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哲学引论习题及答案4

哲学引论习题及答案4
哲学引论习题及答案4

哲学引论习题及答案4

一、单项选择题(本题型每题1分。以下各题每题只有一个正确答案,将正确答案的

代号填入题后的括号内)

1、根据苏格拉底的观点,具有以下哪种动机参加奥林匹克运动会的人才属于哲学家?( C )

A、为了获得奖杯的人

B、虽无获奖势力,但想借此观摩运动会,以便下次登场的人

C、仅仅出于好奇而来参观的人

D、某个或某些运动员的崇拜者

2、推动和制约哲学发表的最重要的因素是( D )。

A、哲学和艺术的关系

B、哲学和道德的关系

C、哲学的宗教的关系

D、哲学和科学的关系

3、哲学的问题是以( C )问题的形式出现的。

A、常识性

B、科学性

C、思想性

D、信念性

4、我国先秦哲学的最主要特征是( C )。

A、强调人与自然和谐

B、强调经世至用

C、诸子百家争鸣

D、今文古文经之争

5、近代唯理论的第一个代表是( B )。

A、培根

B、笛卡儿

C、洛克

D、康德

6、宋明时期中国哲学的主要代表形态是( A )。

A、理学

B、经学

C、心学

D、气学

7、在古希腊哲学中,爱利亚学派的中心思想是( B )。

A、世界的本原是“变化的一”

B、世界的本原是“不变的一”

C、世界的本原是“变化的多”

D、世界的本原是“不变的多”

8、在哲学史上,分析哲学诞生的标志是(C )。

A、“本体论转向”

B、“认识论转向”

C、“语言的转向”

D、“伦理的转向”

9、首次创建伦理学体系的哲学家是( D )。

A、柏拉图

B、休谟

C、边沁

D、亚里多德

10、词与物的关系实质上表达的是( D )。

A、定义与真理的关系

B、逻辑和语言的关系

C、人与人的关系

D、思想与外部世界的关系

11、一般认为西方文化传入中国的奠基人是( C )。

A、奥古斯丁

B、托马斯

C、利玛窦

D、毕达哥拉斯

12、中国哲学中最著名的“三表法”属( A )。

A、墨家

B、道家

C、法家

D、儒家

13、西方中世纪神学与哲学最大最全面的体系是( A )。

A、托马斯主义

B、柏拉图主义

C、人文主义

D、新柏拉图主义

14、中国古代哲学中影响最深远的一种宇宙论哲学是(A )。

A.气论

B.太极阴阳论

C.五行论

D.缘起论

15、语言的逻辑的界限是( A )。

A、“是”

B、“在”

C、“无”

D、“道”

16、反映非存在优先于存在的思维方式的本体论是( C )。

A.在论

B.是论

C.道论

D.气论

17、在传统认识论研究中,人们首先关注的核心总是或首要问题就是( C )。

A、本体论

B、经验论

C、认识路线

D、伦理学

18、儒家对于人类认识可能性的理想是( D )。

A、仁者见仁,智者见智

B、恪守“自然之天”

C、遵循“道德之天”

D、“穷理”与“尽性”

19、道德实质上是一个(B )。

A、“生存”概念

B、“前生存”概念

C、“后生存”概念

D、价值概念

20、西方哲学中所说的“应当”指的是(B )。

A、正在做的事情

B、符合道德事情

C、人们正以某种方式的行为

D、已经做了的事情

21、利己主义最大的弱点是必将导致( A )。

A、强权即公理

B、不同主体间利益的冲突

C、道德建设机制的混乱

D、伦理、规则的不确定性

22、历史上理性主义美学的主要表现形式是( C )。

A、审美主观论

B、审美表现论

C、审美客观论

D、审美表达论

23、科学的具体性在于它获得的任何结果都是( B )。

A、无限的

B、有限的

C、探询性的

D、信念性的

24、中国本土特色的宗教是( D )。

A、佛教

B、儒教

C、天主教

D、道教

25、提出“人不可能两次踏进同一条河流”的古希腊哲学家是(B )。

A、泰勒斯

B、赫拉克利特

C、毕达哥拉斯

D、罗素

26、反映非存在优先于存在的思维方式的本体论是( C )。

A、在论

B、是论

C、道论

D、气论

27、在哲学上通过逻辑的和数学的推理方式获得的确定结论,称之为(A )。

A、必然真理

B、偶然真理

C、绝对真理

D、相对真理

28、推动了逻辑主义和语言分析方法的兴起与发展的是。( A )

A.形式主义定义理论的出现和扩展

B.虚无主义理论的出现和扩展,

C.人文主义理论的出现和扩展

D.科学主义与人文主义的走向渐趋一致

29、道德哲学是关于( C )合理性的哲学研究。

A、自由与平等

B、生存与现实

C、义务与价值

D、公平与民主

30、应用论理学关注的最重要的领域是( B )。

A、生物论理学

B、生命论理学

C、道德论理学

D、功利论理学

23、本体论的原初形式是( A )。

A、是论

B、在论

C、气论

D、原子论

31、审美判断的前提条件是( B )。

A、审美态度

B、审美兴趣

C、审美主观

D、审美客观

32、20世纪最有影响的艺术定义理论是( A )。

A、家族相似论

B、艺术表现论

C、意义形式论

D、艺术表达论

33、当代最有影响的一个美学流派是( C )。

A、客观论

B、主观论

C、分析美学

D、逻辑美学

34、将世界划分为“实际”与“真际”两个层面的中国哲学家是(C )。

A、孔子

B、王夫之

C、冯友兰

D、熊十力

35、许多哲学家认为,后现代主义哲学兴起的标志是( A )。

A、《后现代状况》的发表

B、《词与物》的发表

C、《癫狂与文明》的发表

D、《新唯实论》的发表

二、多项选择题:(每小题都有两个或两个以上正确的答案,请把正确答案的符号填在题后括号内。每小题2分。)

1、中国传统思想文化的主干是(BC )。

A、法家

B、道家

C、儒家

D、墨家

E、名家

2、早期自然哲学关于世界本原的思考的两条线索是(BC )

A、四根

B、一和多

C、变和不变

D、原子和种子

E、火与水

3、现代西方哲学两大主要思潮是(AB )。

A、科学主义思潮

B、人本主义思潮

C、人文主义思潮

D、经验主义思潮

E、认识“三分法”思潮

4、在中国哲学史上,著名的儒家哲学代表人物有( A B C )。

A、孔子

B、朱熹

C、孟子

D、慧能

E、韩非

5、并称世界三大哲学体系的是(ABC )。

A、西方哲学

B、中国哲学

C、印度哲学

D、欧美哲学

E、埃及哲学

6、先秦时被并称为两大“显学”的是(AE )。

A、墨家

B、道家

C、法家

D、佛家

E、儒家

7、中国认识论的一致特征是(AB )。

A、直觉主义

B、知行合一

C、理性主义 D 、与宇宙论界限分明

E、与伦理学界限分明

8、先秦时被并称为两大“显学”的是(AE )。

A、墨家

B、道家

C、法家

D、佛家

E、儒家

9、近代哲学出现的两极对立学派是(A B)。

A、经验论

B、唯理论

C、主观论

D、客观论

E、义务论

10、下列属于科学主义思潮的哲学家有(AB )。

A、罗素

B、维特根斯坦

C、萨特

D、胡塞尔

E、奥古斯丁

11、在传统认识论中,最为基本的认识路线有(BCD )。

A、观念论

B、批判论

C、经验论

D、唯理论

E、主观论

12、逻辑推理的类型有(CD )。

A、数学推理

B、物理推理

C、归纳推理

D、演绎推理

E、辨证推理

13、下列属于心理利己主义的有(BC )。

A、每个人应当永远为自身利益而行动

B、不应当做出于其他原因认为符合自己利益的事情

C、应当做任何符合自己利益的事情

D、应当做能够给自己和其他人带来最大幸福的行为

E、应当做符合原则的一般性行为

14、下列观点错误的有(ABD )。

A、“有”和“无”是西方哲学中的一对概念

B、礼仪之争是佛教和天主教之争

C、“为道”与“为学”是道家认识论的两种不同认知途径

D、自然科学是哲学诞生的温床

E、“是”是语言的逻辑界限

15、中国五四运动到40年代,出现的三次著名论战有(ABC )。

A、科学与人生观的论战

B、中国社会性质的论战

C、东西方文化关系论战

D、实证主义与意志主义的论战

E、科学思潮与人本主义论战

16、下列属于科学主义思潮的哲学家有(AB )。

A、罗素

B、维特根斯坦

C、萨特

D、胡塞尔

E、奥古斯丁

1 7、在传统认识论中,最为基本的认识路线有(BCD )。

A、观念论

B、批判论

C、经验论

D、唯理论

E、主观论

18、分析哲学的两大类型是(CD )。

A、逻辑语言学派

B、物理语言学派

C、理想语言学派

D、日常语言学派

E、元哲学语言学派

19、现代认识论的重要形态有(BC )。

A、家族相似论

B、观念论

C、决定论

D、实在论

E、客观论

20、以下属于近代唯理论哲学的代表人物有(ABC )。

A、斯宾诺莎

B、笛卡儿

C、莱布尼茨

D、休谟

E、培根

21、道家的继承者庄子提出的著名的“体道”方式是(AC )。

A、“坐忘”

B、“为学”

C、“心斋”

D、“自诚明”

E、“冥想直观”

22、下列观点正确的有(ABC E )。

A、科学的任何一个领域都始于哲学的探索

B、词语是人的能动性的人集中体现

C、哲学是思想探索的学问

D、自然科学是哲学诞生的温床

E、形式主义定义理论出现推动逻辑主义和语言分析方法的兴起

23、当代哲学具有代表性的理论形态有(ABC )。

A、解释学

B、新儒学

C、后现代主义

D、分析哲学

E、语言哲学

24、以下哲学著作的作者属于福柯的是(BC )。

A、《后现代状况》

B、《词与物》

C、《癫狂与文明》

D、《新唯识论》

25、中国美学的特点体现了中国哲学的(AB )。

A、统虚实

B、合有无

C、逻辑型

D、重认识

E、虚幻性

26、选择和确定价值的主要依据和标准有(ABCD )。

A、持久性

B、幸福性

C、卓越性

D、建设性

E、现实性

27、现代西方哲学思潮可以概括为(AB )。

A、科学主义

B、人本主义

C、实证主义

D、经院主义

E、实证主义

28、伦理学的两种最具代表性的理论是(CD )。

A、经验论

B、唯物论

C、动机论

D、结果论

E、唯心论

29、儒学“三统”说是(ABC )。

A、道统

B、学统

C、政统

D、儒统

E、教统

二、判断题(本题型共10题,每题1分,共10分。以下各题的叙述,正确的在题后的括号内打“√”,错误的在题后的括号内打“×”)

1、原始宗教和原始艺术是催生哲学的母体和温床。( √)

2、哲学起始于好奇表现为爱智,早期的哲学与科学不分。( √)

3、任何词语都是一种具有知识意义的约定符号,同自然符号一样,反映了人与外界的关系。(×)

4、哲学的问题是以科学性问题的形式出现的。(×)

5、使认识论成为全部哲学的基础的哲学家是康德。(√)

6、我国先秦哲学的最主要特征是百家争鸣。( √)

7、被公认为西方哲学史上的第一位哲学家是培根。( ×)

8、哲学所研究的问题是相对不变和基本固定的。( √)

9、哲学关注知识和思想分析的特点,决定了它与语词之间的紧密关系。( √)

10、托马斯主义是经院哲学的最高成果,也是中世纪神学与哲学最大、最全面体系。( √)。

11、古希腊宇宙论又称作本根论,中国古代宇宙论又叫做自然哲学。(×)

12、近代经验论的第一个代表是泰勒斯。( ×)

13、一般认为西方文化传入中国的奠基人是利马窦。(√)

14、礼仪之争主要是指利玛窦禁止中国教徒参加祭孔和祭祖等中国传统礼仪问题而引发的争论( ×)。

15、科学就其本质而言,乃是关于事物因果关系的知识。(√)

16、提出“天地之化日新”论断的哲学家是王夫之。(√)

17、中国哲学在逻辑学方面向来很发达( ×)。

18、中国古代宇宙论的最大特点是始终追求普遍必然性为其天职的科学精神。(×)

19、现代西方哲学可以概括为科学主义和人本主义两大思潮。(√)

20、近代哲学观念论在黑格尔的哲学中达到了顶峰。(√)

21、提出“我思故我在”的命题,被称为近代哲学之父的哲学家是笛卡尔

(√)。

22、对中国影响最大的非正统思想是道家学说。( √)

23、在直观意义上,理性主要是指人的理智通过抽象或推理把握事物类的特性和一般性的能力。(√)

24、近代科学的最大特点是工具理性(√)。

25、五行说是中国哲学中最有影响最深远的一种宇宙论。(×)

26、“是”、“在”、“无”是本体论的三重视界。(√)

27、“是论”是本体论的原初形式,它以形式逻辑为基础,是西方概念论哲学的根基。(√)

30、中国哲学认识论的主要特征是天人合一、崇尚自然。(×)

31、亚里士多德将形而上学的研究对象归结为“在者”,并建立了西方哲学史上第一个庞大严谨的概念论哲学体系。(×)

32、人们为了生存常常通过自己的行为去获得和保持价值,道德是人们获得和保持价值

的行为,是理性的选择(√)

33、安乐死是自己实施的一种结束自我生命的行为(×)

34、西方艺术哲学一直把表现看作是艺术的一个最根本的特点。(√)

35、西方哲学在知识问题上的主要倾向是实践理性。(×)

36、道家哲学认识论的核心是“冥想直观”。(×)

37、人类是在明确的生存目的支配下建立起自己的道德概念,发展出自己的道德行为的。(√)

38、最早揭示出“是”与“应当”之间复杂、微妙关系的哲学家是休谟。(√)

39、在哲学史上,分析哲学诞生的标志是“语言的转向” ( √)。

40、佛教理论的基础是因果论,其实质是关于事件间的感悟理论。( ×)

41、儒家认为,认识的方法和途径包括“自诚明”和“自明诚”(√)。

42、是否能够明确地测定出具体的空间位置是区别心理事件与物理事件的最重要的特点。(×)

43、提出人的善良意志是世界上惟一能称得上是善的东西观点的哲学家是

康德。(√)

44、道德哲学是关于善与恶的合理性的哲学研究。(×)

45、当代最有影响的一个美学哲学流派是分析美学学派。(√)

46、应用论理学关注的最重要的领域是自我论( ×)。

47、安乐死是自己实施的一种结束自我生命的行为(×)

48、审美是一种以体验为基础的判断活动。(√)

49、西方艺术哲学一直把特质看作是艺术的一个最根本的特点。( ×)

50、西方艺术哲学一直把表现看作是艺术的一个最根本的特点。(√)

51、审美主观论是理性主义美学的主要表现形式。(×)

52、将世界划分为“实际”与“真际”两个层面的中国哲学家是熊十力。(×)

53、中国当代新儒学所面临的是西风东渐、传统价值分崩离析的社会大变局。(√)

54、许多哲学家认为,后现代主义哲学兴起的标志是《新唯实论》的发表。(×)

林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题20简单的四点共圆(附答案)

专题20 简单的四点共圆 破解策略 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”.四点共圆常用的判定方法有: 1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆. 如图,若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点在以点O为圆心、OA为半径的 圆上. D 【答案】(1)略;(2)AB,CD相交成90°时,MN取最大值,最大值是2. 【提示】(1)如图,连结OP,取其中点O',显然点M,N在以OP为直径的⊙O'上,连结NO'并延长,交⊙O'于点Q,连结QM,则∠QMN=90°,QN=OP=2,而∠MQN=180°-∠BOC=60°,所以可求得MN的长为定值. (2)由(1)知,四边形PMON内接于⊙O',且直径OP=2,而MN为⊙O'的一条弦,故MN为⊙O'的直径时,其长取最大值,最大值为2,此时∠MON=90°. 2.若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形的四个顶点共圆. 如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(或∠B+∠D=180°)则A,B,C,D四点在同一个圆上.

D 【答案】(1)略;(2)AD ;(3)AD=DE·tanα. 【提示】(1)证A,D,B,E四点共圆,从而∠AED=∠ABD=45°,所以AD=DE. (2)同(1),可得A,D,B,E四点共圆,∠AED=∠ABD=30°,所以AD DE =tan30°, 即AD= 3 DE. 3.若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆. 如图,在四边形ABCD中,∠CDE为外角,若∠B=∠CDE,则A,B,C,D四点在同一个圆上. 【答案】略 4.若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆. 如图,点A,D在线段BC的同侧,若∠A=∠D,则A,B,C,D四点在同一个圆上.

九年级数学四点共圆例题讲解

九年级数学四点共圆例题讲解 知识点、重点、难点 四点共圆就是圆得基本内容,它广泛应用于解与圆有关得问题.与圆有关得问题变化多,解法灵活,综合性强,题型广泛,因而历来就是数学竞赛得热点内容。 在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上,或根据需要作出辅助圆使四点共圆,利用圆得有关性质定理,则会使复杂问题变得简单,从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆得方法很重要。 判定四点共圆最基本得方法就是圆得定义:如果A、B、C、D四个点到定点O得距离相等,即OA=OB=OC =OD,那么A、B、C、D四点共圆. 由此,我们立即可以得出 1、如果两个直角三角形具有公共斜边,那么这两个直角三角形得四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况,得: 2、如果四边形得对角互补,那么这个四边形得四个顶点共圆。 3、如果四边形得外角等于它得内对角,那么这个四边形得四个顶点共圆。 4、如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等得顶角,那么这两个三角形得四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆得方法,立即可以推出: 正方形、矩形、等腰梯形得四个顶点共圆。 其实,在与圆有关得定理中,一些定理得逆定理也就是成立得,它们为我们提供了另一些证明四点共圆得方法.这就就是: 1、相交弦定理得逆定理:若两线段AB与CD相交于E,且AE·EB=CE·ED,则A、B、C、D四点共圆。 2.割线定理得逆定理:若相交于点P得两线段PB、PD上各有一点A、C,且PA·PB =PC·PD,则A、B、 C、D四点共圆。 3、托勒密定理得逆定理:若四边形ABCD中,AB·CD+BC·DA= AC·BD,则ABCD就是圆内接四边形。 另外,证多点共圆往往就是以四点共圆为基础实现得一般可先证其中四点共圆,然后证其余各点均在这个圆上,或者证其中某些点个个共圆,然后判断这些圆实际就是同一个圆。 例题精讲 例1:如图,P为△ABC内一点,D、E、F分别在BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆,P、E、A、F 四点共圆,求证:B、D、P、F四点共圆。 证明连PD、PE、PF.由于P、D、C、F四点共圆,所以∠BDP = ∠PEC.又由于A、E、P、F四点共圆,所以∠PEC =∠AFP.于就是∠BDP= ∠AFP,故B、D、P、F四点共圆。 例2:设凸四边形ABCD得对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA得对称点共圆。 为1 2 ,此变换把E关于AB、BC、 证明以E为相似中心作相似变换,相似比 CD、DA得对称点变为E在AB、BC、CD、DA上得射影P、Q、R、S(如图)、只需证明PQRS就是圆内接四边形。 由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都就是圆内接四边形(每个四边形都有一组对角为直角),由E、P、B、Q共圆有∠EPQ = ∠EBQ、由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ECQ,于就是∠EPQ+∠ERQ = ∠EBQ+∠ECQ=90°、同理可得∠EPS +∠ERS =90°、从而有∠SPQ+∠QRS =180°,故PQRS就是圆内接四边形。 例3:梯形ABCD得两条对角线相交于点K,分别以梯形得两腰为直径各作一圆,点K位于这两个圆之外,证明:由点K向这两个圆所作得切线长度相等。 证明如图,设梯形ABCD得两腰为AB与CD,并设AC、BD与相应二圆得第二个交点分别为M、N、由于∠AMB、∠CND就是半圆上得圆周角,所以∠AM B=∠CND = 90°.从而∠BMC =∠BNC=90°,故B、M、N、C四点共圆,因此∠MNK=∠ACB.又∠ACB =∠KAD,所以∠MNK =∠KAD、于就是M、N、D、A四点共圆,因此KM·KA = KN·KD、由切割线定理得K向两已知圆所引得切线相等。 例4:如图,A、B为半圆O上得任意两点,AC、BD垂直于直径EF,BH⊥OA,求证:DH=AC、证法一在BD上取一点A',使A'D = AC,则ACDA'就是矩形。连结A'H、AB、OB、由于BD⊥EF、BH⊥OA,所以∠BDO =∠B HO=90°、于就是D、B, H、O四点共圆,所以∠HOB =∠HDB、由于∠AHB =∠AA'B = 90°,所以A、H、A'、B四点共圆。故∠DA'H=∠OAB,因此∠DHA'=∠OBA、而OA = OB,所以∠OBA=∠OAB,于就是∠DHA'=∠D A'H、所以DH=DA',故DH =

四点共圆(习题)

圆内接四边形与四点共圆 思路一:用圆的定义:到某定点的距离相等的所有点共圆。→若连在四边形的三边的中垂线相交于一点,那么这个四边形的四个顶点共圆。(这三边的中垂线的交点就是圆心)。 产生原因:圆的定义:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。 基本模型: AO=BO=CO=DO ? A、B、C、D四点共圆(O为圆心) 思路二:从被证共圆的四点中选出三点作一个圆,然后证另一个点也在这个圆上,即可证明这四点共圆。→要证多点共圆,一般也可以根据题目条件先证四点共圆,再证其他点也在这个圆上。 思路三:运用有关性质和定理: ①对角互补,四点共圆:对角互补的四边形的四个顶点共圆。 产生原因:圆内接四边形的对角互补。 基本模型: ∠ + = 180 B)? A、B、C、D四点共圆 ∠D 180 = ∠ + ∠D A(或0 ②张角相等,四点共圆:线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等,则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。 产生原因:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等。 方法指导:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角(即:张角)相等(同弧所对的圆周角相等),从而即可肯定这四点共圆。

∠? A、B、C、D四点共圆 = CAB∠ CDB ③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆,其斜边为圆的直径。 产生原因:直径所对的圆周角是直角。 ∠D = C? A、B、C、D四点共圆 = ∠ 90 ④外角等于内对角,四点共圆:有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因:圆内接四边形的外角等于内对角。 基本模型: ∠? A、B、C、D四点共圆 = ECD∠ B

四点共圆例题及答案

证明四点共圆的基本方法 证明四点共圆有下述一些基本方法: 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。) 方法3 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这五种基本方法中选择一种证法,给予证明. 例1 如图,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证:E、F、G、H 四点共圆. 证明菱形ABCD的对角线AC和 BD相交于点O,连接OE、OF、OG、OH. ∵AC和BD 互相垂直, ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、 Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、 BC、CD、DA的中点,

即E、F、G、H四点共圆. (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆. 例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC. 求证:B、E、F、C四点共圆. 证明∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED+∠AFD=180°, 即A、E、D、F四点共圆, ∠AEF=∠ADF. 又∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°, ∠CDF+∠FCD=90°, ∠ADF=∠FCD. ∴∠AEF=∠FCD, ∠BEF+∠FCB=180°, 即B、E、F、C四点共圆. (3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆. 【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶3.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数. 解∵四边形ABCD内接于圆,

最新九年级数学四点共圆例题讲解

精品文档 九年级数学四点共圆例题讲解 知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容,它广泛应用于解与圆有关的问题.与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,题型广泛,因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上,或根据需要作出辅助圆使四点共圆,利用圆的有关性质定理,则会使复杂问题变得简单,从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要。 、、、===OCOB四个点到定点DO 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义:如果A的距离相等,即BOAC、、、D四点共圆.,那么ACB OD 由此,我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边,那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况,得: 2.如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等的顶角,那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法,立即可以推出: 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实,在与圆有关的定理中,一些定理的逆定理也是成立的,它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法.这就是: 、、、D四点共圆。B =CE·ED,则AC· 1.相交弦定理的逆定理:若两线段AB和CD相交 于E,且AEEB、、、BPD,则APA,且·PB =PC 2.割线定理的逆定理:若相交于点P的两线段PB·PD上各有一点A、C 、D四点共圆。C 3.托勒密定理的逆定理:若四边形ABCD中,AB·CD+BC·DA= AC·BD,则ABCD是圆内接四边形。 另外,证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆,然后证其余各点均在这个圆上,或者证其中某些点个个共圆,然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 、、、、、、、、、、F四点共圆,上。已知PPDAC1例:如图,P为△ABC内一点,DEEF分别在BCECAAB、、、

四点共圆例题及答案

四点共圆的应用 例1 如图1,已知P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于A ,PB 切⊙O 于B ,OP 交AB 于E . 求证:∠APC =∠BPD . 例2 如图2,从⊙O 外一点P 引切线PA 、PB 和割线PDC ,从A 点作弦AE 平行于DC ,连结BE 交DC 于F ,求证:FC =FD . 例3 如图3,在△ABC 中,AB=AC ,AD ⊥BC ,∠B 的两条三等分线交AD 于E 、G ,交AC 于F 、H .求证:EH ∥GC . P P

例4 如图4,⊿ABC 为等边三角形,D 、E 分别为BC 、AC 边上的点,且BD=31BC,CE=3 1 AC,AD 与 BE 相交于P 点。求证:CP ⊥AD 例5 如图5,AB 为半圆直径,P 为半圆上一点,PC ⊥AB 于C ,以AC 为直径的圆交PA 于D ,以 BC 为直径的圆交PB 于E ,求证:DE 是这两圆的公切线. 例6 AB 、CD 为⊙O 中两条平行的弦,过B 点的切线交CD 的延长线于G ,弦PA 、PB 分别交CD 于E 、F .求证:FG FD CF EF

例7 ABCD 为圆内接四边形,一组对边AB 和DC 延长交于P 点,另一组对边AD 和BC 延长交于Q 点,从P 、Q 引这圆的两条切线,切点分别是E 、F , (如图 7)求证:PQ 2=QF 2+PE 2. 例8 如图8,△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于H ,以AD 为直径作圆和AB 、AC 分别交于E 、F 点,EF 交 AD 于 G ,若 AG=16cm ,AH=25cm ,求 AD 的长. 例9 如图9,D 为△ABC 外接圆上任意一点,E 、F 、G 为D 点到三边垂线的垂足,求证:E 、F 、G 三点在一条直线上. 例10 如图10,H 为△ABC 的垂心,H 1、H 2、 H 3为H 点关于各边的对称点,求证:A 、B 、 C 、H 1、H 2、H 3六点共圆. 2 B

四点共圆练习题

C F E A H B N M C A B 四点共圆练习题 1. 如图,ABC ?三边上的高交于H ,H 不于任一顶点重合,则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个? 2. 在梯形ABCD 中,AB ‖DC ,DC AB >,K 、M 分别在AD 、BC 上,CBK DAM ∠=∠,求证:CKB DMA ∠=∠ 3. 正方形ABCD 的中心为O ,面积为2 1989cm ,P 为正方形内一点,?=∠45OPB , 14:5:=PB PA ,求PB 。 4.如图8,△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于H ,以AD 为直径作圆和AB 、AC 分别交于E 、F 点,EF 交 AD 于 G ,若 AG=16cm ,AH=25cm ,求 AD 的长. 5. 如图,在平行四边形ABCD 中,BC AM ⊥于M ,CD AN ⊥于N ,若13=AB ,5=BM ,9=MC ,求MN 的长度 6.如图所示,棱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,四条边AB,BC,CD,DA 的中点为E,F,G ,H. 求证:E,F,G ,H 四点共圆 7. 如图2,从⊙O 外一点P 引切线PA 、PB 和割线PDC ,从A 点作弦AE 平行于DC ,连结 BE 交DC 于F ,求证:FC =FD . B C M K D A C B O P D A F E D A B O C

8.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠B的两条三等分线交AD于E、G,交AC于F、H.求证:EH∥GC. 9.如图,△ABC为等边三角形,D,E分别为BC,AC边上的点,且BD=1 3 BC,CE= 1 3 AC ,AD与BE 相交于点P,求证:CP⊥AD 10.锐角△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高线,EM⊥BD于M,DN⊥CE于N.求证:MN//BC. 11.在△ABC中,,B C ∠∠的平分线相交于T, ,B C ∠∠的外角平分线相交于P.求证: () 1 2 BPC ABC ACB ∠=∠+∠ 12.如图所示,如果五边形ABCDE中,. ABC ADE AEC ADB ∠=∠∠=∠ 且求证:BAC DAE ∠=∠. 13.四边形ABCD内接于圆,通过M和N分别表示直线AB和CD,BC与AD的交点,设 1 B是已 知圆同过点B、M、N三点的圆的异于B的交点,求证:直线 1 B D平分线段MN.

四点共圆练习题

作业16 1、锐角ABC ?的三条高AD 、BE 、CF 交于H ,在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七个点中.能组成四点共圆的组数是( ) A 、4组 B 、5组 C 、6组 D 、7组 2、已知点)02(,A ,)53(,B ,直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ,C ,若 O 、A 、B 、C 四点共圆,则c 的值为( ) A 、 522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出 3.如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB, P 是弧CAD 上一点(不与C 、D 重合) . (1) 求证:∠CPD =∠COB ; (2) 若点P 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合), ∠CPD 与∠COB 的数量关系是否发生变化?若不变, 请画图并证明;若变化, 请写出新的关系式并画图证明. 4、如图,在平行四边形ABCD 中,BAD ∠为钝角,且BC AE ⊥,CD AF ⊥. (1)求证:A 、E 、C 、F 四点共圆; (2)设线段BD 与(1 )中的圆交于M 、N .求证:ND BM =. 5、如图所示, I 为ABC ?的内心,求证:BIC ?的外心O 与A 、B 、C 四点共圆. B

B A 6.如图, ⊙O 的内接△ABC 的外角∠AC B 的平分线交⊙O 于E, EF ⊥BD 于F. (1) 探索EO 与AB 的位置关系, 并予以证明; (2) 当△AB C 的形状发生改变时, AC CF BF +的值是否发生改变?若不变, 请求出该值;若改变, 请求出其变化范围. 7.如图,已知AB 是⊙O 的直径,D 是弧AB 上一点,C 是弧AD 的中点,AD 、BC 相交于E ,CF ⊥AB ,F 为垂足,CF 交AD 于G ,求证:CG=EG. 8、如图,已知ABC ?中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ,?=∠60B ,F 在AC 上,且AF AE =. (1)证明:B ,D ,H ,E 四点共圆; (2)证明:CE 平分DEF ∠. B

四点共圆练习题word版本

作业16 1、锐角ABC的三条高AD、BE、 CF交于H,在A、B、C、D、 E、F、H七个点中?能组成四点共圆的组数是( ) A、4组 B 、5组 C 、6组 D 7组 2、已知点A(2 ,0),B(3,5),直线I过点B与y轴交于点C(0 , c),若 O、A、B、C四点共圆,贝U c的值为( ) 3. 如图,AB是OO的直径,弦CDLAB, P是弧CAD±一点(不与C D重合). (1) 求证:/ CP亠/ COB (2) 若点P在劣弧CD上(不与C D重合),/ CPD与Z COB的数量关系是否发生变化?若不变,请画图并证明;若变化,请写出新的关系式并画图证明? (1)求证:A、E、C、F四点共圆; (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N .求证:BM ND . 5、如图所示,I为ABC的内心,求证: 圆?BIC的外心O与A、B、C四点共 A、22 5 28 5 C 、17 D 、无法求出 4、如图,在平行四边形ABCD 中, BAD为钝角,且AE BC,AF CD.

6. 如图,O0的内接△ ABC的外角/ ACB勺平分线交O 0于E, EF丄 BD于F. (1)探索E0与AB的位置关系,并予以证明; ⑵当厶ABC的形状发生改变时,BF CF的值是否发生改变?AC 若不变,请求出该值;若改变,请求出其变化范围. 7. 如图,已知AB是。0的直径,D是弧AB上一点,C是弧AD的中 点,AD BC 相交于E, CF丄AB F为垂足,CF交AD于G 求证:CG=EG. 8、如图,已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H , B 60,F在 AC 上,且AE AF . (1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分DEF . F C A

中考数学专题复习 四点共圆模型 含答案

共圆模型 模型1共端点,等线段模型 如图①,出现“共端点,等线段”时,可利用圆定义构造辅助圆. 如图②,若OA=OB=OC,则A、B、C三点在以O为圆心,OA为半径的圆上. 如图③,常见结论有:∠ACB=1 2 ∠AOB,∠BAC= 1 2 ∠BOC. 模型分析 ∵OA=OB=OC. ∴A、B、C三点到点O的距离相等. ∴A、B、C三点在以O为圆心,OA为半径的圆上.∵∠ACB是?AB的圆周角,∠AOB是?AB的圆心角, ∴∠ACB=1 2 ∠AOB. 同理可证∠BAC=1 2 ∠BOC. (1)若有共端点的三条线段,可考虑构造辅助圆. (2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题. 模型实例 如图,△ABC和△ACD都是等腰三角形,AB=AC,AC=AD,连接BD. 求证:∠1+∠2=90°. 证明 证法一:如图①, ∵AB=AC=AD.∴B、C、D在以A为圆心,AB为半径的⊙A上.∴∠ABC=∠2. 在△BAC中,∵∠BAC+∠ABC+∠2=180°,∴2∠1+2∠2=180°.∴∠1+∠2=90°. 证法二:如图②, ∵AB=AC=AD.∴∠BAC=2∠1.∵AB=AC, ∴B、C、D在以A为圆心,AB为半径的⊙O上. 延长BA与圆A相交于E,连接CE. ∴∠E=∠1.(同弧所对的圆周角相等.) ∵AE=AC,∴∠E=∠ACE. ∵BE为⊙A的直径,∴∠BCE=90°. ∴∠2+∠ACE=90°.∴∠1+∠2=90°. 小猿热搜 1.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP,点B与点D关于AP轴对称,连接BD、CD,CD与AP交于点E.求证:∠1=∠2. 证明 ∵A、D关于AP轴对称,∴AP是BD的垂直平分线. ∴AD=AB,ED=EB.又∵AB=AC. ∴C、B、D在以A为圆心,AB为半径的圆上. ∵ED=EB,∴∠EDB=∠EBD.∴∠2=2∠EDB.又∵∠1=2∠CDB.∴∠1=∠2. 2.己知四边形ABCD,AB∥CD,且AB=AC=AD=a,BC=b,且2a>b,求BD的长. 解答 以A为圆心,以a为半径作圆,延长BA交⊙A于E点,连接ED.

四点共圆例题及答案汇编

例1 如图,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证:E、F、G、H 四点共圆. 证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,连接OE、OF、OG、OH. ∵AC和BD 互相垂直, ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、BC、CD、DA的中点, 即E、F、G、H四点共圆. (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆. 例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC. 求证:B、E、F、C四点共圆. 证明∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED+∠AFD=180°, 即A、E、D、F四点共圆,

∠AEF=∠ADF. 又∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°, ∠CDF+∠FCD=90°, ∠ADF=∠FCD. ∴∠AEF=∠FCD, ∠BEF+∠FCB=180°, 即B、E、F、C四点共圆. (3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆. 证明在△ABC中,BD、CE是AC、AB边上的高. ∴∠BEC=∠BDC=90°,且E、D在BC的同侧, ∴E、B、C、D四点共圆. ∠AED=∠ACB,∠A=∠A, ∴△AED∽△ACB.

上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法,至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了. 【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶3.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数. 解∵四边形ABCD内接于圆, ∴∠A+∠C=180°. ∵∠A-∠C=12°, ∴∠A=96°,∠C=84°. ∵∠A∶∠B=2∶3, ∠D=180°-144°=36°. 利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题. 【例2】已知:如图1所示,四边形ABCD内接于圆,CE∥BD交AB 的延长线于E.求证:AD·BE=BC·DC. 证明:连结AC. ∵CE∥BD,

四点共圆问题

第四讲 四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1.给出锐角△ABC ,以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M , N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ,Q .求证:M ,N ,P ,Q 四点共圆. 分析:设PQ ,MN 交于K 点,连接AP ,AM . 欲证M ,N ,P ,Q 四点共圆,须证 MK ·KN =PK ·KQ , 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) =(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ,从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①,命题得证. 例2.A 、B 、C 三点共线,O 点在直线外, O 1,O 2,O 3分别为△OAB ,△OBC , △OCA 的外心.求证:O ,O 1,O 2, O 3四点共圆. 分析:作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ,O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆,立得∠OO 2O 1=2 1 ∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆, 立得∠OO 3O 1=2 1 ∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ,O 1,O 2,O 3共圆. 利用对角互补,也可证明O ,O 1,O 2,O 3四点共圆,请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3.在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB >CD ,K ,M 分别在AD ,BC 上,∠DAM =∠CBK . 求证:∠DMA =∠CKB . 分析:易知A ,B ,M ,K 四点共圆.连接KM , 有∠DAB =∠CMK .∵∠DAB +∠ADC =180°, ∴∠CMK +∠KDC =180°. 故C ,D ,K ,M 四点共圆?∠CMD =∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 1 23 ? ?A B C D K M ··

四点共圆问题

四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法,用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种(即P 89定理和P 93例3),由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1.给出锐角△ABC ,以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其 延长线交于M ,N.以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ,Q.求证:M ,N ,P ,Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 分析:设PQ ,MN 交于K 点,连接AP ,AM. 欲证M ,N ,P ,Q 四点共圆,须证 MK ·KN =PK ·KQ , 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) =(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ,从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①,命题得证. 例2.A 、B 、C 三点共线,O 点在直线外, O 1,O 2,O 3分别为△OAB ,△OBC , △OCA 的外心.求证:O ,O 1,O 2, O 3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析:作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ,O 1O 3垂直平分 OA.观察△OBC 及其外接圆,立得∠OO 2O 1=21 ∠OO 2B=∠OCB. 观察△OCA 及其外接圆,立得∠OO 3O 1=2 1 ∠OO 3A =∠OCA. 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ,O 1,O 2,O 3共圆. A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 1 23 ? ?

【高中数学竞赛】四点共圆专题详解

四点共圆 四点共圆的定义 四点共圆的定义:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。 证明四点共圆有下述一些基本方法: 【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆.或利用圆的定义,证各点均与某一定点等距。 【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧,且各点对这两点的张角相等,则这些点共圆.(若能证明其两张角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。)【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线 段之积,即可肯定这四点也共圆.即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆. 【方法6】根据托勒密定理的逆定理,在四边形ABCD中,若AC*BD=AB*CD+AD*BC,那么A,B,C,D四点共圆。或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。 【方法7】证明五点或五点以上的点共圆,可以分别证各四点共圆,且四点中有三点相同。

【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。 上述六种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这8种基本方法中选择一种证法,给予证明. 一.某些知识的补充 1.已知:ABCD共圆,AB中点为E、CD中点为F,EF中点为G,过E点分别作AD、BC的垂线,垂足为H、I求证:GH=GI 首先可这样转化图形:作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T,显然I、H分别是ES、ET中点。由中位线,可将原题转化为证:FS=FT。再延长AD、BC相交于P点。由A、B、C、D是圆内接四边形。知△PCD∽△PAB,而PF、PE分别是这两个三角形的对应中线,故∠DPF=∠BPE;这就表明E和F是∠APB内的两个“等角点”(即指满足左、右两角相等)。 下面是等角点的一个常用性质(Poncelet定理): “设E、F是∠APB内的两点,满足∠APF=∠BPE。作E关于PA、PB的轴对称点S、T。求证:FS =FT。”

巧用四点共圆证题

巧用四点共圆证题 圆有许多重要的性质,如果同学们在把这些性质学好的基础上,能巧妙地应用这些性 例1. 是切点,CB 证明:联结AB CD 是圆O 1 ∴∠=∠BCD 同理∠=BDC ∠+∠BCD 而∠=∠CBD ∴∠+∠ BAC 即∠+∠=?FAE EBF 180 ∴F A E B 、、、四点共圆 ∴?=DE DA 例2. 已知:如图角形,联结BE 、CD 证明: ?ABD ∴∠=∠DAB ∴∠+∠DAB 即∠=∠DAC DA BA DAC BAE SAS =∴?,??() ∴∠=∠∠=∠1234, ∠=∠∠121,和∠2在AF 的同侧, ∴A 、D 、B 、F 四点共圆

∴∠=∠DBA DFA (同弧所对的圆周角相等) 同理∠=∠ECA EFA ∠=∠∴∠=∠DBA ECA DFA EFA 即AF 平分∠DFE 例3. 已知: 交AE 于点B , 求证:AC 2= 证明:过点D 过点B 作BN ⊥ CF AF ⊥, ∴M 、C 、F 、D ∴?=?AD AF AM AC (1) 同理B 、E 、C 、N 四点共圆 ∴?=?AB AE AN AC (2) 又因为??ADM CBN ?,四边形ABCD 为平行四边形,所以AM=CN (1)+(2)得 AB AE AD AF AN AC AM AC ?+?=?+? =+=+=AC AN AM AC AN CN AC ()()2 即AC AB AE AD AF 2 =?=? 说明:以上三例,都是利用了四点共圆,再根据圆的有关性质来达到证题目的的。 证明四点共圆有下述一些基本方法 证明四点共圆有下述一些基本方法: 方法 1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法 2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆. (若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。) 方法 3 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 方法 4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长

四点共圆问题 (数学竞赛)

P 四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具,四点共圆这类问题一般有以下两种形式: (1) 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆; (2) 通过某四点共圆得到一些重要结论,进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识 (1) 若干个点与某定点的距离相等,则这些点在一个圆上; (2) 在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆; (3) 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆; (4) 若点C 、D 在线段AB 的同侧,且ACB ADB ∠=∠,则A B C D 、、、四点共圆; (5) 若线段AB CD 、交于E 点,且AE EB CE ED = ,则A B C D 、、、四点共圆; (6) 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、,且PA PC PB PD = ,则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。 例1、已知PQRS 是圆内接四边形,0 90PSR ∠=,过点Q 作PR PS 、的垂线,垂足分别为点H K 、求证:HK 平分QS 例2、给定锐角ABC ,以AB 为直径的圆与边AB 上的高线' CC 及其延长线交于点M N 、,以AC 为直径的圆与AC 上的高线' BB 及其延长线交于点P Q 、。证明:M P N Q 、、、四点共圆。 例3、在等腰ABC 中,P 为底边BC 上任意一点,过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点 Q R 、,又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证:点'P 在ABC 分析:

四点共圆例题及答案

四点共圆的应用 知识点: (1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆. (2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. (4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等). 四点共圆在平面几何证明中应用广泛,熟悉这种应用对于开阔证题思路,提高解题能力都是十分有益的. 一用于证明两角相等 例1 如图1,已知P为⊙O外一点,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交AB于E.求证:∠APC=∠BPD. 证明连结OA,OC,OD.由射影定理,得AE2=PE·EO,又AE=BE,则AE·BE=PE·EO……(1);由相交弦定理,得AE·BE=CE·DE……(2);由(1)、(2)得CE·ED=PE·EO,∴ P、C、O、D四点共圆,则∠1=∠2,∠3=∠4,又∠2=∠4.∴∠1=∠3,易证∠APC=∠BPD(∠4=∠EDO). 二用于证明两条线段相筹 例2 如图2,从⊙O外一点P引切线PA、PB和割线PDC,从A点作弦AE平行于DC,连结BE交DC于F,求证:FC=FD.

证明连结AD、AF、EC、AB.∵PA切⊙O于A,则∠1=∠2.∵AE∥CD,则∠2=∠4.∴∠1=∠4,∴P、A、F、B四点共圆.∴∠5=∠6,而∠5=∠2=∠3,∴∠3=∠6.∵AE∥CD,∴EC=AD,且∠ECF=∠ADF,∴△EFC≌△AFD,∴FC=FD. 三用于证明两直线平行 例3 如图3,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠B的两条三等分线交AD于E、G,交AC于F、H.求证:EH∥GC. 证明连结EC.在△ABE和△ACE中,∵AE=AE,AB=AC,∠BAE=∠CAE,∴△AEB≌AEC,∴∠5=∠1=∠2,∴B、C、H、E四点共圆,∴∠6=∠3.在△GEB和△GEC中,∵GE=GE,∠BEG=∠CEG,EB=EC,∴△GEB ≌△GEC,∴∠4=∠2=∠3,∴∠4=∠6.∴EH∥GC.

四点共圆练习试题

四点共圆 判定定理1:若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的直径. 判定定理2:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆. 判定定理3:对于凸四边形ABCD ,若对角互补,则A 、B 、C 、D 四点共圆. 判定定理4:相交弦定理的逆定理:对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P , 若PA ·PC=PB ·PD ,则A 、B 、C 、D 四点共圆。 判定定理5:割线定理的逆定理:对于凸四边形ABCD 两边AB 、DC 的延长线相交于P , 若PB ·PA=PC ·PD ,则A 、B 、C 、D 四点共圆。 1:如图,在圆内接四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求BC 的长 2:如图,正方形ABCD 的面积为5,E 、F 分别为CD 、DA 的中点,BE 、CF 相交于P , 求AP 的长 3:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,CB=CD=4,AC 与BD 相交于E ,AE=6,线段BE 和DE 的长都是正整 F

数,求BD 的长 4:如图,OQ ⊥AB ,O 为△ABC 外接圆的圆心,F 为直线OQ 与AB 的交点,BC 与OQ 交于P 点,A 、C 、 Q 三点共线,求证:OA 2 =OP·OQ 5:如图,P 是⊙O 外一点,PA 与⊙O 切于点A ,PBC 是⊙O 的割线,AD ⊥PO 于D , 求证:PB :BD=PC :CD 6:如图,直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点,P 为圆上一点,P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、 4cm ,求P 到BC 的距离 A

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