第一章 晶体结构
1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：
结构 X
简单立方
52.06
=π
体心立方
68.08
3
≈π 面心立方
74.06
2
≈π 六角密排
74.06
2
≈π 金刚石
34.06
3≈π
解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc
nV
x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=
3
r 3
4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====π
ππr
r
a r x
（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3
3
4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3
∴68.083)3
34(3423423
3
3
3≈=?=?=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3
74.062)
22(3443443
3
33≈=?=?=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62
60sin a a 6S ABO ??
=??=2
a 233
晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3
8
a 233C S ==?=
? n=1232
1
26112+?+?
=6个 74.062)
22(3443443
3
33≈=?=?=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3
r 8a r 24a 3=
??= n=8, Vc=a 3
34.0633
38
34
83483
3
3
33≈=?=?=πππr r a r x 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+??
?=+??
?=+??r r r r r r
r r r
由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω
r r r
31230,
,22
(),
0,224
,,0
2
2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r
Q ，223,,,
0,()224,,0
2
2
i j k
a a a a a i j k a a ?==-++r r
r r r r r r
213422()()4a b i j k i j k a a
ππ∴=??-++=-++r r r
r r r r
同理可得：232()
2()
b i j k a
b i j k a
ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++??
?=-+??
?=+-??r r r r r r r r
r r r r
由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω
r r r
3123,,
222
(),,2222
,,222
a a a a a a a a a a a a a
-Ω=??=-=
-
r r r
Q ，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ?=-=+-r r r r r r r 213222()()2a b j k j k a a
ππ∴=??+=+r r r
r r
同理可得：232()
2()
b i k a
b i j a
ππ=+=+r r r r r r 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
所以，体心立方的倒格子是面心立方。
、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v
垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
证明：
因为3312
1323
,a a a a CA CB h h h h =
-=-v v v v u u u r u u u r ，112233G h b h b h b =++v v v v 利用2i j ij a b πδ?=v
v ，容易证明12312300h h h h h h G CA G CB ?=?=u u u r v
u u u r
v 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v
垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：2
2
2
2
2
()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥r
r v ，123,,a ai a aj a ak ===v v v v v v
由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π?=??r r r r r r ，3121232a a b a a a π?=??r r r r r r ，12
3123
2a a b a a a π?=??r r r r r r
倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ=
==v
v v v
v v 倒格子矢量：123G hb kb lb =++v v v v ，222G h i k j l k a a a
πππ=++v
v v v
晶面族()hkl 的面间距：2d G
π
=v 2221
()()()h k l a a a
=
++
2
2
222()
a d h k l =++
面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。
解： (111) (111)
1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+v v v
， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+u u u r v v
，晶向指数[011]。
2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：B R ai aj =-+v v v
，(111)面与
(110)面的交线的晶向
AB ai aj =-+u u u r v v ，晶向指数[110]。
第二章 固体结合
、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2=α）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样
马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有
(1)1111
2[ (234)
ij r
r r r r r
α
±'
==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为
2
34
(1) (34)
n x x x x x x +=-+-+Q l
当X=1时，有111
1 (2234)
n -
+-+=l 、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m
n
u r r r α
β
=-+
试求：（1）平衡间距0r ；
（2）结合能W （单个原子的）；
（3）体弹性模量；
（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。 解：（1）求平衡间距r 0
由
0)
(0
==r r dr
r du ，有：
m
n n
m n m m n n m r r n r m --++??
?
??=???
? ??=?=-1
101
.0100αββαβ
α
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量
称为结合能（用w 表示）
（2）求结合能w （单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min
即：n
m
r r r U W 000)(β
α
-
+=-= （可代入r 0值，也可不代入）
（3）体弹性模量
由体弹性模量公式：0
220
2
09r r U V r k ???? ?
???=
（4）m = 2，n = 10，ο
A r 30=， w = 4eV ，求α、β
81
8
1
05210??
? ??=?
?
? ??=αβαβr ①
111
2[1...]
234α=-+-+22n α∴=l
)5(54)(802
010
.
20
0代入α
β
αβ
α
=
-
=+
-
=r r r r
r U K K K
eV r r U W 454)(2
00==
-=?α
② 将ο
A r 30=，J eV 19
10602.11-?=代入①②
2
1152
3810459.910209.7m
N m N ??=??=?--βα 详解：（1）平衡间距r 0的计算 晶体内能()()2m n N U r r r
αβ
=
-+ 平衡条件
0r r dU
dr
==，11000m n m n r r αβ
++-+=，1
0(
)n m n r m βα
-= （2）单个原子的结合能
01()2W u r =-，0
0()()m n r r u r r r αβ
==-+，1
0()n m n r m βα-= 1(1)()2m
n m m n W n m βαα
--=-
（3）体弹性模量0
202()V U
K V V
?=?? 晶体的体积3
V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2m n N U r r r
αβ=
-+ U U r V r V ???=???112
1
()23m n N m n r r NAr
αβ++=- 22112
1
[()]23m n U N r m n V V r r r NAr
αβ++???=-??? 0
2222
200000
1[]29m n m n V V U N m n m n V V r r r r αβαβ=?=-+-+? 由平衡条件
112
000
1
()023m n V V U N m n V
r r NAr αβ++=?=
-=?，得00m n m n r r αβ= 0
222220001[]29m n V V U
N m n V V r r αβ=?=-+? 0
22
2000
1[]29m n
V V U N m n m n V V r r αβ
=?=
-+?2000[]29m n N nm V r r αβ=--+
000
()2m n N U r r αβ=
-+ 0
20
2
2
0()9V V U mn
U V V =?=
-? 体弹性模量009mn K U V = （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====
1
0()n m
n r m βα-=，1(1)()2m
n m m n W n m βαα
--=-
10
02
W r β=
，20100[2]r W r βα=+
-95101.210eV m β=??，1929.010eV m α-=??
、对于2H ，从气体的测量得到Lennard —Jones 参数为6
5010, 2.96.J A εσ-=?=o
计算fcc 结构的2H 的结合能[以KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为／mo1，试与计算值比较．
＜解＞ 以2H 为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard —Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
126
126
2.ij ij i j U N P P R R σσε--??????''=-?? ? ?????????
∑∑
61214.45392;
12.13188,ij
ij j
i
P P --''==∑
∑16
235010, 2.96, 6.02210/.
erg A N mol εσ-=?==?o
()()12628
16
2.96 2.962602210/5010
12.1314.45 2.55/.
3.16 3.16U U mol erg KJ mol -??
????=?????-≈-?? ? ?????????
0将R 代入得到平衡时的晶体总能量为。因此，计算得到的2H 晶体的结合能为2．55KJ ／mol ，远大于实验观察值／mo1．对于2H 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原
因．
第三章 固格振动与晶体的热学性质
、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。
解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。
牛顿运动方程2221212121222(2)(2)n n n n n n n n
m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---&&&&
N 个原胞，有2N 个独立的方程 设方程的解
[(2)]2[(21)]
21i t na q n i t n aq n Ae Be
ωωμμ--++==，代回方程中得到
2
2
(2)(2cos )0
(2cos )(2)0
m A aq B aq A M B βωβββω?--=??-+-=?? A 、B 有非零解，22
22cos 02cos 2m aq
aq M βωβββω
--=--，则 1
2
2
22
()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M ωβ+=±-+ 两种不同的格波的色散关系
12
2
22
1
22
2
2
()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()
m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ
+-+=+-++=--+
一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.
当M m =时
4cos 24sin 2
aq m aq m βωβω+-=
=
，
两种色散关系如图所示： 长波极限情况下0q →，sin(
)22
qa qa
≈
， (2
)q m
β
ω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a 。试求在0,q q a π==处的()q ω，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如2H 这样的双原子分子晶体。
答：（1）
浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。
第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动方程：
2122221121
21122112222()()n n n n n n n n
m m μββμβμβμμββμβμβμ+-+++=-+++=-+++&&&&
体系N 个原胞，有2N 个独立的方程
方程的解：
1
[(2)]
221
[(21)]
2
21i t n aq n i t n aq n Ae
Be
ωωμμ--++==，令22
1122/,/m m ωβωβ==，将解代入上述方程得：
11222
222
2
1
2
1
2
112222
2221
2
12()()0
()()0
i aq i aq i aq i aq A e e
B e
e
A B ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-=
A 、
B 有非零的解，系数行列式满足：
11222
222
2
12
1
2
112222
2221
2
12(),()
0(),()i aq i aq i aq i aq e
e
e
e
ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-
11112
222
222222221212
1
2
()()()0i aq i aq i aq i aq e e e e ωωωωωωω--+--++= 11112222
22222
2
2
2
1
2
1
2
1
2
()()()0i aq i aq i aq i aq e
e
e
e
ωωωωωωω--+--++=
因为1ββ=、210ββ=，令22
22
0120
10,10c c m m
ωωωω====得到 2224
00(11)(10120cos )0aq ωωω--+=
两种色散关系：22
0(1120cos 101)qa ωω=±+
当0q =时，220(11121)ωω=±，
0220
ωωω+-==
当q a
π
=
时，2
2
(1181)ωω=±，
00
202ωωωω+-==
（2）色散关系图：
.求出一维单原子链的频率分布函数()w ρ。
、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有2
0()q Aq ωω=-
求证：()1/2
0023/2
1(),4V f A
ωωωωωπ=
-<;0()0,f ωωω=>. ＜解＞()
112
2
2
2
00000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=
依据()3
()2,()()
2q q V
ds
q Aq f q ωωωπ?=-=
??
r ，并带入上边结果有
()()()()()()()1/21/2
00331/22
23/201142()222q V
ds V A V f A A
q ωπωωωωωππωωπ=?=?-=?-?-r 、设晶体中每个振子的零点振动能为
1
2
ωh ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000
1
2
m
E E g d E ωωωωωω=
=
?
h 将和()22332s V g v ωωπ=代入积分有
4
02339168m m s V E N v ωωπ=
=h ，由于0
98
m B D B D k E Nk ωθθ==h 得 一股晶体德拜温度为~2
10K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 、一维复式格子2415 1.6710,4, 1.510/M
m g N m m
β-=??==?4( 1.5110/),dyn cm ?即求（1）
，光学波0
max min ,ωω，声学波max A
ω。 （2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k 时的平均声子数。
（4）与0
max ω相对应的电磁波波长在什么波段。 ＜解＞（1）
，131max
3.0010,A
s ω
-===?
131
max
6.7010o
s ω
-===?
131max
5.9910A
s ω
-===?
（2）161312max 161312max 161312min 6.5810 5.9910 1.97106.5810 6.7010 4.41106.5810 3.0010 3.9510A o
o
s eV s eV s eV
ωωω---------=???=?=???=?=???=?h h h
（3）max max max
max
//110.873,0.2211
1
A O
B B A O
k T
k T
n
n
e
e
ωω=
==
=--h h
min
min /10.2761
O
B O
k T
n e
ω=
=-h
（4）228.1c
m πλμω
=
=
第四章 能带理论
、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k a
π
=
的0级波函数。
＜解＞2221()*
24()i mx i x i mx i m x ikx ikx a a a a k x e e ππππψ+===?=r
第一能带：*
2
0,0,()2i x a k
m m x a π
π
ψ?===
第二能带：23*222,,1,()x i x a a k b b b b m m x a a πππππψ''=→?=-=-∴=i i 2a 则即（e =e ）
第三能带：25*
2222,,1,()i x i x i x a a a k c c m m x e a a πππ
ππψ'→?===?=即
、电子在周期场中的势能．
222
1
(),
2
m b x na
ω??
--
??na b x na b
-≤≤+
当
()
V x=0 ，x na b
≤≤-
当(n-1)a+b
其中d＝4b，是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，()
V x是个以a为周期的周期函数，所以
111
()()()()
a a b
L b b
V x V x V x dx V x dx
L a a
-
-
===
???
题设4
a b
=，故积分上限应为3
a b b
-=，但由于在[]
,3
b b区间内()0
V x=，故只需在[],b b
-区间内积分．这时，0
n=，于是
22
22232
111
()()
2236
b b b b
b b
b b
m m
V V x dx b x dx b x x m b
a a a
ωω
ω
--
--
??
==-=-=
??
??
??。
（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
2
000
21
()cos,()cos()cos
2222
b b
m m
m
m m m V x V V x V V x xdx V x xdx
b b b b b
πππ
∞
=-∞
'
=+==
∑??
11
2
22
10
2,1()cos
2
b
g g
m x
E V m E b x dx
b b
ωπ
===-
?
第一个禁带宽度以代入上式,
利用积分公式()
2
23
2
cos sin2cos sin
u
u mudu mu mu mu mu
m m
=+-
??
??
?得
2
2
3
16m
b
ω
π
=
1
g
E第二个禁带宽度
2
2
2,2
g
E V m
==
以代入上式,代入上式
2
2
22
()cos
b
g
m x
E b x dx
b b
ωπ
=-
?再次利用积分公式有22
2
2m
b
ω
π
=
2
g
E
、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带()
s
E k
v
函数。
解：我们求解面心立方，同学们做体立方。
（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：
()0()()s ik R s
s s Rs E k J J R e
ε-?==--
∑
v v v
v 近邻
在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =v
，则这12个最近邻的坐标是：
①
(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222
a a a a
②
(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a
③
(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222
a a a a
由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R v
有相同的值，简单表示为
J 1=()S J R v
。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ??-=v v
∴在近邻重叠积分*
()()()()()s i s s i J R R U V R d ?ξξ?ξξ??-=--???v v v v 中，波函数的贡献为正
∴J 1＞0。
于是，把近邻格矢S R v 代入()s
S E R v
表达式得到：
01
()s
ik R s S Rs E k J J e
ε-?==--∑
v v v
v 近邻
=()()()()222201x y x y x y x y a
a a a
i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---?--+++??
()()()()2
2
2
2
y z y z y z y z a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e
e
e
e
-+----+---+++++()()()()2
2
2
2
x z x z x z x z a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e
e
e
e
-+----+---?+++??
=012cos ()cos ()cos ()cos ()2222S x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k ε?????
--++-+++-????????
??
cos ()cos()2z x z x a k k k k ?
??+++-??????
cos()cos()2cos cos αβαβαβ↓++-=
=014cos
cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε?
?--++????
（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a
(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1)2222
a a a a
01()8(cos cos cos )222
s
s x y z a a a E k J J k k k ε=--v
、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)
函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的费米能级0
F E 及0
F E 处的能态密度。
＜解＞（1）010101()()2cos 2cos ika ika
s s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-r
0()()s ik R s E k E J J p e -???=--????
∑r
r (2) ,1121()2222sin sin L dk Na N
N E dE J a ka J ka
πππ=?
?=?=
(3), 0
000
22()22222F
k F F F Nak Na N k dk k k a
πρππ=
?=??=∴=?
r
00
11
1()2cos
,()2sin
2F F s F N
N
E E k E J a E N E a
J J a
a
π
π
ππ==-?==
=? 、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为()22,4cos cos .x y U x y U a a ππ????
=-
? ?????
用基本方程，近似求出布里渊区角,a a ππ??
???
处的能隙． ＜解＞以??,i j 表示位置矢量的单位矢量，以12??,b b 表示倒易矢量的单位矢量，则有，
()
11221122122??????,,,r xi yi G G b G b g b g b g g a
π=+=+=+为整数。
晶体势能()22,4cos cos .x y U x y U a a ππ????
=-
? ?????
()()
()
()
2222111111i x i x i y i y iG G G U r U e e e e U e ππππσσσσ--????=-++ ???????∑()()()111020...0G G G U U U U =-===其中，而其他势能傅氏系数。这样基本方程
()()()0k G G
C K U G K G λε-+-=∑变为
()()()()()()()()()()()()()()11111111111111110K G G G G C K U C K G U C K G U C K G U C K G λε-+-+-+-+-=求布里
渊区角顶,a a ππ??
???
，即()111(,)11222k G G ==处的能隙，可利用双项平面波近似
()()()iKr i K G r
C K e C K G e -ψ=+-来处理。
当()()1111,1122
K G K G ==-时依次有
()()()()11
1111,111122
K G G K G G -=-
-=+而其他的()11K G -，
()()
1111K G G ->，所以在双项平面波近似下上式中只有()()()()()()()
()1111,1111;
221111,1111;22C G C K G C G C G C K G C G ????
-=- ? ?????????-=+ ? ?????
()()()()()()1112111211111102
21111110
2
2G G C G UC G C G UC G λελε-??????
---= ? ? ?????????????---+= ? ? ???????
()
1
112
G λε- u -
u - ()1
112
G λε-- =0，因为
()
()()2
2221
1
211112
2
11122G G G m ma πλλ
λ-??====
????
h h 22
2
2
2
()0,U U U ma πλεελ--=±=±h 由行列式有解得=2.u ππ
εεε-?-=+所以在（,-）处的能隙为=a a
第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
、设有一维晶体的电子能带可写成 22
71
()(cos cos 2)88
E k ka ka ma =-+h ， 其中a 为晶格常数，m 是电子的质量。
试求（1）能带宽度；
（2）电子在波矢k 状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。
解：（1） 2271
()(cos cos 2)88
E k ka ka ma =
-+h =2
2ma η7
8－coska +18(2cos 2ka －1)] ＝2
2
4ma
h (coska －2)2－1 当ka ＝(2n+1)时,n=0,1,2…
2
max 2
2()E k ma =h
当ka =2n 时, min ()0E k = 能带宽度＝2max min 2
2E E ma -=h
（2）1()1
(sin sin 2)4
dE k ka ka dk ma υ=
=-h h
(3) 222*
11
(cos cos 2)2E k m m ka ka -????==-??????
h
当0k =时,带底，*2m m = 当k a π
=±
时,带顶，*2
3
m m =-
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
JISHOU UNIVERSITY 《固体物理》期末 考核报告 摘要：本课以本科理论物理的“四大力学”为基础。又是学习凝聚态物理学和材料科学的基础，它是最基础的、又同专业关系最密切的一门课程。通过本课的学习，一方面是对以前所学基础理论知识的复习和应用，另一方面也为今后了解、掌握现代高新技术和从事科学研究打下基础。 关键字：力学、基础、课程-现代高新科技、应用 一、引言 固体物理就是研讨固体（主要是晶体）材料物理特性的一门科学。它是从固体中的原子和电子状态的根本特点出发来讨论固体的物理性质，所以是最基础的、又同专业关系最密切的一门课程，它也讨论非晶体材料的性质，是学习金属物理、半导体物理、电介质物理、磁学等的基础、先行课程。 虽然固体物理主要是讨论固体材料的问题，但是实际上对于讨论液体、气体材料也有参考价值，同时还体现了应用基础课的特点，既要讲有关的理论体系，又要讲和实验、生产的密切关系．特别要突出科学的研究方法。对于物理类和电
子科学类的专业，固体物理是必修课。所以。对于了解学习固体物理的目的和难点是非常有必要的。 二、学习固体物理的目的 2.1 固体物理学的发展 固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。其经济影响和社会影响是革命性的。这种影响甚至在日常生活中也处处可见。新的实验条件和技术日新月异，正为固体物理不断开拓新的研究领域。极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。由于固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理学中研究论文三分之一以上。其发展趋势是：由体内性质转向研究表面有关的性质；由三维体系转到低维体系；由晶态物质转到非晶态物质；由平衡态特性转到研究瞬态和亚稳态、临界现象和相变；由完整晶体转到研究晶体中的杂质、缺陷和各种微结构；由普通晶体转到研究超点阵的材料。这些基础研究又将促进新技术的发展，给人们带来实际利益。同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。 2.2 学习固体物理的要求 固体物理是很抽象的，在于他研究的对象已经不是一般的某个体系，而是涉及组成物体的原子分子之间的结构能量问题，有些类似于原子物理，但又不一样。想要学好固体物理完全没有必要纠结于难记的公式和复杂的推导，关键是理解固体物理中引进的其它物理分支中没有的概念和研究方法，举个例子，一开始介绍倒格矢，概念很抽象，但是它的目的是研究晶格，晶体性质的，那么就需要站在晶体结构的角度理解它；研究满带，空带，就需要联系分子之间能量来理解它。要区分微观和宏观研究方法的不同，不要带着以往学物理的方法来学习固体物理。 对于大学生所学的固体物理，其中的内容都是比较浅显易懂，我们所要做的就是在课堂所学的基础上，去为将要学习更深的内容做好准备。利用大学所学的基础知识，对固体物理的一些基础的知识的了解，去更好的用到生活中去。这样才能做到真正的学以致用。
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
固体物理学习心得 篇一：学习固体物理后的感想 学习固体物理的感受 经过了十几周的学习，我们这门《固体物理学》也结束了最后的任务，虽然说这门课对于咱们专业的同学来说总体上难度很大，但是在您的指导下，同学们还是基本能够按时出勤，最重要的是达到了开设这门课的最初用意，能够为我们以后学习和了解更多物理学相关的知识打下良好的基础。 本课程是材料科学与工程专业的物理类基础课，包括晶格结构、晶格振动与热性质、固体电子理论、半导体、固体磁性质、绝缘体、介电体等部分。这门课程系统介绍固体物理研究的基本理论与重要试验方法提示丰富多彩的固体形态（如金属、绝缘体、磁性材料等）形成的基本物理规律，给出研究这些固体的实验（如X光衍射、中子散射、磁
散射等）设计的基本原理。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。其实固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。固体的内部结构和运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，而且具有明显的规律性，较易研究。晶体或多或少都存在各种杂质和缺陷，它们对固体的物性， 以及功能材料的技术性能都起重要的作用。半导体的电学、发光学等性质
依赖于其中的杂质和缺陷；大规模集成电路的工艺中控制和利用杂质及缺陷是极为重要的。非晶态固体的物理性质同晶体有很大差别，这同它们的原子结构、电子态以及各种微观过程有密切联系。从结构上来分，非晶态固体有两类。一类是成分无序，在具有周期性的点阵位置上随机分布着不同的原子或者不同的磁矩；另一类是结构无序，表征长程序的周期性完全破坏，点阵失去意义。但近邻原子有一定的配位关系，类似于晶体的情形，因而仍然有确定的短程序。在无序体系中，电子态有局域态和扩展态之分。在局域态中的电子只有在声子的合作下才能参加导电，这使得非晶态半导体的输运性质具有新颖的特点。1974年人们掌握了在非晶硅中掺杂的技术，现在非晶硅已成为制备高效率太阳能电池的重要材料。无序体系是一个复杂的新领域，非晶态固体实际上是一个亚稳态。目前对许多基本问题还存在着争论，有待进一步的探索和研究。
1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、 填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时 （，当时关系的123,,b b b 为基矢，由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________
固体物理复习要点 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点 这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 c b a r 213132:++=即 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。 8.试举例说明哪些晶体具有简单立方、面心立方、体心立方、六角密积结构。并写出这几种结构固体物理学原胞基矢。 答：CsCl 、ABO3 ； NaCl ； ； 纤维锌矿ZnS 9.会从正格基矢推出倒格基矢，并知道倒格子与正格子之间有什么区别和联系？ 11.会求晶格的致密度。 14.X 射线衍射的几种基本方法是什么？各有什么特点？ 答：劳厄法：(1)单晶体不动，入射光方向不变；(2)X 射线连续谱，波长在 间变化，反射球半径 转动单晶法：(1)X 射线是单色的；(2)晶体转动。 粉末法 ：(1)X 射线单色(λ固定)；(2)样品为取向各异的单晶粉末。 第二章 1、什么是晶体的结合能，按照晶体的结合力的不同，晶体有哪些结合类型及其结合力是什么力？ 答：晶体的结合能就是将自由的原子（离子或分子）结合成晶体时所释放的能量。 结合类型：离子晶体—离子键 分子晶体—范德瓦尔斯力 共价晶体—共价键 金属晶体—金属键 氢键晶体—氢键 max min ~λλ
固体物理学发展简史 固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态，及其相互关系的科学。它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。 固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。 在相当长的时间里，人们研究的固体主要是晶体。早在18世纪，阿维对晶体外部的几何规则性就有一定的认识。后来，布喇格在1850年导出14种点阵。费奥多罗夫在1890年、熊夫利在1891年、巴洛在1895年，各自建立了晶体对称性的群理论。这为固体的理论发展找到了基本的数学工具，影响深远。 1912年劳厄等发现X射线通过晶体的衍射现象，证实了晶体内部原子周期性排列的结构。加上后来布喇格父子1913年的工作，建立了晶体结构分析的基础。对于磁有序结构的晶体，增加了自旋磁矩有序排列的对称性，直到20
世纪50年代舒布尼科夫才建立了磁有序晶体的对称群理论。 第二次世界大战后发展的中子衍射技术，是磁性晶体结构分析的重要手段。70年代出现了高分辨电子显微镜点阵成像技术，在于晶体结构的观察方面有所进步。60年代起，人们开始研究在超高真空条件下晶体解理后表面的原子结构。20年代末发现的低能电子衍射技术在60年代经过改善，成为研究晶体表面的有力工具。近年来发展的扫描隧道显微镜，可以相当高的分辨率探测表面的原子结构。 晶体的结构以及它的物理、化学性质同晶体结合的基本形式有密切关系。通常晶体结合的基本形式可分成：高子键合、金属键合、共价键合、分子键合和氢键合。根据X 射线衍射强度分析和晶体的物理、化学性质，或者依据晶体价电子的局域密度分布的自洽理论计算，人们可以准确地判定该晶体具有何种键合形式。 固体中电子的状态和行为是了解固体的物理、化学性质的基础。维德曼和夫兰兹于1853年由实验确定了金属导热性和导电性之间关系的经验定律；洛伦兹在1905年建立了自由电子的经典统计理论，能够解释上述经验定律，但无法说明常温下金属电子气对比热容贡献甚小的原因；泡利在1927年首先用量子统计成功地计算了自由电子气的顺磁性，索末菲在1928年用量子统计求得电子气的比热容和输运现象，解决了经典理论的困难。
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
一 名词解释 原胞 布喇菲点阵 结点 第一布里渊区 肖脱基缺陷 弗兰克尔缺陷 费米面 费米能量 费米温度 绝热近似 肖特基效应 德哈斯—范阿尔芬效应 马德隆常数 二 简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类，布拉菲格子的点群类型有几种？空间群类型有几种？晶体结构的点群类型有几种？空间群类型有几种？ 4. 晶体的宏观对称性中，独立的对称操作元素有那些？ 5. 劳厄方程 布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似：绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值，有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设 三 计算题 1. 某晶体具有面心立方结构，其晶格常数为a 。 （1）写出原胞基矢。 （2）求倒格子基矢，并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中，每个原胞中含有一个原子，每个原子只有一个价电子，使用紧束缚近 似，只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ，求载流子浓度？ 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格，晶格常数a =3.5?，假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（?=1.05×10-34J ·s ，m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2，1eV=1.6×10-19J ） 6. 平时留过的作业题
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3
固体物理学习笔记 固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的 运动形态及其相互关系的科学。它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支 学科。固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及 这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。固体的内部结构和 运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单， 而且具有明显的规律性，较易研究。以后进一步研究一切处于凝聚状态的物体 的内部结构、内部运动以及它们和宏观物理性质的关系。这类研究统称为凝聚 态物理学。 固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态 固体。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们 是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原 子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么 联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。新的实验条件和技术日新月异，为固体物理不断开拓出新的研 究领域。极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、 各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技 术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。由于 固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学 科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理 学中研究论文三分之一以上。同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技 术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。其 经济影响和社会影响是革命性的。这种影响甚至在日常生活中也处处可见。 以下是学习到的章节 Ⅰ晶体结构 晶体：内部结构有规则排列的固体。晶体是由原子或分子在空间按一定规律、周期重复地排列所构成的固体物质。晶体内部原子或分子按周期性规律排列的结构， 是晶体结构最基本的特征，使晶体具有下列共同特性：⑴均匀性；⑵各向异性；⑶
《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3
所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)