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论正定矩阵在多元函数极值问题中的应用

论正定矩阵在多元函数极值问题中的应用
论正定矩阵在多元函数极值问题中的应用

矩阵的正定性及其应用论文

矩阵的正定性及其应用 摘 要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后,简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义.在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例. 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T (或0. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p = 定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是:存在非奇异矩阵C , 使 C C A T =.即E A 与合同。 推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .

多元函数极值充分条件

定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续 偏导数,且00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =.记00(,)xx f x y A =, 00(,)xy f x y B =,00(,)yy f x y C =,则有 (1) 当20A C B ->时,00(,)x y 是极值点.且当0A >时,000(,)P x y 为极小值点;当0A <时,000(,)P x y 是极大值点. (2) 当20A C B -<时,000(,)P x y 不是极值点. (3) 当20A C B -=时,不能判定000(,)P x y 是否为极值点,需要另外讨论. 证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式,因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌, 01q << 由已知条件,00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =,故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌 利用矩阵记号, 记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫,(,)r h k ¢=,0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫 ,000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫, 可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ¢=+ 01q << (1) 进一步,又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- (2) 当20A C B ->且0A >时,二次型0()r Hf P r ¢正定,因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫,0()0r Hf P r ¢>。特别地,在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上,连续函数0()Q Hf P Q ¢ 取得的最小值0m >。 因此,对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫,我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ¢ 另一方面,由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续,对任何:02 m e e <<,总可取0d >,使得0r d ¢<<时,有 00()()xx xx f P f P r q e -+<,00()()xy xy f P f P r q e -+<,00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而, 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-W+-? 于是,

多元函数的极值及其应用(精)

2012 年 5 月(上)科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花(山东现代职业学院,山东济南 250104 )多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛,相关的理论逐渐地完善起来,多元函数极值问题的应用也越来越广泛.然而在数学分析的教材中,与一元函数比较起来,多元函数极值的理论及应用却比较少,没有详细的讨论,例如二元函数极值的讨论中,当判别式时,无法判别二元函数的极值是否存在.鉴于这种状况与实际需要的矛盾,总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法,使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化,运用起来更加灵活与方便。 1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义,在 P 处给自变量的增量△P=(h,k,相应有函数增量.若,则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点(极小点).极大点(极小点)的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值(极小值).极大值与极小值统称为函数的极值.定义 2 方程组的解(xy 平面上的某些点)称为函数 f(x,y的稳定点.定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数,且P(a,b是函数 f(x,y的极值点,则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b,且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数.令 1)若△<0,则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点,(iA>0(或 C>0,P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0,P(a,b是函数 f(x,y的极大点. 2)若△>0,P(a,b不是函数 f(x,y的极值点. 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数,且 f(P在点 P 0 取到极值,则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零. 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数,并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点.其中为实对称矩阵,其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0. 1 若 A 为正定矩阵,f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵,f(P为极大值; 3 若 A 既不正定,也不负定,则 f(P不是极值.注意:若二次齐次多项式为零,即 A=0 时,此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值,或判断 f(P是极大值或极小值,需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定.定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数,且 P 0 是稳定点,又,即△=0 时,则当时, f 在点 P 0 无极值.例 2 判别函数是否存在极值.解

论文函数的极值问题在实际中的应用.

函数的极值问题在实际中的应用 一、函数求极值方法的介绍 利用函数求极值问题,是微积分学中基本且重要的内容之一,函数求极值的方法很多,但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题,主要是利用二次函数的最值性质,二次函数非负的性质,算术平均数不小于几何平均数。正弦,余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言,他需要较强技巧,在解决某些问题时,其解法让人赏心悦目,但这些方法通用性较差,利用高等数学的导数等工具求解极值问题,通用性较强,应用也较强,应用也较广泛,下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。 1、一元函数极值的判定及求法 定理1(必要条件)设函数在点处可导,且在处取得极值,那么。 使导数为零的点,即为函数的驻点,可导函数的极值点必定是它的驻点,但反过来,函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后,还需进一步判定求得驻点是不是极值点,下面给出判断极值点的两个充分性条件。 定理2(极值的第一充分条件)设在连续,在某领域内可导。 (1)若当时,当时,则在点取得最小值。 (2)若当时,当时,则在点取得最大值。 定理3(极值的第二充分条件)设在连续,在某领域内可导,在 处二阶可导,在处二阶可导,且,。 (1)若,则在取得极大值。 (2)若,则在取得极小值。 由连续函数在上的性质,若函数在上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证,本段将讨论怎样求出最大(小)值。在一个区间上,一个函数的最值可能在不可导点取得,也可能在区间的端点取得,除去这两种情况之外,必然在区间内部的可导点取得,根据上面的必要条件,

在这些点的导数为0,即为驻点。因此,我们如果要求一个函数在一个区间的最值,只要列举出不可导的点,区间端点以及驻点,然后比较函数在这些点的最值,即可求出最值。

多元函数的极值与最值例题极其解析

多元函数的极值与最值 1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。 步骤: 1)先求驻点(另偏导数等于0,联立) 2)再求ABC A=f xx(x0, y0) B=f xy(x0, y0) C=f yy(x0, y0) 3)(1)当B2-AC<0时,f(x,y)在点(x o,y o)处取得极值, 且当A<0时取得极大值f(x o,y o),当A>0时取得极小值f(x o,y o),当A<0时取得极大值f(x o,y o); (2)当B2-AC>0时,f(x o, y o )不是极值; (3)当B2-AC=0时,f(x o,y o)是否为极值不能确定,需另做讨论. =3x2?3y=0 解:?z ?x ?z =3y2?3x=0 ?y 联立得驻点为(0,0),(1,1) A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导) B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导) C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导) 在点(0,0)处,A=0,B=-3,C=0,由B2-AC=9>0,故在此处

无极值。 在点(1,1)处,A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为 A>0,故在此处为极小值点,极小值为 F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1 2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。 解:f x’=2x=0 F y’=2y-2=0 联立得驻点为(0,1) A=f xx(x0, y0) =2 B=f xy(x0, y0) =0 C=f yy(x0, y0) =2 在点(0,1)处A=2,B=0,C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点,极小值为 F (0, 1) = 0 3.制造一个容积为a的无盖长方体,使之用料最少,则长宽高为多少? 解:另长宽高分别为x, y, z 故xyz=a, z=a xy S=xy+2(x a xy +y a xy )=xy+2(a y +a x ) S x’=y+2(?a x2 )=0 S y ’= x+2(?a y )=0

正定矩阵

5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵 [1] 二次型的分类 n 个变数的二次型∑=== n j i T j i ij n x A x x x a x x q 1 ,1),,( ,其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数,对n R 的每个特定向量q x ,0 对应一个函数值)(0 x q ,依据)(x q 值的符号,在教 材184页上给出了二次型的分类定义: 1.正定二次型。若对一切n R x ∈,当0)(0>=?≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。 显然,正定二次型也就是函数值定正的二次型(当然有唯一的例外,0=x 时,0=q )。 2.正半定(或半正定)二次型。若对一切n R x ∈,皆有0)(≥=Ax x x q T ,且至少有一 00 ≠x 能使0)(0 =x q . 3.负定。对二次型Ax x x q T =)(,当(-q )为正定时,称q 为负定二次型。 4.负半定(或半负定)。对二次型Ax x x q T =)(,当(-q )为正半定时,称q 为负半定二次型。 5.不定二次型。若二次型Ax x q T =既能取正值,又能取负值,称为不定二次型。 容易明白,对标准形的二次型(以下给出的均为充要条件)。 若系数全正为正定二次型; 若系数全为非负,且至少有一为0,则为正半定二次型; 若系数全负为负定二次型; 若系数全为非正,且至少有一为0,则为负半定二次型; 若系数有正、有负,则为不定二次型。 对于不是标准形的二次型,为确定其类型,可通过化成标准形,并依据惯性律而作出判断。 例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数,问它们满足什么条件时,二次型 2 12322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。 解 乍一看,这是n 个带正系数1的平方项之和,应明显是正定的。但与定义一对照,发现这并非是二次型的标准形,每一项都是线性型而非单独变换的平方。 在这样考虑下,可对其作线性变换 n n n x x a y x a x y x a x y +=+= +=1 3 2222 111 而将q 化成标准形,2 2221n y y y q +++= 这样不就可断定q 必是正定二次型了吗?但又发现这样的问题:这个线性变换是否是满秩线性变换呢?若是,则可肯定q 为正定,若否,则还是无法肯定q 为正定二次型。 现从定义出发考察此二次型,显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距? 0021====?=n x x x q ,就能说明q 是正定二次型了。 若q =0, 则必有

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: 1.二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点,难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件: 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值,则0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件:设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数,且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00, B y x f xy =),('00,C y x f yy =),('00,则 当02<-AC B 且 A<0时,f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值; 02 >-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2-AC = 0时,函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 -2xy 的极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232 -=??, x y y z 22-=??. x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z . 再求函数的驻点.令x z ??= 0,y z ??= 0,得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0,0)、),(3 2 32. 利用定理2对驻点进行讨论:

函数极值最值的求法及其应用

函数极值最值的求法及其应用 学习目标:会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题. 学习重点:利用导数求函数单调区间和极值最值,并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题. 学习难点:含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法:指导学习法. 课前五分钟展示:求函数)0()(>+=a x a Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值. 基础知识回顾: 1、 单调区间: 在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调 注意:求参数范围时,若函数单调递增,则'()0f x ≥;若函数单调递减,则 '()0f x ≤”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 2、 函数的极值与最值: 极大值和极小值:一般地,设函数)(x f 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有)(x f <)(0x f 或)(x f >)(0x f ,就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值,记作极大值y =)(0x f ,0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ,0x 是极小值点.

在定义中,极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值,极值指的是 最大值和最小值:观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的 函数)(x f 的图象.图中)(1x f 与3()f x 是极小值,2()f x 是极大值.函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ,最小值是3()f x .一般地,在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在 []b a ,上必有最大值与最小值. 请注意以下几点: (1; (2)函数的极值不是唯一的; (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系 ; (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 思考探究: 在连续函数)(x f 中,0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题: 题型一:利用导数求函数的极值最值问题: 例1:求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.

多元函数的极值与应用

多元函数的极值与应用

摘要:本文是有关函数极值问题的解决,它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词:函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性 Extreme value of function and application Abstract :This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords :Function extreme: function extend application 一函数极值理论 定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12 (,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 的某个 邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有

00012 12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >),则称函数在 点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极 值,使函数取得极值的点称为极值点. 定义 2.2.1 [3] 函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ?= (1,2, ,;)i m m n =<下的极值称为条件极值. 3. 多元函数普通极值存在的条件 定理(必要条件)若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 存 在偏导数,且在该点取得极值,则有00012(,, ,)0i x n f x x x = (1,2, ,)i n = 备注:使偏导数都为0的点称为驻点,但驻点不一定是极值点. 定理[3](充分条件)设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具 有二阶连续偏导数,且00012(,,,)n x x x 为12(,, ,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型 00012,1 ()(,,,)i j n x x n i j i j g f x x x ζζζ== ∑ 正定时,00012(,,,)n f x x x 为极小值;当()g ζ负定时,00012(,, ,)n f x x x 为极大 值;当()g ζ不定时,00012(,, ,)n f x x x 不是极值. 记00012(,, ,)i j ij x x n a f x x x =,并记 11121321 22 2312 k k k kk a a a a a a A a a a ?? ????=??? ??? , 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理: 定理 [3] 若det 0k A > (1,2, ,)k n =,则二次型()g ζ是正定的,此时 00012(,, ,)n f x x x 为极小值;若(1)det 0k k A -> (1,2, ,)k n =,则二次型()g ζ是负 定的,此时00012(,, ,)n f x x x 为极大值. 特殊地,当2n =时,有如下推论:

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编

正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者:袁亮(西安财经大学) 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发,给出了正定矩阵的若干判定定理及推论,并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵,判定,不等式,应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application

目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)

1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支,而正定矩阵又是高等代数中的重要部分.特别是正定矩阵部分的应用很广泛, n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中,占有十分重要的地位.它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用,而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法,并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵,若对任意n x∈,且0 R x, ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义,给出正定矩阵的判定定理,并给> 出正定矩阵的重要推论,这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用,并在矩阵对策,经济均衡,障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用,其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式,其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明,其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式,这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面,它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有* X A X>0,则称A是正定矩阵. 例1设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,T B为B的转置矩阵,试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r(B)=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵,则对任意的实n维列向量0 x, ≠

函数极值与最值研究毕业论文

函数极值与最值研究 摘要:在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数,以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值,主要方法有:均值等式法,配方法,求导法等。求一元函数的最值,主要方法有:函数的单调性法,配方法,判别式法,复数法,导数法,换元法等。求二元函数极值,主要方法有:条件极值拉格朗日乘数法,偏导数法等。求二元函数最值,主要方法有:均值不等式法,换元法,偏导数法等。对于多元函数,由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性,求多元函数极值方法主要有:条件极值拉格朗日法, 等,对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有:向量法,均值不等式法,换元法,消元法,柯西不等式法,数形结合法等, 关键词:函数,极值,最值,极值点,方法技巧. Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of

多元函数的极值及其应用

多元函数的极值及其应用 作者:程俊 指导老师:黄璇 学校:井冈山大学 专业:数学与应用数学

【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分,本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍,对多元函数的极值常见的求法进行了研究,并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用,突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向,而最优化问题是达到这一目标的有效途径,其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度,给经济方面,生活方面带来的益处不容小觑,本人浅谈极值问题,为了抛砖引玉,希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】:多元函数;极值;生活中的应用

目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………

引言 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域,在各种解决最优化中应用广泛,从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月

多元函数极值的判定

. .. . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)

多元函数极值的判定 摘要:通过引入多元函数的导数,给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词:极值;条件极值;偏导数;判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract:This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the

function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言 在现行的数学分析教材中,关于多元函数的极值判定,一般只讲到二 元函数的极值判定,在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题,本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义 定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈,成立不等式 0()()f P f P ≤(或0()()f P f P ≥), 则称函数f 在点0P 取得极大值(或极小值),点0P 称为f 的极大值(或极小值)点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =, (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义,则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时,称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数,记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集,12(,, ,)n P x x x D ∈,00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →,若在某个矩阵A ,使当0()P U P ∈时,有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数,记为

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法 The latest revision on November 22, 2020

第十一讲 二元函数的极值 要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题. 一.二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例2.函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值. 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f . 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件. 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y . 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =. 类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ,0),,(000=z y x f y ,0),,(000=z y x f z 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的途径,即只要 解方程组???==0 ),(0),(0000y x f y x f y x ,求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ??,那么极值点必包含在其中,这些点称为函数),(y x f z =的驻点. 注意1.驻点不一定是极值点,如xy z =在)0,0(点. 怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题.

正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩

内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念,也是一个主要研究对象,同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具.而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念.正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用.且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域.本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件.在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质,主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性.本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理.本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法:定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法.且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定.最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用. 关键词:二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application

多元函数的极值及其求法

第十一讲 二元函数的极值 要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题. 一.二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有 极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例2.函数2 2 43y x z +=在点)0,0(处有极小值. 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f . 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2 2 43y x z +=的顶点,曲面在点 )0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件. 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y . 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =. 类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ,0),,(000=z y x f y ,0),,(000=z y x f z

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