福建省冷曦中学2016届开学第一考
数学试题
考试时间：2015年8月9日 8.00-10.30 试卷满分：150分
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．A、B、C、D分别是复数，在复平面内对应的点,O是原点,
若,则ΔCOD一定是
A.等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D.等腰直角三角形
2．（5分）下列集合中，是空集的是（）
A．{x|x2+3=3} B．{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}
C．{x|﹣x2≥0} D．{x|x2﹣x+1=0，x∈R}
3．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）
A．B．C．D．
5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=r?a n+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）
A．B．C．4 D．﹣1
7．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与
双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数
有且仅有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）
A．5 B．C．3 D．
9．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定，若M（x，y）
为D上的动点，点A的坐标为（1，﹣1），且z=的最小值为﹣1，则实数a=（）A．7 B．5 C．4 D．3
10．（5分）对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈M且x1＜x2时，都有f （x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1；又当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立．有下列命题：
①?x∈，f（x）≥0；②当x1，x2∈且x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）；③f（）+f（）+f （）+f（）=2；④当x∈时，f（f（x））≤f（x）．
其中正确命题有（）
A．②③B．①②③C．①②④D．①③④
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为．
12．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是
13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．
14．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足=a x，f′（x）g（x）＜f （x）g′（x），+=，若有穷数列{}（n∈N?）的前n项和等于，则n=．
15．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足=sin2θ+cos2θ
（θ∈R），给出下列命题：①对?θ∈R，?λ∈R，使得=λ；②当θ∈（﹣，）时，存在唯一的θ，使=（+）；③动点P在运动的过程中，（+）?的取值范围为；④若||=2，动点P在运动的过程中，||2+||2+||2的最小值为．以上命题中，其中正确命题的序号为．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足f（+π）=，cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，a=2，求△ABC的面积．
17．（12分）某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试．学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，各轮
考核通过与否相互独立．学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响．
（Ⅰ）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；
（Ⅱ）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生100元，200元，300元，记学生甲获得奖励的金额为X，求X的分布列及数学期望．
18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2=S n+S n﹣1（n≥2），a1=1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对任意n∈N?，都有T n＜恒成立．
19．（13分）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置．
（Ⅰ）如图2，当A1C⊥CD时，求证：A1C⊥平面BCDE；
（Ⅱ）如图3，设平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角为θ，当tanθ=时，求点C到平面A1BE的距离．
20．（13分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足
=+，直线OA，OB分别交直线l：x=3于M，N两点，设直
线OA，OB的斜率为k1，k2．证明：k1?k2为定值，并求线段MN长度的
最小值．
21．（13分）已知函数f（x）=（x＞﹣1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N?）
福建省冷曦中学2016届开学第一考
数学试题（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．．A、B、C、D分别是复数，在复平面内对应的点,O是原
点,若,则ΔCOD一定是
A.等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D.等腰直角三角形
答案：C
2．
（5分）下列集合中，是空集的是（）
A．{x|x2+3=3} B．{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}
C．{x|﹣x2≥0} D．{x|x2﹣x+1=0，x∈R}
【答案解析】
D
考点：空集的定义、性质及运算．
专题：计算题．
分析：不含任何元素的集合称为空集，对于A，集合中含有0，对于B，集合中含有无数个点，对于C，集合中含0，是非空的，对于D，方程无解，则集合中不含有元素．
解答：对于A，集合中含有0，故错；
对于B，集合中含有无数个点，故也错．
对于C，集合中含0，是非空的，故错；
对于D，所对应的方程无解，集合中不含有元素，故正确；
故选D．
点评：本题主要考查空集的概念，空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．空集的性质：空集是一切集合的子集．
3．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
考点：二项式系数的性质．
专题：概率与统计．
分析：由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a?=5，由此解得a的值．
解答：解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）
展开式中x2的系数为+a?=5，解得a=﹣1，
故选：D．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
4．（5分）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）
A．B．C．D．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：直线与圆；坐标系和参数方程．
分析：把直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程都化为普通方程，利用圆心到直线l 的距离d与半径r求出弦长|AB|的值．
解答：解：把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是
x+y﹣3=0，
把曲线C的极坐标方程ρ=4sinθ变形为
ρ2=4ρsinθ，
化为普通方程是x2+y2=4y，
即x2+（y﹣2）2=4，
它表示圆心为（0，2），半径r=2的圆；
则圆心到直线l的距离为
d==，
所以，直线l被曲线C截得的弦长为
|AB|=2=2=．
故选：B．
点评：本题考查了直线的参数方程与圆的极坐标方程的应用问题，解题时可以化为普通方程进行解答，是基础题目．
5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=r?a n+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：阅读型．
分析：把r=1代入给出的递推式，直接判断出数列{a n}是等差数列，再由给出的递推式，当r≠1时，配方后得到，说明数列{}是等比数列，求出其通项公式后可得a n，由a n看出，当r=时数列{a n}为等差数列，从而说明“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的不必要条件．
解答：解：当r=1时，等式a n+1=r?a n+r化为a n+1=a n+1，即a n+1﹣a n=1（n∈N*）．
所以，数列{a n}是首项a1=1，公差为1的等差数列；
“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的充分条件；
当r不等于1时，
由，得：，
所以，数列{}是首项为，公比为r的等比数列
所以，，
．
当r=时，a n=1．{a n}是首项为1，公差为0的等差数列．
因此，“r=1”不是“数列{a n}成等差数列”的必要条件．
综上可知，“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的充分但不必要条件．
故选A．
点评：本题考查了必要条件、充分条件及充要条件，解答的关键是判断必要性，也是该题的难点，考查了由递推式求数列的通项公式，对于a n+1=pa n+q型的递推式，一般都可转化成一个新的等比数列．此题是中档题．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）
A．B．C．4 D．﹣1
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值并输出．
解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：
是否继续循环 S i
循环前/4 1
第一圈是﹣1 2
第二圈是 3
第三圈是 4
第四圈是4 5
第五圈否
故最后输出的S值为4．
故选C．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．
7．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与
双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．
解答：解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），
∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，
∴=，b=2a，
∴c2﹣a2=4a2，
∴e2==5，∴e=，
故选C．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
8．（5分）已知函数
有且仅有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）
A．5 B．C．3 D．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得．
解答：解：∵方程有3个实数根，=k有解时总会有2个根，
所以必含有1这个根
令=1，
解得x=2或x=0
所以x12+x22+x32═02+12+22=5．
故选A
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用．利用了函数图象的对称性和方程根的分布，考查了学生分析问题的能力．
9．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定，若M（x，y）
为D上的动点，点A的坐标为（1，﹣1），且z=的最小值为﹣1，则实数a=（）A．7 B．5 C．4 D．3
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的定义将目标函数进行化简，结合z的几何意义进行求解即可．
解答：解：∵且的最小值为﹣1，
∴x﹣y的最小值为﹣1，
设z=x﹣y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
∵x﹣y的最小值为﹣1，
∴作出直线x﹣y=﹣1，
则直线x﹣y=﹣1与y=2x﹣1相交于A，此时A为一个边界点，
由，解得，即A（2，3），
此时A也在直线x+y=a上，
则a=2+3=5，即直线为x+y=5，
平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z min=2﹣3=﹣1，
满足条件．
故a=5，
故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义以及向量数量积将目标函数进行化简是解决本题的关键．，注意利用数形结合来解决．
10．（5分）对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈M且x1＜x2时，都有f （x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1；又当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立．有下
列命题：①?x∈，f（x）≥0；②当x1，x2∈且x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）；③f（）+f （）+f（）+f（）=2；④当x∈时，f（f（x））≤f（x）．
其中正确命题有（）
A．②③B．①②③C．①②④D．①③④
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：对于①，由f（0）=0，然后直接利用“非减函数”的定义进行判断；
对于②，由x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立得到f（）≤，在等式f（x）+f（l﹣x）=l 中，取x=得到f（）=，而＞，从而说明f（）≥．利用两边夹的思想得到f（）=．同理得到f（）=．结合新定义即可得到结论；
对于③，结合②的结论及等式f（x）+f（l﹣x）=l变形即可得到；
对于④，当x∈时，判断f（x）与x的大小关系即可．正确．
解答：解：对于①，因为f（0）=0，所以对?x∈，根据“非减函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
对于②，因为当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立，
∴f（）≤，
又f（x）+f（l﹣x）=l，所以f（）=，
由而＞，由“非减函数”的定义可知，所以f（）≥．
所以f（）=．
同理有f（）=．
当x∈时，由“非减函数”的定义可知，f（）≤f（x）≤f（），所以f（x）=．所以②不正确；
由②中，当x∈时，f（x）=．可得：
所以③正确；f（）=f（）=，由f（x）+f（1﹣x）=1得：f（）+f（）=1，
故f（）+f（）+f（）+f（）=2，故③正确；
对于④，当x∈时，x≥2x﹣1，因为函数f（x）为区间D上的“非减函数”，
所以f（x）≥f（2x﹣1），
所以f（f（x））≤f（2x﹣1）≤f（x）．所以④正确．
故正确命题有：①③④．
故选：D
点评：本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：由题意，本题符合几何概型，分别求出已知区间的长度，以及满足不等式的区间长度，利用长度比得到所求．
解答：解：区间的长度为4，
不等式|x|﹣|x﹣1|≥1等价于①，②，
③，
解①得x≥1；解②得?；解③得?，
所以不等式的解集为：{x|x≥1}，
所以在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为：；
故答案为：．
点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型
12．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是
63．
考点：系统抽样方法．
专题：压轴题．
分析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样．按题目中要求的规则抽取即可，在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，由m=6，k=7得到要抽数字的个位数．
解答：解：∵m=6，k=7，m+k=13，
∴在第7小组中抽取的号码是63．
故答案为：63．
点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样．要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．
13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．
解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，
故底面面积S=×4×4=8，
棱柱的高为8，故体积为64，
棱锥的高为4，故体积为：，
故组合体的体积V=64﹣=，
故答案为：
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
14．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足=a x，f′（x）g（x）＜f （x）g′（x），+=，若有穷数列{}（n∈N?）的前n项和等于，则n=6．
考点：数列的求和．
专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．
分析：由列出方程求出a的值，根据求导法则求出，结合条件判断出导数的符号，即可确定函数的单调性，由指数函数的单调性确定a的值，代入由条件和等比数列的前n项和公式求出n的值．
解答：解：因为=a x，且，
所以a+，化简得2a2﹣5a+2=0，解得a=或2，
因为f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
所以=＜0，
则在定义域上单调递减，故a=，
所以=，则有穷数列{}（n∈N?）是以为首项、公比的等比数列，因为有穷数列{}（n∈N?）的前n项和等于，
所以，解得n=6，
故答案为：6．
点评：本题考查了等比数列的定义、前n项和公式，以及函数的导数与函数单调性关系，属于中档题．
15．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足=sin2θ+cos2θ
（θ∈R），给出下列命题：①对?θ∈R，?λ∈R，使得=λ；②当θ∈（﹣，）时，存在唯一的θ，使=（+）；③动点P在运动的过程中，（+）?的取值范围为；④若||=2，动点P在运动的过程中，||2+||2+||2的最小值为．以上命题中，其中正确命题的序号为①③．
考点：命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用；简易逻辑．
分析：由给出的等式结合共线向量基本定理可得C、P、M共线，由此判断①正确；
由给出的向量等式可知P为△ABC的重心，求出，结合θ范围可得满足条件的θ有两个，判断②错误；
由，得（+）?==2||||cosπ=﹣2||||，然后利用基本不等式求得（+）?的取值范围判断③正确；
由已知求出||2+||2+||2的最小值说明④错误．
解答： 解：∵动点P 满足=sin 2
θ
+cos 2
θ
（θ∈R ），且sin 2θ+cos 2
θ=1，又
∵cos 2
θ∈，
∴P 在线段CM 上，则对?θ∈R ，?λ∈R ，使得=λ正确，命题①正确；
∵CM 为AB 边上的中线，若=（
+
），则P 为△ABC 的重心，此时
=
，∴
，
∵θ∈（﹣
，
），∴
，则命题②错误；
由判断①的过程知，P 、M 、C 三点共线，即点P 在CM 上， 而，故（
+
）?
=
=2|
||
|cos π=﹣2|
||
|，
∵||+||=CM=2，由基本不等式可得：
|
||
|≤
．
∴﹣2，当P 与M 或C 重合时（
+
）?
最大为0，命题③正确；
设（0≤λ≤1），
则||2
+|
|2
+|
|2
=
=
=4λ2+1+4λ2+1+4（λ﹣1）2=12λ2
﹣8λ+6． 当
时，|
|2
+|
|2
+|
|2
有最小值为
，故命题④错误．
∴正确的命题是①③． 故答案为：①③．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ），x ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足f（+π）=，cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，a=2，求△ABC的面积．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解；
（Ⅱ）已知等式根据三角函数中的恒等变换应用化简可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，又化简f（）=，可得△ABC为正三角形，结合a及三角形面积公式即可得解．
解答：本小题满分为12分
解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x ﹣）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为π…3分
由2kπ﹣≤2x﹣≤2k（k∈Z）可得：kπkπ+（k∈Z），
∴函数f（x）的单调增区间为：（k∈Z）…6分
（Ⅱ）在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），及cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，可得：sinAsinB ﹣sinAcosB=0，而sinA≠0，
∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=．
又∵f（）=sin（A+）+1=cosA+1=，
∴cosA=，∴A=．
∴△ABC为正三角形，又a=2，
∴△ABC的面积S==2…12分
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．
17．（12分）某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试．学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，各轮考核通过与否相互独立．学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响．
（Ⅰ）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；
（Ⅱ）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生100元，200元，300元，记学生甲获得奖励的金额为X，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据所给的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果．（Ⅱ）根据学生甲得到教育基金的金额为X，X的次数的取值是0元，100元，300元，600元，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可解答：解：（Ⅰ）设甲通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件A1，A2，A3；通过高校自主招生考试为事件A，乙通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件B1，B2，B3；通过高校自主招生考试为事件B，则事件A1，A2，A3相互独立，事件B1，B2，B3；相互独立，事件A，B相互独立．
P（A）=P（A1，A2，A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=
P（B）=P（B1B2B3）=P（B1）P（B2）P（B3）=
设甲乙恰有一人通过该校自主招生考生为事件C，则C=A，事件与A互斥，P（C）
=P（A）=P（A）P（）+P（）=
（Ⅱ）随机变量X的取值为0，100，300，600
P（X=0）=，P（X=100）=，P（X=300）=，P（X=600）=
X 0 100 300 600
P
EX=