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2016届西藏日喀则一中高三10月检测数学(理)试题 解析版

2016届西藏日喀则一中高三10月检测

数学(理)试题及解析

一、选择题(题型注释)

1.已知集合{

}

2

4,R x x x A =≤∈,{

}

4,x B =≤∈Z ,则A B = ( )

A .()0,2

B .[]

0,2 C .{}0,1,2 D .{}0,2 答案:C

试题分析:{

}{

}

2

4,22x x x R x x A =≤∈=-≤≤ ,

{

}

{}

4,016,x Z x x x Z B =∈=≤≤∈,

所以{0,1,2}A B =

故选C .

考点:1、一元二次不等式;2、集合的运算. 2.复数241i

z i

+=

+(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) A .()3,1 B .()1,3- C .()3,1- D .()2,4 答案:A 试题分析:24(24)(1)6231(1)(1)2

i i i i

z i i i i ++-+=

===+++- , ∴复数241i

z i

+=

+(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是(3,1) 故选A .

考点:复数的运算及几何意义.

3.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为( )

A .

83π+.1693

π+

C

83π

.163π答案:B

试题分析:由已知中的三视图,圆锥母线l =

=

圆锥的高2h =

圆锥底面半径为2r ==;

截去的底面弧的圆心角为120°,截去的面积是底面圆面积的23

底面剩余部分为22218

sin120323

o S r r ππ=

+=+

故几何体的体积为:118(2333V Sh π=

=??

=169π故选B .

考点:由三视图求面积、体积.

【易错点晴】本题考查几何体体积计算.本题关键是由三视图准确的想象出该几何体的真实形状,弄清几何体的结构特征,是易错之处.

4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,1q >,3520a a +=,2664a a =,则

5S =( )

A .48

B .36

C .42

D .31 答案:D

试题分析:由于在等比数列{}n a 中,由2664a a =可得:352664a a a a ==, 又因为3520a a +=,

所以有:35,a a 是方程2

20640x x -+=的二实根,又0n a >,1q >,所以35a a <,

故解得:354,16a a ==

,从而公比12,1q a =

==; 那么5521

3121

S -=

=-, 故选D .

考点:等比数列.

5.设z x y =+,其中实数x ,y 满足2000x y x y y k +≥??

-≤??≤≤?

,若z 的最大值为6,则z 的最小值

为( )

A .3-

B .2-

C .1-

D .0

答案:A

试题分析:先根据条件画出可行域,观察可行域,当直线z=x+y过A点时取最大值,从而求出k值,再当直线z=x+y过B点时取最小值,求出z最小值即可.

作出可行域如图:

直线x+y=6过点A(k,k)时,z=x+y取最大,

∴k=3,

z=x+y过点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,

∴B(-6,3),

∴z的最小值为=-6+3=-3.,

故选A.

考点:简单线性规划.

6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()

A.150 B.180 C.200 D.280

答案:A

试题分析: 根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3,分别计算两种情况下的情况数目,相加可得答案.

人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.

若是1,1,3,则有

31

3

52

3

2

2

60

C C

A

A

?=种,

若是1,2,2,则有

122

3

542

3

2

2

90 C C C

A

A

?=种

所以共有150种不同的方法,

故选A.

考点:排列、组合及简单计数问题.

7.执行如图的程序框图,则输出S的值为()

A .2016

B .2

C .1

2

D .1- 答案:B

试题分析:模拟执行程序框图,可得

2,0s k ==

满足条件2016,1,1k s k <=-= 满足条件1

2016,,22

k s k <=

= 满足条件2016,2,3k s k <== 满足条件2016,1,4k s k <=-= 满足条件1

2016,,52

k s k <=

= ……

观察规律可知,s 的取值以3为周期,由2015=3671+2, 有满足条件k <2016,s=2,k=2016

不满足条件k <2016,退出循环,输出s 的值为2, 故选B .

考点:程序框图.

8.若6n

x

?

?

的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于( )

A .3

B .4

C .5

D .6

答案:C

试题分析:由展开式的通项公式15662

1(),(0,1,,)r n r n r

r

r

r n

n

T C x C x

r n -

-+=== ,

15602n r -

=即5

4n r =有符合条件0,1,,n Z r n ∈??=?

的解, 所以当4r =时,n 的最小值等于5; 故选C .

考点:1、二项式定理;2、二元不定方程的解.

9.已知函数()cos f x x x ωω=+(0ω>)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为

2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6

π

个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是( )

A .在,42ππ??

?

???

上是增函数 B .其图象关于直线4

x π

=-

对称

C .函数()g x 是奇函数

D .当2,63x ππ??

∈?

???

时,函数()g x 的值域是[]2,1- 答案:D

试题分析:由两角和的正弦把三角函数化简,结合已知求出周期,进一步得到ω,则三角函数的解析式可求,再由图象平移得到g (x )的解析式,画出其图象,则答案可求.

∵()cos f x x x ωω=+12(cos )2sin()226

x x x πωωω=+=+, 由题意知,则

,22

T π

=则T=π, ∴()2sin(2)6

f x x π

=+

把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移

6

π

个单位,得 ()()2sin[2()]2sin(2)2cos 26662

g x f x x x x ππππ

=+=++=+=

其图象如图:

由图可知:在,42ππ??

?

???

上是减函数,故A 错误; 其图象的对称中心为(,0)4

π

-

,故B 错误;

函数为偶函数,故C 错误;

当2,63x ππ??

∈?

???

时,函数()g x 的值域是[]2,1-,故D 正确. 故选D .

考点:函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换.

10.函数2sin 6241

x x

x y π??+ ?

??=-的图象大致为( )

答案:D

试题分析:由函数

2sin 62cos 62()4141

x x x

x x x f x y π??+ ?

??===--得:

2c o s 6()2c o s 6

()

()4114

x

x x x

x x f x f x ----===---知函数是偶函数,其图象关于愿点对称,故排除A ;

当x 从大于零变到零的过程中,函数值y →+∞,故排除B ; 当x →+∞时,0y →,排除C ;故选D .

考点:函数的图象.

11.已知正三角形C AB 三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面C AB 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )

A .

74π B .2π C .94

π D .3π 答案:C

试题分析:设正△ABC 的中心为O 1,连结O 1A .根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理,而经过点E 的球O 的截面,当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小,相应地截面圆的面积有最小值,由此算出截面圆半径的最小值,从而可得截面面积的最小值. 设正△ABC 的中心为O 1,连结O 1A ,连结111,,,OO OC O D OD ∵O 1是正△ABC 的中心,A 、B 、C 三点都在球面上,

∴1O O ⊥平面ABC ,结合1O C ?平面ABC ,可得11O O O C ⊥

∵球的半径R=2,球心O 到平面ABC 的距离为1,得1O O =1, ∴Rt △O 1OC

中,1O C =

又∵E 为AB 的中点,△ABC 是等边三角形,∴13cos302

o

AE AO ==

A ∵过E 作球O 的截面,当截面与OE 垂直时,截面圆的半径最小, 此时截面圆的半径32

r =

可得截面面积为2

9

4

S r ππ==

, 故选C .

考点:球的性质.

【思路点晴】本题已知球的内接正三角形与球心的距离,求经过正三角形中点的最小截面圆的面积,着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识,属于中档题.关键是理解:经过点E 的球O 的截面,当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小.

12.已知函数()1

1,1

4ln ,1

x x f x x x ?+≤?=??>?,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时,实数

a 的取值范围是(注:e 为自然对数的底数)

( ) A .10,e ?? ??? B .11,4e ?????? C .10,4??

???

D .1,4e ??

???

答案:B

试题分析:作出函数()1

1,1

4ln ,1

x x f x x x ?+≤?=??>?和()f x ax =的图象,将方程问题转化为两

个函数的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.

作出函数

()1

1,14

l n

,1

x x f x x x ?+≤?=??>?的

图象如图

当y=ax 对应的直线和直线1

14

y x =

+平行时,满足两个函数图象有两个不同的交点, 直线y=ax 和函数f (x )相切时,

当x >1时,函数1

()f x x '=,设切点为(m ,n ), 则切线斜率1()k f m m '==,则对应的切线方程为1

ln ()y m x m m

-=-,

即1

ln 1y x m m

=+-

又∵直线切线方程为y=ax ,

∴1ln 10a m m ?=???-=?,解得1m e

a e =??

?=??

即此时1

a e

=

,此时直线y=ax 与f (x )只有一个交点,不满足条件, 若方程f (x )=ax 恰有两个不同的实根时, 则满足

114a e

≤<; 故选B .

考点:1、分段函数的应用;2、根的存在性及根的个数判断.

【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用,利用分段函数作出函数的图象,再利用数形结合是解决本题;求函数某过点的切线方程的方法:先设出切点,利用导数表示出切线的斜率,进而写出切线的方程,最后由过的点的坐标求出切点坐标,从而求出切线方程.

二、填空题(题型注释)

13.已知()1,2a =- ,()0,2a b +=

,则b = .

试题分析:设(,)b x y =

,则()()()()1,2,1,20,2a b x y x y +=-+=+-= 101

224x x y y +==-??∴???

-==??, ()

1,4,b b ∴=-=

考点:1、向量的加法;2、向量的模.

14.设随机变量()

2

3,σX N ,若()0.3m P X >=,则()6m P X >-= .

答案:0.7

试题分析:因为随机变量()

2

3,σX N ,所以(3)(3)0.5P X P X >=<=,

()0.3P X m >= ,

(6)()1()10.30.7P X m P X m P X m ∴>-=<=->=-=

,所以答案应填:0.7. 考点:正态分布.

15.已知O 为坐标原点,点M 的坐标为()2,1,点(),x y N 的坐标x 、y 满足不等式组

230

3301x y x y y +-≤??

+-≥??≤?

,则OM?ON 的取值范围是 . 答案:[1,6]

试题分析:先根据约束条件画出可行域,再利用向量的数量积表示出

2z OM ON x y ==+ ,利用z 的几何意义求最值即可.

N (x ,y )的坐标x ,y 满足不等式组230

3301x y x y y +-≤??

+-≥??≤?

表示的可行域如图:

目标函数为2z OM ON x y ==+

由向量的数量积的几何意义可知,

当N 在(3,0)时,OM?ON

取得最大值是(3,0)·(2,1)=6, 在(0,1)时,OM?ON

取得最小值为(2,1)·(0,1)=1,

所以的取值范围是[1,6], 所以答案应填:[1,6].

考点:1、简单线性规划;2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识,属于基础题.文科考查线性规划问题都考查的比较浅,难度不大这与理科有所区别,本题就具备这个特点,只是目标函数稍加变动.解线性规划问题的一般步骤:一是作出可行域;二是作出目标函数对应的过原点的直线0l ;三是平移0l 到经过平面区域时目标函数的最值.

16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且121a a ==,(){}

2n n nS n a ++为等差数列,则

{}n a 的通项公式n a = .

答案:

1

2n n -.

试题分析:设(2)n n n b nS n a =++,

因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,且121a a ==,

24,8n b b ∴==,

1(1)(84)4n b b n n ∴=+--= ,即2(2)414n n n n n b nS n a n S a n ??

=++=?++= ???

当2n ≥时,11221101n n n n S S a a n n --????-++

--= ? ?-????

, ()12111n n n n a a n n -++∴=-,即112111

21

n

n n n a n a a a n n n --∴=?=--,

∴n a n ??

????

是以12为公比,1为首项的等比数列,

1

1122

n n n n a n a n --??

∴=?=

???

,所以答案应填:

1

2

n n -.

考点:等差数列的性质.

【方法点晴】本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质,解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用,是中档题.对于此类已知条件中同时含有,n n S a 的,注意利用,n n S a 的关系来互相转化:()11,(1)

,2n n n S n a S S n -=?

=?

-≥?.

三、解答题(题型注释)

17.(本小题满分12分)在锐角三角形C AB 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对

2sin 0c -A =. (1)求角C 的大小;

(2)若2c =,求a b +的最大值. 答案:(1)C 3

π

=

;(2)4.

试题分析:(1)利用正弦定理化简已知的等式,根据sinA 不为0求出sinC 的值,由三角形为锐角三角形,利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数;

(2)由c 与cosC 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,利用基本不等式即可求出a+b 的最大值.. 试题解析:(1

2sin 0c -A =及正弦定理,

2sin Csin 0A -A =(sin 0A ≠),

∴sin C =, C ?AB 是锐角三角形, ∴C 3

π

=

(2) 2c =,C 3

π

=,由余弦定理,22

2cos

43

a b ab π

+-=,

即224a b ab +-=

∴()

2

2

43432a b a b ab +??+=+≤+? ?

??

,即()216a b +≤, ∴4a b +≤,当且仅当2a b ==取“=”,故a b +的最大值是4. 考点:1、余弦定理;2、正弦定理.

18.(本小题满分12分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、

黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;

(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望. 答案:(1)

23;(2)分布列见解析,数学期望是19

36

. 试题分析:(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”,由此能求出P (A );(2)依题意,

X 的可能取值为0,1,2,左手所取的两球颜色相同的概率为222

234

2

9C C C 5C 18++=,右手所取的两球颜色相同的概率为222

3332

9C C C 1

C 4

++=,分别求出P (X=0),P (X=1),P (X=2),由此能求出X 的分布列和EX .

试题解析:(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”,

则()2333432

1993

?+?+?P A =-

=?

(2)依题意,X 的可能取值为0,1,2.

左手所取的两球颜色相同的概率为222

234

2

9C C C 5C 18++= 右手所取的两球颜色相同的概率为222

3332

9C C C 1

C 4

++= ()511331301118418424?

???P X ==--=?=

??????? ()5151711118418418????P X ==?-+-?= ? ????? ()515218472

P X ==

?=

()13751901224187236

E X =?

+?+?= 考点:1、离散型随机变量的期望与方差;2、等可能事件的概率;3.离散型随机变量

及其分布列.

【易错点晴】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的灵活运用.解题时一定要抓住重要字眼“不少于”,否则很容易出现错误.解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心,特别是列举随机变量取值的概率时,要注意按顺序列举,做到不重不漏,防止出现错误.

19.(本小题满分12分)直三棱柱111C C AB -A B 中,1C 1AA =AB =A =,E ,F 分别是1CC 、C B 的中点,11AE ⊥A B ,D 为棱11A B 上的点.

(1)证明:DF ⊥AE ;

(2)是否存在一点D ,使得平面D F E 与平面C AB 若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由. 答案:(1)证明见解析;(2)存在,点D 为11A B 中点.

试题分析:(1)先证明AB ⊥AC ,然后以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则能写出

各点坐标,由共线可得D (λ,0,1),所以0DF AE =

,即DF ⊥AE ;

(2)通过计算,面DEF 的法向量为n 可写成,n

=(3,1+2λ,2(1-λ)),又面ABC

的法向量m =(0,0,1),令()cos ,14

m n m n m n ?== ,解出λ的值即可.

试题解析:(1)证明: 11AE ⊥A B ,11//A B AB

∴AB ⊥AE 又 1AB ⊥AA ,1AE AA =A

∴AB ⊥面11CC A A 又 C A ?面11CC A A ∴C AB ⊥A

以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -

则()0,0,0A ,10,1,

2??E ???,11F ,,022?? ???

,()10,0,1A ,()11,0,1B 设()D ,,x y z ,111D λA =A B

且[]0,1λ∈,即:

()(),,11,0,0x y z λ-= ∴()D ,0,1λ

∴11

DF ,,122λ??=-- ???

∴1

0,1,2??AE = ??

?

∴11

DF 022

?AE =-= ∴DF ⊥AE

(2)假设存在,设面D F E 的法向量为(),,n x y z =

则F 0DF 0

n n ??E =???=?? 111F ,,222??E =- ??? 11DF ,,122λ??=--

??? ∴11102

2211022x y z x y z λ?-++=???

???-+-= ????? 即:()()3211221x z y z

λλλ?=?-??+?=?-?

令()21z λ=- ∴()()3,12,21n λλ=+-

由题可知面C AB 的法向量()0,0,1m =

平面D F E 与平面C AB

∴(

)cos ,14m n m n m n ?==

= ∴12λ=

或7

4

λ=(舍) ∴当点D 为11A B 中点时,满足要求.

考点:1、二面角的平面角及求法;2、直线与平面垂直的性质.

【方法点晴】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属中档题.解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角,否则很容易出现错误.

20.(本小题满分12分)椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的上顶点为A ,4,33b ??

P ?

??

是C 上的一点,以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F .

(1)求椭圆C 的方程;

(2)动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,问:在x 轴上是否存在两个定点,它们到直线l 的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.

答案:(1)2

212

x y +=;(2)存在两个定点()11,0M ,()21,0M -. 试题分析:(1)由题设可得22

4033b c c -+=①,又点P 在椭圆C 上,可得2

22161

99b a b

+=②,又222

2b c a +==③,由①③联立解得c ,b 2

,即可得解.

(2)设动直线l 的方程为y=kx+m ,代入椭圆方程消去y ,整理得

()2

22214220k

x kmx m +++-=(﹡),由△=0,得22

21m k =+,假设存在

()11,0λM ,

()

22,0λM 满足题设,则由

()()

()22121212122

2

21

11

1

k km k k m k m d d k k λλλλλλ++++++?=

=

=++对任意的实数k 恒

成立.由1212

210λλλλ+=??+=?即可求出这两个定点的坐标.

试题解析:(1)()F ,0c ,()0,b A ,由题设可知F F 0A?P =

,得

2

2

4033

b c c -+= ①

又点P 在椭圆C 上,∴2

2216199b a b +=,?22a = ②

2222b c a +== ③

①③联立解得,1c =,21b =

故所求椭圆的方程为2

212

x y += (2)当直线l 的斜率存在时,设其方程为y kx m =+,代入椭圆方程,消去y ,

整理得()

222

214220k x kmx m +++-= (*)

方程(*)有且只有一个实根,又2210k +>, 所以0?=,得2221m k =+

假设存在()11,0λM ,()22,0λM 满足题设,则由

()()

()22121212122

2

21

1

1

k km k k m k m d d k k λλλλλλ++++++?=

=

++

()()2121222111

k km k λλλλ++++=

=+对任意的实数k 恒成立,

所以,1212210λλλλ+=??

+=?解得,1211λλ=??=-?或121

1

λλ=-??=?

当直线l 的斜率不存在时,经检验符合题意.

总上,存在两个定点()11,0M ,()21,0M -,使它们到直线l 的距离之积等于1.……12分

考点:1、直线与圆锥曲线的关系;2、椭圆的标准方程.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法,考查了直线与圆锥曲线的关系,综合性较强,属于中档题.处理直线与圆锥曲线的关系问题时,注意韦达定理的应用,同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证. 21.(本小题满分12分)函数()ln a x

f x x

+=

,若曲线()f x 在点()(),e f e 处的切线与直线2

0e x y e -+=垂直(其中e 为自然对数的底数). (1)若()f x 在(),1m m +上存在极值,求实数m 的取值范围;

(2)求证:当1x >时,()()()

1

2111x x

f x e e x xe ->+++. 答案:(1)()0,1;(2)证明祥见解析.

试题分析:(1)求出f (x )的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得a=1,求导数,求单调区间和极值,令m <1<m+1,解不等式即可得到取值范围;

(2)不等式()()()12111x x

f x e e x xe ->+++即为()()11l n

11211

x x x x e e x xe -++>++,令()()1l n

1()x x g x x

++=,通过导数,求得

()21

1

g x e e >++,令()1

21x x e h x xe -=+,运用导

数证得()()2

11

h x h e <=

+,原不等式即可得证.. 试题解析:(1) ()2

1ln a x

f x x --'=

由已知()21f e e '=- ∴221

a e e -=- 得1a =

∴()1ln x f x x += ()2ln x

f x x

'=-(0x >) 当()0,1x ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 为减函数.

∴1x =是函数()f x 的极大值点

又()f x 在(),1m m +上存在极值

∴11m m <<+ 即01m <<

故实数m 的取值范围是()0,1

(2)()()()

12111x x f x e e x xe ->+++ 即为()()1

1ln 11211

x x x x e e x xe -++>++

令()()()1ln 1x x g x x

++=

则()()()()()22

1ln 11ln 1ln x x x x x x x g x x x '++-++??-??'==

再令()ln x x x φ=- 则()11

1x x x x

φ-'=-

= 1x > ∴()0x φ'> ∴()x φ在()1,+∞上是增函数

∴()()110x φφ>=> ∴()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞上是增函数

∴1x >时,()()12g x g >= 故

()2

11

g x e e >

++ 令()1

21

x x e h x xe -=+

则()()()()

()

()

11

12

2

11212

11x x x x x x x

x

e xe xe e e e h x xe

xe

---'+-+-'==

++

1x > ∴10x e -< ∴()0h x '< 即()h x 在()1,+∞上是增函数

∴1x >时,()()211

h x h e <=

+ 所以()()1

g x h x e >+,即()()()1

2111x x f x e e x xe ->+++ 考点:1、利用导数研究函数的极值;2、利用导数研究曲线上某点切线方程.

【方法点晴】本题考查导数的运用:求切线的斜率、单调区间和极值,同时考查构造函数求导数,判断单调性,运用单调性证明不等式,属于中档偏难题.运用函数单调性证明不等式的关键在于构造恰当的函数,再利用导数判断其单调性,进而将不等式的证明转化为函数值大小的判断即可. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若C C M =B .

(1)求证:?APM ∽?ABP ;

(2)求证:四边形CD PM 是平行四边形. 答案:(1)证明祥见解析;(2)证明祥见解析. 试题分析:(1)由切割线定理,及N 是PM 的中点,可得PN2=NA?NB,进而

PN NA

NB PN

=,结合∠PNA=∠BNP ,可得△PNA ∽△BNP ,则∠APN=∠PBN ,即∠APM=∠PBA ;再由MC=BC ,可得∠MAC=∠BAC ,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB ,进而得到△APM ∽△ABP

(2)由∠ACD=∠PBN ,可得∠PCD=∠CPM ,即PM ∥CD ;由△APM ∽△ABP ,PM 是圆O 的切线,可证得∠MCP=∠DPC ,即MC ∥PD ;再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD 是平行四边形.

试题解析:证明:(1) PM 是圆O 的切线,NAB 是圆O 的割线,N 是PM 的中点,

∴22

MN =PN =NA?NB ,∴

PN NA

=BN PN , 又 ∠PNA =∠BNP ,∴?PNA ∽?BNP ,

∴∠APN =∠PBN ,即∠APM =∠PBA .

C C M =B ,∴C C ∠MA =∠BA ,∴∠MAP =∠PAB ,

∴?APM ∽?ABP

(2) CD ∠A =∠PBN ,∴CD ∠A =∠PBN =∠APN ,即CD C ∠P =∠PM ,

∴//CD PM , ?APM ∽?ABP ,∴∠PMA =∠BPA ,

PM 是圆O 的切线,∴C ∠PMA =∠M P ,

∴C ∠PMA =∠BPA =∠M P ,即D C C ∠P =∠M P , ∴C//D M P ,

∴四边形CD PM 是平行四边形.

考点:1、圆的内接四边形的判定定理;2、圆周角定理;3、同弧或等弧所对的圆周角相等;4、割线定理. 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系x y O 中,圆C 的参数方程1cos sin x y ?

?

=+??=?(?为参数).以O 为极点,x 轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程;

(2)直线l

的极坐标方程是2sin 3πρθ??

+

= ??

?

,射线:OM 3π

θ=与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ,求线段Q P 的长.

答案:(1) 2cos ρθ=;(2)Q 2

P =.

试题分析:(1)把2

2

cos sin 1φφ+=代入圆C 的参数方程为1cos sin x y ??=+??=?

(φ为参数),

消去参数化为普通方程,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入可得圆C 的极坐标方程.

(2)设P (ρ1,θ1),联立2cos 3ρθ

π

θ=??

?=??

,解得ρ1,θ1;设Q (ρ2,θ2),联立

(

)

sin 3ρθθπ

θ?+=?

?=

??

, 解得ρ2,θ<2,可得|PQ|.

试题解析:(1)圆C 的普通方程为

()2

211

x y -+=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=

所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=

(2)设()11,ρθP ,则由2cos 3ρθ

πθ=??

?=??

解得1

1ρ=,13πθ= 设()22Q ,ρθ

,则由(

)

sin 3ρθθπθ?+=?

?=??

解得23ρ=,23πθ=

所以Q 2P =

考点:1、简单曲线的极坐标方程;2、参数方程与普通方程的互化.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设()11f x x x =-++. (1)求()2f x x ≤+的解集; (2)若不等式()121

a a f x a

+--≥

对任意实数0a ≠恒成立,求实数x 的取值范围.

答案:(1){}

02x x ≤≤;(2)33,,22

????-∞-+∞ ????

???

试题分析:(1)运用绝对值的含义,对x 讨论,分x≥1,-1<x <1,x≤-1,去掉绝对值,得到不等式组,解出它们,再求并集即可得到解集;

(2)运用绝对值不等式的性质,可得不等式右边的最大值为3,再由不等式恒成立思想可得f (x )≥3,再由去绝对值的方法,即可解得x 的范围. 试题解析:(1)由()2f x x ≤+得:

201

112x x x x x +≥??≤-??---≤+?或2011112x x x x x +≥??-<

≥??-++≤+?

解得02x ≤≤

所以()2f x x ≤+的解集为{}

02x x ≤≤

(2)

121

1111

12123a a a

a a a a

+--=+

--≤++-=

当且仅当11120a a ????

+

-≤ ???????

时,取等号. 由不等式()121

a a f x a

+--≥对任意实数0a ≠恒成立,可得113x x -++≥

解得:32x ≤-

或32

x ≥. 故实数x 的取值范围是33,,22

????-∞-+∞ ????

???

考点:1、绝对值不等式的解法;2、函数恒成立问题.

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