几何综合
东城区
27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD
的延长线于点H ．
（1）如图1，若60BAC ∠=?
①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．
27. （1）①75B ∠=?，45ACB ∠=?；--------------------2分
②作DE ⊥AC 交AC 于点E .
Rt △ADE 中，由30DAC ∠=?，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=?，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.
Rt △ACH 中，由30DAC ∠=?，可得AH 33
+； --------------4分
（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC
证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH .
∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.
∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 西城区
27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图，当045α?<
②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．
（2）当4590α?<
C
D
B
A
图1
备用图
C D
B
A
M
【解析】（1）①补全的图形如图所示：
N
E
M
A
B
D C
②2NCE BAM ∠=∠．
（2）1
902
MCE BAM ∠+∠=?，
连接CM ，
N
Q
M
A
B
D
C E
DAM DCM ∠=∠，
DAQ ECQ ∠=∠，
∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，
∴1
2
DCM NCE ∠=∠，
∵BAM BCM ∠=∠，
90BCM DCM ∠+∠=?，
∴1
902
NCE BAM ∠+∠=?． （3）∵90CEA ∠=?， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，
E
∴max 1EF FO r =+=+ 海淀区
27
（（
27．.解：
（1）作PF ⊥DE 交DE 于F .
∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o
， ∴30OPE ∠=o
.
∴30DPA OPE ∠=∠=o
.
∴120EPD ∠=o
. ……………1分 ∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=o ,3PD PE ==.
∴cos30DF PD =??=
∴2DE DF ==分 （2）当M 点在射线OA
上且满足OM =DM
ME
的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分
当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPM
DPM ∠=∠.
∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △.
∴MK MD =. ………………5分 作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .
∵60MO MOL =∠=o
， ∴sin 60
3ML MO =?=o
. ………………6分
∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.
∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MK
ME =.
∴ME MK MD ==,即
1DM
ME
=.
当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分
丰台区
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.
（1）依题意补全图形；
（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．
A B
C
E
27．解：（1）如图；…………………1分
（2）45°；…………………2分
（3）结论：AM CN．…………………3分
证明：作AG⊥EC的延长线于点G．
∵点B与点D关于CE对称，
∴CE是BD的垂直平分线．
∴CB=CD．
∴∠1=∠2=α．
∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．
∵∠4=90°，
∴∠3=
1
2
（180°-∠ACD）=
1
2
（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分
∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，
∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．
∴∠6=∠7．
∵AG⊥EC，
∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ， ∠7=∠6，
BC =CA ，
∴△BCN ≌△CAG ．
∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM =2AG ．
∴AM =2CN ． …………………7分 （其他证法相应给分.）
石景山区
27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转
90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2
2
2
2DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．
27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分
（2）①证明：
连接BD ，如图2，
∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．
∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．
∵在Rt QAP ?中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ?中，222
DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，22
2BD AB =，
∴2
2
2
2DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分 证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC
C
图1
∴AE是△PAQ的垂线
∵三△PAQ是等腰直角三角形（已证）
∴AE是等腰直角三角形PAQ的垂线，角平分线
∴∠AEP=90°，AE=PE
∵正方形ABCD
∴∠ABC=90°
∠ACB=∠BAC=45°
∠AEP+∠ABC=180°
∴A ，B，C，E四点共圆
∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45°
∴∠AEB=∠CEB=45°
∵BE=BE
∴△ABE≌△PBE (SAS)
∴BP=AB
朝阳区
27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），
连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．
27.（1）补全的图形如图所示.
……………………………………1分
（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分 ∴∠AGC=30°.
∴∠AFC =α+30°. …………………………3分
（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=
+.
证明：作CH ⊥AG 于点H.
由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =
2
1
AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，
∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .
在Rt △HCG 中， .2
3
cos CG CGH CG HG =
∠?= ∴AG =3CG . …………………………………………7分 即AF+AE =3CG . 燕山区
27．如图，抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线2
2
1x y =
对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3
5
42
>-
-=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. y=m
o
y
x
M
B
A
准蝶形AMB
A
B
M
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由.
,
备用图
27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=2
1AB
…………………………………2′
（2） m= 2 对应的碟宽是4
…………………………………4′
(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3
5
42>--=a a ax y 得，03549=-
-a a
31
=a
∴抛物线的解析式是33
12
-=
x y …………………………………5′ ② 由①知，3
312
-=
x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，
∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，
p y 的取值范围是3
3??-p p y y 或
…………………………………7′
门头沟区
27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，
DF AC F ⊥于点.
（1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）
（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α?-，与AC 边交于
点N ．
①根据条件补全图形；
②写出DM 与DN 的数量关系并证明；
③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系， （用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.
27．（本小题满分7分）
（1） EDB α∠= ……………………………………………1分 （2）①补全图形正确 ……………………………………2分 ②数量关系：DM DN =…………………………………3分 ∵,AB AC BD DC == ∴DA 平分BAC ∠
∵DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点
∴DE DF = ， MED NFD ∠=∠ ……………………4分 ∵2A α∠=
∴1802EDF α∠=?- ∵1802MDN α∠=?- ∴MDE NDF ∠=∠
∴MDE NDF △≌△ ……………………5分 ∴DM DN =
③数量关系：sin BM CN BC α+=?……………………6分 证明思路：
a.由MDE NDF △≌△可得EM FN =
b. 由AB AC =可得B C ∠=∠,进而通过BDE CDF △≌△,可得BE CF = 进而得到2BE BM CN =+
B
B
c.过BDE
Rt△可得sin
BE
BD
α=,最终得到sin
BM CN BCα
+=? (7)
分
大兴区
27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，
F是AB边上一点，作射线CF，
过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．
（1）求证：∠ABG=∠ACF；
（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间
的等量关系，并证明．
27.（1）证明:
∵∠CAB=90°.
∵BG⊥CF于点G，
∴∠BGF=∠CAB=90°.
∵∠GFB=∠CFA. ………………………………………………1分
∴∠ABG=∠ACF. ………………………………………………2分
（2）CG=2AG+BG. …………………………………………………3分证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，…………………………4分
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AB=AC.
∵∠ABG=∠ACH.
∴△ABG≌△ACH. …………………………………………………… 5分∴AG =AH,∠GAB=∠HAC.
∴ ∠GAH =90°.
∴ 222AG AH GH +=.
∴ GH
AG . ………………………………………………………6分 ∴ CG =CH +GH
+BG . ………………………………………7分 平谷区
27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；
（2）如图1，当∠BAC =90°时，
①求证：BE=DE ；
②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．
27．解：（1）补全图1； (1)
图1
B
B
图2
B
（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ······ 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，
∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．
∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．
∴BE=DE ． (3)
②延长FE ，交AB 于点G ．
由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．
由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．
可得∠ABE =∠FDE ． (5)
从而可证得DF ∥AB ． ········ 6 （3）
tan 2
DF α
AE ． (7)
怀柔区
27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；
(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．
B
B
H
F
E D
C B
27.
(1)如图 E
C
A
………………………………………………1分
(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.
∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.
∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；
Ⅴ. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分 延庆区
27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．
（1）求证：∠FBC =∠CDF ．
（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．
27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ，
∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分
（2）①
图1
F
D
B
A G
F
D
E
C B A
……3分
②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．
证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC．
∵∠FBC=∠CDF，BM=DF，
∴△BMC≌△DFC．
∴CM=CF，∠1=∠2．
∴△MCF是等腰直角三角形．
∴∠MCF=90°，∠4=45°．……5分
∵点C与点G关于直线DE对称，
∴CF=GF，∠5=∠6．
∵BF⊥DE，∠4=45°，
∴∠5=45°，
∴∠CFG=90°，
∴∠CFG=∠MCF，
∴CM∥GF．
∵CM=CF，CF=GF，
∴CM=GF，
∴四边形CGFM是平行四边形，
∴CG=MF．
∴BF=DF+CG．……7分
顺义区
27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过
点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠FAC =∠APF ；
（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．
27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分 （2）证明∵正方形ABCD ，
∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．
∴∠APF =45°+∠BAE ． ∵BF=BE ，
∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ．
∴∠FAC =∠APF ．…………………………… 4分
（3）判断：FM =PN ． …………………………………… 5分 证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，
∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，
∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ． ∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ．
∴FM =PN ．…………………………………………………………… 8分