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?

关于角度的两个结论:

?

(1)粒子速度的偏向角φ等于圆心角α,并等于AB弦与切线的弦切角θ的2倍(如图所示),即。

(2)相对的弦切角θ相等,与相邻的弦切角θ'互补,即

有界磁场中的对称及临界问题:

(1)直线边界

粒子进出磁场时的速度关于磁场边界对称.如图所示。

(2)圆形边界

①沿半径方向射入磁场,必沿半径方向射出磁场。

②射入磁场的速度方向与所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与所在半径间的夹角。

(3)平行边界

存在着临界条件:

(4)相交直边界

?

?

带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动:

?

?确定轨迹圆心位置的方法:

?

带电粒子在磁场中做圆周运动时间和转过圆心角的求解方法:

带电粒子在有界磁场中的临界与极值问题的解法:

当某种物理现象变化为另一种物理现象,或物体从一种状态变化为另一种状态时,发生这种质的飞跃的转折态通常称为临界状态,涉及临界状态的物理问题叫做临界问题,产生临界状态的条件叫做临界条件,临界问题能有效地考查学生多方面的能力,在高考题中屡见不鲜。认真分析系统所经历的物理过程,找出与临界状态相对应的临界条件,是解答这类题目的关键,寻找临界条件,方法之一是从最大静摩擦力、极限频率、临界角、临界温度等具有临界含义的物理量及相关规律人手:方法之二是以题目叙述中的一些特殊词语如“恰好”、“刚好”、“最大”、“最高”、“至少”为突破口,挖掘隐含条件,探求临界位置或状态。如:(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。据此可

以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值。

(2)当速度v一定时,弧长(或弦长)越大,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场巾运动的时间越长。(前提条件是弧是劣弧)

(3)当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越越长。

?

“动态圆”问题的解法:

?

1.入射粒子不同具体地说当入射粒子的比荷不同时,粒子以相同的速度或以相同

的动能沿相同的方向射人匀强磁场时,粒子在磁场中运动的周期必不

相同;运动的轨迹半径,在以不同的速度入射时不相同,以相同动能入射时可能不同。

2.入射方向不同相同的粒子以相同的速率沿不同方向射人匀强磁场中,粒子在磁场中运动的轨道中,运动周期是相同的,但粒子运动径迹所在空间位置不同,所有粒子经过的空间区域在以入射点为圆心,运动轨迹圆的直径为半径的球形空间内。当磁场空间有界时,粒子在有界磁场内运动的时间不同,所能到达的最远位置不同,从而形成不同的临界状态或极值问题,此类问题中有两点要特别注意:一是旋转方向对运动的影响,二是运动中离入射点的最远距离不超过2R,因R是相同的,进而据此可利用来判定转过的圆心角度、运动时间等极值问题,其中l是最远点到入射点间距离即轨迹上的弦长。

3.入射速率不同

相同的粒子从同一点沿同一方向以不同的速率进入匀强磁场中,虽然不同速率的

粒子运动半径不同,但圆心却在同一直线上,各轨迹圆都相切于入射点。在有界

磁场中会形成相切、过定点等临界状态,运动时间、空间能到达的范围等极值问

题。当粒子穿过通过入射点的直线边界时,粒子的速度方向相同,偏向角相同,

运动时间也相同。

4.入射位置不同

相同的粒子以相同的速度从不同的位置射入同一匀强磁场中,粒子在磁场中运动

的周期、半径都相同,但在有界磁场中,对应于同一边界上的不同位置,会造成

粒子在磁场巾运动的时间不同,通过的路程不同,出射方向不同,从而形成不同

的临界状态,小同的极值问题。

5.有界磁场的边界位置变化

相同粒子以相同的速度从同定的位置出发,途经有界磁场Ⅸ域,若磁场位置发生

变化时,会引起粒子进入磁场时的入射位置或相对磁场的入射方向发生变化,从

而可能引起粒子在磁场中运动时间、偏转角度、出射位置与方向等发生变化,进

而形成临界与极值问题。

4,坐标原点O处有一点状的放射源,它向xoy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子,α粒子的速度大小都是v0,在0

,其中q与m分别为α粒子的电量和质量;在的区域内分布有垂直于xoy平面的匀强磁场,.ab为一块很大的平面感光板,放置于处,如图所示.观察发现此时恰无粒子打到ab板上.(不考虑a粒子的重力)

(1)求α粒子刚进人磁场时的动能;

(2)求磁感应强度B的大小;

(3)将ab板平移到什么位置时所有粒子均能打到板上?并求出此时ab板上被α粒子打中的区域的长度.

解析答案:(1)根据动能定理:可得

末动能(6分)

(2)根据上题结果可知,对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方

向夹角,其在电场中沿x方向的位移,易知若此粒子不能打到ab板上,则所有粒子均不能打到ab板,因此此粒子轨迹必与ab板相切,可得

其圆周运动的半径

又根据洛伦兹力提供向心力

可得(8分)

(3)易知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上,则所有粒子均能打到板上。其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切。由图可知此时磁场宽度为原来的,

即当ab板位于的位置时,恰好所有粒子均能打到板上;

ab板上被打中区域的长度

(6分)

25.[2014·全国卷] 如图,在第一象限存在匀强磁场,磁感应强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外;在第四象限存在匀强电场,方向沿x 轴负向.在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度发射出一带正电荷的粒子,该粒子在(d ,0)点沿垂直于x 轴的方向进入电场.不计重力.若该粒子离开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ,求:

(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值; (2)该粒子在电场中运动的时间. 25.[答案] (1)12v0tan2θ (2)2d v0tan θ

[解析] (1)如图,粒子进入磁场后做匀速圆周运动.设磁感应强度的大小为B ,粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ,圆周运动的半径为R0.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

qv0B =m v20

R0

由题给条件和几何关系可知R0=d ②

设电场强度大小为E ,粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为ax ,在电场中运动的时间为t ,离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为vx.由牛顿定律及运动学公式得

Eq =max ③ vx =axt ④ vx

2

t =d ⑤ 由于粒子在电场中做类平抛运动(如图),有 tan θ=vx v0

联立①②③④⑤⑥式得 E B =1

2

v0tan2 θ⑦ (2)联立⑤⑥式得 t =

2d

v0tan θ

⑧ 12.(15分)

(2014·全国大纲卷,25)如图,在第一象限存在匀强磁场,磁感应强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外;在第四象限存在匀强电场,方向沿x 轴负向.在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度发射出一带正电荷的粒子,该粒子在(d,0)点沿垂直于x 轴的方向进入电场.不计重力.若该粒子离开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ,求

(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值; (2)该粒子在电场中运动的时间.

【解析】 (1)如图,粒子进入磁场后做匀速圆周运动.设磁感应强度的大小为B ,粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ,圆周运动的半径为R 0.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

q v 0B =m v 20

R 0

由题给条件和几何关系可知R 0=d ②

设电场强度大小为E ,粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为a x ,在电场中运动的时间为t ,离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为v x .由牛顿定律及运动学公式得

Eq =ma x ③ v x =a x t ④

v x

2

t =d ⑤ 由于粒子在电场中做类平抛运动(如图),有 tan θ=v x

v 0

联立①②③④⑤⑥式得 E B =1

2

v 0 tan 2 θ⑦ (2)联立⑤⑥式得 t =2d v 0 tan θ

⑧ 【答案】 (1)12v 0 tan 2 θ (2)2d

v 0 tan θ

8.(16分)(2013江苏省南京市二模)如图所示,在xOy 平面的y 轴左侧存

在沿y 轴正方向的匀强电场,y 轴右侧区域Ⅰ内存在磁感应强度大小B 1=

qL

mv 0

、方向垂直纸面向外的匀强磁场,区域Ⅰ、区域Ⅱ的宽度均为L ,高度均为3L 。质量为m 、电荷量为 +q 的带电粒子从坐标为(– 2L ,–2L )的A 点以速度v 0沿 +x 方向射出,恰好经过坐标为[0,-(2–1)L ]的C 点射入区域Ⅰ。粒子重力忽略不计。 ⑴ 求匀强电场的电场强度大小E ; ⑵ 求粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标;

⑶ 要使粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场,可在区域Ⅱ内加垂直纸面向内的匀

强磁场。试确定磁感应强度B 的大小范围,并说

明粒子离开区域Ⅱ时的速度方向。

跟踪练习6. 突破训练2 如图13所示装置中,区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向

上和水平向右的匀强电场,电场强度分别为E 和E

2

;区域Ⅱ

内有垂直向外的水平匀强磁场,磁感应强度为B .一质量为 m 、带电荷量为q 的带负电粒子(不计重力)从左边界O 点正 上方的M 点以速度v 0水平射入电场,经水平分界线OP 上 的A 点与OP 成60°角射入区域Ⅱ的磁场,并垂直竖直边界 CD 进入Ⅲ区域的匀强电场中.求:

(1)粒子在区域Ⅱ匀强磁场中运动的轨迹半径;

(2)O 、M 间的距离;

(3)粒子从M 点出发到第二次通过CD 边界所经历的时间.

答案 (1)2m v 0qB (2)3m v 20

2qE (3)(8+3)m v 0qE +πm 3qB

审题指导 1.粒子的运动过程是怎样的? 2.尝试画出粒子的运动轨迹.

3.注意进入磁场时的速度的大小与方向.

解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示,其在区域Ⅰ的匀强电场中做类平抛运动,设粒子

过A 点时速度为v ,由类平抛运动规律知v =v 0

cos 60°

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得

Bq v =m v 2R ,所以R =2m v 0

qB

(2)设粒子在区域Ⅰ的电场中运动时间为t 1,加速度为a .则有qE =ma ,v 0tan 60°=at 1,

即t 1=3m v 0

qE

O 、M 两点间的距离为L =12at 21=3m v 2

2qE

(3)设粒子在Ⅱ区域磁场中运动时间为t 2 则由几何关系知t 2=T 16=πm

3qB

设粒子在Ⅲ区域电场中运动时间为t 3,a ′=q

E 2m =qE

2m

则t 3=22v 0a ′=8m v 0

qE

粒子从M 点出发到第二次通过CD 边界所用时间为

t =t 1+t 2+t 3=3m v 0qE +πm 3qB +8m v 0qE =(8+3)m v 0qE +πm

3qB

【例4】在xOy 平面上的某圆形区域内,存在一垂直纸面向里的匀强磁 场,磁感应强度大小为B .一个质量为m 、带电量为+q 的带电粒子,由原点O 开始沿x 正方向运动,进入该磁场区域后又射出该磁场;后来,粒子经过y 轴上的P 点,此时速度方向与y 轴的夹角为30°(如图所示),已知P 到O 的距 离为L ,不计重力的影响。

(1)若磁场区域的大小可根据需要而改变,试求粒子速度的最大可 能值;

(2)若粒子速度大小为6qBL

v m

=

,试求该圆形磁场区域的最小面积。 【分析】初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切,轨迹圆圆心到两条直线的距离

(即轨道半径)相等,因此,圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC 上(如图甲);在角平分线QC 上取不同的点为圆心,由小到大作出一系列轨迹圆(如图乙),其中以C 点为圆心轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的,其对应的粒子速度也最大。

【解答】过P 点作末速度所在直线,交x 轴于Q 点,经分析可知,粒子在磁场中作圆周运

动的轨迹的圆心必在OPQ ∠的角平分线QC 上,如图甲所示。

设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r ,则由牛顿第 二定律,有 2

v q v B m r

=

则 mv

r qB

=

① 由此可知粒子速度越大,其轨道半径越大,由图乙可知,速度 最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y 轴上的C 点。

(1)如图丙所示,速度最大时粒子的轨迹圆过O 点、且与PQ 相切于A 点。

由几何关系有 t a n 30O Q L =?,1tan 30r OQ =?,

图丙

L

y

30o

v

O

Q

C

A

P

x

30o

y

v L

O

P

Q C A 图甲 x P L O y v 30o Q C

A 图乙

① ②

x

可得 13

L

r =

② 由①、②求得 3qBL v m

=

③ (2)将6qBL

v m

=代入①式,可得26L r =,粒子的运动轨迹是

如图丁所示的轨迹圆②,该轨迹圆与x 轴相切于D 点、与PQ 相切

于E 点。连接DE ,由几何关系可知

23DE r =

由于D 点、E 点必须在磁场内,即线段DE 在磁场内,故可知 磁场面积最小时必定是以DE 为直径(如图丁中③所示)。即面积最 小的磁场半径为

1

2

R D E =

则磁场的最小面积为 22

23πππ()1248

L s R L === 【练习4】如图所示,xOy 平面内存在着沿y 轴正方向的匀强电场.一个质量为m ,带

电荷量为+q 的粒子从坐标原点O 以速度v 0沿x 轴正方向开始运动.当它经过图中虚线上的M (23a ,a )点时,撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出),又从虚线上的某一位置N 处沿y 轴负方向运动并再次经过M 点.已知磁场方向垂直xOy 平面(纸面)向里,磁感应强度大小为B ,不计粒子的重力,试求:

(1)电场强度的大小; (2)N 点的坐标;

(3)矩形磁场的最小面积.

【分析】粒子在电场中偏转后进入MN 右侧,初速度方向已知,另一方面,粒子末速度由N 指向M 。初速度、末速度所在直线交于点M ,过M 点作NMP ∠角平分线MO ',粒子轨迹圆的圆心必在直线MO '上。取其上一点O '为圆心作出轨迹圆(如图所示)。

【答案】⑴ 206mv E qa = ⑵ 23N x a = ⑶220min 12224m v

S L L q B

=?=

【解答】⑴ 粒子从O 到M 做类平抛运动,设时间为t ,则有 023a v t =

2

12qE a t m

=

? P

y

30o

x

L

O

图丁

A v C

Q D

E

20

6mv E qa

=

⑵ 设粒子运动到M 点时速度为v ,与x 方向的夹角 为,则

033y qE v t v m =

= 22

00233y v v v v =+= 03

t a n 3

y v v α==

, 即 30α=? 由题意知,粒子从P 点进入磁场,从N 点离开磁场,粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动,设半径为R ,则

2

v qvB m r

=

解得粒子做圆周运动的半径为 0

233mv mv R qB qB

==

由几何关系知, 1

302

PMN β=

∠=? 所以N 点的纵坐标为 02t a n N mv R

y a a qB

β=+=+

横坐标为 23N x a =

⑶当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为 014323mv L R qB ==

23sin mv L R R qB

β=+=

所以矩形磁场的最小面积为

22

min

12224m v S L L q B

=?=

例题2.如图所示,在坐标系xOy平面内,在x=0和x=L范围内分布着匀强磁场和匀强电场,磁场的下边界AB与y轴成45°,其磁感应强度为B,电场的上边界为x轴,其电场强度为E.现有一束包含着各种速率的同种粒子由A点垂直y轴射入磁场,带电粒子的比荷为q/m.一部分

粒子通过磁场偏转后由边界AB射出进入电

场区域.不计粒子重力,求:

(1)能够由AB边界射出的粒子的最大速率;

(2)粒子在电场中运动一段时间后由y轴射

出电场,射出点与原点的最大距离.

例题2.解: (1)由于AB与初速度成45°,所以粒子由AB线射出磁场时速度方向与初速度成45°角.粒子在磁场中做匀速圆周运动,速率越大,圆周半径越大.速度最大的粒子刚好由B点射出.

由牛顿第二定律

由几何关系可知 r=L,得

(2)粒子从B点垂直电场射入后,在竖直方向做匀速运动,在水平方向做匀加速运动.

在电场中,由牛顿第二定律Eq=ma

此粒子在电场中运动时

d=vt,得

2.如图3-2所示,坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E=4×105N/C、方向水平向左的匀强电场,在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场.质荷比为的带正电粒子从

x轴上的A点以初速度v0=2×107m/s垂直x轴射入电场,OA=0.2m,不计重力.求:

(1)粒子经过y轴时的位置到原点O的距离;

(2)若要求粒子不能进入第三象限,求磁感应强度B的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况.)

4.如图3-4所示,坐标空间中有场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场,y轴为两种场的分界面,图中虚线为磁场区域的右边界,现有一质量为m,电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置(-L,0)处,以初速度v0沿x轴正方向运动,且已知粒子的重力不计,求:

(1)带电粒子在电场中运行时间;

(2)粒子到达电场、磁场边界线处速度方向与y轴间夹角;

(3)使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中,磁场的宽度d应满足的条件.

24. 如图所示,在xOy平面的第一象限有一匀强电场,电场的方向平行于y轴向下;在x 轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场,磁感应强度的大小为B,方向垂直于纸面向外。有一质量为m,带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。质点到达x轴上A 点时,速度方向与x轴的夹角?,A点与原点O的距离为d。接着,质点进入磁场,并垂直于OC飞离磁场。不计重力影响。若OC与x轴的夹角为?,求

(1)粒子在磁场中运动速度的大小:

(2)匀强电场的场强大小。

24.(17分)

(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。由于质点飞离磁场时,速度垂直于OC,故圆弧的圆心在

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