随机向量函数的分布ppt

§5 多维随机变量的函数的分布

与一维随机变量的情形类似，若已知多个随机变量(X 1,X 2,…,X n )的联合分布,需要确定它们的函数Z=g(X 1,X 2,…,X n ) 的分布。以下介绍几种常见的多个随机变量的函数的分布，且以两个随机变量的函数和连续型随机变量为主。

一、Z=X+Y 的分布

先考虑(X ，Y)是离散型且X 与Y 相互独立的场合，不失一般性，设X 和Y 都取非负整数值，各自的概率分布为{a k }及{b k }，下面来计算随机变量Z=X+Y 的分布律。因为

{Z=r}={X=0，Y=r}∪{X=1，Y=r-1}∪…

∪{X=r,Y=0}

利用独立性的假定得到

c r=P{Z=r}=a0b r+a1b r-1+…+a r b0,r=0,1,2,…,这就是求离散型独立随机变量和的概率分布公式——离散卷积公式，亦称离散褶积公式。

在X与Y非独立时，Z=X+Y分布律的求法类似。

例1(泊松分布对和的封闭性) 设X 1，X 2独立，~()(1,2)k k X Po k λ=1212~()

X X Po λλ++证明：证：因为，

0N k ∈? k

i i k X i X k X X 0

2121),()(=-====+及X 1,X 2独立,故

12120

()()()

k

i P X X k P X i P X k i =+====-∑1

2

()

12

!()!i k i

k

i e

i k i λλλλ--+==-∑1

2

()1201()!k

i i k i k i C e k λλλλ-+-==∑122

()12()!

e k λλλλ-++=)

(~2121λλ++?Po X X

例2 设离散型r,v.(X,Y)的联合分布律如下：(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)

P ij1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18

求(1)X+Y的分布律，(2)MAX(X,Y)的分布律解：先列如下的草表,Z=X+Y,T=MAX(X,Y) (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) Z 2 3 4 3 4 5 T 1 2 3 2 2 3

P ij1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18再由概率的加法原理,进行相应的合并则可得Z=X+Y和T=MAX（X，Y）的分布律为：

Z=X+Y 2 3 4 5概率1/18 8/18 7/18 2/18T=MAX(X,Y) 1 2 3概率1/18 12/18 5/18现在来考虑(X,Y)是连续型随机变量,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y 的分布函数为(){}(,)Z x y z

F z P Z z f x y dxdy +≤=≤=??o

x

y

x+y=z 如图，积分区域G ：x+y≤z 是直线x+y=z 的左半平面，化成累次积分得

()[(,)][(,)]z y

z

Z F z f x y dx dy f z y y dz dy

+∞-+∞-∞-∞-∞

-∞

==-??

??[(,)]z f z y y dy dz

+∞

-∞

-∞

=-??

Z 故有密度函数

()()(,),

Z Z d

f z F z f z y y dy dz

+∞-∞==-?X Y 由，的对称性，还有

()()(,),

Z Z d

f z F z f x z x dx dz

+∞-∞==-?以上两式是两个连续型随机变量之和的密度函数的一般公式,特别地,当X与Y相互独立时,有

()()()z X Y f z f x f z x dx

+∞-∞

=-?以及()()(),

z X Y f z f z y f y dy +∞

-∞

=-?

(),()X Y f x f y 其中分别是X和Y的密度函数。上面两式称为密度的

,亦称卷积公式褶积公式

例3已知X,Y 独立同分布且X ~U (0,1)，求X+Y 的概率密度函数。

解：由题设X,Y 独立。

12z

1x z=x

z=x-1

由卷积公式有

()()()Z X Y f z f x f z x dx

+∞-∞

=-?

01

01x z x <

1x z x z

<

-<

()01

1

00201

12z

Z z z z f z dx z dx z -?≤>??=<≤???<≤???参照前图易得：

或 ()??

?

??≤<-≤<>≤=2

1210200z z z z

z z z f Z 或得：

例4 X ,Y 互相独立，2

21122

~(,),~(,)

X N Y N μσμσ证明：Z =X +Y 的p .d .f .为正态概率密度，即：

)

,(~2

22121σσμμ+++N Y X ()()()?+∞

∞--=dx

x z f x f z f Y X Z 证明：()()dx

x z x ??

?

? ??---??

???? ??--=∞+∞-22222212112exp 212exp 21σμσπσμσπ　()()

dx z x z ????

? ?

????? ??+-+-+-?????

? ??+---=∞+∞-222212212112222212221222122121exp 2exp 21σσμσσμσσσσσσσμμσπσ(

)

()()

???

?

?

?+---

+=

222122122

21

2exp 21

σσμμσσπ

z 22121

2

~(,)

X Y N μμσσ+++即：

若其中，即X ,Y 不独立，求Z =X +Y 的p .d .f .，则有：

0≠ρ)2,(~212

22121σρσσσμμ++++N Y X 为证上述结论，只需利用公式

dx

x z x f z f Z ?-=+∞

∞

-),()(密度函数代入即可得到以上结论。

及

的联合概率

()

n i N X i i i ,...,2,1,~2

=　σμ若独立，则它们的和Z =X 1+X 2+...+X n 仍然服从正态分布，且有：

且它们相互

22121

2

(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ22121

2

(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ

??

?

??∑∑∑===n k k n k k n

k k N X 1211,~σμ更一般的，可以证明，任意有限个正态随机

变量（可以不独立）的线性组合仍然服从正态分布。

两个随机变量的差Z=X-Y 的分布讨论与和的情形类似。例如，在离散型场合，若已知(X,Y)的联合分布律为

P{X=x i ,Y=y j }=p ij ,i,j=1,2,…,

则Z=X-Y 的分布律为

()(,)(,)

(,)

i j k

k i j i i k x y z i

k j j j

P Z z P X x Y y P X x Y x z P X z y Y y -===

=====-==+=∑∑∑在连续型场合，若已知(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)，Z=X-Y,则Z 的分布函数为

()()(,)[(,)]()()Z z y

x y z

Z Z F z P Z z f x y dxdy f x y dx dy

d

f z F z Z dz

+∞+∞

-∞

+-≤=≤=

==????

然后通过来求得的密度函数。

例5设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为

0 1 20 1/8 1/4 01 1/8 1/4 1/4x Y

求Z=X-Y 的分布律

解（X,Y ）(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) Z=X-Y 0 -1 1 0 2 1概率1/8 1/8 1/4 1/4 0 1/4则Z=X-Y 的分布律为

Z=X-Y -1 0 1 2

概率1/8 3/8 1/2 0

例6设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

??

?

?

?≤≤≤≤+=其它,010,10,),(y x y x y x f 试求Z=X-Y 的概率密度函数。

o

1

1

x y z x-y=z

解：如图所示，当z<-1时F Z (z)=0当-1

0101()()()Z x y x y z

F z P X Y z x y dxdy

<<<<-≤=-≤=

+??

2

1

1

1

2

001

()[()][]2

2

z z x z x z x y dy dx x x xz dx

++--=+=-++-

???21122

z z =++

当0

01

01()()1()1()Z x y x y z

F z P X Y z P X Y z x y dxdy

<<<<->=-≤=-->=-

+??

101[()]x z

z x y dy dx -=-+??

当z≥１时，F Z (z)=1

12

11[()()]2z x x z x z dx

=--+-?2122

z

z =+-

Z X Y =-所以的密度函数为

1,10()0Z z z f z ?+-<≤??

=≤????

当时1-z,当0

，其它

X Z Y

=二、的分布()()()

Z X

F z P Z z P z Y

=≤=≤x

y

o D 1

D 2

00()()(,)(,)||(,)Z Z f z F z f yz y ydy f yz y ydy

z

y f yz y dy

+∞-∞+∞

-∞

?

==-?=???所以/Z X Y =则 的分布函数为

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y),

1

2

00

(,)(,)[(,)][(,)]D D yz

yz

f x y dxdy f x y dxdy

f x y dx dy f x y dx dy

+∞+∞-∞

-∞

=+=+??????

??

X Y 特别地，当与相互独立时，有

()||()()(),()Z X Y X Y f z y f yz f y dy

f x f y +∞

-∞=?其中分别是随机变量X和Y的概率密度函数。

例7设X 与Y 相互独立,它们的密度函数分别为

232,0

3,0

()()0,0

0,0

x

y

X Y e x e y f x f y x y --??>>==?

?

≤≤??Z=X

Y

试求的概率密度函数。

230()||()()6yz y

Z X Y f z y f yz f y dy ye

e dy

+∞+∞

---∞==??0z >当解：时，有

(32)

2066(32)

y z ye dy z +∞-+==+?

6,02(32)()0,()0,z z z f z Z ?????

??

>+≤==当z 0时,f 所以Z 其它1()(,)||(),()1()()()||Y X Y z

f z f x dx

x x

f x f y z

f z f x f dx

x x

+∞

-∞+∞

-∞==??Z X Z 类似地,我们可以得出随机变量的积Z=XY的分布,即 当X与Y相互独立，且分别有密度函数时,有

3 顺序统计量的分布

定义设}1,{n k X k ≤≤,为n 维随机向量。Ω∈?ω将1(),,()n X X ωω 按从小到大顺序排列,记为(1)(2)()()()(),n X X X ωωω≤≤≤ 称(1)()(),,()n X X ωω 为),,(1n X X 的顺序统计量。

例:设一随机实验是每次投掷红白二颗骰子,记12(),()X X ωω为相应的点数。如第一次试验结果是5)(11=ωX 21,()2X ω=,则2)(1)1(=ωX (2)1,()5X ω=如第二次结果是1222()1,()3,X X ωω==则1)(2)1(=ωX (2)2() 3.X ω=显然(1)()11min ,max k n k k n

k n

X X X X ≤≤≤≤==称)1(X

为极小量，)

(n X 为极大量，

多元随机变量函数的分布

我们已讨论了一维随机变量函数 的分布，现在我们进一步讨论: 题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X 1, X 2, …,X n 的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Y i =g i (X 1, X 2, …,X n ), i =1,2,…,m 的联合分布?

一、离散型分布的情形 例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.: ) ()(r Y X P r Z P =+=={X +Y =r } {X =1, X +Y =r } ∪{X =2, X +Y =r } ∪{X =r , X +Y =r }…… 且诸{X =i , X +Y =r },i =1,2, …,r 互不相容

例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数. : ) ()(r Y X P r Z P =+==∑=-===r i i r Y P i X P 0 ) ()(=a 0b r +a 1b r -1+…+a r b 0∑=-===r i i r Y i X P 0 ) ,(由独立性此即离散 卷积公式r =0,1,2, …

依题意 ∑=-====r i i r Y P i X P r Z P 0) (()(）例2若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z =X +Y 服从参数为21,λλ21λλ+的泊松分布. 由卷积公式 i =0,1,2,…j =0,1,2,…!)(i e i X P i 11λλ-==!)(j e j Y P j 22λλ-==

随机变量及其分布知识点整理

随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1 ,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概

随机变量分布与数字特征

第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会

变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天每天销售为1辆，20天每天销售是为2辆，12天每天销售是为3辆，6天每天销售是为5辆．我们定义随