2020年中考数学全真模拟试题（四）
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第1卷l 至4页，第Ⅱ卷5至12页．满分120分．考试时间120分钟．
第1卷(选择题 共42分) 注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试卷上。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题(本题共14小题．每小题3分，共42分)在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一3的绝对值是
(A)3 (C)±3 (B) 3 (D)±13
2．2020年聊城市的国民生产总值为1012亿元，用科学记数法表示正确的是 (A)1012×108元 (B)1.012×1110元 (C)1.0×1110元． (D)1.012×
1210元．
3．下列各式计算正确的是 (A)527()a a =．(B)221
22x x
-=
(C)236326a a a =g (D)826a a a ÷=。 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是
(A) 18 (B) 13 (C) 38 (D) 35
5．如图，将两根钢条'AA 、'BB 的中点O 连在一起，使'AA 、'BB 可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，
那么
判定△AOB ?△''A OB 的理由是
(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边
6．已知两圆相交，其圆心距为6，大圆半径为8，则小圆半径r 的取值范围是 (A)r>2 (13)2 7．化简2 4()22a a a a a a ---+g 的结果是 (A)一4 (B)4 (C)2a (13) 2a +4 8．如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形 ABCD ，若BD ＝10，DF ＝4，则菱形ABCD 的边长为 (A)42． (B)52 (C)6． (D)9． 9．小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如 图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm 幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是 10cm ，则屏幕上小树的高度是 (A)50cm ． (B)500cm ． (C)60 cm ． (D)600cm ． 10．多边形的内角中，锐角的个数最多有 (A)1个． (B)2个． (C)3个． (D)4个． 11．如图，已知点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 第5题图 第九题图 A D E F O B (A)(0，0)． (B)11 (,)22 -． (c) 22( ,)22- (D) 11(,)22 -． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为 (A)60?． (B)120?． (C)60?或150?． (D)60?或120? 13．如图是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计)，则盒子的容积为 (A)4． (C)12． (B)6． (D)15 14．已知△ABC ， (1)如图l ，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=1 902 A ?+∠； (2)如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90A ?-∠； (3)如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=1902 A ?-∠。 图3 图2 图1 E F E P C B A A B C A B C P P 上述说法正确的个数是 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 二、填空题(本大题共5小题．每小题3分，共15分)把答案填在题中横线上． 15．关于x 的不等式3x 一2a ≤一2的解集如图所示，则a 的值是_______________。 6 -6-5-4-3-254321-10 (第15题图) 16．若圆周角α所对弦长为sin α，则此圆的半径r 为___________。 17．如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积___________cm 2。(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示) 第18题图 E F C D 18．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90?，AB ＝4，AC ＝3，D 在BC 上运动(不与B 、C 重合)，过D 点分别向AB 、Ac 作垂线，垂足分别为E 、F ，则矩形AEDF 的面积的最大值为___________。 19．判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾．．．(这个数的末位数字)后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5＝42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的”倍的差能否被7整除来判断，则n =___________（n 是整数，且1≤n<7)． 三、开动脑筋．你一定能做对 20．(本小题满分6分) 为了了解家庭日常生活消费情况，小亮记录了他家一年中7周的日常生活消费费用．数据如下(单位：元)： 230 l 95 180 250 270 455 170 请你用统计初步的知识，计算小亮家平均每年(每年按52周计算)的日常生活消 费总费用． 21．(本小题满分7分) 小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法． A B 22．(本小题满分8分) 某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少? 四、认真思考，你一定能成功！ 23．(本小题满分9分) 如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． (1)求证：OE=OF ； (2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 图1 C B 24．(本小题满分10分) 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)按照这种变化规律，若2020年已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2020年降低多少万元? ②如果打算在2020年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元)? 五、相信自己。加油呀 25．(本小题满分10分) △ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=?，如图l ，根据勾股定理，则 222a b c +=。若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论． 图1 C B A 图2 C B A 图3 C B A 26．(本小题满分13分) 如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R． ①求证：PB＝PS； ②判断△SBR的形状； ③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由． 参考答案及评分标准 注：第三、四、五题给出了一种解法或两种解法．考生若用其它解法．应参照本评分标准给分 一、选择题(每小题3分，共42分) 二、填空题(每小题3分．共15分l 1 5．一1 2 ； 16． 1 2 ； 17． 300π； 18 ．3； 19 ．2。 三、开动脑筋，你一定能做对（共21分） 20．解：由题中7周的数据．可知小亮家平均每周日常生活消费的费用为：1 7 (230+195+180+250+270+455+170)=250(元) …………（4分）∴小亮家每年日常生活消费总赞用为： 250×52=13000(元) 答：小亮家平均每年的日常生活消费总费用约为13000元……………(6分) 2l．解： 作法： (1)作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点O ； (2)分别以A 、B 为圆心，以AO(或BO)的长为半径画弧，分别交半圆干点M 、N ； (3)连结OM 、ON 即可． 说明：本小题满分7分。画图正确得4分；写出作法，每步各1分，共3分。 22．解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为： 48048 505 = ； 由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) … (1分) 方案二：只买小包装．则需买包数为： 480 1630 = 所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元) ……… (2分) 方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装y 包．所需费用为W 元。 则50304803020 x y W x +=??=+?…………（4分） 10 3203 W x =- +…………（5分） ∵050480x <<，且x 为正整数， ∴x =9时，最小W =290(元)． ∴购买9包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。 ………………………………………………………………（7分） 答：购买9包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。 ……………………………………………………………… (8分) 四、认真思考．你一定能成功！(共19分) 23(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA ……………… (1分) 又∵AM ⊥BE ，∴∠MEA+∠MAE ＝90?=∠AFO+∠MAE ∴∠MEA ＝∠AFO ………………（2分） ∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ……………… (3分) ∴OE=OF ………………(4分) (2)OE ＝OF 成立 ……………… (5分) 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA ……………… (6分) 又∵AM ⊥BE ，∴∠F+∠MBF ＝90?=∠B+∠OBE 又∵∠MBF ＝∠OBE ∴∠F ＝∠E ………………（7分） ∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ……………… (8分) ∴OE=OF ………………(9分) 24．(1)解：设其为一次函数，解析式为y kx b =+ 当 2.5x =时，7.2y =； 当x =3时，y =6． 7.2 2.563k b k b =+?? =+? 解得 2.4k =-，13.2b = ∴一次函数解析式为 2.413.2y x =-+ 把4x =时， 4.5y =代人此函数解析式， 左边≠右边． ∴其不是一次函数． 同理．其也不是二次函数． ………… (3分) (注：学生如用其它合理的方式排除以上两种函数，同样得3分) 设其为反比例函数．解析式为k y x =。 当 2.5x =时，7.2y =， 可得7.2 2.5 k = 解得18k = ∴反比例函数是18 y x = 。………… (5分) 验证：当x =3时，y =18 63 =，符合反比例函数。 同理可验证x =4时， 4.5y =， 4.5x =时，4y =成立。 可用反比例函数18 y x = 表示其变化规律。………… (6分) (2)解：①当x =5万元时，， 3.6y =。………… (7分) 4 3.60.4-=（万元）， ∴生产成本每件比2020年降低0．4万元。………… (8分) ②当 3.2y =时，183.2x = 。 ∴ 5.625x =………… (9分) ∴5.62550.625-=0.63≈（万元） ∴还约需投入0.63万元． …………… (10分) 五、相信自己，加油呀！（共23分） 25解：若△ABC 是锐角三角形，则有222a b c +> …… (1分) 若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<。 (2分) 当△ABC 是锐角三角形时， D B 证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x -……（3分） 根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==-- 即222222b x c a ax x -=-+-。 ∴2222a b c ax +=+…………………………（5分） ∵0,0a x >>， ∴20ax >。 ∴222a b c +>。…………………………（6分） 当△ABC 是钝角三角形时， B 证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D 。 设CD 为x ，则有222BD a x =-…………………………（7分） 根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=． 即2222a b bx c ++=。…………………………（9分） ∵0,0b x >>， ∴20bx >， ∴222a b c +<。…………………………（10分） 26.⑴解：方法一： ∵B 点坐标为(0．2)， ∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为2y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。 得1242242x a b c a b c =?? =-+??=++? 解这个方程组，得 1 ,0,14 a b c === ∴此抛物线的解析式为 2 114 y x =+ ………… (3分) 方法二： ∵B 点坐标为(0．2)， ∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2)。 ……… (1分) 根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+。 其过点A(0，1)和C(-2．2) 124c a c =??=+?……… 解这个方程组，得 1 ,14 a c == 此抛物线解析式为2 114 y x =+ (2)解： ①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ． ∵P 点在抛物线y=214x 十l 上．可设P 点坐标为21 (,1)4 a a +． ∴PS ＝21 14 a +，OB ＝NS ＝2，BN ＝a 。 ∴PN=PS —NS=21 14 a - ………………………… (5分) 在Rt V PNB 中． PB ＝222222211 (1)(1)44 PN BN a a a +=-+=+ ∴PB ＝PS ＝21 14 a +………………………… (6分) ②根据①同理可知BQ ＝QR 。 ∴12∠=∠， 又∵ 13∠=∠， ∴23∠=∠， 同理∠SBP ＝5∠………………………… (7分) ∴2523180∠+∠=? ∴5390∠+∠=? ∴90SBR ∠=?. ∴ △SBR 为直角三角形．………………………… (8分) ③方法一： 设,PS b QR c ==， ∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+。 ∴222()()SR b c b c =+-- ∴2SR bc =。………………………… (9分) 假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR ＝2bc x 。 若使△PSM ∽△MRQ ， 则有 b b c x x c =。 即220x bcx bc -+= ∴12x x bc == ∴SR ＝bc ∴M 为SR 的中点.………………………… (11分) 若使△PSM ∽△QRM ， 则有 b x =。 ∴x = 。 ∴ 1MR x c QB RO MS x b BP OS ==-=== 。 ∴M 点即为原点O 。 综上所述，当点M 为SR 的中点时．?PSM ∽?MRQ ；当点M 为原点时，?PSM ∽?MRQ ．………………………… (13分) 方法二： 若以P 、S 、M 为顶点的三角形与以Q 、M 、R 为顶点的三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=?， ∴有?PSM ∽?MRQ 和?PSM ∽△QRM 两种情况。 当?PSM ∽?MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90?。 ∴90PMQ ∠=?。………………………… (9分) 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1 ()2 QR PS +．…………………… (10分) ∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线, ∴点M 为SR 的中点 …………………… (11分) 当△PSM ∽△QRM 时， RM QR QB MS PS BP == 又RM RO MS OS =，即M 点与O 点重合。 ∴点M 为原点O 。 综上所述，当点M为SR的中点时，?PSM∽△MRQ；当点M为原点时，?PSM∽△QRM……………………… (13分)
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