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病态函数的性质

一、Dirichlet 函数()D x ()10

D x ?=?

?/x Q x R Q

∈∈

它可由无穷次的累次极限运算得到()()2lim lim cos !n

m n D x m x π→∞→∞

=(其中m ,n 位置不可交换)

1).Dirichlet 函数的不连续性

证明：对于任意0x R ∈,取()0,n n x Q x x n ∈→→∞且，则有()lim 1n n D x →∞

再取()0/,n n y R Q y x n ∈→→∞且，则有()lim 0n n D x →∞

由海涅定理可知()0

lim x x D x →不存在

再由0x 的任意性 ()D x 在任意点处的极限都不存在，故函数在任意点处都不连续. 注:1.由上述证明可知，()D x 的非连续性本质上说的是在任意点处的极限不存在，

也就是说，对于任意0x R ∈，0x 都是()D x 的第二类间断点，这也就说明了Dirichlet 函数的图像无法画出。

2.利用函数极限的Cauchy 准则亦可证明

任取0x R ∈对于任意的0δ>，设()

0;x x P δ∈

；()

"0;(/)x x R P δ∈

存在12ε=

，使得()()1

'"12

D x D x -=≥ 故()0lim x x D x →不存在

推广：利用Dirichlet 函数构造仅存在若干个连续点的函数 1.函数()()0

f x xD x ?==?

?/x Q x R Q

∈∈在点0x =处连续。

证明：对于任意0ε>，存在δε=，当()0;x δ∈时，()1D x ≤

()x D x x δε∴≤

<= 即()()0f x f ε-<

故()()0

lim 00x f x f →==

2.函数()()()1

i f x x a D x ==

-∏在点(1,2,3,

,)i

a i n =处连续。

2).Dirichlet 函数的不可导性

由()D x 在任意点处的极限都不存在，即在任意点处都不连续可知，()D x 在任意点处都不可导。但由上述对()D x 连续性的推广可以大胆的猜想；是否存在仅在有限个点可导的函数？

1.函数()()2

x f x x D x ?==?

?/x Q x R Q

∈∈仅在点0x =处可导.

证明：()()

()0

00lim

lim 00

x x f x f xD x x →→-==- ()'00f ∴= 2. 函数()()()2

i i f x x a D x ==

-∏仅在点(1,2,3,

,)i a i n =处可导.

3).Dirichlet 函数的不可积性

证明：由()D x 的周期性，对Dirichlet 函数的可积性的讨论只需研究任意区间上的可积

性，取[]0,1I =，对于任意分割T,在属于T 的任一小区间i ?上当i P ξ∈时，

()1

i D x x

ξ=?=?=∑∑；当/i R P ξ∈时，()1

i i i D x ξ=?=∑

∴不论T 怎么取，只要i ξ的取法不同，积分和就存在不同的极限

故()D x 在[]0,1上不可积

说明：可积一定有界，反之不成立。()D x 就是有界不可积的最好反例。 4).Dirichlet 函数的若干推论

推论1：设()g x 在R 上连续，()()()f x g x D x =?，则()g x 的零点i x 是()f x 仅有的连续

点,即()f x 在任意{};/j j i x x R x ∈处不连续。

推论2：设()g x 在R 上连续，()()()f x g x D x =?，若()0i g x =，且()()0g x o x x =-

()0x x →，则()f x 仅在i x 处可导，且()'0i f x =

说明：推论2中条件“若()0i g x =，且()()0g x ox

x =-

()0

x x →”可改为“()2

()i x x g x -” 5).Dirichlet 函数构造的若干反例

反例1.任何周期函数必有最小周期

显然()D x 是周期函数，但()D x 不存在最小正周期反例2.无穷大量与有界量的乘积一定是无穷大量

()()f x x D x =? 当x →+∞时，x 是无穷大量，()D x 是有界量。但()()f x x D x =?不是无穷大量

反例3.函数()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 的某邻域内一定处处连续

()()k

f x x D x =?仅在0x =处连续，在0x =的任意邻域内有且仅有一个连续点0x =

二、Riemann 函数

1()0q R x ??

=???

1).Riemann 函数的连续性

()R x 在(0,1)内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续证明：设(0,1)ξ∈为无理数，任给0ε>(不妨设1

ε<)，满足

ε≥的正整数q 显然只有有限个(但至少有一个，如2q =) 从而使()R x ε≥的有理数(0,1)x ∈只有有限个，设为123,,,

,n x x x x

取{}12min ,,

,,,1n x x x δξξξξξ=----，则对于任意();x ξδ∈，

当x 为有理数时，有()R x ε<；当x 为无理数时，有()0R x =

∴对于任意();x ξδ∈

，有()()R x R ξε-<，故()R x 在(0,1)内任何无理点处都连续

设p q

η=

为(0,1)内任意有理数，则存在012q ε=，

使得对于任意0δ>，在;p q δ??

???内存在无理数0x ，

使得()()()001

R x R R q

ηηε-==≥，故()R x 在(0,1)内任何有理点处都不连续

2).Riemann 函数的可积性

()R x 在(0,1)内可积，且()1

0R x dx =?.

证明：任给0ε>，在[]0,1上使得

12q ε>的有理点p

只有有限个，设为123,,,,k x x x x .

对[]0,1作分割{}12,,,n T =???，使得2T k

，

并把T 中所有小区间分为{

1,2,,i i m ?=和{}''1,2,,i i n m ?=-两类，其中

{}'

?为含有{}i

x 中点的所有小区间，这类小区间的个数2m k ≤(当所有i

x 恰好都是T 的分

割点时，才有2m k =)；而{}

i ?为不含有{}i x 中点的所有小区间.

(/)

x p q p q q

=当、为正整数，为既约真分数=0,1(0,1)x 当以及内无理数

()R x 在'i ?上的振幅'

12i ω≤，∴''

1112222m

m i i i i i x x k T εω==?≤?≤?<∑∑ (1);

又

()R x 在''i ?上的振幅''

i ε

ω≤

，∴

''1

n m

n m i i i i i x x ε

ω--==?≤

∑∑ (2);

由(1)(2)得

i i

i x

ωε=?<∑ 故()R x 在(0,1)内可积。

取(0,1)i ξ∈为无理数，则()0i R ξ=，从而()()1

0lim n

T i R x dx R x

ξ→==?=∑?

三、Weierstrass 函数

()0

()sin n n n f x a b x ∞

==∑ 其中01,1a b ab <<<>

()f x 处处连续而又处处不可导

Weierstrass 函数图像如下，对于任意区间上，函数图像都不存在“曲线”

函数的基本性质——单调性与最大(小)值

函数的基本性质——单调性与最大(小)值【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性【教学重难点】教学重点：函数的单调性的概念。教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性【教学过程】一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。

这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。二、讲解新课。 1．增函数与减函数。定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可；（4）定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。三、讲解例题。

教案正弦型函数的图像和性质

教案正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换例：画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=，又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-，所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式例2：已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<）的最小值是5-，图x 3 3 π 56 π 3 O

函数的基本性质知识点归纳与题型总结

函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)

＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．

第6章(形函数)

公式号 6.1 图6-1 第六章单元形函数的讨论在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。 6.1形函数构造的一般原理单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元。单元插值形函数主要取决于单元的形状、结点类型和单元的结点数目。结点的类型可以是只包含场函数的结点值，也可能还包含场函数导数的结点值。是否需要场函数导数的结点值作为结点变量一般取决于单元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元。在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式。对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）结点的参数来表示。结点参数只包含场函数的结点值。而对于C1型单元，结点参数中包含场函数及其一阶导数的结点值。与此相对应，形函数可分为Lagrange 型（不需要函数在结点上的斜率或曲率）和Hermite 型（需要形函数在结点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。另外，有限元形函数[N ]是坐标x 、y 、z 的函数，而结点位移不是x 、y 、z 的函数，因此静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数[N ]作用，而在动力学中位移对时间t 微分时，只对结点位移向量作用。（1）一维一次两结点单元图6.8 一维一次两结点单元模型设位移函数u (x )沿x 轴呈线性变化,即x a a x u 21)(+= (6.90) 写成向量形式为 []? ?? ???=211)(a a x x u (6.91) 设两个结点的坐标为j i x x ,；两结点的位移分别为j i u u ,，可以代入上式并解出21,a a ，得 ??????????? ?=??????-j i j i u u x x a a 1 2111 (6.92) i x j x

基本初等函数函数性质图象总结

常见函数的图象及性质 1.一次函数一般地，形如)0(≠+=k b kx y ，此函数图象为直线，作图常用两点作图法，即图象过（0，b ），)0,(k b -。一次函数的函数图象和性质如下表所示。例1：函数[),5,2,12∈+=x x y 函数的值域为 . 2.二次函数一般地，形如)0(,2 ≠++=a c bx ax y ，此函数图象为抛物线，作图需找准对称轴方程 a b x 2-=，顶点坐标)44, 2(2a b ac a b --，开口放向（a>0开口向上，a<0开口向下），图例2：函数[]4,2,22 -∈+=x x x y ，函数的值域为 . 例3： ,0,130 ,1)(2 ? ??≤++->+=x x x x x x f 求)1()2(-?f f = . 3.基本初等函数。基本初等函数有指数函数，对数函数，幂函数。这些是我们高中所学习的内容，以下将分别对这几种函数的图象和性质加以归纳。

一般地，形如)1,0(,≠>=a a a y x 的函数，指数函数的自变量在指数上，它形式严格。指数函数的函数图象和性质如下表所示。例4：求下列函数的定义域和值域。 4 12 .)1(-=x y 3 22)2 1(.)2(--=x x y x y 21.)3(-= 例5：解不等式 2)2 1.)(1(22≤-x （ 2.）e e x >+12 例6：如果)1,0(422≠>>+-a a a a x x x ，求x 的取值范围。

一般地，形如)1,0(,log ≠>=a a x y a 的函数，对数函数的自变量在真数上，它形式严格。指数函数的函数图象和性质如下表所示。例7：比较下列值的大小。 π2 12 1log ;3log .)1( 2.0ln ;2.0lg .)2( （3.）2log ;3log 32 例8：解不等式。 1)1ln(.)1(>-x 03log ).)(log 2(22 122≥-+x x 例9：已知函数)2lg()(b x f x -=，（b 为常数），当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，求实数b 的取值范围。

三角函数正切、余切图象及其性质

正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])

一次函数性质小结(经典总结)

一次函数的图像、性质总结（阅读+理解）一、一次函数的图像 Name 1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （- k b ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距. （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-k b ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，

直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19） ②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20). 二、两条直线的关系 1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k 2. 三、一次函数的增减性 1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性. 2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小. 3.用待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0) （2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b① y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值. 这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。（2）正切函数图像：（3）与切函数的图像：归纳填表格：

例1.求下列函数的周期：（1）tan(3)3 y x π =-+；（2）221tgx y tg x =+ ；（3）cot tan y x x =-；（4）2 2tan 21tan 2 x y x =-；（5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间：（1）tan(2)24 y x π =++；（2）tan()123 x y π=-+-；（3）12log cot y x ?= ?? 例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π??=- ??? ；（2）y = （3）y =

例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域；（2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044 x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34 x a π∈∈时，函数max y =a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π∈≠。求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则

).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=，又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数；当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

高中的常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周期性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b

反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无奇偶性：奇函数反函数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0