分： (1）?
-2ln 0
1dx e x
； (2）()?
+-2
1
2
11dx x x ；
(3）?
-12
222
1dx x
x ； (4）?++202422dx x x x ；
(5）
?
-π
3sin sin dx x x .
2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：
(1）(
)
?
-
++22
2
2
1ln sin π
πdx x x x ； (2）
()
?
-+-+11
225
13dx x x x x
.
3. 设()x f 是R 上的连续函数，试证：对于任意常数0>a ，均有
()
()??=2
002
3
21a a dx x xf dx x f x .
4*. 设()x f 是R 上的连续函数，并满足
()20
x dt e t x f x t =-?
-，试求()x f .
5. 利用定积分的分部积分法计算下列积分：
(1）?
40
sin π
xdx x ； (2）()
?+1
21ln dx x ；
(3）?
21
ln cos π
e xdx .
6*. 试计算()?
20
π
dx x f ，其中()?
=2sin π
x
dt t
t
x f .
7*. 已知()x f 是R 上的连续函数，试证：
()()()?
????
????=-x t x dt du u f dt t x t f 0
00
.
§6.4 定积分的应用
1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积： (1）0,43=-=y x x y ； (2）x y x y x y 2,,===.
2. 假设曲线()1012≤≤-=x x y 、x 轴和y 轴所围成的区域被曲线
()02>=a ax y 分为面积相等的两部分，试确定常数a 的值.
3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积： (1）1,4
1
,0,14
====x x y xy ；绕x 轴，
（2）2,0,3===x y x y ： （i ）绕x 轴
（ii ）绕y 轴
4. 已知某产品的固定成本为50，边际成本和边际收益函数分别为
()642+-=q q q MC ，()q q MR 2105-=，其中q 为产品的销售量（产
量），试求最大利润.
5. 已知某产品在定价1=p 时的市场需求量a Q =，在任意价格p 处的需求价格弹性为Q
b E p =
，其中0,0<>b a 均为常数，Q 为产品在价格p 处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数()p Q Q =．
§6.5 反常积分初步
1. 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) ()?∞--0
1dx x q
（q 为常数）
； (2) ?∞+0
dx e kx （k 为常数）
； (3)
?∞
+∞-+dx x x
2cos 1sin （其中，k q ,均为常数）.
2. 求下列极限： (1) ?
?
--+∞
→x
x x dt
t dt t 1
2
13lim
；
(2*
) 2
1arctan lim
x
udu x x +?+∞
→.
3. 判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) ()?-2
11dx x k
，k 为常数；
(2) ?
10
ln xdx ； (3)
?
e dx x
-x 1
2ln 11.
4. 利用Γ函数和B 函数的性质，以及??? ??Γ21的结果，分别计算??
?
??Γ211，()??
? ??Γ?
?? ??ΓΓ23253，()3,5.3B .
5. 计算下列反常积分（提示：利用Γ函数的定义，以及??
? ??Γ21的结果）
(1) ?
∞+-0
2
3dx x e x
； (2) ?
∞+-0
22
dx x e
x .
6*. 考察曲线x
x y 1=
，[)+∞∈,1x ，试求解：
(1) 该曲线与x 轴和直线1=x 所围成的平面图形的“面积”； (2) 上述图形绕x 周旋转一周所成旋转体的“体积”.
第七章 多元函数微积分学
§7.1 预备知识 §7.2 多元函数的概念
1. 已知点A )2,1,4(，在ox 轴上找出与点A 相距30的点B ．
2. 求过点)3,0,1(，)2,1,2(-，)7,3,4(-的平面方程．
3. 分别写出下列区域的“x -型”与“y -型”表达形式： (1) 由x y =、2=x 、1=y 所围成的区域；
(2) 由2
x y =、2=y 所围成的区域；
(3) 由x y =2、2-=x y 所围成的区域．
4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：
（1）)414ln(ln 2
arcsin 222
y x x y z --+-=； （2）4
112
2
--+=y x z ．
5. 设2
2),(y x x
y y x f -=-，求),(y x f ．
6. 试求下列二元函数的极限： （1）1
1lim
)
0,0(),(-+→xy xy y x ；
（2）y
x y x e y x ++∞+∞→+2
2),(),(lim ．
7*. 设()()()()??
???=≠+=0,0,,00,0,,),(2
42y x y x y x y
x y x f ，讨论),(y x f 在点)0,0(处的
连续性．
§7.3 偏导数与全微分
1. 求下列函数在给定点处的偏导数：
（1）3
2y x x z +=，求)2,1
(),2,1(y x z z ''；
（4）z xy u )1(+=，求)3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(z y x u u u '''．
2. 求下列函数的指定偏导数： （1）)(ln 22y x z +=，求x
z ??；
（2）y
x y
x z -+=cos ，求x z '；
（3）xy y x z )sin (+=，求y
z ??．
3. 设??
???=+≠++=0,00,),(222
22
22y x y x y x y x y x f ，分别讨论),(y x f 在)0,0(处
是否连续、是否存在偏导数．
4. 求下列函数的全微分：
（1）x y y x z +=； （2）)
(22
y x y e z +=．
5. 求函数2
2
y y x z +=在点(2,1)处的全微分．
6. 计算03.506.1的近似值．
7. 已知一矩形的长为6米、宽为8米。当长增加5厘米，宽减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值。
§7.4 多元复合函数与隐函数微分法
1. 求下列复合函数的偏导数或导数：
（1）y x v y x u v
u z 2,2,2
+=-==，求y z x z ????,
；
（2）32,sin ,x v x u e z v u ===-，求dx
dz ；
（3）32,2-=+-=x y y
x y
x z ，求dx dz ；
（4）()
2222,,,ln y x w y x v xy u w v u z +=-==-=，求y
z ??．
2. 设),(22xy e y x f z -=，求
y
z x z ????,．
3. 设)(u f 可导，)(2x y
f x z n
=，证明：nz y
z y x z x =??+??2．
4. 求下列方程所确定隐函数的导数dx
dy ： （1）0ln ln =-+x y xy ；
（2）xy y x x y ln =-．
5. 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数()x y y =（),(y x z z =）的全微分：
（1）x
y e xy arctan =；
（2）0)ln(22=+-xyz xyz xz ．