2016届西藏日喀则一中高三10月检测
数学(理)试题及解析
一、选择题(题型注释)
1.已知集合{
}
2
4,R x x x A =≤∈,{
}
4,x B =≤∈Z ,则A B = ( )
A .()0,2
B .[]
0,2 C .{}0,1,2 D .{}0,2 答案:C
试题分析:{
}{
}
2
4,22x x x R x x A =≤∈=-≤≤ ,
{
}
{}
4,016,x Z x x x Z B =∈=≤≤∈,
所以{0,1,2}A B =
故选C .
考点:1、一元二次不等式;2、集合的运算. 2.复数241i
z i
+=
+(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) A .()3,1 B .()1,3- C .()3,1- D .()2,4 答案:A 试题分析:24(24)(1)6231(1)(1)2
i i i i
z i i i i ++-+=
===+++- , ∴复数241i
z i
+=
+(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是(3,1) 故选A .
考点:复数的运算及几何意义.
3.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为( )
A .
83π+.1693
π+
C
.
83π
.163π答案:B
试题分析:由已知中的三视图,圆锥母线l =
=
圆锥的高2h =
,
圆锥底面半径为2r ==;
截去的底面弧的圆心角为120°,截去的面积是底面圆面积的23
,
底面剩余部分为22218
sin120323
o S r r ππ=
+=+
故几何体的体积为:118(2333V Sh π=
=??
=169π故选B .
考点:由三视图求面积、体积.
【易错点晴】本题考查几何体体积计算.本题关键是由三视图准确的想象出该几何体的真实形状,弄清几何体的结构特征,是易错之处.
4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,1q >,3520a a +=,2664a a =,则
5S =( )
A .48
B .36
C .42
D .31 答案:D
试题分析:由于在等比数列{}n a 中,由2664a a =可得:352664a a a a ==, 又因为3520a a +=,
所以有:35,a a 是方程2
20640x x -+=的二实根,又0n a >,1q >,所以35a a <,
故解得:354,16a a ==
,从而公比12,1q a =
==; 那么5521
3121
S -=
=-, 故选D .
考点:等比数列.
5.设z x y =+,其中实数x ,y 满足2000x y x y y k +≥??
-≤??≤≤?
,若z 的最大值为6,则z 的最小值
为( )
A .3-
B .2-
C .1-
D .0
答案:A
试题分析:先根据条件画出可行域,观察可行域,当直线z=x+y过A点时取最大值,从而求出k值,再当直线z=x+y过B点时取最小值,求出z最小值即可.
作出可行域如图:
直线x+y=6过点A(k,k)时,z=x+y取最大,
∴k=3,
z=x+y过点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,
∴B(-6,3),
∴z的最小值为=-6+3=-3.,
故选A.
考点:简单线性规划.
6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()
A.150 B.180 C.200 D.280
答案:A
试题分析: 根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3,分别计算两种情况下的情况数目,相加可得答案.
人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.
若是1,1,3,则有
31
3
52
3
2
2
60
C C
A
A
?=种,
若是1,2,2,则有
122
3
542
3
2
2
90 C C C
A
A
?=种
所以共有150种不同的方法,
故选A.
考点:排列、组合及简单计数问题.
7.执行如图的程序框图,则输出S的值为()
A .2016
B .2
C .1
2
D .1- 答案:B
试题分析:模拟执行程序框图,可得
2,0s k ==
满足条件2016,1,1k s k <=-= 满足条件1
2016,,22
k s k <=
= 满足条件2016,2,3k s k <== 满足条件2016,1,4k s k <=-= 满足条件1
2016,,52
k s k <=
= ……
观察规律可知,s 的取值以3为周期,由2015=3671+2, 有满足条件k <2016,s=2,k=2016
不满足条件k <2016,退出循环,输出s 的值为2, 故选B .
考点:程序框图.
8.若6n
x
?
?
的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于( )
A .3
B .4
C .5
D .6
答案:C
试题分析:由展开式的通项公式15662
1(),(0,1,,)r n r n r
r
r
r n
n
T C x C x
r n -
-+=== ,
得
15602n r -
=即5
4n r =有符合条件0,1,,n Z r n ∈??=?
的解, 所以当4r =时,n 的最小值等于5; 故选C .
考点:1、二项式定理;2、二元不定方程的解.
9.已知函数()cos f x x x ωω=+(0ω>)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为
2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6
π
个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是( )
A .在,42ππ??
?
???
上是增函数 B .其图象关于直线4
x π
=-
对称
C .函数()g x 是奇函数
D .当2,63x ππ??
∈?
???
时,函数()g x 的值域是[]2,1- 答案:D
试题分析:由两角和的正弦把三角函数化简,结合已知求出周期,进一步得到ω,则三角函数的解析式可求,再由图象平移得到g (x )的解析式,画出其图象,则答案可求.
∵()cos f x x x ωω=+12(cos )2sin()226
x x x πωωω=+=+, 由题意知,则
,22
T π
=则T=π, ∴()2sin(2)6
f x x π
=+
,
把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移
6
π
个单位,得 ()()2sin[2()]2sin(2)2cos 26662
g x f x x x x ππππ
=+=++=+=
其图象如图:
由图可知:在,42ππ??
?
???
上是减函数,故A 错误; 其图象的对称中心为(,0)4
π
-
,故B 错误;
函数为偶函数,故C 错误;
当2,63x ππ??
∈?
???
时,函数()g x 的值域是[]2,1-,故D 正确. 故选D .
考点:函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换.
10.函数2sin 6241
x x
x y π??+ ?
??=-的图象大致为( )
答案:D
试题分析:由函数
2sin 62cos 62()4141
x x x
x x x f x y π??+ ?
??===--得:
2c o s 6()2c o s 6
()
()4114
x
x x x
x x f x f x ----===---知函数是偶函数,其图象关于愿点对称,故排除A ;
当x 从大于零变到零的过程中,函数值y →+∞,故排除B ; 当x →+∞时,0y →,排除C ;故选D .
考点:函数的图象.
11.已知正三角形C AB 三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面C AB 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )
A .
74π B .2π C .94
π D .3π 答案:C
试题分析:设正△ABC 的中心为O 1,连结O 1A .根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理,而经过点E 的球O 的截面,当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小,相应地截面圆的面积有最小值,由此算出截面圆半径的最小值,从而可得截面面积的最小值. 设正△ABC 的中心为O 1,连结O 1A ,连结111,,,OO OC O D OD ∵O 1是正△ABC 的中心,A 、B 、C 三点都在球面上,
∴1O O ⊥平面ABC ,结合1O C ?平面ABC ,可得11O O O C ⊥
∵球的半径R=2,球心O 到平面ABC 的距离为1,得1O O =1, ∴Rt △O 1OC
中,1O C =
又∵E 为AB 的中点,△ABC 是等边三角形,∴13cos302
o
AE AO ==
A ∵过E 作球O 的截面,当截面与OE 垂直时,截面圆的半径最小, 此时截面圆的半径32
r =
可得截面面积为2
9
4
S r ππ==
, 故选C .
考点:球的性质.
【思路点晴】本题已知球的内接正三角形与球心的距离,求经过正三角形中点的最小截面圆的面积,着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识,属于中档题.关键是理解:经过点E 的球O 的截面,当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小.
12.已知函数()1
1,1
4ln ,1
x x f x x x ?+≤?=??>?,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时,实数
a 的取值范围是(注:e 为自然对数的底数)
( ) A .10,e ?? ??? B .11,4e ?????? C .10,4??
???
D .1,4e ??
???
答案:B
试题分析:作出函数()1
1,1
4ln ,1
x x f x x x ?+≤?=??>?和()f x ax =的图象,将方程问题转化为两
个函数的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.
作出函数
()1
1,14
l n
,1
x x f x x x ?+≤?=??>?的
图象如图
:
当y=ax 对应的直线和直线1
14
y x =
+平行时,满足两个函数图象有两个不同的交点, 直线y=ax 和函数f (x )相切时,
当x >1时,函数1
()f x x '=,设切点为(m ,n ), 则切线斜率1()k f m m '==,则对应的切线方程为1
ln ()y m x m m
-=-,
即1
ln 1y x m m
=+-
又∵直线切线方程为y=ax ,
∴1ln 10a m m ?=???-=?,解得1m e
a e =??
?=??
,
即此时1
a e
=
,此时直线y=ax 与f (x )只有一个交点,不满足条件, 若方程f (x )=ax 恰有两个不同的实根时, 则满足
114a e
≤<; 故选B .
考点:1、分段函数的应用;2、根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用,利用分段函数作出函数的图象,再利用数形结合是解决本题;求函数某过点的切线方程的方法:先设出切点,利用导数表示出切线的斜率,进而写出切线的方程,最后由过的点的坐标求出切点坐标,从而求出切线方程.
二、填空题(题型注释)
13.已知()1,2a =- ,()0,2a b +=
,则b = .
试题分析:设(,)b x y =
,则()()()()1,2,1,20,2a b x y x y +=-+=+-= 101
224x x y y +==-??∴???
-==??, ()
1,4,b b ∴=-=
.
考点:1、向量的加法;2、向量的模.
14.设随机变量()
2
3,σX N ,若()0.3m P X >=,则()6m P X >-= .
答案:0.7
试题分析:因为随机变量()
2
3,σX N ,所以(3)(3)0.5P X P X >=<=,
()0.3P X m >= ,
(6)()1()10.30.7P X m P X m P X m ∴>-=<=->=-=
,所以答案应填:0.7. 考点:正态分布.
15.已知O 为坐标原点,点M 的坐标为()2,1,点(),x y N 的坐标x 、y 满足不等式组
230
3301x y x y y +-≤??
+-≥??≤?
,则OM?ON 的取值范围是 . 答案:[1,6]
试题分析:先根据约束条件画出可行域,再利用向量的数量积表示出
2z OM ON x y ==+ ,利用z 的几何意义求最值即可.
N (x ,y )的坐标x ,y 满足不等式组230
3301x y x y y +-≤??
+-≥??≤?
表示的可行域如图:
目标函数为2z OM ON x y ==+
由向量的数量积的几何意义可知,
当N 在(3,0)时,OM?ON
取得最大值是(3,0)·(2,1)=6, 在(0,1)时,OM?ON
取得最小值为(2,1)·(0,1)=1,
所以的取值范围是[1,6], 所以答案应填:[1,6].
考点:1、简单线性规划;2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识,属于基础题.文科考查线性规划问题都考查的比较浅,难度不大这与理科有所区别,本题就具备这个特点,只是目标函数稍加变动.解线性规划问题的一般步骤:一是作出可行域;二是作出目标函数对应的过原点的直线0l ;三是平移0l 到经过平面区域时目标函数的最值.
16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且121a a ==,(){}
2n n nS n a ++为等差数列,则
{}n a 的通项公式n a = .
答案:
1
2n n -.
试题分析:设(2)n n n b nS n a =++,
因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,且121a a ==,
24,8n b b ∴==,
1(1)(84)4n b b n n ∴=+--= ,即2(2)414n n n n n b nS n a n S a n ??
=++=?++= ???
,
当2n ≥时,11221101n n n n S S a a n n --????-++
--= ? ?-????
, ()12111n n n n a a n n -++∴=-,即112111
21
n
n n n a n a a a n n n --∴=?=--,
∴n a n ??
????
是以12为公比,1为首项的等比数列,
1
1122
n n n n a n a n --??
∴=?=
???
,所以答案应填:
1
2
n n -.
考点:等差数列的性质.
【方法点晴】本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质,解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用,是中档题.对于此类已知条件中同时含有,n n S a 的,注意利用,n n S a 的关系来互相转化:()11,(1)
,2n n n S n a S S n -=?
=?
-≥?.
三、解答题(题型注释)
17.(本小题满分12分)在锐角三角形C AB 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对
2sin 0c -A =. (1)求角C 的大小;
(2)若2c =,求a b +的最大值. 答案:(1)C 3
π
=
;(2)4.
试题分析:(1)利用正弦定理化简已知的等式,根据sinA 不为0求出sinC 的值,由三角形为锐角三角形,利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数;
(2)由c 与cosC 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,利用基本不等式即可求出a+b 的最大值.. 试题解析:(1
2sin 0c -A =及正弦定理,
2sin Csin 0A -A =(sin 0A ≠),
∴sin C =, C ?AB 是锐角三角形, ∴C 3
π
=
(2) 2c =,C 3
π
=,由余弦定理,22
2cos
43
a b ab π
+-=,
即224a b ab +-=
∴()
2
2
43432a b a b ab +??+=+≤+? ?
??
,即()216a b +≤, ∴4a b +≤,当且仅当2a b ==取“=”,故a b +的最大值是4. 考点:1、余弦定理;2、正弦定理.
18.(本小题满分12分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、
黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;
(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望. 答案:(1)
23;(2)分布列见解析,数学期望是19
36
. 试题分析:(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”,由此能求出P (A );(2)依题意,
X 的可能取值为0,1,2,左手所取的两球颜色相同的概率为222
234
2
9C C C 5C 18++=,右手所取的两球颜色相同的概率为222
3332
9C C C 1
C 4
++=,分别求出P (X=0),P (X=1),P (X=2),由此能求出X 的分布列和EX .
试题解析:(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”,
则()2333432
1993
?+?+?P A =-
=?
(2)依题意,X 的可能取值为0,1,2.
左手所取的两球颜色相同的概率为222
234
2
9C C C 5C 18++= 右手所取的两球颜色相同的概率为222
3332
9C C C 1
C 4
++= ()511331301118418424?
???P X ==--=?=
??????? ()5151711118418418????P X ==?-+-?= ? ????? ()515218472
P X ==
?=
()13751901224187236
E X =?
+?+?= 考点:1、离散型随机变量的期望与方差;2、等可能事件的概率;3.离散型随机变量
及其分布列.
【易错点晴】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的灵活运用.解题时一定要抓住重要字眼“不少于”,否则很容易出现错误.解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心,特别是列举随机变量取值的概率时,要注意按顺序列举,做到不重不漏,防止出现错误.
19.(本小题满分12分)直三棱柱111C C AB -A B 中,1C 1AA =AB =A =,E ,F 分别是1CC 、C B 的中点,11AE ⊥A B ,D 为棱11A B 上的点.
(1)证明:DF ⊥AE ;
(2)是否存在一点D ,使得平面D F E 与平面C AB 若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由. 答案:(1)证明见解析;(2)存在,点D 为11A B 中点.
试题分析:(1)先证明AB ⊥AC ,然后以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则能写出
各点坐标,由共线可得D (λ,0,1),所以0DF AE =
,即DF ⊥AE ;
(2)通过计算,面DEF 的法向量为n 可写成,n
=(3,1+2λ,2(1-λ)),又面ABC
的法向量m =(0,0,1),令()cos ,14
m n m n m n ?== ,解出λ的值即可.
试题解析:(1)证明: 11AE ⊥A B ,11//A B AB
∴AB ⊥AE 又 1AB ⊥AA ,1AE AA =A
∴AB ⊥面11CC A A 又 C A ?面11CC A A ∴C AB ⊥A
以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -
则()0,0,0A ,10,1,
2??E ???,11F ,,022?? ???
,()10,0,1A ,()11,0,1B 设()D ,,x y z ,111D λA =A B
且[]0,1λ∈,即:
()(),,11,0,0x y z λ-= ∴()D ,0,1λ
∴11
DF ,,122λ??=-- ???
∴1
0,1,2??AE = ??
?
∴11
DF 022
?AE =-= ∴DF ⊥AE
(2)假设存在,设面D F E 的法向量为(),,n x y z =
,
则F 0DF 0
n n ??E =???=?? 111F ,,222??E =- ??? 11DF ,,122λ??=--
??? ∴11102
2211022x y z x y z λ?-++=???
???-+-= ????? 即:()()3211221x z y z
λλλ?=?-??+?=?-?
令()21z λ=- ∴()()3,12,21n λλ=+-
由题可知面C AB 的法向量()0,0,1m =
平面D F E 与平面C AB
∴(
)cos ,14m n m n m n ?==
= ∴12λ=
或7
4
λ=(舍) ∴当点D 为11A B 中点时,满足要求.
考点:1、二面角的平面角及求法;2、直线与平面垂直的性质.
【方法点晴】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属中档题.解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角,否则很容易出现错误.
20.(本小题满分12分)椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的上顶点为A ,4,33b ??
P ?
??
是C 上的一点,以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,问:在x 轴上是否存在两个定点,它们到直线l 的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.
答案:(1)2
212
x y +=;(2)存在两个定点()11,0M ,()21,0M -. 试题分析:(1)由题设可得22
4033b c c -+=①,又点P 在椭圆C 上,可得2
22161
99b a b
+=②,又222
2b c a +==③,由①③联立解得c ,b 2
,即可得解.
(2)设动直线l 的方程为y=kx+m ,代入椭圆方程消去y ,整理得
()2
22214220k
x kmx m +++-=(﹡),由△=0,得22
21m k =+,假设存在
()11,0λM ,
()
22,0λM 满足题设,则由
()()
()22121212122
2
21
11
1
k km k k m k m d d k k λλλλλλ++++++?=
=
=++对任意的实数k 恒
成立.由1212
210λλλλ+=??+=?即可求出这两个定点的坐标.
试题解析:(1)()F ,0c ,()0,b A ,由题设可知F F 0A?P =
,得
2
2
4033
b c c -+= ①
又点P 在椭圆C 上,∴2
2216199b a b +=,?22a = ②
2222b c a +== ③
①③联立解得,1c =,21b =
故所求椭圆的方程为2
212
x y += (2)当直线l 的斜率存在时,设其方程为y kx m =+,代入椭圆方程,消去y ,
整理得()
222
214220k x kmx m +++-= (*)
方程(*)有且只有一个实根,又2210k +>, 所以0?=,得2221m k =+
假设存在()11,0λM ,()22,0λM 满足题设,则由
()()
()22121212122
2
21
1
1
k km k k m k m d d k k λλλλλλ++++++?=
=
++
()()2121222111
k km k λλλλ++++=
=+对任意的实数k 恒成立,
所以,1212210λλλλ+=??
+=?解得,1211λλ=??=-?或121
1
λλ=-??=?
当直线l 的斜率不存在时,经检验符合题意.
总上,存在两个定点()11,0M ,()21,0M -,使它们到直线l 的距离之积等于1.……12分
考点:1、直线与圆锥曲线的关系;2、椭圆的标准方程.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法,考查了直线与圆锥曲线的关系,综合性较强,属于中档题.处理直线与圆锥曲线的关系问题时,注意韦达定理的应用,同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证. 21.(本小题满分12分)函数()ln a x
f x x
+=
,若曲线()f x 在点()(),e f e 处的切线与直线2
0e x y e -+=垂直(其中e 为自然对数的底数). (1)若()f x 在(),1m m +上存在极值,求实数m 的取值范围;
(2)求证:当1x >时,()()()
1
2111x x
f x e e x xe ->+++. 答案:(1)()0,1;(2)证明祥见解析.
试题分析:(1)求出f (x )的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得a=1,求导数,求单调区间和极值,令m <1<m+1,解不等式即可得到取值范围;
(2)不等式()()()12111x x
f x e e x xe ->+++即为()()11l n
11211
x x x x e e x xe -++>++,令()()1l n
1()x x g x x
++=,通过导数,求得
()21
1
g x e e >++,令()1
21x x e h x xe -=+,运用导
数证得()()2
11
h x h e <=
+,原不等式即可得证.. 试题解析:(1) ()2
1ln a x
f x x --'=
由已知()21f e e '=- ∴221
a e e -=- 得1a =
∴()1ln x f x x += ()2ln x
f x x
'=-(0x >) 当()0,1x ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 为减函数.
∴1x =是函数()f x 的极大值点
又()f x 在(),1m m +上存在极值
∴11m m <<+ 即01m <<
故实数m 的取值范围是()0,1
(2)()()()
12111x x f x e e x xe ->+++ 即为()()1
1ln 11211
x x x x e e x xe -++>++
令()()()1ln 1x x g x x
++=
则()()()()()22
1ln 11ln 1ln x x x x x x x g x x x '++-++??-??'==
再令()ln x x x φ=- 则()11
1x x x x
φ-'=-
= 1x > ∴()0x φ'> ∴()x φ在()1,+∞上是增函数
∴()()110x φφ>=> ∴()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞上是增函数
∴1x >时,()()12g x g >= 故
()2
11
g x e e >
++ 令()1
21
x x e h x xe -=+
则()()()()
()
()
11
12
2
11212
11x x x x x x x
x
e xe xe e e e h x xe
xe
---'+-+-'==
++
1x > ∴10x e -< ∴()0h x '< 即()h x 在()1,+∞上是增函数
∴1x >时,()()211
h x h e <=
+ 所以()()1
g x h x e >+,即()()()1
2111x x f x e e x xe ->+++ 考点:1、利用导数研究函数的极值;2、利用导数研究曲线上某点切线方程.
【方法点晴】本题考查导数的运用:求切线的斜率、单调区间和极值,同时考查构造函数求导数,判断单调性,运用单调性证明不等式,属于中档偏难题.运用函数单调性证明不等式的关键在于构造恰当的函数,再利用导数判断其单调性,进而将不等式的证明转化为函数值大小的判断即可. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若C C M =B .
(1)求证:?APM ∽?ABP ;
(2)求证:四边形CD PM 是平行四边形. 答案:(1)证明祥见解析;(2)证明祥见解析. 试题分析:(1)由切割线定理,及N 是PM 的中点,可得PN2=NA?NB,进而
PN NA
NB PN
=,结合∠PNA=∠BNP ,可得△PNA ∽△BNP ,则∠APN=∠PBN ,即∠APM=∠PBA ;再由MC=BC ,可得∠MAC=∠BAC ,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB ,进而得到△APM ∽△ABP
(2)由∠ACD=∠PBN ,可得∠PCD=∠CPM ,即PM ∥CD ;由△APM ∽△ABP ,PM 是圆O 的切线,可证得∠MCP=∠DPC ,即MC ∥PD ;再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD 是平行四边形.
试题解析:证明:(1) PM 是圆O 的切线,NAB 是圆O 的割线,N 是PM 的中点,
∴22
MN =PN =NA?NB ,∴
PN NA
=BN PN , 又 ∠PNA =∠BNP ,∴?PNA ∽?BNP ,
∴∠APN =∠PBN ,即∠APM =∠PBA .
C C M =B ,∴C C ∠MA =∠BA ,∴∠MAP =∠PAB ,
∴?APM ∽?ABP
(2) CD ∠A =∠PBN ,∴CD ∠A =∠PBN =∠APN ,即CD C ∠P =∠PM ,
∴//CD PM , ?APM ∽?ABP ,∴∠PMA =∠BPA ,
PM 是圆O 的切线,∴C ∠PMA =∠M P ,
∴C ∠PMA =∠BPA =∠M P ,即D C C ∠P =∠M P , ∴C//D M P ,
∴四边形CD PM 是平行四边形.
考点:1、圆的内接四边形的判定定理;2、圆周角定理;3、同弧或等弧所对的圆周角相等;4、割线定理. 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系x y O 中,圆C 的参数方程1cos sin x y ?
?
=+??=?(?为参数).以O 为极点,x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程;
(2)直线l
的极坐标方程是2sin 3πρθ??
+
= ??
?
,射线:OM 3π
θ=与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ,求线段Q P 的长.
答案:(1) 2cos ρθ=;(2)Q 2
P =.
试题分析:(1)把2
2
cos sin 1φφ+=代入圆C 的参数方程为1cos sin x y ??=+??=?
(φ为参数),
消去参数化为普通方程,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入可得圆C 的极坐标方程.
(2)设P (ρ1,θ1),联立2cos 3ρθ
π
θ=??
?=??
,解得ρ1,θ1;设Q (ρ2,θ2),联立
(
)
sin 3ρθθπ
θ?+=?
?=
??
, 解得ρ2,θ<2,可得|PQ|.
试题解析:(1)圆C 的普通方程为
()2
211
x y -+=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=
所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=
(2)设()11,ρθP ,则由2cos 3ρθ
πθ=??
?=??
解得1
1ρ=,13πθ= 设()22Q ,ρθ
,则由(
)
sin 3ρθθπθ?+=?
?=??
解得23ρ=,23πθ=
所以Q 2P =
考点:1、简单曲线的极坐标方程;2、参数方程与普通方程的互化.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设()11f x x x =-++. (1)求()2f x x ≤+的解集; (2)若不等式()121
a a f x a
+--≥
对任意实数0a ≠恒成立,求实数x 的取值范围.
答案:(1){}
02x x ≤≤;(2)33,,22
????-∞-+∞ ????
???
.
试题分析:(1)运用绝对值的含义,对x 讨论,分x≥1,-1<x <1,x≤-1,去掉绝对值,得到不等式组,解出它们,再求并集即可得到解集;
(2)运用绝对值不等式的性质,可得不等式右边的最大值为3,再由不等式恒成立思想可得f (x )≥3,再由去绝对值的方法,即可解得x 的范围. 试题解析:(1)由()2f x x ≤+得:
201
112x x x x x +≥??≤-??---≤+?或2011112x x x x x +≥??-<?---≤+?或201112x x x x x +≥??
≥??-++≤+?
解得02x ≤≤
所以()2f x x ≤+的解集为{}
02x x ≤≤
(2)
121
1111
12123a a a
a a a a
+--=+
--≤++-=
当且仅当11120a a ????
+
-≤ ???????
时,取等号. 由不等式()121
a a f x a
+--≥对任意实数0a ≠恒成立,可得113x x -++≥
解得:32x ≤-
或32
x ≥. 故实数x 的取值范围是33,,22
????-∞-+∞ ????
???
考点:1、绝对值不等式的解法;2、函数恒成立问题.